浙江省麗水湖州衢州2024-2025學年高三數學上學期11月一模

頁共8頁數學參考答案一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案ABDBCCDC二、題號9101112答案ACDABDACAD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.14.15.16.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.(本題滿分10分)在數列中，，（）．（1）求數列的通項公式；（2）求滿意不等式（）成立的的最大值．解：（1）由條件得，2分所以數列是以為首項，公差的等差數列．故，4分即．5分（2）由（1）知，7分故9分所以，解得，結合得，的最大值是．10分18.(本題滿分12分)在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）求的值；（2）若的面積為，求周長的最小值．解：（1）由得，，2分因為，解得．3分所以．5分（2）由上可知，．由的面積為，得，故．7分所以，即．（等號成立當且僅當）9分又（等號成立當且僅當）所以．11分故周長（等號成立當且僅當）．因此周長的最小值為．12分（留意：等號成立條件僅需說明一次）B1（第19題圖）A1C1BCA19．(本題滿分12分)如圖，在三棱臺中，三棱錐的體積為，的面積為，B1（第19題圖）A1C1BCA（1）求點到平面的距離；（2）若，平面平面， 求二面角的余弦值．解：（1）設點到平面的距離為．因為，三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為.3分又由，得，解得.5分（2）由已知設,，則,，取的中點，連結，則，由平面平面知，故，又，從而平面.6分故，，取中點，則,四邊形是平行四邊形,,從而為正三角形，故，，又，得.8分作,則，在平面內，作，連結，則二面角的平面角為.10分在中，，故，.即所求二面角的余弦值為.12分法二：取的中點，連結，則，由平面平面知，故，又，從而平面.6分故，以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設,，則,，取中點，則,四邊形是平行四邊形,,從而為正三角形，故，，又，得，8分則，，，設面的法向量，由得，設面的法向量，由得，10分故,即所求二面角的余弦值為.12分20.(本題滿分12分)自主招生和強基安排是高校選拔錄用工作改革的重要環(huán)節(jié).自主招生是學生通過高校組織的筆試和面試之后，可以得到相應的降分政策.年月，教化部確定年起不再組織開展高校自主招生工作，而是在部分一流高校建設高校開展基礎學科招生改革試點（也稱強基安排）.下表是某高校從年起至年通過自主招生或強基安排在各個專業(yè)的招生人數：年份數學物理化學總計202447617202458518202469520202487621202498623請依據表格回答下列問題：（1）統(tǒng)計表明招生總數和年份間有較強的線性關系.記為年份與的差，為當年招生總人數，試用最小二乘法建立關于的線性回來方程，并以此預料年的招生總人數（結果四舍五入保留整數）；（2）在強基安排實施的首年，為了保證招生錄用結果的公允公正，該校招生辦對年強基安排錄用結果進行抽檢.此次抽檢從名學生中隨機選取位學生進行評審.記為抽到是數學專業(yè)學生的人數，求隨機變量的數學期望；（3）經六年畢業(yè)的占.現從到年間通過上述方式被該校錄用的學生中隨機抽取1名，若該生是數學專業(yè)的學生，求該生恰好在年畢業(yè)的概率.附：為回來方程，，．解（1）由題意，的取值集合為，的取值集合為，干脆依據公式求解：，代入，算得：，，因此回來方程為，當時，可得,因此預料2024年的招生總人數為人.5分（2）由已知，，，，，故.4分（3）因為2025年畢業(yè)，則入學年份可能為2024年，2024年，2024年；由條件概率公式可知，在小A被數學系錄用的條件下，其在第年入學的概率為：，故，，，由全概率公式：.3分，，，，（1）求雙曲線的標準方程；（2）若的面積為，求直線的方程.解（1）①若焦點在軸上，設雙曲線方程為（）.由題意得，解得，所以雙曲線的標準方程為.2分②若焦點在軸上，設雙曲線方程為（）.由題意得，此時無解.綜上所述雙曲線的標準方程為.4分（2）設直線方程為，，聯(lián)立得，故，6分又因為直線，取得，同理，8分由題意點到直線的距離是，所以，解得.又故，10分化簡可得，得或，易知，故，即直線方程為.12分方法二：故，又，得，故，由，得，，代入得或，易知，故，即直線方程為.22.(本題滿分12分)已知函數（）.（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若函數有兩個不同的零點，，則．解（1）由題意得，2得，2分所以當時，，當時，，因此在單調遞增，在單調遞減.4分（2）先證明，因為，6分所以當時，，在單調遞增，不滿意題意；故，可知在單調遞增.在單調遞減.又當時，；當時，，故，解得，且.8分設，則由于單調遞增，則，可證得.10分所以要證明，只要證明.設（），則，所以在單調遞減，則.因此有.12分方法二：先證明，因為，6分所以當時，，在單調遞增，不滿意題意；故，可知在單調遞增.在單調遞減.又當