江蘇省鹽城市東臺市東臺市第二教育聯(lián)盟2023-2024學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題（解析版）-A4

第頁東臺市第二教育聯(lián)盟2023-2024學年度第一學期十月份質(zhì)量檢測九年級數(shù)學試題（時間：120分鐘分值：120分）一、選擇題（每小題3分，共24分）1.2020年一2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設人均可支配收入的年平均增長率為x，下列方程正確的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【詳解】解：由題意得：．故選：A．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2.若一元二次方程有實數(shù)解，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】由于關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，且，據(jù)此列不等式求解即可．【詳解】解：由題意得，，且，解得，，且.故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程沒有實數(shù)根．3.如圖，在中，半徑互相垂直，點在劣弧上．若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互相垂直可得所對的圓心角為，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，半徑互相垂直，，所對的圓心角為，所對的圓周角，又，，故選D．【點睛】本題考查圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握：同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．4.如圖，都是的半徑，交于點D．若，則的長為（）．A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出根據(jù)勾股定理求出，進一步可求出的長．【詳解】解：∵∴點為的中點，∵∴，由勾股定理得，∴∴故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及圓的有關(guān)性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵5.如圖，切于點B，連接交于點C，交于點D，連接，若，則度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，連接，證明，，可得，從而可得．【詳解】解：如圖，連接，∵切于點B，∴，∵，，∴，∴，∴；故選C【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應用，三角形的內(nèi)角和定理的應用，掌握基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6.已知a，b，c為常數(shù)，點在第四象限，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況為（

）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法判定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點在第四象限得，可得，則方程的判別式，即可得．【詳解】解：∵點在第四象限，∴，∴，∴方程的判別式，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：B．【點睛】本題考查了點坐標的特征，根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．7.若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，然后即可確定兩個根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程兩根為，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握此關(guān)系是解題關(guān)鍵．8.如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C、D是半徑為1的上兩動點，且，P為弦CD的中點．當C、D兩點在圓上運動時，面積的最大值是（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點得出，確定，再由題意得出當?shù)难娱L線恰好垂直時，垂足為點E，此時即為三角形的最大高，連接，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴當時，，當時，，∴，∴，∴，∵的底邊為定值，∴使得底邊上的高最大時，面積最大，點P為的中點，當?shù)难娱L線恰好垂直時，垂足為點E，此時即為三角形的最大高，連接，∵，的半徑為1，∴∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】題目主要考查一次函數(shù)應用及勾股定理解三角形，垂徑定理的應用，理解題意，確定出高的最大值是解題關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）9.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式方程有實數(shù)根，可得關(guān)于k的一元一次不等式進行求解即可．【詳解】根據(jù)題意得，，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟記方程有兩個不相等的實數(shù)根，方程有兩個相等的實數(shù)根，方程沒有實數(shù)根，方程有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．10.已知一元二次方程的兩根為與，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，將分式通分，代入即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程，即，的兩根為與，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11.如圖，內(nèi)接于，圓的半徑為7，，則弦的長度為___________．【答案】【解析】【分析】連接，過點作于點，先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，，然后解直角三角形可得的長，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，，，，，，∵圓的半徑為7，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握圓周角定理和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．12.如圖，分別與相切于兩點，且．若點是上異于點的一點，則的大小為___________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，得出，然后根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，當點在優(yōu)弧上時，∵分別與相切于兩點∴，∵．∴∵，∴，當點在上時，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，故答案為：或．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，多邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．13.已知一元二次方程的兩個實數(shù)根為，若，則實數(shù)_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得出，代入已知等式，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個實數(shù)根為，∴∵，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14.如圖，是的半徑，是的弦，于點D，是的切線，交的延長線于點E．若，，則線段的長為______．

【答案】【解析】【分析】根據(jù)，得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即，根據(jù)，，得出為等腰直角三角形，即可得出．【詳解】解：∵，∴，．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切線，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，得出．15.如圖，與相切于點A，交于點B，點C在上，且．若，，則的長為______．【答案】【解析】【分析】連接，證明，設，則，再證明，列出比例式計算即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切于點A，∴；∵,∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，設，則，∴，解得，故的長為，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判斷和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，的半徑為，P為AB邊上一動點，過點P作的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為________．【答案】3【解析】【分析】連接OC和PC，利用切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，可得當CP最小時，PQ最小，此時CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【詳解】解：連接QC和PC，∵PQ和圓C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，∴當CP最小時，PQ最小，∵△ABC是等邊三角形，∴當CP⊥AB時，CP最小，此時CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP==，∵圓C的半徑CQ=，∴PQ==3，故答案為：3．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當PC⊥AB時，線段PQ最短是關(guān)鍵．三、解方程（每小題4分，共16分）17.（1）（2）（3）（4）【答案】（1），；（2），；（3），；（4），【解析】【分析】（1）用直接開平方法解方程即可；（2）用配方法解方程即可；（3）移項，然后用因式分解法解方程即可；（4）用因式分解法解方程即可.【詳解】解：（1），，解得：，；（2），，或，解得：，；（3），，，或，解得：，；（4），，或，解得：，【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵．四、作圖題（每小題4分，共8分）18.（1）如圖，請作出它的外接圓．（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）（2）過外一點P作圓的切線．（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析【解析】【分析】（1）分別作、的垂直平分線，兩線交于一點O，以點O為圓心，的長為半徑作圓即可；（2）連接，作的垂直平分線交于點M，以點M為圓心，的長為半徑畫弧，交于點Q，連接即可；【詳解】解：（1）如圖，即為所求；（2）如圖，直線即為所求；【點睛】本題考查基本作圖，切線的判定，三角形外接圓的性質(zhì)，圓周角定理的推論，掌握基本作圖——作垂直平分線，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五、解答題（共78分）19.如圖，都是的半徑，．（1）求證：；（2）若，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由圓周角定理得出，，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（2）過點作半徑于點，根據(jù)垂徑定理得出，證明，得出，在中根據(jù)勾股定理得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，求出即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，，．【小問2詳解】解：過點作半徑于點，則，，∴，，，，中，，在中，，，，即的半徑是．【點睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握圓周角定理．20.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的2倍，求a的值．【答案】（1）見解析（2）a的值為3【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程，根的判別式為△=，進行化簡即可證明；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的倍數(shù)關(guān)系，列方程，解方程可得答案．【小問1詳解】證明：，∵，∴該方程總有兩個實數(shù)根．【小問2詳解】解：設該方程的一個根為x1，則另外一個根為2x1，則，由①得，代入②可得：，解之得，，又因為該方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，所以．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在中，，點O在上，以為半徑的半圓O交于點D，交于點E，過點D作半圓O的切線，交于點F．（1）求證：；（2）若，，，求半圓O的半徑長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠BDF+∠ADO=90°，再結(jié)合∠ADO=∠OAD，推出∠BDF=∠B，即可；（2）過F作FG⊥BD于G，先利用三角函數(shù)求出BG=DG，再過點O作OH⊥AD于H，在△AOH中，求出AO即可.【詳解】解：（1）連接OD，∵DF和半圓相切，∴OD⊥DF，∴∠BDF+∠ADO=90°，∵∠ADO=∠OAD，∴∠OAD+∠BDF=90°，又∠C=90°，∴∠OAD+∠B=90°，∴∠BDF=∠B，∴BF=DF；（2）過F作FG⊥BD于G，則GF垂直平分BD，∵，∴BF=DF=2，∵，，∠C=90°，∴AB=，∴cos∠B==，∴，解得：BG==DG，∴AD=AB-BD=，過點O作OH⊥AD于H，∴AH=DH=AD=，∵cos∠BAC=，∴AO=，即半圓O的半徑長為.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．22.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點，過點作交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2），．【解析】【分析】（1）根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，（2）先由“直徑所對的圓周角是直角”，證是直角三角形，用勾股定理求出長，再通過三角形相似即可求解．【小問1詳解】連接∵為的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，為半徑，∴為的切線，【小問2詳解】∵為直徑，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：．【點睛】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．23.隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．（1）求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；（2）預計5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【答案】（1）這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為（2）5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人【解析】【分析】（1）設這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進行求解即可；（2）設5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬人，根據(jù)題意，列出不等式進行計算即可．【小問1詳解】解：設這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，由題意，得：，解得：（負值已舍掉）；答：這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為；【小問2詳解】設5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬人，由題意，得：，解得：；∴5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人．【點睛】本題考查一元二次方程和一元一次不等式的實際應用，找準等量關(guān)系，正確的列出方程和不等式，是解題的關(guān)鍵．24.如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈，并在邊上留一個寬的門（建在處，另用其他材料）．（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640的羊圈？（2）羊圈面積能達到嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．【答案】（1）當羊圈的長為，寬為或長為，寬為時，能圍成一個面積為的羊圈；（2）不能，理由見解析．【解析】【分析】（1）設矩形的邊，則邊，根據(jù)題意列出一