新教材高考數(shù)學(xué)全程一輪總復(fù)習(xí)第五章平面向量與復(fù)數(shù)第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)生用書

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．必備知識(shí)·夯實(shí)雙基知識(shí)梳理1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)__________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝____________．若e1，e2________，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝______，a－b＝________，λa＝________．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝________，|AB|＝________．3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?________．[常用結(jié)論](1)若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.(2)已知OA＝λOB＋μOC(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.(3)已知點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P坐標(biāo)為x1(4)已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則G(x1夯實(shí)雙基1.思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面向量的基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可以用這組基底唯一表示．()(2)若兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同．()(3)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成x1x22．(教材改編)已知a＝(3，6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，則b＝()A．(1，2)B．(－1，－2)C．(－1，2)D．(1，－2)3．(教材改編)下列向量組中，能作為它們所在平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底{a，b}的是()A．a(chǎn)＝(1，2)，b＝(0，0)B．a(chǎn)＝(1，－2)，b＝(3，5)C．a(chǎn)＝(3，2)，b＝(9，6)D．a(chǎn)＝(－34，14．(易錯(cuò))已知兩點(diǎn)A(－1，3)，B(3，0)，則與向量AB同向的單位向量是()A．(45，－35)B．(C．(34，－45)D．(5．(易錯(cuò))已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，0)，(0，1)，(2，1)，則其第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為________．關(guān)鍵能力·題型突破題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)[2023·河北滄州模擬]如圖所示，點(diǎn)E為△ABC的邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，則AF＝()A．38BAC．－78BA(2)[2023·河南商丘模擬]如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近B的四等分點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)F，若BF＝xAB＋yAC，則3x＋y＝()A．－1B．－3C．－12D．－題后師說(shuō)應(yīng)用平面向量基本定理的策略鞏固訓(xùn)練1(1)[2023·湖北武漢模擬]在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，則CF＝()A．12ADC．34AD(2)[2023·黑龍江鶴崗一中模擬]如圖所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，M為AD的中點(diǎn)，若AM＝λAB＋μBC，則λ＋μ的值為()A．53B．－C．12D．題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)．若AC＝λAM＋μBD，則λ＋μ的值為()A．43B．C．158(2)已知A(－3，4)與B(－1，2)，點(diǎn)P在直線AB上，且|AP|＝2|PB|，則點(diǎn)P坐標(biāo)為________．題后師說(shuō)(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，首先利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解．(2)向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來(lái)，引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算．鞏固訓(xùn)練2(1)[2023·廣東潮州期末]在∠A＝90°的等腰直角△ABC中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，BC＝λAF＋μCE，則λ＝()A．－23B．－32C．－(2)平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，2)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是________．題型三平面向量共線的坐標(biāo)表示例3(1)[2023·安徽巢湖一中模擬]已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，λ)，若(a＋3b)∥(2a－b)，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．－83B．C．43D．(2)[2023·江西九江期末]已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為()A．m＝12B．m≠C．m≠13D．m≠題后師說(shuō)平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略鞏固訓(xùn)練3(1)已知a＝(1，2＋sinx)，b＝(2，cosx)，c＝(－1，2)，若(a－b)∥c，則銳角x＝()A．15°B．30°C．45°D．60°(2)已知向量AB＝(7，6)，BC＝(－3，m)，AD＝(－1，2m)，若A，C，D三點(diǎn)共線，則m＝________．第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算必備知識(shí)·夯實(shí)雙基知識(shí)梳理1．不共線λ1e1＋λ2e2不共線2．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x3．x1y2－x2y1＝0夯實(shí)雙基1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：由a＋3b＝(3，6)＋3(x，y)＝0得x＝－1，y＝－2.故選B.答案：B3．解析：根據(jù)平面向量基底的定義知，兩個(gè)向量不共線即可作為基底．故選B.答案：B4．解析：因?yàn)閮牲c(diǎn)A(－1，3)，B(3，0)，所以AB＝(4，－3)，所以ABAB＝132+4所以與向量AB同向的單位向量為(45，－3故選A.答案：A5．解析：設(shè)A(1，0)，B(0，1)，C(2，1)，第四個(gè)頂點(diǎn)D(x，y)，由題意，該平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序不確定，討論如下：①若平行四邊形為ABCD，則AB＝DC.因?yàn)锳B＝(－1，1)，DC＝(2－x，1－y)，所以2-x=-11②若平行四邊形為ABDC，則AB＝CD.因?yàn)锳B＝(－1，1)，CD＝(x－2，y－1)，所以x解得x=1，y=2，③若平行四邊形為ACBD，則AC＝DB.因?yàn)锳C＝(1，1)，DB＝(－x，1－y)，所以-x=1，1-y=1答案：(3，0)或(1，2)或(－1，0)關(guān)鍵能力·題型突破例1解析：(1)AF＝AE+EF＝12＝12AC＝18(BC-BA故選C.(2)連結(jié)DE，由題意可知，BDBA＝BEBC＝所以DE∥AC，則DEAC＝BDBA＝所以DFFC＝DEAC＝14，所以BD＝－14AB，DC則DF＝15DC＝故BF＝BD+DF＝－14又BF＝xAB＋yAC，所以x＝－25，y＝15，則3x＋故選A.答案：(1)C(2)A鞏固訓(xùn)練1解析：(1)因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，所以CF＝CE+EF，而CE＝－12AD，EF＝12所以CF＝CE+EF＝－12故選D.(2)因?yàn)樵凇鰽BC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，所以在△ABD中，BD＝12AB又BC＝3，∴BD＝13BC∴AD＝AB+BD＝∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴AM＝12AD＝∵AM＝λAB＋μBC，∴λ＝12，μ＝1∴λ＋μ＝23故選D.答案：(1)D(2)D例2解析：(1)在正方形ABCD中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令|AB|＝2，則B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC＝(2，2)，AM＝(2，1)，BD＝(－2，2)，λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因AC＝λAM＋μBD，于是得2λ-2μ=2λ+2μ=2，解得λ＝43，所以λ＋μ的值為53故選B.(2)由點(diǎn)P在直線AB上，且|AP|＝2|PB|，可得AP＝2PB或AP＝－2PB，當(dāng)AP＝2PB時(shí)，設(shè)P(a，b)，有(a＋3，b－4)＝2(－1－a，2－b)，解得a＝－53，b＝8點(diǎn)P坐標(biāo)為(－53當(dāng)AP＝－2PB時(shí)，設(shè)P(m，n)，有(m＋3，n－4)＝－2(－1－m，2－n)，解得m＝1，n＝0，點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，0)．答案：(1)B(2)(－53鞏固訓(xùn)練2解析：(1)以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B(2，0)，C(0，2)，則F(1，1)，E(1，0)，則BC＝(－2，2)，λAF＋μCE＝λ(1，1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)，所以λ+μ=-2故選A.(2)設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則由題意可得BA＝CD，即(－1，－2)＝(x－3，y－2)，故-1=x-3故D的坐標(biāo)為(2，0)．答案：(1)A(2)(2，0)例3解析：(1)由題設(shè)，a＋3b＝(9，3λ＋2)，2a－b＝(－10，4－λ)，又(a＋3b)∥(2a－b)，則9×(4－λ)＝－10×(3λ＋2)，可得λ＝－83故選A.(2)若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即AB與AC不共線，∵OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，∴AB＝OB-OA＝(3，1)，AC＝OC-OA＝(2－∴3(1－m)－(2－m)≠0