《電路分析簡明教程》課件第1章

1.1電路和電路模型1.2電路變量1.3基爾霍夫定律1.4電阻元件1.5電源1.6電路等效1.7含獨(dú)立源電路的等效1.8動(dòng)態(tài)元件1.9應(yīng)用實(shí)例習(xí)題1第1章電路的基本概念和定律

1.1電路和電路模型1.1.1電路模型

電路(electriccircuit)是由電器件互連而成的電流通路。實(shí)際電路的功能繁多,概括地說,電路的主要作用是能量的傳送與轉(zhuǎn)換和信號的傳遞與處理。譬如,電力系統(tǒng)的發(fā)電機(jī)將熱能(或水位能、原子能等)轉(zhuǎn)換為電磁能,經(jīng)輸電線傳送給各用電設(shè)備(如電燈、電動(dòng)機(jī)等),這些設(shè)備將電磁能轉(zhuǎn)換為光、熱、機(jī)械能等。通常將供給電磁能的設(shè)備統(tǒng)稱為電源,將用電設(shè)備統(tǒng)稱為負(fù)載。又如,生產(chǎn)過程中的控制電路是用傳感器將所觀測的物理量(如溫度、流量、壓力等)變換為電信號(電壓或電流),經(jīng)過適當(dāng)?shù)摹凹庸ぁ碧幚淼贸隹刂菩盘?用以控制生產(chǎn)操作(如斷開電爐的電源停止加熱或接通電源加熱等)。電視機(jī)是將接收到的高頻電信號經(jīng)過變換、處理(如選頻、放大、解調(diào)等),將分離出的圖像信號送到顯像管,在控制信號的作用下,將信號顯示為畫面;同時(shí)將伴音信號傳送到揚(yáng)聲器轉(zhuǎn)換為聲音。在電源的作用下電路中產(chǎn)生電壓和電流,因此,電源又稱激勵(lì)源,由激勵(lì)在電路中產(chǎn)生的電流和電壓統(tǒng)稱為響應(yīng)。根據(jù)激勵(lì)與響應(yīng)之間的因果關(guān)系,有時(shí)又把激勵(lì)稱為輸入,把響應(yīng)稱為輸出。

實(shí)際電路在運(yùn)行過程中的物理表現(xiàn)相當(dāng)復(fù)雜,要在數(shù)學(xué)上精確描述這些物理現(xiàn)象很困難。為了定量地從理論上研究電路的性能,將組成實(shí)際電路的電器件在一定的條件下按其主要電磁性質(zhì)加以理想化,從而抽象出一系列具有單一電磁性質(zhì)的理想化元件。如電阻器、燈泡、電爐等器件,它們的主要特征是消耗電能,可以用理想電阻元件來反映其消耗電能的特征,其模型符號如圖1.1-1(a)所示;類似地,各種電容器主要儲(chǔ)存電能,用理想電容元件來反映其儲(chǔ)存電能的特征,其模型符號如圖1.1-1(b)所示;各種電感線圈主要儲(chǔ)存磁能,用理想電感元件來反映其儲(chǔ)存磁能的特征,其模型符號如圖1.1-1(c)所示。圖1.1-1理想的電阻、電容、電感元件模型

有了這些理想元件模型之后,對任何一個(gè)實(shí)際電器件,就可以忽略一些次要特性,而用足以反映其電磁性能的一些理想元件模型來表示,以構(gòu)成實(shí)際電器件的電路模型。例如,電阻器、燈泡、電爐等,它們的主要電磁性能是消耗電能,在低頻應(yīng)用時(shí),其儲(chǔ)存的電能和磁能比起消耗的電能來說很微小,可以忽略不計(jì),此時(shí)它的電路模型都可用圖1.1-1(a)所示的理想電阻表示。再如一個(gè)用銅絲繞制的電感線圈,如圖1.1-2(a)所示。在低頻應(yīng)用時(shí),其主要電磁性能是儲(chǔ)存磁能,它所消耗的和儲(chǔ)存的電能都很小,與儲(chǔ)存磁能相比可以忽略不計(jì),它的電路模型就可用1.1-1(c)所示的理想電感表示;在高頻應(yīng)用時(shí),它消耗的和儲(chǔ)存的電能將增大,建模時(shí)必須考慮,其電路模型如圖1.1-2(b)所示。圖1.1-2實(shí)際電感線圈及其模型

實(shí)際電路的電路模型就是用一些理想化的元件,相互連接組成理想化電路,用以描述該實(shí)際電路,進(jìn)而對電路模型進(jìn)行分析,分析結(jié)果就基本反映了實(shí)際電路的物理過程。

電路理論研究的對象不是實(shí)際電路,而是理想化的電路模型。電路理論中所說的電路是指由一些理想化的電路元件按一定方式連接組成的總體。1.1.2集中參數(shù)電路實(shí)際電路器件中的耗能和儲(chǔ)能現(xiàn)象交織在一起并發(fā)生在整個(gè)器件中。只有當(dāng)電路器件尺寸l遠(yuǎn)小于電路最高工作頻率f所對應(yīng)的波長λ(λ=c/f,c=3×108m/s),即l?λ

(1.1-1)時(shí),才可以認(rèn)為傳送到實(shí)際電路各處的電磁能量是同時(shí)到達(dá)的。這時(shí),與電磁波的波長相比,電路尺寸可以忽略不計(jì),發(fā)生在電路中的耗能和儲(chǔ)能現(xiàn)象可以分開考慮。從電磁場理論的觀點(diǎn)來看,整個(gè)實(shí)際電路可看作是電磁空間的一個(gè)點(diǎn),這與經(jīng)典力學(xué)中把小物體看做質(zhì)點(diǎn)相類似。

式(1.1-1)稱為電路的集中參數(shù)假設(shè)條件。滿足集中參數(shù)假設(shè)條件的電路稱為集中參數(shù)電路(lumpedparametercircuit)。通常所說的電路圖是用“理想導(dǎo)線”將一些電路元件符號按一定規(guī)律連接組成的圖形。電路圖中,元件符號的大小、連線的長短和形狀都是無關(guān)緊要的,只要能正確地表明各電路元件之間的連接關(guān)系即可。實(shí)際電路的幾何尺寸相差甚大。對于電力輸電線,其工作頻率為50Hz,相應(yīng)的波長為6000km,因而30km長的輸電線只有波長的1/200,可以看做是集中參數(shù)電路。對于電視天線及其傳輸線來說,其工作頻率為108Hz的數(shù)量級。譬如10頻道,其工作頻率約為200MHz,其相應(yīng)的工作波長為1.5m,這時(shí)0.2m長的傳輸線也不能看做是集中參數(shù)電路。對于不符合集中化假設(shè)的實(shí)際電路,需要用分布參數(shù)電路(distributedparametercircuit)理論或電磁場理論來研究。需要注意的是,不應(yīng)把實(shí)際器件(有的也稱為元件)與電路元件(理想化的)混為一談。各種電子設(shè)備使用的電阻器、電容器、線圈、晶體管等,在一定的條件下,可用某種電路元件或一些電路元件的組合來模擬。同一個(gè)器件,由于工作條件不同或精度要求不同,它的模型也不相同。用理想化的模型模擬實(shí)際電路總有一定的近似性，也就是說，用電路元件互連來模擬實(shí)際電路，只是近似地反映實(shí)際電路中所發(fā)生的物理過程。不過，由于電路元件有確切的定義，分析運(yùn)算是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模@就能保證這種近似有一定的精度，而且還可根據(jù)實(shí)際情況改善電路模型，使電路模型所描述的物理過程更加逼近實(shí)際電路的物理過程。大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，只要電路模型選取適當(dāng)，按理想化電路分析計(jì)算的結(jié)果與相應(yīng)實(shí)際電路的觀測結(jié)果是一致的。當(dāng)然，如果電路模型選取不當(dāng)，則會(huì)造成較大的誤差，有時(shí)甚至得出互相矛盾的結(jié)果。1.2電路變量1.2.1電流及其參考方向

在電場力的作用下,電荷有規(guī)則地定向移動(dòng)形成電流（current）。單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電荷量q定義為電流強(qiáng)度，簡稱電流，用符號i或i(t)表示，即

(1.2－1)

式中，電荷量的單位是庫(C)，時(shí)間的單位是秒(s)，電流的單位是安(A)。

習(xí)慣上把正電荷運(yùn)動(dòng)的方向規(guī)定為電流的實(shí)際方向。通常在分析電路問題時(shí)，先指定某一方向?yàn)殡娏鞣较颍Q為電流的參考方向，用箭頭表示，如圖1.2-1中實(shí)線箭頭所示。如果電流的參考方向與實(shí)際方向(虛線箭頭)一致，則電流i為正值(i>0)，如圖1.2-1(a)所示;如果電流的參考方向與實(shí)際方向相反，則電流取負(fù)值(i<0)，如圖1.2-1(b)所示。這樣，在指定的電流參考方向下，電流值的正或負(fù)就反映了電流的實(shí)際方向。電流的參考方向是任意指定的,一般用箭頭表示;有時(shí)也用雙下標(biāo)表示,如iab,表示其參考方向?yàn)橛蒩指向b。今后在電路圖中只標(biāo)明參考方向。圖1.2-1電流的參考方向1.2.2電壓及其參考極性

電路中，電場力將單位正電荷從某點(diǎn)移到另一點(diǎn)所作的功定義為該兩點(diǎn)之間的電壓，也稱電位差，用u或u(t)表示，即式中,功w(t)的單位是焦(J),電壓的單位是伏(V)。通常,兩點(diǎn)間存在電壓時(shí),高電位端為“+”極,低電位端為“-”極。(1.2-2)

像需要為電流指定參考方向一樣,也需要為電壓指定參考極性(也稱參考方向,“+”極到“-”極的方向)。在分析電路問題時(shí),先指定電壓的參考極性,“+”號表示高電位端,“-”號表示低電位端,如圖1.22(a)所示。如果電壓的參考極性與實(shí)際極性一致,電壓u>0;如果參考極性與實(shí)際極性相反,電壓u<0。電壓的參考極性是任意指定的,一般用“+”、“-”表示;有時(shí)也用箭頭表示參考極性(如圖1.22(b)),箭頭由“+”極指向“-”極;也可用雙下標(biāo)表示,如uab,表示a點(diǎn)為“+”極,b點(diǎn)為“-”極。電流、電壓的參考方向在電路分析中起著十分重要的作用。電流、電壓是代數(shù)量,既有數(shù)值又有與之相應(yīng)的參考方向才有明確的物理意義。只有數(shù)值而無參考方向的電流、電壓是沒有意義的。對一個(gè)元件或一段電路上的電壓、電流的參考方向可以分別獨(dú)立地任意指定,但為了方便,常常采用關(guān)(associated)參考方向,即電流的參考方向和電壓的參考方向一致,如圖1.23(a)所示。這時(shí)在電路圖上只需標(biāo)明電流參考方向或電壓參考極性中的任何一種即可。電流、電壓參考方向相反時(shí)稱為非關(guān)聯(lián)參考方向,如圖1.23(b)所示。圖1.2-2電壓的參考極性電流、電壓的參考方向在電路分析中起著十分重要的作用。電流、電壓是代數(shù)量，既有數(shù)值又有與之相應(yīng)的參考方向才有明確的物理意義，只有數(shù)值而無參考方向的電流、電壓是沒有意義的。對一個(gè)元件或一段電路上的電壓、電流的參考方向，可以分別獨(dú)立地任意指定，但為了方便，常常采用關(guān)聯(lián)參考方向，即電流的參考方向和電壓的參考方向一致，如圖1.2-3(a)所示。這時(shí)在電路圖上只需標(biāo)明電流參考方向或電壓參考極性中的任何一種即可。電流、電壓參考方向相反時(shí)稱為非關(guān)聯(lián)參考方向,如圖1.2-3(b)所示。圖1.2-3參考方向通常在任意瞬間t的電流、電壓分別用i(t)、u(t)表示,也常簡寫為i、u。如果它們的大小和方向都不隨時(shí)間變化,則稱為直流電流、直流電壓,用大寫字母I、U表示。測量直流電流時(shí)要根據(jù)電流的實(shí)際方向?qū)㈦娏鞅泶?lián)接入待測支路中,使電流從直流電流表的正極流入。測量直流電壓時(shí),應(yīng)根據(jù)電壓的實(shí)際極性將直流電壓表并聯(lián)接入電路,使直流電壓表的正極接所測電壓的實(shí)際高電位端,負(fù)極接所測電壓的實(shí)際低電位端。例如,理論計(jì)算得Uab=5V,Ubc=-3V,I=1A,若要測量這些電壓和電流,電壓表和電流表應(yīng)按照圖1.2-4所示接入電路,圖中,分別為電壓表和電流表,兩邊所標(biāo)示的“+”、“-”號分別為直流電壓表和電流表的正、負(fù)極。圖1.2-4直流電壓和電流測量電路在實(shí)際應(yīng)用中，上述電流、電壓的單位有時(shí)過小或過大，這時(shí)可在各單位前加適當(dāng)?shù)脑~頭，形成十進(jìn)倍數(shù)單位和分?jǐn)?shù)單位，例如1μA(微安)=10-6A，1mV(毫伏)=10-3V，3kΩ(千歐)=3×103Ω，2GHz(吉赫)=2×109Hz，等等。部分常用國際單位制詞頭見表1-1。表1-1部分國際單位制(SI)詞頭1.2.3功率和能量功率(power)是指某一段電路吸收或提供能量(energy)的速率,用符號p(t)表示,其數(shù)學(xué)定義式為

（1.2-3）式中,dw為dt時(shí)間內(nèi)電場力所作的功。功率的單位為瓦(W)。

功率與電壓和電流密切相關(guān)。正電荷從電路元件上電壓的“+”極經(jīng)元件移到“-”極是電場力對電荷作功的結(jié)果，這時(shí)元件吸收能量;反之，正電荷從電路元件的“-”極移到“+”極，則必須由外力(化學(xué)力、電磁力等)對電荷作功以克服電場力，這時(shí)電路元件發(fā)出能量。若某元件兩端的電壓為u，在dt時(shí)間內(nèi)流過該元件的電荷量為dq，那么，根據(jù)電壓的定義式(1.2-2)，電場力作的功dw(t)=u(t)dq(t)。在電流與電壓為關(guān)聯(lián)參考方向的情況下(這時(shí)，正電荷從電壓“+”極移到“-”極)，由式(1.2-5(a))和式(1.2-1)可得，在dt時(shí)間內(nèi)電場力所作的功，即該元件吸收的能量為

dw(t)=u(t)i(t)dt(1.2-4)圖1.2-5吸收功率

能量對時(shí)間的變化率稱為電功率。于是，電路元件吸收的電功率p(t)定義為(1.2-5(a))需要注意的是，式(1.2-5(a))是在電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向下推得的(參看圖1.2-5(a))，如果電壓、電流為非關(guān)聯(lián)參考方向，如圖1.2-5(b)所示，則電路元件吸收的功率p(t)為

p(t)=-u(t)i(t)(1.2-5(b))利用式(1.2-5(a))計(jì)算功率時(shí)，如果p>0，表示元件吸收功率;如果p<0，表示元件吸收的功率為負(fù)值，實(shí)際上它將發(fā)出功率。設(shè)t=t0時(shí)元件的能量為w(t0)，t時(shí)刻元件的能量為w(t)，在u與i為關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，對式(1.2-3)從t0到t積分，可求得從t0到t時(shí)間內(nèi)元件吸收的能量為(1.2-6)上式中，為避免積分上限t與積分變量t相混淆，將積分變量換為ξ。若選t0=-∞,且假設(shè)w(-∞)=0,則(1.2-7)一個(gè)二端元件(或電路)，如果對于所有的時(shí)刻t，元件吸收的能量滿足(1.2-8)①數(shù)學(xué)符號的意思是所有的，一切的。意思是對于所有的時(shí)刻t(t>-∞)。則稱該元件(或電路)是無源的,否則就稱其為有源的。圖1.2-6例1.2-1圖

例1.2-1

圖1.2-6是由A和B兩個(gè)元件構(gòu)成的電路，已知u=3V，i=-2A。求元件A和B分別吸收的功率。

解對元件A來說，u與i為關(guān)聯(lián)參考方向;對元件B來說，u與i為非關(guān)聯(lián)參考方向。因此

pA吸=ui=3×(－2)=－6W

pB吸=－ui=－3×(－2)=6W

例1.2-2

某一段電路電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向，其波形如圖1.2-7(a)所示。分別畫出其功率和能量的波形，并判斷該電路是無源電路還是有源電路。圖1.2-7例1.22圖解由圖1.2-7(a)可寫出因此其功率和能量的波形分別如圖1.2-7(b)和(c)所示。由圖1.2-7(c)可見，w(t)滿足式(1.2-8),因此，該段電路是無源電路。1.3基爾霍夫定律

電路是由一些電路元件相互連接構(gòu)成的總體。電路中各元件的電流和電壓受到兩類約束。一類是元件的相互連接給元件電流之間和元件電壓之間帶來的約束,稱為拓?fù)浼s束(topologicalconstraint)。這類約束由基爾霍夫定律體現(xiàn)。另一類是元件的特性造成的約束,即每個(gè)元件上的電壓與電流自身存在一定的關(guān)系,稱為元件約束(elementconstraint)。1.3.1電路圖

圖1.3-1(a)是由6個(gè)元件相互連接組成的電路圖，各元件的端電壓、電流均為關(guān)聯(lián)參考方向。如前所述,在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向的前提下,其參考方向可只標(biāo)示一種(這里只標(biāo)示電流的參考方向)。如果僅研究各元件的連接關(guān)系暫不關(guān)心元件本身的特性,則可用一條線段來代表元件。這樣,圖1.3-1(a)所示的電路圖就可簡化表示為圖1.3-1(b)的拓?fù)鋱D,簡稱圖(graph)。標(biāo)明參考方向的圖稱為有向圖(directedgraph)。通常圖中的參考方向與相應(yīng)電路圖中電流(或電壓)的參考方向相同。電路圖中的每一個(gè)元件，即圖中的每一條線段，稱為支路(圖論中常稱為邊)，支路的連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)(或結(jié)點(diǎn))。圖1.3-2(a)和(b)中有1，2，…，6等6條支路;有a，b，c，d等4個(gè)節(jié)點(diǎn)。在圖中，從某一節(jié)點(diǎn)出發(fā)，連續(xù)地經(jīng)過一些支路和節(jié)點(diǎn)(只能各經(jīng)過一次)，到達(dá)另一節(jié)點(diǎn)，就構(gòu)成路徑。如果路徑的最后到達(dá)點(diǎn)就是出發(fā)點(diǎn)，則這樣的閉合路徑稱為回路。圖1.3-1電路圖及其拓?fù)鋱D1.3.2基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律(KCL)可表述為:對于集中參數(shù)電路中的任一節(jié)點(diǎn)，在任意時(shí)刻，流出該節(jié)點(diǎn)電流的和等于流入該節(jié)點(diǎn)電流的和，即對任一節(jié)點(diǎn)，有(1.3-1)例如,圖1.3-2是某電路圖中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)p,根據(jù)KCL,在任意時(shí)刻有i1(t)+i3(t)+i4(t)=i2(t)+i5(t)圖1.3-2KCL用于節(jié)點(diǎn)如果流出節(jié)點(diǎn)的電流前面取“+”號，流入節(jié)點(diǎn)的電流前面取“-”號，則KCL可表述為:對于集中參數(shù)電路中的任一節(jié)點(diǎn)，在任意時(shí)刻，所有連接于該節(jié)點(diǎn)的支路電流的代數(shù)和恒等于零，即對任一節(jié)點(diǎn)有(1.3-2)對于圖1.3-3的節(jié)點(diǎn)p，KCL方程為i1-i2+i3+i4-i5=0。

KCL通常用于節(jié)點(diǎn)，它也可推廣用于包括數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)的閉合曲面(可稱為廣義節(jié)點(diǎn)，即圖論中的割集)。圖1.3-4中，對于閉合曲面S，有-i3-i4-i5+i8+i9=0圖1.3-3KCL用于廣義節(jié)點(diǎn)

例1.3-1

如圖1.3-5所示的電路，已知i1=-5A，i2=1A，i6=2A，求i4。圖1.3-4例1.3-1圖

解為求得i4，對于節(jié)點(diǎn)b，根據(jù)KCL有-i3-i4+i6=0，即

i4=-i3+i6

為求出i3，可利用節(jié)點(diǎn)a，由KCL有i1+i2+i3=0，即

i3=-i1-i2=-(-5)-1=4A將i3代入i4的表達(dá)式，得

i4=-i3+i6=-4+2=-2A或者，取閉合曲面S，如圖1.3-5中虛線所示，根據(jù)KCL，有

-i1-i2+i4-i6=0

可得

i4=i1+i2+i6=-5+1+2=-2A1.3.3基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律(KVL)可表述為:在集中參數(shù)電路中，任意時(shí)刻，沿任一回路繞行，回路中所有支路電壓的代數(shù)和恒為零，即對任一回路有(1.3-3)圖1.3-5KVL應(yīng)用在電路分析時(shí)，常常需要求得某兩節(jié)點(diǎn)之間的電壓，譬如圖1.3-6中節(jié)點(diǎn)a、d之間的電壓uad。為了敘述方便，這里各支路電壓用雙下標(biāo)表示。如圖1.3-6中，uab=u1，ubc=-u2,ucd=u3，ude=u4，uea=-u5。根據(jù)KVL，沿a、b、c、d、e、a的繞行方向有

u1-u2+u3+u4-u5=0以上結(jié)果表明，在集中參數(shù)電路中，任意兩點(diǎn)(譬如p和q)之間的電壓upq等于沿從p到q的任一路徑上所有支路電壓的代數(shù)和，即(1.3-4)

例1.3-2

如圖1.3-6所示的電路，已知u1=10V，u2=-2V，u3=3V，u7=2V。求u5、u6和ucd。圖1.3-6例1.3-2圖

解由圖可見

u5=ubc=uba+uac=-u1+u3=-7V

由于u6=uad，沿a、b、e、d路徑，得u6=uab+ube+ued=u1+u2-u7=6V

ucd=uca+uad=-u3+u6=3V或者沿路經(jīng)c、a、b、e、d，得

ucd=uca+uab+ube+ued=-u3+u1+u2-u7=3V基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律是集中參數(shù)電路的基本規(guī)律。KCL描述了電路中任一節(jié)點(diǎn)處,各支路電流的約束關(guān)系,實(shí)質(zhì)上是電荷守恒原理的體現(xiàn);KVL描述了在電路的任一回路中,各支路電壓的約束關(guān)系,實(shí)質(zhì)上是能量守恒原理的體現(xiàn)。KCL和KVL僅與電路中元件的相互連接形式有關(guān),而與元件自身的特性無關(guān),它是元件互連的拓?fù)浼s束關(guān)系。KCL和KVL不僅適用于線性電路,也適用于非線性電路;不僅適用于非時(shí)變電路,也適用于時(shí)變電路。1.4電阻元件1.4.1二端電阻

二端電阻是最常見的耗能型元件。電阻器、燈泡、電爐等在一定條件下可以用二端電阻作為其模型。二端電阻元件可定義為:一個(gè)二端元件，如果在任意時(shí)刻t，其兩端電壓u與流經(jīng)它的電流i之間的關(guān)系(VCR)能用u~i平面(或i~u平面)上通過原點(diǎn)的曲線所確定，就稱其為二端電阻元件，簡稱電阻元件。由于電壓和電流的單位是V和A，因而電阻元件的特性稱為伏安特性或伏安關(guān)系(VAR)。如果電阻元件的伏安特性不隨時(shí)間變化(即它不是時(shí)間的函數(shù))，則稱其為非時(shí)變(或時(shí)不變)的，否則稱為時(shí)變的;如其伏安特性是通過原點(diǎn)的直線，則稱為線性的，否則稱為非線性的。本書涉及最多的是線性非時(shí)變電阻元件。線性非時(shí)變電阻元件的伏安特性是u~i平面上一條通過原點(diǎn)的直線，如圖1.4-1(b)所示。在電壓、電流參考方向相關(guān)聯(lián)(圖1.4-1(a))的條件下，其電壓與電流的關(guān)系就是熟知的歐姆定律，即

u(t)=Ri(t)

t

(1.4-1)式(1.4-1)和(1.4-2)常稱為電阻的伏安關(guān)系。式中，R為元件的電阻，單位為歐(Ω);G是元件的電導(dǎo)，單位為西(S)。電阻R和電導(dǎo)G是聯(lián)系電阻元件的電壓與電流的電氣參數(shù)。對于線性非時(shí)變電阻元件，R和G都是實(shí)常數(shù)，它們的關(guān)系是(1.4-3)線性非時(shí)變電阻元件也簡稱為電阻。這里，“電阻”一詞及其符號R既表示電阻元件也表示該元件的參數(shù)。通常所說的電阻，其伏安特性如圖1.4-1(b)所示，其電阻R(或電導(dǎo)G)為正值,可稱為正電阻(或正電導(dǎo))，一般將“正”字略去。用電子器件也能實(shí)現(xiàn)圖1.4-1(c)所示的伏安特性，其電阻(或電導(dǎo))為負(fù)值，稱為負(fù)電阻(或負(fù)電導(dǎo))。圖1.4-1線性非時(shí)變電阻的伏安特性需要特別注意的是，以上的論述是在元件端電壓u與通過它的電流i為關(guān)聯(lián)參考方向的前提下得出的。如果電阻元件的端電壓u與電流i為非關(guān)聯(lián)參考方向，如圖1.4-2所示，則歐姆定律的表示式(1.4-1)和(1.4-2)應(yīng)該為

u(t)=-Ri(t)(1.4-4a)

i(t)=-Gu(t)(1.4-4b)圖1.4-2u、i為非關(guān)聯(lián)參考方向有兩個(gè)特殊情況值得留意:開路和短路。當(dāng)一個(gè)二端元件(或電路)的端電壓不論為何值時(shí)，流過它的電流恒為零值，就把它稱為開路。開路的伏安特性在u~i平面上與電壓軸重合，它相當(dāng)于R=∞或G=0，如圖1.4-3(a)所示。當(dāng)流過一個(gè)二端元件(或電路)的電流不論為何值時(shí)，它的端電壓恒為零值，就把它稱為短路。短路的伏安特性在u~i

平面上與電流軸重合，它相當(dāng)于R=0或G=∞，如圖1.4-3(b)所示。圖1.4-3開路和短路由式(1.2-5a)、(1.4-1)和(1.4-2)可得，在電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，在任一時(shí)刻t，電阻吸收的功率p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)=Gu2(t)

(1.4-5)由式(1.2-7)得，從-∞直到時(shí)刻t，電阻吸收的能量(1.4-6)由以上二式可見，對于通常所說的電阻(即R≥0，G≥0)恒有(1.4-7)

p(t)≥0，w(t)≥0

t

這表明,在任何時(shí)刻,(正)電阻都不可能發(fā)出功率(或能量),它吸收的電磁能量全部轉(zhuǎn)換為其他形式的能量。所以,(正)電阻不僅是無源元件而且是耗能元件。對于負(fù)電阻元件,R≤0,G≤0。顯然有p(t)≤0,w(t)≤0。它可以向外部電路提供功率和能量,是供能元件。實(shí)際上,負(fù)電阻是某些對外提供電磁能量的電子裝置的理想化模型。(1.4-8)1.4.2分立電阻與集成電阻

任何材料都有電阻。導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體三者的區(qū)別是材料的電阻率ρ。通常，ρ<10-4Ω·m的材料稱為導(dǎo)體，ρ>104Ω·m的材料稱為絕緣體，半導(dǎo)體的ρ介于導(dǎo)體和絕緣體之間。一段長度為L、截面積為S、電阻率為ρ的材料，其電阻值為

1.分立電阻器的主要參數(shù)電子電路中單個(gè)使用的具有電阻特性的元件，稱為分立電阻器。前面討論的電阻元件是由實(shí)際電阻器抽象出來的理想化模型。電阻元件和電阻器這兩個(gè)概念是有區(qū)別的。電阻元件的參數(shù)只有一個(gè)電阻值,而電阻器的元件參數(shù)包括:標(biāo)稱值、容差、額定功率、溫度系數(shù)等。標(biāo)稱值(標(biāo)準(zhǔn)電阻值)是指標(biāo)志在電阻器上的電阻值。標(biāo)稱阻值是有規(guī)定的,一般可以1.0Ω，1.1Ω,1.2Ω,1.3Ω,

1.5Ω,1.6Ω,1.8Ω,2.0Ω,2.2Ω,2.4Ω,2.7Ω,3.0Ω,3.3Ω,3.6Ω,3.9Ω,4.3Ω,4.7Ω,5.1Ω,5.6Ω,6.2Ω,6.8Ω,7.5Ω,8.2Ω,9.1Ω等以及乘10次冪的阻值。不同系列的電阻器,其標(biāo)稱阻值會(huì)有所不同。如果從電路模型中算出的電阻值為70Ω,工程上只能選68Ω電阻,因?yàn)閷?shí)際中沒有標(biāo)稱值為70Ω的電阻。批量生產(chǎn)的電阻器很難具有完全一樣的阻值。電阻器的實(shí)際阻值與標(biāo)稱值之間的相對誤差稱為電阻的誤差,即

阻值的誤差容限稱為電阻器的容差,記為ε。容差按大小一般分三級:ε=±5%為Ⅰ級,ε=±10%為Ⅱ級,ε=±20%為Ⅲ級。對于精密電阻,容差等級有±0.05%、±0.2%、±0.5%、±1%等。電阻器所允許消耗的最大功率稱為電阻器的額定功率。當(dāng)電阻器的額定功率是實(shí)際承受功率的1.5~2倍以上時(shí)才能保證電阻器可靠工作。此外,隨著溫度變化,材料的電阻率也發(fā)生變化,從而導(dǎo)致電阻器的阻值變化。某些材料構(gòu)成的電阻器的溫度降到一定值后,其阻值可能迅速減至零,此時(shí)稱該電阻器進(jìn)入了超導(dǎo)狀態(tài)。

2.常用電阻器的特點(diǎn)

(1)碳膜電阻器的特點(diǎn):穩(wěn)定性好，噪聲低，阻值范圍寬(1Ω~10MΩ)，溫度系數(shù)不大且價(jià)格便宜，額定功率可達(dá)2W。它是電子電路中使用最廣泛的電阻。

(2)繞線電阻器的特點(diǎn):阻值精度高，噪聲小，穩(wěn)定性高，溫度系數(shù)低，但阻值小(0.1Ω~5MΩ),體積較大，固有電感及電容較大，因此，一般不能用于高頻電路。

(3)金屬膜電阻器的特點(diǎn):溫度系數(shù)低，并且很牢固，使用壽命長，它廣泛應(yīng)用于穩(wěn)定性和可靠性要求較高的電路中。

(4)金屬氧化膜電阻器的特點(diǎn):性能可靠，額定功率大(最大可達(dá)15kW)，但其阻值范圍較小(1Ω~200kΩ)。圖1.4-4矩形擴(kuò)散電阻

3.集成電阻集成電阻又稱擴(kuò)散電阻、薄層電阻。通過復(fù)雜的擴(kuò)散工藝在硅片上生成一定尺寸的薄層而制成的電阻，稱為擴(kuò)散電阻?？紤]最簡單的情況，圖1.4-4給出一塊擴(kuò)散有均勻材料的矩形擴(kuò)散電阻，由式(1.4-8)，可得其電阻值為(1.4-9)式中，ρ為材料的電阻率;L、W分別為矩形擴(kuò)散電阻的長度和寬度;x為矩形擴(kuò)散電阻的擴(kuò)散厚度。材料的電阻率和擴(kuò)散電阻的擴(kuò)散厚度由集成電路生產(chǎn)線工藝所決定，因此，生產(chǎn)線工藝一旦確定，則式(1.4-9)中的ρ/x為固定值，設(shè)計(jì)人員所能改變的就只有擴(kuò)散電阻的長度和寬度。為此，集成電路設(shè)計(jì)中將ρ/x定義為方塊電阻(也稱薄層電阻)，記為R□，單位為Ω□(歐姆每方)，即(1.4-10)式(1.4-9)用方塊電阻表示為(1.4-11)1.5電源1.5.1電壓源一個(gè)二端元件，如其端口電壓總能保持為給定的電壓us(t)，而與通過它的電流無關(guān)，則稱其為電壓源。圖1.5-1電壓源符號

電壓源的圖形符號如圖1.5-1(a)所示。如us(t)為恒定值，則稱其為直流電壓源或恒定電壓源，有時(shí)用圖1.5-1(b)所示的圖形符號表示，其中長的一端為“+”極，短的一端為“-”極。干電池兩端的電壓基本不隨負(fù)載的變化而變化,可看作電壓源。話筒是一種聲電傳感器,它將聲能轉(zhuǎn)換為電能。話筒兩端的電壓隨聲音的強(qiáng)弱變化,但基本上與其電流無關(guān),因此也可看作電壓源。將理想電壓源接上外部電路N,可觀測其端口的電壓u和電流i,如圖1.5-2(a)所示。電壓源具有如下特點(diǎn):

(1)無論通過它的電流為何值，電壓源的端口電壓u總保持u(t)=us(t)。如果us是直流電壓源Us(Us為常數(shù))，則電壓源端口電壓u與流過它的電流i的關(guān)系(即伏安特性)是一條位于u=Us且平行于電流軸的直線，如圖1.5-2(b)所示。如果uS是隨時(shí)間變化的,則平行于電流軸的直線也隨之改變其位置,如圖1.5-2(c)所示圖1.5-2電壓源的特性

(2)電壓源的電流由電壓源和與它相連的外電路共同決定。電壓源的端口電壓u與電流i可表示為(1.5-1)順便指出,電壓源的端電壓與電流常采用非關(guān)聯(lián)參考方向,如圖1.52(a)所示。此時(shí),電壓源發(fā)出的功率為p=uSi,它也是外電路N吸收的功率。如果電壓源的端口電壓uS恒等于零,則其伏安特性與電流軸相重合,該電壓源相當(dāng)于短路。1.5.2電流源一個(gè)二端元件，如其端口電流值總能保持為給定的電流is(t)，而與其端口電壓無關(guān)，則稱其為電流源。電流源的圖形符號如圖1.53所示。如iS(t)為恒定值,則稱為直流電流源或恒定電流源。太陽能電池是一種光電傳感器,它將光能轉(zhuǎn)換為電能。太陽能電池上的電流隨光的強(qiáng)弱而變化,但基本上與其兩端的電壓無關(guān),因此可看作電流源。圖1.5-3電流源符號將理想電流源接上外部電路N，可觀測其端口的電壓u和電流i，如圖1.5-4(a)所示。電流源具有如下特點(diǎn):

(1)無論其端口電壓u為何值，電流源的電流i總保持i(t)=is(t)。如果is是直流電流源Is(Is為常數(shù))，則電流源的伏安特性是一條位于i=Is且平行于電壓軸的直線，如圖1.5-4(b)所示。如果is是隨時(shí)間變化的，則平行于電壓軸的直線也隨之改變其位置，如圖1.5-4(c)所示。圖1.5-4電流源的特性

(2)電流源的端口電壓由電流源和與它相連的外電路共同決定。電流源的端口電壓u與電流i可表示為(1.5-2)電流源的端口電壓與電流也常采用非關(guān)聯(lián)參考方向,如圖1.5-4(a)所示。此時(shí),電流源發(fā)出的功率為p=uiS,它也是外電路N吸收的功率。如果電流源的電流iS恒等于零,則其伏安特性與電壓軸相重合,該電流源相當(dāng)于開路。獨(dú)立電源的特點(diǎn)是,電壓源的電壓uS和電流源的電流iS,都不受電路中其它因素的影響,是獨(dú)立的。它們作為電源或輸入信號,在電路中起著“激勵(lì)”作用,將在電路中產(chǎn)生電壓和電流,這些由激勵(lì)引起的電壓和電流就是“響應(yīng)”。

例1.5-1

如圖1.5-5所示的電路，求電壓源產(chǎn)生的功率和電流源產(chǎn)生的功率。

解由圖可見，根據(jù)電流源的定義，電流I=Is=1A,它也是通過電壓源的電流。由于Us與I為關(guān)聯(lián)參考方向，故電壓源吸收的功率圖1.5-5例1.5-1圖根據(jù)KVL，電流源的端口電壓

U=RI+Us=RIs+Us=5V由于Is與其端口電壓U為非關(guān)聯(lián)參考方向，故電流源產(chǎn)生的功率

PIs=UIs=5W電阻R消耗的功率：

從該例可看出,獨(dú)立源并不總是發(fā)出功率。充電中的可充電電池就是獨(dú)立源吸收功率的一個(gè)實(shí)例。對于一個(gè)完整的電路,電源發(fā)出的總功率為PUS+PIS=-2+5=3W,電阻吸收的功率為PR=3W。即發(fā)出功率與吸收功率互相平衡,這是能量守恒原理的體現(xiàn)。1.5.3電路中的參考點(diǎn)在電路分析中，常常指定電路中的某節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算或測量其它各節(jié)點(diǎn)對參考點(diǎn)的電位差，稱其為各節(jié)點(diǎn)的電位，或各節(jié)點(diǎn)的電壓。如圖1.5-6(a)所示的電路，若選節(jié)點(diǎn)d為參考點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)a、b、c的節(jié)點(diǎn)電位或節(jié)點(diǎn)電壓分別用Una、Unb、Unc表示;在不致混淆的情況下，也常用Ua、Ub、Uc表示，則

Una=Uad=US1

，Unb=Ubd=R3I3

Unc=Ucd=－US2

，Und=Udd=0

由此可見,參考點(diǎn)的電位為零。在電力工程中,常選大地為參考點(diǎn),即認(rèn)為大地的電位為零。在電子線路中,常規(guī)定一條公共導(dǎo)線作為參考點(diǎn),這條公共導(dǎo)線常是眾多元器件的匯集點(diǎn),常稱為地線。元件的一端若與地線相接,稱為接地,接地的符號如圖1.5-6(a)和(b)中的d處。需要強(qiáng)調(diào)指出,電路中某點(diǎn)的電位隨參考點(diǎn)選取位置的不同而改變,不指明參考點(diǎn)而談?wù)撃滁c(diǎn)的電位是沒有意義的;而電壓是兩點(diǎn)之間的電位差,與參考點(diǎn)的選取無關(guān)。在電子線路中,為了電路圖的簡練醒目,對于有一端接地(參考點(diǎn))的電壓源常不再畫出電源符號,而只在電源的非接地的一端處標(biāo)明電壓的數(shù)值和極性。按這種簡略畫法,圖1.5-6(a)的電路可畫為圖1.5-6(b)。圖1.5-6參考點(diǎn)

例1.5-2

如圖1.5-6(b)所示的電路，已知Us1=6V，Us2=3V，R1=2Ω，R2=6Ω,R3=6Ω，求節(jié)點(diǎn)b的節(jié)點(diǎn)電壓Ub。

解首先標(biāo)明各支路電流（或電壓）的參考方向。顯然有，Ua=US1=6V，Uc=－US2=－3V。由圖可見，ab間的電壓所以

bc間的電壓Ubc=Ubd

－Ucd=Ub

－Uc

=Ub

－(－3)=Ub+3所以

對于節(jié)點(diǎn)b，根據(jù)KCL有

I1=I2+I3圖1.5-7例1.5-4圖將I1、I2、I3代入上式，得

例1.5-4

如圖1.5-7所示的電路，,US=12V，N為某用電設(shè)備，今測得UN=6V，IN=1A，其參考方向如圖所示。(1)求未知電阻R;(2)電壓源和電流源產(chǎn)生的功率?？山獾肬b=3V。

解首先標(biāo)明有關(guān)電流I1、I2、I3的參考方向。

(1)為求得電阻R，需要求得Uc和I3。若以d為參考點(diǎn)，則

Ua=Us=12V，Ub=UN=6V所以根據(jù)KCL，對于節(jié)點(diǎn)b，有

I2=I1-IN=0.5A對于節(jié)點(diǎn)c，有

I3=I2+Is=1.5A

cd兩點(diǎn)間的電壓，即c點(diǎn)的電壓(以d為參考點(diǎn))

Uc=Ucd=Ucb+Ubd=-6I2+UN=3V

所以，電阻(Ucd與I3為關(guān)聯(lián)參考方向)

(2)為求得電壓源和電流源產(chǎn)生的功率，需求出電壓源的電流I和電流源的端電壓U，其參考方向如圖1.5-7所示，它們都是非關(guān)聯(lián)參考方向。根據(jù)KCL，電壓源的電流

I=I1+Is=1.5+1=2.5A所以，電壓源產(chǎn)生功率

PUs=UsI=12×2.5=30W

根據(jù)KVL，電流源的端電壓

U=Ucd+Uda=Uc-Ua=3-12=-9V所以，電流源產(chǎn)生的功率

PIs=UIs=(-9)×1=-9W實(shí)際上,電流源吸收功率為9W。1.5.4受控源非獨(dú)立電源是指電壓源的電壓或電流源的電流不是給定的時(shí)間函數(shù)，而是受電路中某支路電壓或電流控制的，因此常稱為受控源。根據(jù)控制量是電壓還是電流，受控的電源是電壓源還是電流源，受控源有四種基本形式，它們是:壓控電壓源(VCVS)、流控電壓源(CCVS)、壓控電流源(VCCS)和流控電流源(CCCS)。圖1.5-8是它們的電路符號，受控源的電源符號用菱形表示。獨(dú)立電源是一端口元件，只需一個(gè)方程就可以表征其特性。而受控源是二端口元件，其元件特性需用兩個(gè)方程來描述。其端口電壓、電流關(guān)系分別為(1.5-3)(1.5-5)(1.5-4)(1.5-6)式中μ,r,g,α是控制系數(shù),其中μ和α無量綱,r和g分別具有電阻和電導(dǎo)的量綱。當(dāng)這些系數(shù)為常數(shù)時(shí),被控電源數(shù)值與控制量成正比,這種受控源稱為線性非時(shí)變受控源。圖1.5-8受控源的四種形式受控源是一種有源元件。下面以VCVS為例討論受控源的有源性。將VCVS的控制關(guān)系代入式(1.2-7)，得由于uC、iS在電路中可能為正也可能為負(fù),上式不能確保對任意t均不小于零。因此,受控源是有源元件。需要指出,獨(dú)立源和受控源是兩個(gè)不同的物理概念。獨(dú)立源在電路中起著“激勵(lì)”作用,它是實(shí)際電路中電能量或電信號“源泉”的理想化模型;而受控源是描述電子器件中某支路對另一支路控制作用的理想化模型,它本身不直接起“激勵(lì)”作用。圖1.5-9例1.5-4圖

解圖1.5-9是含流控電壓源的電路。可以求得控制電流

i1=6/12=0.5A從而受控源的端電壓u2=4i1=2V。于是未知電流

ix=u2/5=0.4A

例1.5-4

如圖1.5-9所示的電路，求ix。

解如圖是含有壓控電流源的電路。可以求得控制電壓u1=4×1＝4V從而受控源的電流i2=0.5u1=2A。由于ux與i2為非關(guān)聯(lián)參考方向，所以

ux=-5i2=-10V

例1.5-5

如圖1.5-13所示的電路，求5Ω電阻兩端的電壓ux。圖1.5-10例1.5-5圖

例1.5-6

圖1.5-11所示是放大器的簡化模型。已知R1=2Ω，R2=15Ω，α=4，輸入電壓ui=2cost(V)，求輸出電壓uo。

解對于節(jié)點(diǎn)a，根據(jù)KCL，考慮到i2=αi1，有i3=i1+i2=(1+α)i1圖1.5-11例1.5-6圖輸入電壓

ui=R1i3=R1(1+α)i1

輸出電壓

uo=-R2i2=-R2αi1

所以即可見,輸入電壓被放大到6倍,但極性相反。1.6電路等效1.6.1電路等效的概念

對于結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)完全不同的兩部分電路B和C，如圖1.6-1所示。若B和C具有完全相同的端口電壓電流關(guān)系(VCR)，則稱B與C是端口等效的，或稱電路B和C互為等效電路。圖1.6-1具有相同端口VCR的兩部分電路相等效的兩部分電路B與C在電路中可以相互替換，替換前的電路與替換后的電路對任意外部電路A中的電壓、電流、功率是等效的，如圖1.6-2(a)、(b)所示。也就是說，用圖1.6-2(b)的電路求A中的電壓、電流、功率與用圖1.6-2(a)的電路求A中的電壓、電流、功率具有同等效果。習(xí)慣上將這種替換稱為電路的等效變換。圖1.6-2電路等效變換關(guān)于電路等效的概念,可重點(diǎn)歸納為以下三點(diǎn):(1)電路等效變換的條件是相互替換的兩部分電路B與C具有完全相同的VCR;(2)電路等效的對象是外部電路A(即電路未變化的部分)中的電壓、電流、功率;(3)電路等效的目的是簡化電路的分析和計(jì)算。1.6.2電阻的串聯(lián)和并聯(lián)等效

為了便于理解上述等效的概念，下面通過推導(dǎo)大家熟知的串聯(lián)電阻等效公式和并聯(lián)電阻等效公式來加以說明。圖1.6-3(a)是由n個(gè)電阻R1，R2，…，Rn串聯(lián)組成的一端口電路B。電阻串聯(lián)的基本特征是通過各電阻的電流是同一電流。圖1.6-3(b)是僅由一個(gè)電阻Req構(gòu)成的一端口電路C。對于B，根據(jù)KVL可得到它的端口VCR為

u=u1+u2+…+un=(R1+R2+…+Rn)i

(1.6-1a)對于電路C，其端口VCR為

u=Reqi

(1.6-1b)

如果

Req=R1+R2+…+Rn

(1.6-2a)則B和C的端口VCR完全相同，從而二者等效。在電路中，若用Req代替n個(gè)串聯(lián)電阻，則對其外部電路來說，它們起的作用是相同的。式(1.6-2a)就是大家熟知的串聯(lián)電阻等效公式。電阻Req稱為n個(gè)電阻串聯(lián)的等效電阻。圖1.6-3電阻的串聯(lián)電阻串聯(lián)時(shí)，各電阻的電壓(1.6-2b)圖1.6-4(a)是n個(gè)電導(dǎo)(電阻)相并聯(lián)組成的一端口電路。電導(dǎo)(電阻)并聯(lián)的基本特征是各電導(dǎo)(電阻)的端電壓是同一電壓。圖1.6-4(b)中的一端口電路僅含一個(gè)電導(dǎo)(電阻)。它們的端口VCR分別為(1.6-3b)i=i1+i2+…+in=（G1+G2+…+Gn

）u

(1.6-3a)

i=Gequ

如果

Geq=G1+G2+…+Gn

或(1.6-4a)圖1.6-4電阻的并聯(lián)電導(dǎo)并聯(lián)時(shí)，各電導(dǎo)上的電流(1.6-4b)最常遇到的是兩個(gè)電阻相并聯(lián)的情形，如圖1.6-5所示。其等效電阻最常遇到的是兩個(gè)電阻相并聯(lián)的情形，如圖1.6-5所示。其等效電阻(1.6-5a)為了簡便,常用符號“∥”表示兩個(gè)元件并聯(lián),上式可寫為

兩支路電流分別為

(1.6-5(b))兼有電阻串聯(lián)和并聯(lián)的電路稱為混聯(lián)電路。在混聯(lián)的情況下,應(yīng)根據(jù)電阻串聯(lián)、并聯(lián)的基本特征,仔細(xì)判別電阻間的連接方式。然后利用前面的串、并聯(lián)公式進(jìn)行化簡和計(jì)算圖1.6-5兩個(gè)電阻并聯(lián)圖1.6-6例1.6-1題圖

例1.6-1

如圖1.6-6所示的電路。

(1)求ab兩點(diǎn)間的電壓uab;

(2)若ab用理想導(dǎo)線短接，求流過該短路線上的電流iab。解

(1)由圖可見，R1與R2為串聯(lián)，R3與R4也為串聯(lián)。由分壓公式可求得所以，ab間的電壓

uab=uac+ucb=uac-ubc=2V(2)若ab短接，如圖1.6-7(a)所示。這時(shí)，R1與R3為并聯(lián)，R2與R4為并聯(lián)，并聯(lián)后的電路如圖1.6-7(b)所示。圖1.6-7例1.6-1解圖按圖1.6-7(a)，應(yīng)用分流公式得根據(jù)KCL，可求得ab間短路線上的電流iab=i1-i2=0.4A1.6.3電阻Y形電路與△形電路的等效變換

圖1.6-8(a)所示電路中,各個(gè)電阻之間既不是串聯(lián)也不是并聯(lián),顯然不能用電阻串并聯(lián)的方法求ab端的等效電阻。如果能將圖1.6-8(a)中虛線圍起來的B電路用圖1.6-8(b)中虛線圍起來的C電路等效替換,則從圖1.6-8(b)就可以用電阻串并聯(lián)的方法求ab端的等效電阻。下面討論B電路與C電路之間的等效變換條件。

圖1.6-8三角形和Y形電路等效圖1.6-9(a)中,電阻R1,R2,R3為Y形(或稱T形、星形)連接電路,圖1.6-9(b)中,電阻R12,R23,R31是△形(或稱π形、三角形)連接電路。圖1.69Y形和△形電路

Y形電路和△形電路都是通過三個(gè)端子與外部相連的，是兩種典型的三端電阻電路，也可看成是兩個(gè)具有公共端子的二端口電阻電路。為使兩者等效，要求兩者的端口VCR完全相同。對于圖1.6-9(a)、(b)中的三端電路,由KCL、KVL可知i3=i1+i2u12=u13-u23顯然,3個(gè)電流變量和3個(gè)電壓變量中各有2個(gè)是相互獨(dú)立的。首先求Y形電路的VCR,由圖1.6-9(a),根據(jù)KVL有u13=R1i1+R3(i1+i2)=(R1+R3)i1+R3i2u23=R2i2+R3(i1+i2)=R3i1+(R2+R3)i2(1.6-6)對于△形電路，由圖1.6-9(b)，根據(jù)KCL有聯(lián)立求解以上兩式得為使Y形電路與△形電路等效,式(1.6-6)與式(1.6-7)必須完全相同,故有(1.6-9)由式(1.6-8),可得出已知△形電路的電阻,計(jì)算其相應(yīng)等效的Y形電路中各電阻的公式為

(1.6-10)由式(1.6-9),可得出已知Y形電路的電阻,計(jì)算其等效的△形電路中各電阻的公式為若Y形電路的三個(gè)電阻相等，即R1=R2=R3=RY，則其等效△形電路的電阻也相等，即R12=R23=R31=R△。其關(guān)系為

R△=3RY

(1.6-11)

例1.6-2

如圖1.6-10(a)所示的電路，求ad端的等效電阻Req。

解對圖1.6-10(a)所示的電路，不能直接用電阻串、并聯(lián)的方法簡化。若用△-Y變換將比較方便。圖1.6-10例1.6-2圖

(1)可以將圖1.6-9(a)電路中節(jié)點(diǎn)a、b、c間的△形電路等效變換為Y形電路，如圖1.6-9(b)所示。若令等效Y形電路中接于節(jié)點(diǎn)a、b、c的電阻分別為Ra、Rb和Rc，則根據(jù)式(1.6-9)可得

它們已分別標(biāo)明在圖1.6-9(b)中。按圖1.6-9(b)，用電阻串、并聯(lián)的方法，不難求得ad端的等效電阻

(2)也可將圖1.6-9(a)電路中連接到節(jié)點(diǎn)ac、bc、dc的三個(gè)Y形連接的電阻等效變換為△形電路，如圖1.6-9(c)所示。按式(1.6-6)計(jì)算的各電阻值已標(biāo)明在圖1.6-9(c)中。按圖1.6-9(c)不難求得ad端的等效電阻Req=6Ω。1.6.4等效電阻前面已敘述了等效電阻的概念和一些計(jì)算方法,現(xiàn)在討論一般電路。如有一個(gè)不含獨(dú)立源的二端電阻電路N,如圖1.611所示。設(shè)其端口電壓u與電流i為關(guān)聯(lián)參考方向,則其端口等效電阻可定義為式(1.612)表明,二端電路N的端口VCR是只要設(shè)法求出電路N的端口VCR,或者測得端口電壓u和電流i,就可求得等效電阻Req圖1.6-11二端電路

例1.6-3

圖1.6-11(a)和(b)是只含受控源的一端口電路，若控制系數(shù)r>0，且已知，分別求圖(a)和(b)電路的等效電阻。圖1.6-12例1.6-3圖

解

(1)由圖1.6-12(a)可見，按設(shè)定的參考方向，一端口電路的端口電流i=i2=i1，端口電壓(考慮到u1=0)

u=u2+u1=u2=ri1故其等效電阻Req=u/i=r可見,圖(a)的二端電路等效為電阻r。

(2)由圖1.6-12(b)可見，二端口電路的端口電流i=i2=-i1，端口電壓(考慮到u1=0)

u=u2-u1=u2=ri1故其等效電阻Req=u/i=-r可見,圖(b)的二端電路等效為負(fù)電阻-r。圖1.6-13例1.6-4圖

例1.6-4

如圖1.6-13所示的一端口電路，求其等效電阻。

解按圖1.6-13，根據(jù)KCL，有

i2=i-αi1

由于i=i1，故i2=(1-α)i。對于u、R1、R2的回路，由KVL，有

u=R1i1+R2i2

=R1i+R2(1－

)i

=[R1+R2(1－)]i故得圖1.6-13電路的等效電阻由上式可見,若R1>0,R2>0,則當(dāng)α<(R1+R2)/R2時(shí),Req為正電阻,當(dāng)α>(R1+R2)/R2時(shí),Req為負(fù)電阻。1.7.1獨(dú)立源的串聯(lián)和并聯(lián)

電壓源和電流源的串聯(lián)和并聯(lián)有幾種不同的情況。為了簡明，這里都以兩個(gè)電源為例進(jìn)行說明，根據(jù)以下論述，讀者不難推廣到多個(gè)電源的情形。1.7含獨(dú)立源電路的等效

圖1.7-1是電壓源相串聯(lián)的情況。根據(jù)電壓源的定義和KVL，兩個(gè)電壓源us1和us2相串聯(lián)，可等效為一個(gè)電壓源us

。若參考極性規(guī)定如圖1.7-1(a)所示，則等效電源的電壓

us(t)=us1(t)+us2(t)

t(1.7-1a)若參考極性規(guī)定如圖1.7-1(b)所示，則等效電源的電壓

us(t)=us1(t)-us2(t)

t(1.7-1b)圖1.7-1電壓源的串聯(lián)按電壓源的定義，電壓源的電流可為任意值，而根據(jù)KCL，兩電源串聯(lián)時(shí)，二者的電流應(yīng)為同一電流，這個(gè)電流仍然可以是任意值。這樣，等效電壓源也符合電壓源的定義。圖1.7-2是兩個(gè)電流源相并聯(lián)的情形。根據(jù)電流源的定義和KCL，兩個(gè)電流源is1和is2相并聯(lián)可等效為一個(gè)電流源is。按參考方向規(guī)定的不同，圖1.7-2(a)和(b)的等效電流源的電流分別為(1.7-2a)iS(t)=iS1(t)+iS2(t)

iS(t)=iS1(t)－iS2(t)(1.7-2b)圖1.7-2電流源的并聯(lián)按電流源的定義,電流源的端電壓可為任意值,而根據(jù)KVL,兩電源并聯(lián)時(shí),二者的端電壓應(yīng)為同一電壓。這個(gè)電壓仍然可以是任意值。所以,等效電流源也符合電流源的定義。圖中雙向箭頭?表示二者互為等效,即兩個(gè)(或多個(gè))電源可等效為一個(gè)電源;反之,如果需要,一個(gè)電源也可分解為兩個(gè)(或多個(gè))電源。只有電壓值相等且極性一致的電壓源才允許并聯(lián)，否則違背KVL。其等效電路為其中的任一個(gè)電壓源，如圖1.7-3所示。只有電流值相等且方向一致的電流源才允許串聯(lián)，否則違背KCL。其等效電路為其中的任一個(gè)電流源，如圖1.7-4所示。圖1.7-3電壓源的并聯(lián)圖1.7-4電流源的串聯(lián)圖1.7-5電流源與電壓源或電阻串聯(lián)另外,由于電流源所在支路的電流有確定的值,并等于iS。因此,電流源iS與其它元件(電壓源或電阻等)相串聯(lián),總可等效為電流源,其電流為iS,如圖1.75所示。原電路中電流源端電壓u1可為任意值,因而等效后端口電壓u也可為任意值,這符合電流源的定義。需特別注意,端口電壓u不等于原電路中電流源的端電壓u1。根據(jù)電壓源的定義，電壓源兩端的電壓有確定的值，并等于us。因此，電壓源us與其它元件(電流源或電阻等)相并聯(lián)，總可等效為電壓源，其電壓為us，如圖1.7-6所示。原電路中電壓源電流i1可為任意值，因而端口電流i也可為任意值，這符合電壓源的定義。需特別注意，端口電流i不等于原電路中電壓源的電流i1。圖1.7-6電壓源與電流源或電阻并聯(lián)1.7.2實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換

圖1.7-7(a)所示是一個(gè)實(shí)際的直流電源(譬如電池)，外接一個(gè)可變電阻，測量出其端口的伏安特性如圖1.7-7(b)中的實(shí)線所示，可見其端電壓隨著輸出電流的增大而略有降低。在正常的工作范圍內(nèi)(其端口電流不超過額定值，否則會(huì)損壞電池)，其端口伏安特性可近似為一條直線，如圖1.7-7(b)中虛線所示。圖1.7-7實(shí)際電源及其伏安特性曲線如果將圖1.7-7(b)中的直線加以延長而作為實(shí)際電源的端口伏安特性，如圖1.7-7(c)所示，可以看出，其在電壓軸的截距為Us(i=0時(shí)的電壓，即開路電壓)，在電流軸的截距為Is(u=0時(shí)的電流，即短路電流)，則該直線的斜率為-Rs(Rs=Us/Is)，于是可寫出該直線方程為u=Us-Rsi

(1.7-3)根據(jù)KVL，可畫出上式的等效電路，如圖1.7-8(a)所示。式(1.7-3)表明，在一定條件下，一個(gè)實(shí)際電源可以用理想電壓源Us與線性電阻Rs相串聯(lián)的組合作為它的模型。圖1.7-8實(shí)際電源的等效電路模型及互換式(1.7-3)可改寫為i=US/RS-u(1/RS)

由于RS=US/IS,即US/RS=IS,上式可改寫為i=IS–u(1/RS)(1.7-4)根據(jù)KCL,可畫出上式的等效電路,如圖1.7-8(b)所示。式(1.7-4)表明,在一定條件下,一個(gè)實(shí)際電源可以用理想電流源IS與線性電阻RS的并聯(lián)組合作為它的模型。可見,一個(gè)實(shí)際電源可以有兩種不同結(jié)構(gòu)的電路模型。由以上討論還可以看出，由于式(1.7-3)和(1.7-4)是同一伏安特性的不同表示，因此圖1.7-8(a)的電路與圖(b)的電路的端口伏安特性完全相同，二者是互相等效的，其條件是Rs=Us/Is。也就是說，一電壓源Us與電阻Rs串聯(lián)的支路可以等效為一電流源Is與Rs相并聯(lián)的電路，反之亦然。它們之間的關(guān)系是(1.7-5)

例1.7-1

如圖1.7-9所示的電路，求電流I。

解:按電源模型互換的規(guī)則，將支路ab′、bc、b′c的電壓源與電阻串聯(lián)的組合等效為電流源與電阻并聯(lián)的組合，如圖1.7-10(a)所示。按電流源并聯(lián)和電阻并聯(lián)的規(guī)則，將圖1.7-10(a)變換為圖(b)。將圖1.710(b)中電流源與電阻并聯(lián)的組合等效變換為電壓源與電阻的串聯(lián)組合,如圖1.710(c)所示。這是一個(gè)單回路電路,不難求得電流I=(6-2)/(2+2+4)=0.5A圖1.7-9例1.7-1題圖圖1.7-10例1.7-1解圖由圖1.7-10(c)可求得

Uab=-2I+6=5V

Ubc=-2I-2=-3V返回原電路圖1.7-9，其有關(guān)部分重畫于圖1.7-11中。需要特別注意的是,在電路變換過程中,電路結(jié)構(gòu)將發(fā)生變化,因此,應(yīng)隨時(shí)留意電路中哪些部分(支路、節(jié)點(diǎn)……)已經(jīng)改變,哪些部分沒有發(fā)生變化。譬如,若想求圖1.79中的Ibb',顯然,從變換后的電路圖1.7-10(b)或(c)無法求得,不過,由圖1.7-10(c)可以求出電壓Uab和Ubc,再返回原電路圖1.7-9(或圖1.7-10(a))圖1.7-11例1.7-1部分重畫圖由圖1.7-11可求得對于節(jié)點(diǎn)b，根據(jù)KCL得

Ibb′=I1+I2-1=1.75A

例1.7-2

如圖1.7-12(a)所示的電路，求電流i1。

解將受控電流源與2