運籌學（第2版）課件 第六章 決策分析

第六章決策分析

在日常生產(chǎn)和管理過程中，常常遇到一類問題：決策者有多種可選的可行方案，將來發(fā)生事件的不確定因素很多，決策者在決策時如何基于多方面的因素分析確定最佳策略呢？

比如，一個全球性制造商需要確定一個新的工廠地址，需要考慮眾多的影響因素，有世界經(jīng)濟發(fā)展態(tài)勢、銷售區(qū)域的需求量、可用的自然資源和員工數(shù)量、原料成本、運輸成本、廠房所在地的人文和地理環(huán)境、制造與管理成本等，這類問題需要同時考慮多個因素、事件發(fā)生的狀態(tài)和概率等，往往難以通過線性規(guī)劃等最優(yōu)化方法來建模求解，本章通過幾種常用的決策模型介紹，指導決策者如何進行合理的決策。6.1基本概念及分類

決策存在于社會生活的各個領域，依賴于決策者個人或群體知識和才能的積累，諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者西蒙有一句名言“管理就是決策”，強調(diào)了決策是管理的核心。所謂決策，是指人們?yōu)閷崿F(xiàn)預定的目標，根據(jù)一定的條件，采用科學的方法和手段，從所有可供選擇的方案中找出最滿意的一個方案，進行實施，直至目標的實現(xiàn)。依據(jù)不同的標準，幾種常見的決策分類如下：（1）按決策目標的影響程度不同，可分為戰(zhàn)略決策、策略決策和執(zhí)行決策。戰(zhàn)略決策具有全局性、方向性和原則性特征，涉及與企業(yè)生存和發(fā)展有關的全局性、長遠性問題。如一個企業(yè)的廠址選擇、產(chǎn)品開發(fā)方向、原料供應地的選擇等；策略決策具有局部性、階段性特征，是以完成戰(zhàn)略決策所規(guī)定的目的而進行的決策。如企業(yè)生產(chǎn)工藝和設備的選擇、工藝路線的布置、產(chǎn)品規(guī)格的選擇等；執(zhí)行決策是根據(jù)策略決策的要求對執(zhí)行行為方案的選擇，如日常生產(chǎn)調(diào)度的決策，產(chǎn)品合格標準的選擇等。（2）根據(jù)決策問題的重復性程度不同，決策可分為程序性決策和非程序性決策。程序性決策又稱例行決策、常規(guī)決策，一般是為了解決那些經(jīng)常重復出現(xiàn)、性質非常相近的例行性問題，可按程序化的步驟和常規(guī)性的方法處理。非程序性決策通常處理的是那些偶然發(fā)生、無先例可循、非常規(guī)性的問題，決策者難以照章行事，需有一定創(chuàng)造性思維做出應變的決策。（3）根據(jù)決策目標的多寡，決策分為單目標與多目標決策。單目標決策是就單一問題所進行的決策，常常只考慮某個主要的或者關鍵的決策目標；多目標決策是解決多項問題所進行的相對復雜的決策，通常考慮多個主要目標或者因素。一般地，重大問題的決策涉及因素較多、內(nèi)容結構復雜、目標相對分散，這樣的決策稱為多屬性決策，最優(yōu)方案的確定過程比較困難。（4）根據(jù)自然狀態(tài)的可控程度，可將決策問題分為確定型、不確定型和風險型三種決策。確定型決策是指自然狀態(tài)完全確定，做出的選擇結果也是確定的，比如，通過線性規(guī)劃得到最優(yōu)的生產(chǎn)計劃等；風險型決策是指不能完全確定未來出現(xiàn)何種自然狀態(tài)，但可以預測各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率；不確定型決策是指不僅無法確定未來出現(xiàn)哪種自然狀態(tài)，而且也無法估計各種自然狀態(tài)的概率。（5）根據(jù)決策問題涉及決策人數(shù)的多少，又可將決策問題分為單決策者決策和群決策問題。隨著網(wǎng)絡技術的推廣應用、決策科學化和民主化的要求，群決策的應用日益廣泛。6.2不確定型決策方法

不確定型決策有幾個要素，即：備選方案、狀態(tài)和每個決策方案產(chǎn)生的后果或者收益。不確定型決策的目的就是從若干個備選方案中擇優(yōu)；狀態(tài)也稱為事件，可能是定性的，也可能是定量的，比如在確定某新廠的規(guī)模時，未來產(chǎn)品的需求量是不確定的，可以將其量化成價格的函數(shù)，也可以定性地劃分為高需求、中等需求和低需求等幾種情況；方案的收益是某一決策方案在某一狀態(tài)下的收益數(shù)值，一般可以定量地測算出來。

不確定型決策是指決策者面臨多種可能的自然狀態(tài)，但未來自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率不可預知，不同狀態(tài)下具有多種可選擇的決策方案。由于所面臨的是不確定狀況，無法確定何種狀態(tài)出現(xiàn)，決策者只能依據(jù)一定的決策準則來進行分析決策。常用的決策準則有：樂觀準則、悲觀準則、折衷準則、等可能性準則、后悔值準則等。6.2.1樂觀準則

樂觀準則又稱“最大最大”準則，是一種趨險型決策準則。決策者對未來持樂觀態(tài)度，即使面臨情況不明的決策情景，也決不放棄任何一個能取得好結果的機會。

決策者確定每個方案在最佳自然狀態(tài)下的收益值，選擇其中最大收益值對應的方案作為最優(yōu)方案。例6.1某沿海城市的一位空調(diào)經(jīng)銷商，在夏季來臨之前準備進貨，必須決定進貨的規(guī)模是大批量、中批量還是小批量。已知在不同天氣狀況下，三種進貨方案的損益值（單位：萬元）見表6-1，試問該空調(diào)經(jīng)銷商需采取何種進貨方案。表6-1解：找出每一個方案的最好結果大批量

max(10,6,-2)=10（萬元）,中批量max(7,8,4)=8（萬元）,小批量max(3,4,5)=5（萬元）。

從上面三個結果中選擇最好結果max(10,8,5)=10（萬元），即大批量進貨，根據(jù)樂觀準則，選擇大批量進貨為最優(yōu)決策方案。

在問題解決過程中，還有許多相關問題需要考慮，比如，大、中和小的數(shù)量究竟多少，各種批量進貨下在不同天氣狀態(tài)下的收益如何測算等，這些都需要根據(jù)具體問題具體分析。6.2.2悲觀準則

悲觀準則又稱“最大最小”準則，是一種避險型決策準則。決策者對未來持悲觀態(tài)度，認為未來將出現(xiàn)最差的自然狀態(tài)。在一些情況下，由于個人、企業(yè)或組織的財務能力有限，經(jīng)驗不足，承受不起巨額損失的風險，因此決策時非常謹慎。

首先，決策者確定每個方案在最差自然狀態(tài)下的收益值，然后選擇在最差自然狀態(tài)下帶來最多收益的方案。

例6.2

試用悲觀準則對例6.1的問題進行決策。解：找出每一個方案的最壞結果

大批量min(10,6,-2)=-2（萬元）

中批量min(7,8,4)=4（萬元）

小批量min(3,4,5)=3（萬元）

從上面三個結果中選擇最好結果max(-2,4,3)=4（萬元），是天氣不熱時中批量進貨的收益。根據(jù)悲觀準則，選擇中批量進貨為最優(yōu)方案。6.2.3折衷準則

在決策過程中，最好和最差的自然狀態(tài)都有可能出現(xiàn)，決策者對未來事物的判斷不能盲目樂觀，也不可盲目悲觀。因此，可以根據(jù)決策者的估計和判斷對最好的自然狀態(tài)設一個樂觀系數(shù)

，相應的最差的自然狀態(tài)就有一個悲觀系數(shù)

。這樣，

與

就分別表示最好與最差狀態(tài)下的權重，反映決策者的風險態(tài)度，或者對未來事物發(fā)展可能性的判斷。決策步驟是，以各方案的最好與最差收益值為變量，計算各自的期望值，選擇期望值最大者所對應的方案為最優(yōu)方案。例6.3

設定樂觀系數(shù)

=0.8，試用折衷準則對例6.1的問題進行決策。

解：以0.8與0.2分別作為各方案在最好與最差狀態(tài)下的權重，計算收益期望值，大批量進貨期望收益為10×0.8+(-2)×0.2=7.6（萬元）；中批量進貨期望收益8×0.8+4×0.2=7.2（萬元）；小批量進貨期望收益為5×0.8+3×0.2=4.6（萬元）。從三個期望收益值中選取最大值max(7.6,7.2,4.6)=7.6（萬元），對應方案是大批量進貨。所以，依據(jù)折衷準則，選擇大批量進貨為最優(yōu)方案。

顯而易見，樂觀系數(shù)的合理確定是這個準則的關鍵，一般可以從決策者的經(jīng)濟承受能力、未來狀態(tài)的預判、對風險的偏向等來確定。6.2.4等可能性準則

因無法確知各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率，可以認為它們有同等的可能性，每一個自然狀態(tài)發(fā)生概率數(shù)都是1/狀態(tài)數(shù)。在此基礎上，計算各個方案的期望收益值，然后進行比較。例6.4利用等可能性準則對例6.1的問題進行決策。解：題中有三種可能的自然狀態(tài)，依據(jù)等可能性準則，每種狀態(tài)出現(xiàn)的概率為1/3。計算每個方案的收益期望:大批量進貨預期收益10×1/3+6×1/3+（-2）×1/3=14/3（萬元）；中批量進貨預期收益為7×1/3+8×1/3+4×1/3=19/3（萬元）；小批量進貨期望收益3×1/3+4×1/3+5×1/3=4（萬元）。選擇三個期望收益中最大值，即19/3（萬元），對應的方案是中批量進貨。所以，根據(jù)等可能性準則，選擇中批量進貨為最優(yōu)方案。

這種策略的缺點是忽略了實際結果發(fā)生的可能性，也不適合一次性決策（與重復決策相比）。對于重復發(fā)生的決策，期望收益策略是可行的。比如，對某種新藥研制來說，70%的產(chǎn)品可能無法回收成本，但是1到2種藥品的收益可以輕易地抵消無法回收成本的損失。6.2.5

后悔值準則

由于自然狀態(tài)的不確定性，在決策實施后決策者很可能會覺得：如果采取了其他方案將會有更好的收益。由此決策者所造成的損失價值，稱為后悔值。根據(jù)后悔值準則，每個自然狀態(tài)下的最高收益值為理想值，該狀態(tài)下每個方案的收益值與理想值之差作為后悔值。決策者追求最小后悔值，決策步驟是，在各個方案中選擇最大后悔值，比較各個方案的最大后悔值，從中選擇最小者對應的方案為最優(yōu)決策方案。例6.5試用后悔值準則對例6.1的問題進行決策。解：找出各狀態(tài)下最大收益值，即理想值，三種狀態(tài)分別為10，8，5（萬元）。計算各狀態(tài)下每個方案的后悔值，各狀態(tài)理想值減去各狀態(tài)損益值，所得到后悔值為

各方案的最大后悔值分別為7，3，7（萬元）。找出三個方案的最大后悔值中的最小結果min（7，3，7）=3（萬元），對應于中批量進貨方案。所以，依據(jù)后悔值準則，中批量進貨方案為最優(yōu)方案。對于同一個決策問題，運用不同的決策準則，得到的最優(yōu)方案有所不同（請讀者分析差異結果的原因）。在不確定型決策中，決策準則的使用是因人、因時、因地而異的。在現(xiàn)實生活中，決策者面臨不確定型決策問題時，常常會試圖獲取有關信息，通過統(tǒng)計分析或主觀估計來得到各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率，使不確定型決策轉化為風險型決策。6.3風險型決策分析方法

所謂風險型決策，是指決策者在進行決策時，雖然無法確知未來將會出現(xiàn)何種自然狀態(tài)，但卻可以了解未來可能狀態(tài)的種類以及每種狀態(tài)出現(xiàn)的可能性概率。決策者無論采取哪一種方案，都要承擔一定的風險，因此稱這種決策為風險型決策。在風險型決策中，一般采用期望值作為決策依據(jù)，分析過程可采用決策樹方法。6.3.1最大收益期望值決策準則

最大收益期望值決策準則是指選擇收益期望值最大的方案作為決策方案，每個方案的收益期望值為所有狀態(tài)下的收益值與對應概率的乘積之和。即其中，

為方案

在第j個狀態(tài)下的收益值，

為第j個狀態(tài)出現(xiàn)的概率，選擇max對應的方案為最優(yōu)方案。例6.6

一企業(yè)為生產(chǎn)新產(chǎn)品需要建立新工廠，現(xiàn)有兩種基建方案：一是建大廠，需投資3000萬元；一是建小廠，需要投資1600萬元。據(jù)估計，兩種方案在未來幾年內(nèi)的獲利數(shù)見表6-2。問該采用哪種基建方案?表6-2解：計算各個方案的收益期望值:建大廠：(10000-3000)×0.7＋(-2000-3000)×0.3=3400(萬元)；建小廠：(4000-1600)×0.7＋(1000-1600)×0.3=1500(萬元)。選擇兩個期望值中較大者對應的方案為決策方案，即選擇建大廠的決策方案。6.3.2最小機會損失期望值決策準則

最小機會損失期望值決策準則，是指決策目標的指標為損失值時，選擇損失期望值最小的方案作為決策方案。損失值計算與前面提過的后悔值相似，為每個方案在各狀態(tài)下的收益值與該狀態(tài)下最好收益值的差。例6.7試用最小機會損失期望值決策準則對例6.6進行決策分析。解：各狀態(tài)下每個方案的損失期望值見表6-3。計算每個方案的損失期望值。建大廠：0×0.7＋4400×0.3=1320（萬元）建小廠：4600×0.7＋0×0.3=3220（萬元）。選擇損失期望值最小者對應的方案為決策方案，即應采用建大廠的基建方案。表6-36.3.3渴望水平?jīng)Q策方法例6.8一個零售商某季度以每件0.7萬元購進，每件1萬元賣出某產(chǎn)品，如果賣不出去，就要承擔完全的損失，情況見表6-4（單位：萬元），該零售商渴望每季度盈利60萬元，那么最優(yōu)行動是什么？解：從表6—4中可以看出，買進200件產(chǎn)品以上的方案才可能獲得盈利60萬元，各方案中，買進200，300，400，500件產(chǎn)品的獲利在60萬元及以上的可能性分別為0.94（=0.1+0.3+0.3+0.24），0.84（=0.3+0.3+0.24），0.54（=0.3+0.24），0.24（=0.24），由此，各方案中，買進200件獲利60萬元的可能性最大。表6-46.3.4決策樹分析方法

在解決復雜問題時，一種有效的方式是將其分解成一系列小問題。決策樹法是風險決策最常用的一種方法，它將決策問題按從屬關系分為幾個等級，用決策樹形象地表示出來。通過決策樹能統(tǒng)觀整個決策的過程，從而能對決策方案進行全面的計算、分析和比較。決策樹一般由四個部分組成：決策點：在圖中以方框表示，決策者必須在決策點處進行最優(yōu)方案的選擇。從決策點引出方案分支，在各方案分支上標明方案內(nèi)容及其期望損益值，各個方案之間的差別一目了然。狀態(tài)點：在圖中以圓圈表示，位于方案分支的末端。由狀態(tài)點引出狀態(tài)分支，在狀態(tài)分支上標明狀態(tài)內(nèi)容及其出現(xiàn)的概率。樹枝：即方案分支與狀態(tài)分支，每一樹枝代表一個方案或某方案的一個狀態(tài)。樹梢：在圖中以三角表示，是狀態(tài)分支的末梢，表示某方案在該狀態(tài)下的損益值。決策樹一般從左至右逐步畫出，標出原始數(shù)據(jù)后，再從右至左計算出各結點的期望損益值，并標在相應的結點上，進而對決策點上的各個方案進行比較，依據(jù)期望值決策準則做出最終決策。用決策樹法進行決策分析，可分為單階段決策和多階段決策兩類。（1）單階段決策所謂單階段決策，指的是在決策過程中，決策者只需進行一次方案選擇。例6.9某制造企業(yè)欲投資更新產(chǎn)線，目前有兩種方案可供選擇：一是引進全自動流水生產(chǎn)線，二是引進一條半自動流水生產(chǎn)線。兩種方案在不同的市場形勢下的獲利情況見表6-5。兩個方案對應的投資額分別為2000萬元、1500萬元，試決策：該采取哪種投資方案?表6-5解：繪出決策樹，如圖6.1所示，單位：萬元。決策結點在左邊，樹枝向右伸開，因為有兩個備選方案，方案枝有兩條；可能的自然狀態(tài)有三種，所以每個狀態(tài)結點后有三個狀態(tài)分支。計算各狀態(tài)點的收益值。狀態(tài)點1：5000×0.5＋2500×0.3＋1500×0.2=3550（萬元）。狀態(tài)點2：8000×0.5＋0×0.3＋（-2500）×0.2=3500（萬元）。計算各方案的收益期望值。方案A1：3550-2000=1550（萬元），方案A２：3500-1500=2000（萬元）。依據(jù)最大收益期望值準則，方案A２收益期望值較大，為最優(yōu)方案，也就是引進半自動流水生產(chǎn)線為最優(yōu)決策方案。圖6.1企業(yè)產(chǎn)線更新問題的決策樹（2）多階段決策

很多實際決策問題，需要決策者進行多次決策，這些決策按先后次序分為幾個階段，后階段的決策內(nèi)容依賴于前階段的決策結果及前一階段決策后所出現(xiàn)的狀態(tài)。在做前一次決策時，也必須考慮到后一階段的決策情況，這類問題稱之為多階段決策問題。例6.10某一化工原料廠，由于某項工藝不甚好，產(chǎn)品成本高。在價格中等水平時無利可圖，在價格低落時要虧本，只有在價格高時才贏利，且贏利也不多?，F(xiàn)企業(yè)考慮進行技術革新，取得新工藝的途徑有兩種，一是自行研究，成功的可能是0.6，二是購買專利，估計購買談判成功的可能性是0.8。不論是研究成功還是談判成功，生產(chǎn)規(guī)模有兩種考慮方案，一是產(chǎn)量不變，二是產(chǎn)量增加。若研究失敗或者談判失敗，則仍然采用原工藝進行生產(chǎn)，生產(chǎn)保持不變。根據(jù)市場預測，今后五年內(nèi)這兩種產(chǎn)品跌價的可能性是0.1，保持中等水平的可能性是0.5，漲價的可能性是0.4?，F(xiàn)在企業(yè)需要考慮：是否購買專利，是否自行研究。其決策表見表6-6（單位：萬元）。解：該問題的決策樹見下圖。表6-6各點益損期望值為：點4：點8：點9：

點10：點11：點7：在決策點5，去掉產(chǎn)量不變方案，9點的期望值移到5點，11點的期望值移到6點。點2：

點3：

由于點2的期望值大于點3，所以，企業(yè)應該購買專利；在成功時增加產(chǎn)量；失敗時按原來工藝生產(chǎn)。（3）貝葉斯分析方法

前文所提到的狀態(tài)概率，一般是指先驗概率分布。一般情況下給定準確的先驗概率分布是一件很困難的事情。在這種環(huán)境下決策，決策者的風險很大。對此，常?？梢酝ㄟ^一定的方式來減少環(huán)境的不確定性，提高狀態(tài)發(fā)生概率估計的準確性。比如，產(chǎn)品銷售若與天氣情況有關，單憑決策者經(jīng)驗估計天晴與否具有很大的不可靠性，而如果獲得了天氣預報信息，則對天氣情況的預測準確度會大大提高；再如，對產(chǎn)品市場銷售量的估計，也可以通過小批量預銷售來獲得未來產(chǎn)品的銷售量分布可能性。這種通過試驗獲得的概率一般稱為后驗概率，計算方法依據(jù)貝葉斯公式。例6.11

某海域天氣變化無常。該地區(qū)有一小型漁業(yè)公司，每天決定是否出海捕魚。若晴天出海，則可獲利150000元，若陰天則虧損50000元。根據(jù)氣象資料，當前季節(jié)該海域晴天的概率0.8，陰天概率為0.2。為更好地掌握天氣情況，公司成立了一個氣象站，對相關海域進行氣象預測。該氣象預測站的預報精度如下，若某天是晴天，則預報準確率為0.95；若某天是陰天，則預報的準確率為0.9。若某天氣象站預報為晴天，那是否應該出海；若預報是陰天，則是否應該出海？解：設

表示氣象站預報為晴、陰天兩種情況；

表示某天是晴天或陰天。氣象站的預報精度可以表示為：

。現(xiàn)在實際問題是需要求解

根據(jù)貝葉斯公式，容易得到：當預報為晴天時，出海捕魚的獲利期望

不出海的獲利為0。此時最優(yōu)方案為出海（見圖6.3-a）。當預報為陰天時，出海捕魚的獲利期望不出海的獲利為0。此時最優(yōu)方案為不出海（見圖6.3-b）。例6.12某工廠的產(chǎn)品每1000件裝成一箱出售。每箱中產(chǎn)品的次品率有0.01，0.40，0.90三種可能，其概率分別是0.2，0.6，0.2?，F(xiàn)在的問題是：出廠前是否要對產(chǎn)品進行嚴格檢驗，將次品挑出?？梢赃x擇的行動方案有兩個：（1）整箱檢驗，檢驗費為每箱100元；（2）整箱不檢驗，但如果顧客在使用中發(fā)現(xiàn)次品，每件次品除調(diào)換為合格品外還要賠償0.25元損失費。為了更好地做出決定，可以先從一箱中隨機抽取一件作為樣本檢驗。然后根據(jù)這件產(chǎn)品是否次品再決定該箱是否要檢驗，抽樣成本為4.20元。要決策的問題是：（1）是否抽檢?（2）如不抽檢，是否進行整箱檢驗?（3）如果抽檢，應如何根據(jù)抽檢結果決定行動?解：假設

為整箱檢驗；

為整箱不檢驗；

、

、

表示次品率分別為0.01，0.40，0.90的三種自然狀態(tài)；

表示抽取一件樣品的行動；

，

為抽樣是次品和合格品的兩個結果。由表6-7收益矩陣可得各行動方案后悔值矩陣，如表6-8。抽取一件樣品的抽樣分布如表6-9。表6-7表6-8表6-9繪制決策樹，如圖6-4所示。計算有關概率。A.抽樣各有關概率。B.求在X=0的情況下，出現(xiàn)各種不同自然情況的概率。利用貝葉斯公式，

。同理可求出，C.在X=1情況下，出現(xiàn)各種不同自然情況的概率計算各方案點和決策點的后悔期望值如下：點6：97.5×0.3426=33.4（元），點7：125×0.0346=4.325（元），點8：97.5×0.004739=0.4621（元），點9：125×0.4265=53.31（元），點10：97.5×0.2=19.5（元），點11：125×0.2=25（元）。決策結果是首先抽取1件產(chǎn)品作為樣品檢驗，如該件合格則整箱不檢驗。如是次品，則整箱檢驗。圖6-4產(chǎn)品抽檢的決策樹6.4多屬性決策方法

社會經(jīng)濟系統(tǒng)的決策問題，往往涉及多個不同屬性。一般來說，多屬性綜合評價有兩個顯著特點，第一，指標間不可公度性，即屬性之間沒有統(tǒng)一量綱，難以用同一標準進行度量。第二，某些指標之間存在一定的矛盾性，某一方案提高了某個指標值，卻可能降低另一指標值。因此，克服指標間不可公度的困難，協(xié)調(diào)指標間的矛盾性，是多屬性綜合評價要解決的主要問題。

設有m個備選方案

(1<i<m)，n個決策指標

(1<j<n)，m個方案n個指標構成的矩陣

稱為決策矩陣。

基于n個指標值，如何綜合考慮這些指標并選擇最優(yōu)方案？多屬性決策問題主要涉及兩個步驟，一，決策指標的標準化；二，基于標準化數(shù)據(jù)的方案擇優(yōu)方法。6.4.1決策指標的標準化

由于指標體系中指標不同的量綱，例如，產(chǎn)值的單位為萬元，產(chǎn)量的單位為萬噸，投資回收期的單位為年等，這給綜合評價帶來許多困難。將不同的量綱的指標通過適當?shù)淖儞Q，轉化為無量綱的標準化指標，稱為決策指標的標準化。決策指標根據(jù)指標變化方向，大致可以分為兩類，即效益型（正向）指標和成本型（逆向）指標。效益型指標具有越大越優(yōu)的性質，成本型指標具有越小越優(yōu)的性質。（1）向量歸一化法。在決策矩陣

中，令矩陣

稱為向量歸一標準化矩陣。Y的列向量的模等于1。經(jīng)過歸一化處理后，其指標值均滿足

，并且正、逆向指標的方向沒有發(fā)生變化，即正向指標歸一化變化后，仍是正向指標，逆向指標歸一化變換后，仍是逆向指標。

（2）線性比例變化法。在

，對正向指標

，取

則對于逆向指標

，取

，則

稱為線性比例標準化矩陣，經(jīng)過線性比例變換后，標準化指標滿足

，并且正、逆向指標均化為正向指標，最優(yōu)值為1，最劣值為0。

（3）極差變化法。對正向指標

，取

則

對于逆向指標

，取

，

，則

矩陣

稱為極差變換標準化矩陣。經(jīng)過極差變換之后，均有

，并且正、逆向指標均化為正向指標。（4）定性指標量化處理方法。在多屬性決策指標體系中，有些指標是定性指標，只能作為定性描述，例如“可靠性”、“靈敏度”、“員工素質”等。對定性指標作量化處理，常用的方法是將這些指標依問題性質劃分為若干級別，分別賦以不同的量值。一般可劃分為5個級別，具體分值見表6-10。表6-10例6.13某公司在國際市場上購買飛機，按6個決策指標對不同型號的飛機進行綜合評價，這6個指標是：最大速度

f1、最大范圍

f2、最大負載f3、價格f4、可靠性f5、靈敏度f6。

現(xiàn)在4種型號的飛機可供選擇，具體指標值見表6-11。寫出決策矩陣，并進行標準化處理。表6-11解：在決策指標中，

f1、f2、f3是正向指標，f4是逆向指標，f5、f6是定性指標。按照表6-10的分級量化值，將f5、f6作量化處理，得到?jīng)Q策矩陣根據(jù)不同的方法作標準化處理。向量歸一化法。標準化矩陣為極差變換法。標準化矩陣為線性比例變換法。標準化矩陣為6.4.2線性加權方法

線性加權法的思想是，根據(jù)實際情況，確定各決策指標的權重，再對決策矩陣進行標準化處理，求出個方案的指標綜合值，以此作為各可行方案排序的依據(jù)。應該注意的是，線性加權法對決策矩陣的標準化處理，應當使所有的指標正向化?；静襟E是：用適當?shù)姆椒ù_定各決策指標的權重，設權重向量為

，其中，

對

作標準化處理，標準化矩陣為

，標準化后的指標為正向指標。求出各決策方案的線性加權指標值

(6.6)以

為依據(jù)，選擇最大者為最優(yōu)方案，即

(6.7)6.4.3理想解方法

理想解法又稱為TOPSIS(TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution)法，這種方法通過構造多屬性問題的理想解和負理想解，并以靠近理想解和遠離理想解兩個基準作為評價各可行方案的依據(jù)。所謂理想解，是設想各指標屬性都達到最滿意的解；所謂負理想解，也是設想指標屬性都達到最不滿意的解。

例如，在二指標

的決策問題中，不妨設二指標均為效益型指標，指標值越大越優(yōu)。該問題有

m個可行方案

，各方案兩個指標記為

。記

則此問題的理想解

，負理想解為

。則方案對應到理想解和負理想解的距離分別為

方案與理想解、負理想解的相對貼近度定義為

。當

時，即方案為理想方案時，則

；當

時，即方案為負理想方案時，則

。當

時，即方案逼近理想解而遠離負理想解時，則

趨近于1。因此，相對貼近度

是理想解排序的判據(jù)。

設

，指標權重向量為

，理想解法基本步驟是：對決策矩陣作標準化處理，得到標準化矩陣；計算加權標準化矩陣；確定理想解和負理想解，計算各方案的相對貼近度。例6.14用理想解法對例6.13的購機問題進行決策。解：用向量歸一化方法求得標準矩陣（保留4位小數(shù)）；設指標權重為

，計算加權標準化矩陣，求得分別確定理想解和負理想解為:={0.1168，0.0659，0.0531，0.0414，0.1347，0.2012},={0.0841，0.0366，0.0455，0.0598，0.0577，0.1118}。各方案到理想解和負理想解的距離分別是=0.0545，=0.1197，=0.0580，=0.1009，=0.0983，=0.0439，=0.0920，=0.0458。各方案的相對貼近度為=0.643，=0.268，=0.613，=0.312，用理想解法各方案的排序結果是

。6.4.4層次分析法

層次分析法（簡稱AHP）是20世紀70年代由美國數(shù)學家T.L.Saaty提出的一種定量定性相結合的評價方法，該方法力求避開復雜的數(shù)學建模方法進行復雜問題的決策，其原理是將復雜的問題逐層分解為若干元素，組成一個相互關聯(lián)和具有隸屬關系的層次結構模型，對各元素進行判斷，以獲得各元素的重要性。運用AHP，大體上可按下面四個步驟進行：步驟1：分析系統(tǒng)中各因素間的關系，建立系統(tǒng)的遞階層次結構；步驟2：對同一層次各元素關于上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較，構造兩兩比較的判斷矩陣；步驟3：由判斷矩陣計算被比較元素對該準則的相對權重，并進行判斷矩陣一致性檢驗；步驟4：計算各層次對于系統(tǒng)的總排序權重，并進行排序。最后，得到各方案對于總目標的總排序。下面以例子說明四個步驟的實現(xiàn)過程。（1）遞階層次結構的建立

應用AHP分析決策問題時，首先要把問題條理化、層次化，構造出一個有層次的結構模型。在這個模型下，復雜問題被分解為元素的組成部分，這些元素又按其屬性及關系形成若干層次，上一層次的元素作為準則對下一層次的有關元素起支配作用。這些層次可以分為三類：1）最高層（目標層）：只有一個元素，一般是分析問題的預定目標或理想結果；2）中間層（準則層）：包括了為實現(xiàn)目標所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個層次組成，包括所需要考慮的準則、子準則；3）最底層（方案層）：包括了為實現(xiàn)目標可供選擇的各種措施、決策方案等。

遞階層次結構的層次數(shù)與問題的復雜程度及需要分析的詳盡程度有關，一般地，層次數(shù)不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個，這是因為支配的元素過多會給兩兩比較帶來困難。一個好的層次結構對于解決問題是極為重要的，如果在層次劃分和確定層次元素間的支配關系上舉棋不定，那么應該重新分析問題，弄清元素間相互關系，以確保建立一個合理的層次結構。遞階層次結構是AHP中最簡單也是最實用的層次結構形式。例6.15知識員工評價問題。知識員工是指具有創(chuàng)新能力，能幫助企業(yè)在千變?nèi)f化的市場環(huán)境中贏得優(yōu)勢。知識員工評價可從員工的知識儲備、研發(fā)創(chuàng)新能力、團隊合作能力和以往研發(fā)業(yè)績等方面考核。某企業(yè)擬基于上述四個方面，對3位擬引進的員工進行選擇評價?？傻玫皆搯栴}的評價指標體系結構圖6-5。圖6-5知識員工選擇評價指標體系（2）構造兩兩比較的判斷矩陣

在建立遞階層次結構以后，上下層元素間的隸屬關系就被確定了。下一步是要確定各層次元素的權重。對于大多數(shù)社會經(jīng)濟問題，特別是比較復雜的問題，元素的權重不容易直接獲得，這時就需要通過適當?shù)姆椒▽С鏊鼈兊臋嘀?，AHP利用決策者對方案兩兩比較給出判斷矩陣的方法導出權重。記準則層元素C所支配的下一層次的元素為U1，U2，…，Un。針對準則C，決策者比較兩個元素Ui和Uj那一個更重要，重要程度如何，并按表6-12定義的比例標度對重要性程度賦值，形成判斷矩陣

，其中，

就是元素Ui與Uj相對于準則C的重要性比例標度。表6-12

判斷矩陣A具有如下性質：1）

；2）

；3）

，稱為正互反判斷矩陣。根據(jù)判斷矩陣的互反性，對于一個n個元素構成的判斷矩陣只需給出其上（或下）三角的

個判斷數(shù)據(jù)即可。例6.15中，基于“知識儲備及基礎”指標，通過分析在這方面，員工A比員工B略好不足，員工A比員工C非常好有余，但是絕對好不足，認為員工B比員工C較好有余，非常好不足，則可以得到如下的判斷矩陣（下三角判斷矩陣的元素由互反性得到）：（3）權重向量和一致性指標

通過兩兩比較得到的判斷矩陣A不一定滿足判斷矩陣的互反性條件，從復雜決策問題判斷的本身來看，由于決策問題的復雜性，決策者判斷的邏輯性可能不一致。對此，AHP采用一個數(shù)量標準來衡量A的不一致程度。設

是n階判斷矩陣排序權重向量（可根據(jù)排序權重向量

來決定方案的優(yōu)劣），當A為一致性判斷矩陣時，有：

用

右乘上式，得到

，表明

為A的特征向量，且特征根為n。即對于一致的判斷矩陣，排序向量就是A的特征向量。如果A是一致的互反矩陣，則有以下性質：

。當A具有一致性時，

，將

對應的特征向量歸一化后，記為

，

稱為權重向量，它表示U1，U2，…，Un在C中的權重。如果判斷矩陣不具有一致性，則

，此時的特征向量就不能真實地反映U1，U2，…，Un在目標中所占比重。定義衡量不一致程度的數(shù)量指標，

。

對于具有一致性的正互反判斷矩陣來說，CI=0。由于客觀事物的復雜性和人們認識的多樣性，以及認識可能產(chǎn)生的片面性跟問題的因素多少、規(guī)模大小有關，僅依靠CI值作為A是否具有滿意一致性的標準是不夠的。為此，引進平均隨機一致性指標RI，對于n=1～11，平均隨機一致性指標RI的取值如表6-13。表6-13

定義CR為一致性比例，

，當

時，則稱判斷矩陣具有滿意的一致性，否則就不具有滿意一致性。例6.15中判斷矩陣A，可得到其最大特征值

（特征值計算方法可采用一定的軟件進行，如Matlab軟件中的[p,q]=eig(A)即可得到判斷矩陣A的特征值p和特征向量q），

，一致性比例

，表明該判斷矩陣的一致性可以接受。此外，可以得到

。設研發(fā)創(chuàng)新能力指標下構成判斷矩陣為:在團隊合作能力下三個員工構成的判斷矩陣為：在歷史研發(fā)業(yè)績下三個員工構成的判斷矩陣為：

在四個評價指標方面，哪個指標更為重要？可以采用同樣的比較方法得到四個評價指標的權重向量，設有判斷矩陣：基于上述指標下各方案的特征向量可總結為表6-14（設各判斷矩陣的一致性均可接受），四個評價指標的特征向量可以求得為

。

從表6-14上來看，在知識儲備及基礎方面，員工A最優(yōu)，員工B和C其次；在研發(fā)創(chuàng)新能力方面，員工C最優(yōu)，員工B和A其次；在團隊合作能力方面，員工C最優(yōu)，員工B和A其次；在歷史研發(fā)業(yè)績方面，員工B最優(yōu)，員工A和C其次。從上述四個指標綜合來看，哪個員工最優(yōu)？表6-14（4）AHP的總排序

計算同一層次所有因素對于最高層（總目標）相對重要性的排序權值，稱為層次總排序，這一過程是由高層次到低層次逐層進行的。最底層（方案層）得到的層次總排序，就是n個被評價方案的總排序。若上一層次A包含m個因素A1，A2，…，Am，其層次總排序權值分別為a1，a2，…，am，下一層次B包含n個因素B1，B2，…，Bn，它們對于因素Aj的層次單排序的權值分別為b1j，b2j，…，bnj（當Bk與Aj無關時，取bkj為0），此時B層次的總排序權值由表6—15給出。

如果B層次某些因素對于Aj的一致性指標為CIj，相應地平均隨機一致性指標為RIj，則B層次總排序一致性比例為

。AHP最終得到方案層各決策方案相對于總目標的權重，并給出這一組合權重所依據(jù)整個遞階層次結構所有判斷的總一致性指標，據(jù)此，決策者可以做出決策。

從層次分析法的應用過程來看，關鍵有兩點，一是指標體系結構的設計，另一是基于指標的判斷矩陣的構建，這兩個過程都必須依靠實際問題來分析，才能獲得較為合理的結果。表6-15案例分析1（供應商評價問題）

某鋼鐵股份有限公司是當前國內(nèi)現(xiàn)代化水平最高的特大型鋼鐵聯(lián)合企業(yè)之一，生產(chǎn)規(guī)模達到千萬噸級水平。軋輥是鋼鐵企業(yè)的關鍵生產(chǎn)備件，消耗量大、技術含量高、材質多、要求嚴、管理環(huán)節(jié)多，管理水平的高低直接影響產(chǎn)品的生產(chǎn)成本、質量以及生產(chǎn)組織的正常進行。單耗水平是衡量軋鋼廠生產(chǎn)成本中軋輥所占份額的指標，它是軋輥管理、采購、使用、維護等多因素的體現(xiàn)，反映了軋輥綜合管理水平的高低，國外軋鋼廠如韓國浦項制鐵等，軋輥單耗水平比國內(nèi)鋼鐵企業(yè)要低得多。軋輥單耗水平與國外先進軋鋼廠有一定差距，除目前新軋機多、事故率高外，一個重要的原因就是管理水平存在差異。因此，建立一套融軋輥狀態(tài)跟蹤、軋輥預算生成、現(xiàn)場管理及軋輥供應商評價為一體的軋輥管理信息系統(tǒng)勢在必行。

6.5案例分析

軋輥綜合評價需要考慮軋輥性價比、軋輥質量、JIT交貨水平和售后服務水平等多項指標，是一個較復雜的多屬性評價問題。指標中既包含有定量指標（如價格等），又包含有定性指標（如質量、售后服務水平），各個指標沒有統(tǒng)一的度量標準，因而難于進行比較，且指標間存在矛盾性，即如果采用一種方案去改進某一指標值，可能會使另一指標值受損，例如，質量和價格之間就往往存在矛盾性。

軋輥綜合評價模型是軋輥管理系統(tǒng)決策支持功能的主要模型之一。支持范圍包括2050mm熱軋、1580mm熱軋、2030mm冷軋、1420mm冷軋、1550mm冷軋、初軋、鋼管、高速線材在內(nèi)的八個軋機機組的近百個機架上軋輥的供應商綜合評價，涉及國內(nèi)外30多家供應商，100多種規(guī)格型號的軋輥，年采購成本超億元。作為鋼鐵企業(yè)的關鍵備件，軋輥采購成本高、消耗量大，其供貨源質量直接影響到鋼鐵企業(yè)的產(chǎn)品質量和生產(chǎn)的穩(wěn)定性，進而影響到產(chǎn)品在市場上的競爭力，因此，軋輥供應商選擇與評價具有重要意義

隨著供應鏈管理模式、質量管理和JIT思想的推廣，供應商評價問題得到了廣泛關注。鋼鐵生產(chǎn)過程的持續(xù)性、供應商的分散性、質量要求的嚴格性等特點，又使其供應商評價更為復雜。軋輥供應商評價需要綜合考慮軋輥質量、價格、供貨柔性、售后服務水平、異常處理能力等多種屬性，其中既有定量指標，又有定性指標。AHP具有處理定量和定性屬性的能力，應用簡單，容易被現(xiàn)場人員接受，適用于復雜的軋輥供應商評價問題，是軋輥供應商評價的合適方法。以國內(nèi)某大型鋼鐵企業(yè)軋輥供應商評價為例，提出基于層次分析法來研究軋輥供應商的評價問題。AHP應用的第一步是建立評價指標體系。構建一個科學、有效的評價指標體系，需要經(jīng)過指標初選、完善至最終使用等過程。軋輥作為鋼鐵企業(yè)的關鍵備件，其供應商評價指標有自身的特點。通過與現(xiàn)場專家的交流，并依據(jù)指標體系建立原則，本文建立軋輥綜合評價指標體系，如圖6-6所示。各指標解釋如下：（1）性價比：反映軋輥軋制性能的一個綜合指標，設某供應商軋輥價格為

，報廢時軋制總長度為

，考慮軋輥軋制產(chǎn)品的難度不盡相同，實際計算的軋制總長度

，

為校正系數(shù)（由現(xiàn)場專家給出），則該供應商軋輥的性價比定義為

。其數(shù)值越小，則軋輥綜合性能越好，反之，則越差。（2）質量：通過發(fā)生的事故和讓步接受的次數(shù)來度量。根據(jù)影響生產(chǎn)的程度，按事故的性質可分為一般事故、重大事故和其他事故。一般事故指沒有造成產(chǎn)線停機及重大經(jīng)濟損失的事故；重大事故指造成產(chǎn)線停機及重大經(jīng)濟損失的事故；其他事故是指雖然沒有造成產(chǎn)線停機，但卻嚴重影響產(chǎn)品質量，造成較大經(jīng)濟損失的事故；讓步接收指新輥在交貨時沒有完全達到合同要求的質量和技術標準，但仍然接收的軋輥。（3）交貨能力：通過供應商準時交貨能力、柔性交貨能力和訂貨提前期來評價。若交貨日期比合同規(guī)定日期提前，會產(chǎn)生附加庫存管理成本，可能造成庫存能力緊張，而拖期交貨又可能影響正常生產(chǎn)。柔性交貨體現(xiàn)供應商接受緊急訂貨的能力，是度量交貨能力的一個重要指標。提前期是在供需環(huán)節(jié)中采購商需要某種項目時，供應商提前準備該項目的時間長短，對企業(yè)采購策略有較大影響。（4）服務：通過供應商在軋輥使用期間用戶隨訪、技術交流、服務響應速度、質量異議處理能力來評價。圖6.6軋輥供應商評價指標體系

基于圖6-6所示的指標體系，說明應用AHP對軋輥供應商的評價過程。設四家供應商參評，用供應商1～4表示?；谀繕藢?，兩兩比較性價比、質量、交貨能力和服務水平四個指標，得到判斷矩陣，分析該判斷矩陣的一致性比例，其一致性比例滿足要求，求解得到權重0.532，0.198，0.143，0.128，說明性價比準則最為重要，原因是性價比直接影響軋輥的單耗水平，其余比較見表6-16，表明軋輥供應商4得分最高，其次為供應商1，供應商3，供應商2最差。因此，軋輥供應商4將被作為首選供應商。

從上述分析過程來看，層次分析法既充分利用了現(xiàn)場專家的經(jīng)驗，又擁有良好的數(shù)學性質，為復雜問題的解決提供了一種簡便易用的范式。表6-16

至此，可以選擇最為合適的軋輥供應商，問題得以解決。需要說明的是，利用層次分析法解決實際問題，需要計算判斷矩陣的特征值和特征向量，除了可以用Matlab等軟件外，還可以用Excel的Mdeterm函數(shù)。建議讀者進一步思考如下2個問題：

第一，軋輥供應商的指標體系、基于指標體系進行兩兩比較得到的判斷矩陣，是否是一成不變的？如果有多個部門參與決策，他們給出的判斷矩陣是否完全一致，如果不一致，如何處理？

第二，如果軋輥的需求量較大，或者為了規(guī)避風險盡可能在一家以上供應商采購軋輥，如何充分利用上述的評價結果呢？為了培育綜合評價結果暫時較差的供應商作為潛在供應商，基于評估指標的現(xiàn)況，培育提升方向又如何呢？分析：多余資金用于開發(fā)事業(yè)成功時可獲利6000萬元，如存入銀行可獲利3000萬元。設T1：咨詢公司意見可以投資；T2：咨詢公司意見不宜投資；E1：投資成功；E2：投資失敗。

由題意知P(T1)=0.78,P(T2)=0.22,P(E1)=0.96,P(E2)=0.04。根據(jù)貝葉斯公式可得，由P(E|T)=P(T,E)/P(T),P(T1,E1)=0.77,P(T1,E2)=0.01,P(T2,E1)=0.19,P(T2,E2)=0.03。故求得P(E1|T1)=0.987,P(E2|T1)=0.013；P(E1|T2)=0.865,P(E2|T2)=0.135。

決策樹分析過程可以借助Excel軟件進行，在網(wǎng)絡上搜索“Treeplan”宏，并加載后（圖6-7），即可使用。加載該宏后，在“工具”欄就出現(xiàn)了“DecsionTree”菜單。初次建立決策樹時，出現(xiàn)圖6-8。在應用Excel進行決策樹分析過程中，有幾個關鍵的步驟，即新增分支、插入決策節(jié)點，在選定了決策節(jié)點后按“CTRL+T”后，出現(xiàn)圖6-9。圖6-7Treeplan宏加載頁面圖6-8決策樹分析工具初始頁面如果需要改變節(jié)點的性質，比如將決策節(jié)點修改為狀態(tài)點，則選定節(jié)點后，出現(xiàn)圖6-10。圖6-9增加和插入分支圖6-10改變決策和狀態(tài)點在決策樹的分析過程中，有圖6-11的擇優(yōu)策略