江蘇專(zhuān)版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2基本不等式分層作業(yè)新人教A版必修第一冊(cè)

2.2基本不等式A級(jí)必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.［探究點(diǎn)三］已知正實(shí)數(shù)，滿意，則的最小值為()A.1 B. C.2 D.42.［探究點(diǎn)三］已知,則當(dāng)取最大值時(shí),的值為()A. B. C. D.3.［探究點(diǎn)一］（多選題）若,且,則下列不等式恒成立的是()A. B. C. D.4.[探究點(diǎn)三·2024江西豐城期末]設(shè),,且,則的最小值是()A.1 B.2 C. D.5.[探究點(diǎn)一·2024安徽蕪湖期末]《幾何原本》其次卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法探討代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù),通過(guò)這一原理,許多代數(shù)的定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明,并稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形,點(diǎn)在半圓上,且,點(diǎn)在直徑上運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)作交半圓于點(diǎn).設(shè),,則由可以干脆證明的不等式為()A. B.C. D.6.［探究點(diǎn)三］已知，則的最小值為.7.［探究點(diǎn)四］已知正實(shí)數(shù),滿意,則的最大值為,的最大值為.8.［探究點(diǎn)三］設(shè),,且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.9.［探究點(diǎn)二］已知，，為正數(shù),求證：.10.[探究點(diǎn)四·2024北京石景山期末]下列是一道利用基本不等式求最值的習(xí)題:已知,,且,求的最小值.小明和小華兩名同學(xué)都奇妙地用了“”,但結(jié)果并不相同.小明的解法:因?yàn)?所以,而,.那么,則最小值為.小華的解法:因?yàn)?所以,而,則最小值為.（1）你認(rèn)為哪名同學(xué)的解法正確,哪名同學(xué)的解法有錯(cuò)誤？（2）請(qǐng)說(shuō)明你推斷的理由.B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練11.（多選題）下列四個(gè)說(shuō)法中,正確的是()A.,且,B.,使得C.若,,則D.若,,且,則的最大值為912.[2024重慶永川期末]已知,,若不等式恒成立,則的最大值為()A.9 B.12 C.16 D.1013.（多選題）對(duì)于,,下列不等式正確的是()A. B.C. D.14.已知當(dāng)時(shí)，代數(shù)式取得最小值,則()A. B.2 C.3 D.815.[2024山東滕州校級(jí)期末]十六世紀(jì)中葉,英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“”作為等號(hào)運(yùn)用,后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特首次運(yùn)用“”和“”符號(hào),并逐步被數(shù)學(xué)界接受,不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若,則的最小值為()A.6 B.4 C.3 D.216.已知，則與的大小關(guān)系是.17.已知不等式對(duì)隨意正實(shí)數(shù),恒成立，求正實(shí)數(shù)的最小值.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練若,,且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,則的最小值是.2.2基本不等式A級(jí)必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.D[解析]，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為4.2.B[解析],,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立.3.CD[解析]項(xiàng)：,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.,,錯(cuò)誤；項(xiàng)：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故項(xiàng)正確；項(xiàng)：,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,項(xiàng)正確.故選.4.A[解析]因?yàn)?,且,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.故選.5.D[解析]如圖，連接,.因?yàn)?,所以,.所以.由圓的性質(zhì)知,由三角形相像易得,所以,由可得,.故選.6.[解析],，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.7.2;3[解析]正實(shí)數(shù),滿意,則,當(dāng)且僅當(dāng)即,時(shí),等號(hào)成立,故的最大值為2.,當(dāng)且僅當(dāng),且,即,時(shí),等號(hào)成立,故的最大值為3.8.解因?yàn)?,所以原不等式可化為,所以.因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.所以,即的最小值為.9.證明左邊,,為正數(shù),（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.從而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.,即.10.（1）解小華的解法正確,小明的解法錯(cuò)誤.（2）在小明的解法中,,當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)；,當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí),那么取得最小值時(shí),,這與條件是相沖突的,所以小明的解法錯(cuò)誤.小華的解法中,,等號(hào)成立的條件為,即,再由已知條件,即可解得滿意條件的,的值,所以小華的解法正確.B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練11.BCD[解析]對(duì)于,當(dāng)時(shí)不成立；對(duì)于,當(dāng)時(shí)成立,正確；對(duì)于,若,,則,可化為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,正確；對(duì)于,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，,正確.故選.12.C[解析]由已知,,不等式恒成立,所以恒成立,令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立.所以,的最大值為16.故選.13.BCD[解析]當(dāng),時(shí),因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立,故不正確；明顯,,均正確.14.C[解析],由,得,,所以由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立.所以,,.15.A[解析],因?yàn)?所以,且,.所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為6.故選.16.[解析],,,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.17.解,,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.要使