中科大《結(jié)晶化學(xué)導(dǎo)論》第3章-唐凱斌2015

章晶體的微觀對稱性節(jié)十四種空間格子節(jié)晶體的微觀對稱元素節(jié)微觀對稱元素組合原理節(jié)等效點系2021/6/271

點陣周期重復(fù)單位可能的選取方式第一節(jié)十四種空間格子微觀晶體對稱性與宏觀晶體的根本區(qū)別是增加了平移對稱性，描述微觀對稱性首先是要表征平移對稱性，這可以通過選取合適的空間格子來反映。2021/6/272

點陣格子的對稱性（點陣點群）三斜格子：Ci/C單斜格子：C2h/L2PC正交格子：D2h/3L23PC四方格子：D4h/L44L25PC三方格子：D3d/L33L23PC六方格子：D6h/L66L27PC立方格子：Oh/3L44L36L29PC屬于某一晶系的晶體，其點陣格子具有該晶系全對稱類型的對稱性。2021/6/273

布拉威法則：1、劃分出來的平行六面體單位必須充分地反映晶體的固有對稱性。2、在不違背晶體固有對稱性的條件下，平行六面體單位的棱間直角數(shù)盡量多。3、在滿足條件1和2的前提下，平行六面體單位的體積應(yīng)為最小。2021/6/274

十四種空間格子1）三斜格子：P點陣點群：Ci晶格參數(shù)：abc,90o三斜I=三斜P三斜C=三斜P三斜F=三斜P顯然，三斜格子的選取方式并不是唯一的。2021/6/2752）單斜格子：P，C點陣點群：C2h

晶格參數(shù)：

abc,==90o,90o單斜B=單斜P單斜I=單斜C(A)單斜F=單斜C(A)單斜格子的選取方式也不是唯一的。2021/6/2763）正交格子：P，C，I，F(xiàn)點陣點群：D2h

晶格參數(shù)：

abc,===90o4）四方格子：P，I點陣點群：D4h

晶格參數(shù)：

a=bc,===90o四方C=四方P，四方F=四方IA或B面加心會破壞四次軸對稱性。5）立方格子：P，I，F(xiàn)點陣點群：Oh

晶格參數(shù)：

a=b=c,===90o單獨在某一面上加心會破壞四個三次軸對稱性。2021/6/2776）三方格子：R點陣點群：D3d

簡單格子參數(shù)：

a=b=c,==

90o

三方I=三方R(P)三方F=三方R(P)單獨在某個面加心會破壞三次軸對稱性。2021/6/2787）六方格子：P點陣點群：D6h

晶格參數(shù)：

a=bc,==90o,=120o

2021/6/279在平行六面體體心或底心位置加陣點會破壞六次軸對稱性。2021/6/2710在平行六面體面心位置加陣點會破壞六次軸對稱性。綠色點在c/2位置，藍(lán)色點在0或c位置。2021/6/2711在平行六面體底面加雙心，可以劃分出體積更小的簡單六方格子。2021/6/2712淡藍(lán)色點在2c/3位置。黃色點在c/3位置。在平行六面體內(nèi)加雙心，可以劃分出簡單三方格子。2021/6/2713六方格子與三方格子的關(guān)系六方平面點陣沿垂直于ab面的c方向平移得到空間點陣。六方平面點陣平移矢量為：t=2a/3+b/3+c/3,得到的空間點陣只有三次軸，為三方空間點陣。2021/6/2714為什么六方平面點陣平移可以得到三方空間點陣？2021/6/2715

三方點陣的簡單三方格子可以取成一個六方定向的雙體心復(fù)格子，該格子的c軸平行于三次軸，a，b軸在垂直于三次軸的點陣面上，它是一個三方三重復(fù)格子。同樣，六方點陣的六方格子可以取成一個三方定向的雙體心復(fù)格子，它是一個六方三重復(fù)格子。2021/6/2716三方晶系可以具有六方點陣Ni2HH(0,0,0)Ni(1/3,2/3,0.233)Ni(2/3,1/3,0.768)三方晶系六方點陣P格子三方點陣R格子2021/6/27171983年以前三方R格子三方hR格子需要強調(diào)的是，雖然六方定向的三方hR格子使用更方便，但實際工作和國際晶體學(xué)聯(lián)合會都沒有放棄三方定向的三方R格子的使用。2021/6/2718第二節(jié)晶體的微觀對稱元素

晶體的宏觀對稱性是晶體結(jié)構(gòu)微觀對稱性的反映。晶體的宏觀對稱元素在微觀對稱中也同樣存在。晶體結(jié)構(gòu)是由其結(jié)構(gòu)單位（晶胞）在三維空間上的無限排列，晶體的微觀對稱性還具有宏觀對稱不能出現(xiàn)的對稱元素—點陣（平移軸），平移和旋轉(zhuǎn)或反映的復(fù)合對稱操作，又產(chǎn)生新的對稱元素，螺旋軸和滑移面。它們是在微觀的無限空間中所特有的，稱為微觀對稱元素。微觀對稱性和宏觀對稱性的主要區(qū)別：1、宏觀對稱性對稱元素必須相交一點，微觀對稱性中對稱元素不須交于一點，可以在三維空間無限分布。2、宏觀對稱性中對稱元素只考慮方向，微觀對稱性中需要考慮對稱元素的相互位置關(guān)系。2021/6/2719

宏觀對稱性

微觀對稱性有限大小的晶體外形中的對稱性無限的晶體結(jié)構(gòu)中的對稱性分辨能力受到限制時所觀察到的實際存在的、本質(zhì)的對稱元素只考慮方向不僅考慮方向，還考慮對稱元素的相互位置關(guān)系對稱元素必須交于一點對稱元素不須交于一點，在三維空間無限分布對稱動作只有點動作包括點動作與空間動作晶體宏觀對稱性和微觀對稱性的比較2021/6/2720點陣（平移軸）：對應(yīng)的對稱操作為平移。點陣反映了晶體結(jié)構(gòu)的周期性，這種周期性也就是點陣的平移復(fù)原的特性。對于點陣，連接任意兩個陣點的位置矢量：R=ma+nb+pc，進(jìn)行平移可以使點陣復(fù)原，表現(xiàn)在晶體結(jié)構(gòu)上就是使在三維空間無限伸展的相同部分得以重復(fù)。R可以定義為晶體微觀結(jié)構(gòu)平移的方向矢量。十四種空間格子反映了晶體結(jié)構(gòu)中平移對稱的組合規(guī)律。任何一種點陣格子，都具有基本平移矢量a,b,c以及a+b,a+c,b+c,a+b+c等。對于復(fù)格子，則增加附加平移矢量:C格子：(a+b)/2,B格子：(a+c)/2,A格子：(b+c)/2I格子：(a+b+c)/2F格子：(a+b)/2,(a+c)/2,(b+c)/2在滿足布拉威法則的前提下，附加平移類型是格子類型的充要條件。2021/6/2721滑移面(glideplane)：晶體結(jié)構(gòu)沿著某一平面進(jìn)行反映，再平行于該平面平移一定距離，結(jié)構(gòu)中的每個質(zhì)點均與相同的質(zhì)點重復(fù)。相應(yīng)的對稱操作為反映和平移的復(fù)合操作。mmabmmG(b/2+c/2)G(a/2+c/2)mmG(b/2)G(a/2)立方P立方I立方F2021/6/2722NaCl結(jié)構(gòu)沿[001]方向的投影m=m?b在晶體的微觀對稱性中，反映操作等同于反映與點陣某個平移矢量的復(fù)合操作。

對于晶體結(jié)構(gòu)中的反映和平移復(fù)合操作，如平移分量為點陣平移矢量的分?jǐn)?shù)值，則進(jìn)行反映操作所依據(jù)的平面就是滑移面。m?b/2=b滑移面的平移分量：2021/6/2723對于滑移面，為使滑移面的平移分量不與點陣矛盾，經(jīng)過兩次滑移操作，其平移分量和應(yīng)屬于點陣的平移矢量。3、(a+b)/4,(a+c)/4,(b+c)/4,(a+b+c)/4–d滑移面，金剛石滑移面點陣格子的平移矢量都有a,b,c及

a+b,a+c,b+c,a+b+c,對應(yīng)的滑移面平移分量可以為：1、

a/2,b/2,c/2–a、b、c滑移面，統(tǒng)稱為軸向滑移面。2、(a+b)/2,(a+c)/2,(b+c)/2,(a+b+c)/2–n滑移面，對角線滑移面。復(fù)格子產(chǎn)生附加平移矢量：(a+b)/2,(a+c)/2,(b+c)/2,(a+b+c)/2，對應(yīng)滑移面的平移分量可以為：2021/6/27242021/6/2725金剛石結(jié)構(gòu)沿[001]方向的投影滑移面在宏觀尺度表現(xiàn)為反映面同一方向上滑移面等距離無窮分布2021/6/2726滑移面名稱符號方向平移分量對稱面m軸滑移a

[010]/[001]?ab

[100]/[001]?bc

[100]/[010]/[110]?c對角滑移n

[001];[010];[100]?(a+b);?(a+c);?(b+c)

[1-10]?(a+b+c)金剛石滑移d

[001];[010];[100]?(a

b);?(a

c);?(b

c)

[1-10]?(a+b

c)為什么垂直

[1-10]的n滑移面不考慮?(a+b)的平移分量？2021/6/27271994年以后增加的滑移面：e滑移面（doubleglideplane）一個滑移面同時具有兩個互相垂直的滑移分量，它只存在于復(fù)格子中。[100]方向[010]方向2021/6/2728螺旋軸(screwaxis)：晶體結(jié)構(gòu)圍繞一條直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，再沿著該直線方向平移一定距離，結(jié)構(gòu)中的每個質(zhì)點均與相同質(zhì)點重復(fù)。相應(yīng)的對稱操作為旋轉(zhuǎn)和平移的復(fù)合操作。abS(c/2)立方PS(c/2)立方F立方I2021/6/27294=4?c

在晶體的微觀對稱性中，旋轉(zhuǎn)操作等同于旋轉(zhuǎn)與點陣平移矢量的復(fù)合操作。

對于晶體結(jié)構(gòu)中的旋轉(zhuǎn)和平移復(fù)合操作，如平移分量為點陣平移矢量的分?jǐn)?shù)值。則進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作所依據(jù)的直線即為螺旋軸。4?c/2=42螺旋軸的平移分量：2021/6/2730NaCl結(jié)構(gòu)沿[001]方向的投影2021/6/27312021/6/2732與旋轉(zhuǎn)軸的軸次類似，螺旋軸的軸次n只能為1，2，3，4，6。為使螺旋軸作用結(jié)果與點陣一致，螺旋軸經(jīng)過n次作用后的平移分量和應(yīng)為點陣平移矢量的整數(shù)倍，即：nt=mT或t=mT/n其中：n為螺旋軸軸次，t為螺旋軸平移分量，T為晶體結(jié)構(gòu)的點陣平移矢量，m為小于n的正整數(shù)。對于取定的n，m取小于n的不同整數(shù)，可以得到不同的類型的螺旋軸，記為nm，表示平移分量為mT/n的n次螺旋軸。晶體結(jié)構(gòu)中允許存在的螺旋軸類型為：21,31,32,41,42,43,61,62,63,64,65。2021/6/2733

與旋轉(zhuǎn)軸不同，螺旋軸的旋轉(zhuǎn)方向的不同會導(dǎo)致不同的對稱結(jié)構(gòu)。如左旋41和右旋41螺旋軸得到的結(jié)構(gòu)是不一樣的，它們互成對映體。0(c)c/4c/23c/42021/6/2734左旋和右旋螺旋軸有以下關(guān)系：左旋螺旋軸nm=右旋螺旋軸nn-m0(c)c/4c/23c/4左旋41螺旋軸右旋43螺旋軸2021/6/27352021/6/27362021/6/27372021/6/2738金剛石結(jié)構(gòu)沿[001]方向的投影螺旋軸在宏觀尺度表現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸同一方向上螺旋軸等距離無窮分布2021/6/2739第三節(jié)微觀對稱元素組合原理

平行反映面（滑移面）的組合平移與正交反映面（滑移面）的組合平移與斜交反映面（滑移面）的組合旋轉(zhuǎn)軸（螺旋軸）與垂直平移的組合旋轉(zhuǎn)軸（螺旋軸）與斜交平移的組合2021/6/2740定理一：兩個互相平行反映面的連續(xù)操作相當(dāng)于一個平移對稱操作，其平移距離為反映面間距的二倍。m1

m2=T2021/6/2741推論：兩個平行滑移面的連續(xù)操作相當(dāng)于一個平移對稱操作，并且該平移對稱操作垂直于滑移面的分量也是一個平移對稱操作。a1

a2=m1a/2m2a/2=m1m2a=ta=T2021/6/2742NaCl結(jié)構(gòu)沿c方向的投影2021/6/2743定理二：平移T及垂直于平移的反映面的連續(xù)操作相當(dāng)于與該反映面相距T/2處的一個反映面的反映操作。m

?T=m

?m1?m2=I?m2=m22021/6/2744推論：平移T及垂直于平移的滑移面的連續(xù)操作相當(dāng)于與該反映面相距T/2處的一個滑移面的反映平移復(fù)合操作。a

?T=m?a/2?T

=m2?a/2=a22021/6/2745d

a

?a

=m

a?(b+c)/4?a

=ma/2?(b+c)/4=da/22021/6/2746定理三：平移T與反映面m斜交，如T在垂直于反映面的平移分量為t，平行于反映面的平移分量為g，則存在一平行于m的滑移面G，它與反映面相距t/2，滑移操作的平移分量為g。m

?T=m?t

?g=m1?g=G2021/6/2747NaCl結(jié)構(gòu)沿[001]方向的投影m

?(a+b)/2=m?a/2?b/2=ma/4?b/2=ba/42021/6/2748推論：平移T與滑移面G斜交，如滑移面的平移分量為g1,T在垂直于滑移面的平移分量為t，平行于滑移面G的平移分量為g2，則存在一平行于G的滑移面G’，它與滑移面G’相距t/2，滑移操作的平移分量為g1+g2。G?T=m?g1?t?g2=m1?g1?g2=G’2021/6/2749d

?(a+b)/2=m?(b+c)/4?(a+b)/2

=m?a/2?3b/4?

c/4=ma/4?(-b+c)/4=d’a/42021/6/2750定理四：基轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)軸A與垂直于它的平移T連續(xù)動作相當(dāng)于與A平行的旋轉(zhuǎn)軸B，其基轉(zhuǎn)角也為，旋轉(zhuǎn)方向與A相同，且B位置取決于和T。A

?T=m1?m2?m3?m4=(m2?m3)?m1?m4=I?B=BA

m2m3B

A’

m1m4六次軸與垂直平移組合結(jié)果B位置在AA′的垂直平分線上，與AA′相距2021/6/2751推論：基轉(zhuǎn)角為的螺旋軸A與垂直于它的平移T連續(xù)動作相當(dāng)于與A平行的螺旋軸B，其基轉(zhuǎn)角也為，旋轉(zhuǎn)方向和平移分量與A相同，且B位置取決于和T。42

?a=4?a?c/2=4(a+b)/2?c/2=422021/6/2752定理五：基轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)軸A與平移T斜交，如T垂直于A的平移分量為t，平行于A的平移分量為r，則存在一平行于A的螺旋軸B，它的基轉(zhuǎn)角也為，旋轉(zhuǎn)方向與A相同，平移分量為r，且B位置取決于和t。A?T=A?t?r=B’?r=B4?(a+c)/2=4?a/2?c/2=4(a+b)/4?c/2=422021/6/2753推論：基轉(zhuǎn)角為的螺旋軸A與平移T斜交，如A的平移分量為r1，T垂直于A的平移分量為t，平行于A的平移分量為r2，則存在一平行于A的螺旋軸B，它的基轉(zhuǎn)角也為，旋轉(zhuǎn)方向與A相同，平移分量為r1+r2，且B位置取決于和t。A?T=A’?r1?t?r2=A’?t?(r1?r2)=B’?(r1?r2)=B41

?(a+c)/2=4?c/4?a/2?c/2=4(a+b)/4?3c/4=432021/6/2754第四節(jié)空間群晶體的微觀對稱元素有以下七類：1、旋轉(zhuǎn)軸：1，2，3，4，62、反映面：m3、對稱中心：14、反軸：45、螺旋軸：21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，656、滑移面：a，b，c，n，d7、點陣（平移軸）這七類對稱元素的在空間的組合所表現(xiàn)出的對稱性的集合即為空間群，它反映了晶體微觀結(jié)構(gòu)的全部對稱性。2021/6/2755空間群與點群的關(guān)系及表示方法晶體外形所具有的宏觀對稱元素，在微觀晶體結(jié)構(gòu)中，加入平移成分，可以表現(xiàn)為不同的微觀對稱元素。如宏觀的反映面，在晶體微觀結(jié)構(gòu)中可以為反映面，也可以是不同的滑移面，或者是相互平行排列的反映面和滑移面；旋轉(zhuǎn)軸既可以表現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，也可以為螺旋軸。以點群為m3m的晶體為例：CsCl垂直于a方向為mNaCl垂直于a方向m，b，c，n共存金剛石垂直于a方向為d2021/6/2756CsCl結(jié)構(gòu)沿c方向投影2021/6/2757NaCl結(jié)構(gòu)沿c方向的投影2021/6/2758金剛石結(jié)構(gòu)沿c方向的投影2021/6/2759屬于同一點群的晶體，可以屬于不同的空間群。屬于同一宏觀點群的所有空間群，稱為與該點群同形的空間群?？臻g群的國際符號由兩部分構(gòu)成，第一個大寫字母表示點陣格子類型，第二部分標(biāo)明空間群的特征對稱元素，其定向和符號形式與點群相同，但增加了螺旋軸和滑移面。如果空間群的微觀對稱元素用相應(yīng)的宏觀對稱元素取代，則得到晶體的點群。2021/6/2760NaCl結(jié)構(gòu)沿c方向的投影及部分對稱元素空間群符號如果省略格子類型，只標(biāo)明三個方向的對稱元素，則NaCl結(jié)構(gòu)的對稱性可表示為：

或等。顯然作為表示同一結(jié)構(gòu)對稱性的這兩種符號都無法把微觀對稱性完全反映出來。NaCl結(jié)構(gòu)中4和42軸同時存在是由于F格子的平移對稱與旋轉(zhuǎn)軸或螺旋軸組合的結(jié)果：4?(a+c)/2=4?a/2?c/2=4(a+b)/4?c/2=42因此，空間群符號中加入格子類型，并結(jié)合三個方向的特征對稱元素，即可以反映晶體的全部對稱性。2021/6/2761NaCl結(jié)構(gòu)沿c方向的投影及部分對稱元素對稱元素選取的一般原則：1、反映面m--滑移面a，b，c，n，d2、旋轉(zhuǎn)軸--螺旋軸--反軸以NaCl結(jié)構(gòu)為例：a方向：有平行的4次軸、42次螺旋軸和垂直的反映面、b、c、n滑移面等。a+b+c方向：有平行的3次軸。a+b方向：有平行的2次軸和垂直的反映面等。其空間群符號為：F2021/6/2762空間群表示的一些特殊情況：I222=I21212,I2221=I212121，兩種空間群分別寫成I222和I212121。Pn3n=Pn3c,Pm3n=Pm3c,Pn3m

前兩個空間群表示為Pn3n和Pm3n，其中a+b方向的n的平移分量為(a+b+c)/2，而非(a+b)/2。

n滑移面的平移分量為(a+b+c)/2，則：

n

?a=m/(a+b)?(a+b+c)/2?a=m/(a+b)?(a+b+c)/2?(a+b)/2?(a-b)/2=m/(a+b)?(a-b)/2?c/2=m(a-b)/4?c/2=c(a-b)/4

n滑移面的平移分量為(a+b)/2，則：

n

?a=m/(a+b)?(a+b)/2?a=m/(a+b)?(a+b)/2?(a+b)/2?(a-b)/2=m/(a+b)?(a-b)/2=m(a-b)/4

故a+b方向的n滑移面只考慮前者，且該n滑移面與c滑移面同時存在。

2021/6/2763空間群推導(dǎo)的一般步驟：1、將點群（國際符號）各定向的對稱元素轉(zhuǎn)換為所有可能的微觀對稱元素。2、將微觀對稱元素組合得到相應(yīng)的空間群。3、通過對稱元素組合原理將相同空間群簡并，得到與該點群同形的空間群。2021/6/2764

空間群推導(dǎo)實例1、C4同形的空間群C4的國際符號為4，四方晶系，有P，I兩種格子，在微觀結(jié)構(gòu)中，4次軸可以為4，41，42，43次螺旋軸。與P,I格子組合得：P4,P41,P42,P43,I4,I41,I42,I43八種。P4P41P格子的平移矢量與四次（螺旋）軸垂直或平移，不產(chǎn)生新的四次螺旋軸，簡單格子的空間群不能合并。2021/6/2765I格子產(chǎn)生附加平移：(a+b+c)/2,它與螺旋軸斜交：42

?(a+b+c)/2=4?c/2?(a+b+c)/2=4?(a+b)/2?c=4?(a+b)/2=4(在a/2或b/2處）43

?(a+b+c)/2=4?3c/4?(a+b+c)/2=4?(a+b)/2?c/4=4?c/4=41(在a/2或b/2處）I4=I42，I41=I43，C4同形的空間群有P4,P41,P42,P43,I4,I41六種。I4I412021/6/2766黑色點的c方向坐標(biāo)為z，紅色點的c方向坐標(biāo)為z+1/2。2021/6/2767二、C2h同形的空間群C2h的國際符號為2/m，單斜晶系，有P，C兩種Bravais格子，在b方向上有2次軸及垂直于2次軸的反映面。在微觀晶體結(jié)構(gòu)中，反映面可以為m，a，c，n，旋轉(zhuǎn)軸可以為2，21。m=mb

a=mb

?a/2c=mb

?c/2n=mb

?(a+c)/221=2?b/2無論P，C格子都不存在附加平移(a+c)/2，因此不存在d滑移面。2021/6/2768對于P格子，a,c方向是任意的，如果存在a或n滑移面，可以把點陣格子的c方向取成a或n滑移面平移分量的方向，這樣P格子中滑移面的種類可以簡并為m，c兩種。P格子的空間群類型為：P2/m，P21/m，P2/c，P21/c2021/6/2769對于C格子，a,c方向不能互換，C格子產(chǎn)生了附加平移:(a+b)/2。它與螺旋軸或滑移面組合：21

?(a+b)/2=2?b/2?a/2?b/2=2?a/2=2a/4a

?(a+b)/2=mb

?a/2?(a+b)/2=mb

?b/2?a=mb

?b/2=mb/4n

?(a+b)/2=mb

?(a+c)/2?(a+b)/2=mb

?b/2?c/2?a

=mb/4?c/2=cb/4在C格子中，2和21次螺旋軸同時存在，m和a滑移面共存，c和n滑移面共存。故只需要考慮2次軸和m，c滑移面的組合。C格子有兩種空間群：C2/m，C2/c

C2h同形的空間群為P2/m，P21/m，P2/c，P21/c，C2/m，C2/c六種。2021/6/2770空間群對稱元素投影圖示：Cmc21abCmc21=ma

?(a+b)/2=ma

?a/2?b/2=ma/4?b/2=ba/4cb?(a+b)/2=mb?c/2?a/2?b/2=mb?b/2?(a+c)/2=mb/4?(a+c)/2=nb/4Cbc21=Cmn21=Cbn212021/6/2771立方Cu2O沿c方向投影六方Mg沿c方向投影O0Oc/2Cu3c/4Cuc/4c/20空間群：Pn3m空間群：P63/mmc2021/6/2772第五節(jié)等效點系

空間群所有的對稱元素聯(lián)系起來的一組點，稱為等效點系。對于給定的一個不處在非平移對稱元素(反映面、旋轉(zhuǎn)軸等)上的點，經(jīng)過空間群的全部對稱元素作用得到的一組點，稱為一般等效點系。如果給定的點處于特殊位置，將減少等效點的數(shù)目，得到的一組點稱為特殊等效點系。

簡單格子的空間群一般等效點系的點數(shù)目與它所屬點群的普形的等效晶面數(shù)相同。復(fù)格子的空間群一般等效點系的點數(shù)目等于它所屬點群的普形的等效晶面數(shù)與格子陣點數(shù)的乘積。

如C21/c的一般等效點系的數(shù)目為8，I42/ncm為32，Ia3為48，F(xiàn)d3c為192。2021/6/2773

等效點系的表示方法Pmm2Amm2ab2021/6/2774abPmm241(x,y,z),(x,-y,z),(-x,y,z),(-x,-y,z)2m(0,y,z),(0,-y,z)2m(x,0,z),(-x,0,z)2m(1/2,y,z),(1/2,-y,z)2m(x,1/2,z),(-x,1/2,z)1mm(1/2,1/2,z)1mm(0,1/2,z)1mm(1/2,0,z)1mm(0,0,z)2021/6/2775abAmm2(0,0,0),(0,1/2,1/2)+81(x,y,z),(x,-y,z),(-x,y,z),(-x,-y,z)4m(1/2,y,z),(1/2,-y,z)4m(0,y,z),(0,-y,z)4m(x,0,z),(-x,0,z)2mm(1/2,0,z)2mm(0,0,z