2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章第04講隨機(jī)事件、頻率與概率(六大題型)(講義)(學(xué)生版+解析)

第04講隨機(jī)事件、頻率與概率目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：樣本空間和隨機(jī)事件 4知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算 5知識(shí)點(diǎn)3：概率與頻率 6題型一：隨機(jī)事件與樣本空間 7題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算 8題型三：頻率與概率 9題型四：生活中的概率 10題型五：互斥事件與對(duì)立事件 11題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率 1204真題練習(xí)·命題洞見(jiàn) 1305課本典例·高考素材 1406易錯(cuò)分析·答題模板 15易錯(cuò)點(diǎn)：混淆頻率和概率 15答題模板：互斥、對(duì)立事件的辨析 16

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）樣本空間和隨機(jī)事件（2）兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算（3）頻率與概率2024年上海卷第15題，4分2023年上海卷第5題，4分本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現(xiàn)．出題多會(huì)集中在隨機(jī)事件的關(guān)系以對(duì)應(yīng)的概率求解．整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的難度處于偏易．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．（2）理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算．

知識(shí)點(diǎn)1：樣本空間和隨機(jī)事件1、隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．2、樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱(chēng)樣本空間為有限樣本空間．3、隨機(jī)事件、確定事件（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱(chēng)為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱(chēng)為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱(chēng)為必然事件．（3）空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱(chēng)為為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．【診斷自測(cè)】下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象的是（

）A．某路口每星期發(fā)生交通事故1次B．冰水混合物的溫度是C．三角形的內(nèi)角和為D．一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊都命中7環(huán)知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算1、事件的關(guān)系與運(yùn)算①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時(shí)稱(chēng)事件包含事件（或者稱(chēng)事件包含于事件），記作或者．與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類(lèi)比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關(guān)系：一般地，若且，稱(chēng)事件與事件相等．與兩個(gè)集合的并集類(lèi)比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱(chēng)此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的并集類(lèi)比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱(chēng)此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的交集類(lèi)比，可用下圖表示：2、互斥事件與對(duì)立事件（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱(chēng)事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，…，彼此互斥．（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱(chēng)事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．【診斷自測(cè)】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為事件B，則（

）A．B．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5C．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3D．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或5知識(shí)點(diǎn)3：概率與頻率（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱(chēng)為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來(lái)估計(jì)概率．【診斷自測(cè)】在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員是否服用過(guò)興奮劑的時(shí)候，給出兩個(gè)問(wèn)題作答，無(wú)關(guān)緊要的問(wèn)題是：“你的身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問(wèn)題是：“你服用過(guò)興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問(wèn)題，否則回答第二個(gè)問(wèn)題．由于回答哪一個(gè)問(wèn)題只有被測(cè)試者自己知道，所以應(yīng)答者一般樂(lè)意如實(shí)地回答問(wèn)題．如我們把這種方法用于300個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員，得到80個(gè)“是”的回答，則這群人中服用過(guò)興奮劑的百分率大約為（

）A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%題型一：隨機(jī)事件與樣本空間【典例1-1】若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．事件是隨機(jī)事件 B．事件是必然事件C．事件是不可能事件 D．事件是隨機(jī)事件【典例1-2】在12件同類(lèi)產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是（

）A．3件都是正品 B．至少有2件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【方法技巧】確定樣本空間的方法（1）必須明確事件發(fā)生的條件．（2）根據(jù)題意，按一定的次序列出問(wèn)題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫(xiě)，要做到既不重復(fù)也不遺漏．【變式1-1】下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個(gè)頂點(diǎn)各畫(huà)一條高線，這三條高線交于一點(diǎn)；③實(shí)數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機(jī)事件的是（

）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④【變式1-2】下列說(shuō)法正確的是（

）A．“射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”是必然事件B．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1C．某種彩票中獎(jiǎng)的概率是，因此買(mǎi)100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)D．任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)和是2的倍數(shù)的概率是【變式1-3】“某點(diǎn)P到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為3”這一事件是A．隨機(jī)事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上都不對(duì)【變式1-4】籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.記錄剩下動(dòng)物的腳數(shù).則該試驗(yàn)的樣本空間.題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算【典例2-1】同時(shí)擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有()A． B． C． D．與之間沒(méi)有關(guān)系【典例2-2】對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．【方法技巧】事件的關(guān)系運(yùn)算策略（1）互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生．（2）進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．也可類(lèi)比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件．【變式2-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于兩個(gè)事件，則事件表示的含義是（

）A．A與B同時(shí)發(fā)生 B．A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生C．A與B至少一個(gè)發(fā)生 D．A與B不能同時(shí)發(fā)生【變式2-2】擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點(diǎn)數(shù)，若A表示事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，B表示事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則事件“點(diǎn)數(shù)為5”可以表示為（

）A． B． C． D．【變式2-3】從10個(gè)事件中任取一個(gè)事件，若這個(gè)事件是必然事件的概率為0.3，是不可能事件的概率為0.1，則這10個(gè)事件中具有隨機(jī)性的事件的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-4】如圖，甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設(shè)“甲元件故障”，“乙元件故障”，則表示該段電路沒(méi)有故障的事件為（

）A． B． C． D．【變式2-5】（2024·上海長(zhǎng)寧·一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)；設(shè)事件A為：至少一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；事件B為：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)；事件A的概率為，事件B的概率為；則是下列哪個(gè)事件的概率（

）A．兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù) B．至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)C．兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù) D．至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)題型三：頻率與概率【典例3-1】某人拋擲一枚硬幣80次，結(jié)果正面朝上有43次.設(shè)正面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的概率為．【典例3-2】（2024·高三·新疆阿克蘇·期末）“鍵盤(pán)俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤(pán)俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，若該地區(qū)有7600人，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤(pán)俠”持反對(duì)態(tài)度的有人．【方法技巧】（1）概率與頻率的關(guān)系（2）隨機(jī)事件概率的求法【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)口袋中放有個(gè)白球和個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學(xué)生分別從口袋中每次摸一個(gè)球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計(jì)概率，若從口袋中隨機(jī)摸1個(gè)球，則摸到紅球概率的估計(jì)值為．（小數(shù)點(diǎn)后保留一位小數(shù)）【變式3-2】下列說(shuō)法：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是0.51；③隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，即趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是；⑥隨機(jī)事件的頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率；其中正確的有.【變式3-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在對(duì)于一些敏感性問(wèn)題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的個(gè)黑球和個(gè)白球，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個(gè)球，若摸到黑球則需要如實(shí)回答問(wèn)題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問(wèn)題二：你是否在考試中做過(guò)弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問(wèn)題二“考試是否做過(guò)弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計(jì)概率）．【變式3-4】長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率約為．題型四：生活中的概率【典例4-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了人，已知非吸煙者占比，吸煙者中患肺癌的有人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的倍，則估計(jì)本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是．【典例4-2】（2024·北京朝陽(yáng)·一模）某購(gòu)物網(wǎng)站開(kāi)展一種商品的預(yù)約購(gòu)買(mǎi)，規(guī)定每個(gè)手機(jī)號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過(guò)搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購(gòu)買(mǎi)到該商品.規(guī)則如下：（?。u號(hào)的初始中簽率為；（ⅱ）當(dāng)中簽率不超過(guò)時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽率，每邀請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加.為了使中簽率超過(guò)，則至少需要邀請(qǐng)位好友參與到“好友助力”活動(dòng).【方法技巧】概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．【變式4-1】（2024·江蘇南京·三模）19世紀(jì)，美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率約為總數(shù)的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．根據(jù)本福特定律，在某項(xiàng)大量經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)（十進(jìn)制）中，以6開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為；若,，則k的值為．【變式4-2】為了了解學(xué)生遵守《中華人民共和國(guó)交通安全法》的情況，調(diào)查部門(mén)在某學(xué)校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查:向被調(diào)查者提出兩個(gè)問(wèn)題:（1）你的學(xué)號(hào)是奇數(shù)嗎?（2）在過(guò)路口的時(shí)候你是否闖過(guò)紅燈?要求被調(diào)查者背對(duì)調(diào)查人拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第（1）個(gè)問(wèn)題;否則就回答第（2）個(gè)問(wèn)題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問(wèn)題，只需要回答“是”或“不是”，因?yàn)橹挥斜徽{(diào)查本人知道回答了哪個(gè)問(wèn)題，所以都如實(shí)做了回答.如果被調(diào)查的600人(學(xué)號(hào)從1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估計(jì)在這600人中闖過(guò)紅燈的人數(shù)是.【變式4-3】（2024·廣西·二模）今年由于豬肉漲價(jià)太多，更多市民選擇購(gòu)買(mǎi)雞肉、鴨肉、魚(yú)肉等其它肉類(lèi).某天在市場(chǎng)中隨機(jī)抽出100名市民調(diào)查，其中不買(mǎi)豬肉的人有30位，買(mǎi)了肉的人有90位，買(mǎi)豬肉且買(mǎi)其它肉的人共30位，則這一天該市只買(mǎi)豬肉的人數(shù)與全市人數(shù)的比值的估計(jì)值為.題型五：互斥事件與對(duì)立事件【典例5-1】（2024·高三·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個(gè)白球；③兩球至少有一個(gè)白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【典例5-2】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)小于2”，“點(diǎn)數(shù)為3”．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．為對(duì)立事件 B．為互斥不對(duì)立事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件【方法技巧】1、準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，既有且僅有一個(gè)發(fā)生．2、判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．【變式5-1】現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則下列事件中互為對(duì)立事件的是（

）A．恰好兩件正品與恰好四件正品B．至少三件正品與全部正品C．至少一件正品與全部次品D．至少一件正品與至少一件次品【變式5-2】事件A與B獨(dú)立，、分別是A、B的對(duì)立事件，則下列命題中成立的是（

）A． B．C． D．【變式5-3】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件“出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與B的關(guān)系為（

）A．相互獨(dú)立事件 B．相互互斥事件C．即相互獨(dú)立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互獨(dú)立事件題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率【典例6-1】某人忘記了一位同學(xué)電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，但確定這個(gè)數(shù)字一定是奇數(shù)，隨意撥號(hào)，則撥號(hào)不超過(guò)兩次就撥對(duì)號(hào)碼的概率為（

）A． B． C． D．【典例6-2】某同學(xué)參加社團(tuán)面試，已知其第一次通過(guò)面試的概率為，第二次面試通過(guò)的概率為，若第一次未通過(guò)，仍可進(jìn)行第二次面試，若兩次均未通過(guò)，則面試失敗，否則視為面試通過(guò)，則該同學(xué)通過(guò)面試的概率為（

）A． B． C． D．【方法技巧】求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法（1）直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．（2）間接法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式，即運(yùn)用逆向思維（正難則反）．特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解就顯得較簡(jiǎn)便．【變式6-1】某商場(chǎng)在618大促銷(xiāo)活動(dòng)中，活動(dòng)規(guī)則是：滿168元可以參加促銷(xiāo)摸獎(jiǎng)活動(dòng)，甲和乙兩個(gè)箱子各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球．顧客首先擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1或2，顧客從甲箱子隨機(jī)摸出一個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸出紅球的顧客可以領(lǐng)取獎(jiǎng)品，問(wèn)顧客中獎(jiǎng)率為．【變式6-2】體育課上甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為.【變式6-3】某電視臺(tái)舉辦知識(shí)競(jìng)答闖關(guān)比賽，每位選手闖關(guān)時(shí)需要回答三個(gè)問(wèn)題.第一個(gè)問(wèn)題回答正確得10分，回答錯(cuò)誤得0分；第二個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，回答錯(cuò)誤得0分；第三個(gè)問(wèn)題回答正確得30分，回答錯(cuò)誤得分.規(guī)定：每位選手回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分不低于30分就算闖關(guān)成功.若某位選手回答前兩個(gè)問(wèn)題正確的概率都是，回答第三個(gè)問(wèn)題正確的概率是，且各問(wèn)題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，則該選手僅回答正確兩個(gè)問(wèn)題的概率是；該選手闖關(guān)成功的概率是.【變式6-4】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判，則前4局中乙恰好當(dāng)一次裁判的概率是．【變式6-5】設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（

）A． B． C． D．【變式6-6】（2024·高三·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）已知事件與事件是互斥事件，則（

）A． B．C． D．1．（2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨(dú)立C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨(dú)立2．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大3．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷））將一顆質(zhì)地均勻的骰子（各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)1次6點(diǎn)向上的概率是（

）．A． B． C． D．4．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（重慶卷））從5張100元，3張200元，2張300元的奧運(yùn)預(yù)賽門(mén)票中任取3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為（

）．A． B． C． D．3整除，求下列事件的概率；（1）這個(gè)數(shù)既能被2整除也能被3整除；（2）這個(gè)數(shù)能被2整除或能被3整除；（3）這個(gè)數(shù)既不能被2整除也不能被3整除.6．如圖是某班級(jí)50名學(xué)生訂閱數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)學(xué)習(xí)資料的情況，其中A表示訂閱數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，B表示訂閱語(yǔ)文學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，C表示訂閱英語(yǔ)學(xué)習(xí)資料的學(xué)生（1）從這個(gè)班任意選擇一名學(xué)生，用自然語(yǔ)言描述1，4，5，8各區(qū)域所代表的事件；（2）用A，B，C表示下列事件：①恰好訂閱一種學(xué)習(xí)資料；②沒(méi)有訂閱任何學(xué)習(xí)資料.7．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲3次，求下列事件的概率：（1）沒(méi)有出現(xiàn)6點(diǎn)；（2）至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)；（3）三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為9.易錯(cuò)點(diǎn)：混淆頻率和概率易錯(cuò)分析：（1）頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到事件的頻率可能不同。(2)概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān).【易錯(cuò)題1】眾所周知，長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有30%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)2h，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)2h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則該名學(xué)生近視的概率為（

）A． B． C． D．【易錯(cuò)題2】拋一枚硬幣的試驗(yàn)中，下列對(duì)“伯努利大數(shù)定律”的理解正確的是（

）A．大量的試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面的頻率為0.5.B．不管試驗(yàn)多少次，出現(xiàn)正面的概率始終為0.5C．試驗(yàn)次數(shù)增大，出現(xiàn)正面的經(jīng)驗(yàn)概率為0.5D．試驗(yàn)次數(shù)每增加一次，下一次出現(xiàn)正面的頻率一定比它前一次更接近于0.5答題模板：互斥、對(duì)立事件的辨析1、模板解決思路判斷互斥事件、對(duì)立事件時(shí)，首先要明確兩個(gè)事件包含的樣本點(diǎn)，再判斷兩個(gè)事件的交事件是否是空集，是空集則兩個(gè)事件是互斥事件；若這兩個(gè)互斥事件的并事件是樣本空間，則兩個(gè)事件是對(duì)立事件.注意事件對(duì)立的前提是互斥.2、模板解決步驟第一步：明確兩個(gè)事件包含的樣本點(diǎn)，判斷交事件是否為空集，并事件是否為樣本空間。第二步：得出結(jié)論.【經(jīng)典例題1】一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、黃色和綠色小球各2個(gè)，不放回地逐個(gè)取出2個(gè)小球，則與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有（

）A．2個(gè)小球恰有一個(gè)紅球 B．2個(gè)小球至多有1個(gè)紅球C．2個(gè)小球中沒(méi)有綠球 D．2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球【經(jīng)典例題2】某小組有名男生和名女生，從中任選名學(xué)生參加比賽，事件“至少有名男生”與事件“至少有名女生”（

）A．是對(duì)立事件 B．都是不可能事件C．是互斥事件但不是對(duì)立事件 D．不是互斥事件第04講隨機(jī)事件、頻率與概率目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：樣本空間和隨機(jī)事件 4知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算 5知識(shí)點(diǎn)3：概率與頻率 6題型一：隨機(jī)事件與樣本空間 7題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算 9題型三：頻率與概率 11題型四：生活中的概率 14題型五：互斥事件與對(duì)立事件 16題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率 1804真題練習(xí)·命題洞見(jiàn) 2205課本典例·高考素材 2406易錯(cuò)分析·答題模板 28易錯(cuò)點(diǎn)：混淆頻率和概率 28答題模板：互斥、對(duì)立事件的辨析 29

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）樣本空間和隨機(jī)事件（2）兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算（3）頻率與概率2024年上海卷第15題，4分2023年上海卷第5題，4分本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現(xiàn)．出題多會(huì)集中在隨機(jī)事件的關(guān)系以對(duì)應(yīng)的概率求解．整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的難度處于偏易．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．（2）理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算．

知識(shí)點(diǎn)1：樣本空間和隨機(jī)事件1、隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．2、樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱(chēng)樣本空間為有限樣本空間．3、隨機(jī)事件、確定事件（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱(chēng)為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱(chēng)為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱(chēng)為必然事件．（3）空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱(chēng)為為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．【診斷自測(cè)】下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象的是（

）A．某路口每星期發(fā)生交通事故1次B．冰水混合物的溫度是C．三角形的內(nèi)角和為D．一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊都命中7環(huán)【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：某路口每星期發(fā)生交通事故1次，這個(gè)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，為隨機(jī)現(xiàn)象，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：理想狀態(tài)下冰水混合物的溫度應(yīng)是，這個(gè)事件為不可能現(xiàn)象，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：三角形的內(nèi)角和為，這個(gè)事件為必然現(xiàn)象，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊都命中7環(huán)，這個(gè)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，為隨機(jī)現(xiàn)象，故D錯(cuò)誤；故選：C.知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算1、事件的關(guān)系與運(yùn)算①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時(shí)稱(chēng)事件包含事件（或者稱(chēng)事件包含于事件），記作或者．與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類(lèi)比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關(guān)系：一般地，若且，稱(chēng)事件與事件相等．與兩個(gè)集合的并集類(lèi)比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱(chēng)此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的并集類(lèi)比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱(chēng)此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的交集類(lèi)比，可用下圖表示：2、互斥事件與對(duì)立事件（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱(chēng)事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，…，彼此互斥．（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱(chēng)事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．【診斷自測(cè)】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為事件B，則（

）A．B．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5C．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3D．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或5【答案】B【解析】由題可知，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為事件，所以事件不等于事件，故A錯(cuò)誤；事件表示“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5”，故B正確，C錯(cuò)誤；事件表示“向上的點(diǎn)數(shù)是1”，故D錯(cuò)誤；故選：B.知識(shí)點(diǎn)3：概率與頻率（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱(chēng)為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來(lái)估計(jì)概率．【診斷自測(cè)】在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員是否服用過(guò)興奮劑的時(shí)候，給出兩個(gè)問(wèn)題作答，無(wú)關(guān)緊要的問(wèn)題是：“你的身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問(wèn)題是：“你服用過(guò)興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問(wèn)題，否則回答第二個(gè)問(wèn)題．由于回答哪一個(gè)問(wèn)題只有被測(cè)試者自己知道，所以應(yīng)答者一般樂(lè)意如實(shí)地回答問(wèn)題．如我們把這種方法用于300個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員，得到80個(gè)“是”的回答，則這群人中服用過(guò)興奮劑的百分率大約為（

）A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%【答案】B【解析】因?yàn)閽佊矌懦霈F(xiàn)正面朝上的概率為，大約有150人回答第一個(gè)問(wèn)題，又身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)是等可能的，在回答第一個(gè)問(wèn)題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，共有80個(gè)“是”的回答，故回答服用過(guò)興奮劑的人有5人，因此我們估計(jì)這群人中，服用過(guò)興奮劑的百分率大約為3.33%.故選：B題型一：隨機(jī)事件與樣本空間【典例1-1】若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．事件是隨機(jī)事件 B．事件是必然事件C．事件是不可能事件 D．事件是隨機(jī)事件【答案】D【解析】隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，則事件是隨機(jī)事件，故A正確；事件是必然事件，故B正確；事件是不可能事件，故C正確；事件是不可能事件，故D錯(cuò)誤.故選：D【典例1-2】在12件同類(lèi)產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是（

）A．3件都是正品 B．至少有2件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【答案】D【解析】因?yàn)?2件產(chǎn)品中，只有2件是次品，從中取3件，其中必定至少有1件是正品.故選：D【方法技巧】確定樣本空間的方法（1）必須明確事件發(fā)生的條件．（2）根據(jù)題意，按一定的次序列出問(wèn)題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫(xiě)，要做到既不重復(fù)也不遺漏．【變式1-1】下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個(gè)頂點(diǎn)各畫(huà)一條高線，這三條高線交于一點(diǎn)；③實(shí)數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機(jī)事件的是（

）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④【答案】A【解析】拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，①是隨機(jī)事件；三角形三條高線一定交于一點(diǎn)，②是必然事件；實(shí)數(shù)a，b都不為0，則，③是不可能事件；某地區(qū)明年7月的降雨量是一種預(yù)測(cè)，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機(jī)事件，所以在給定的4個(gè)事件中，①④是隨機(jī)事件.故選：A【變式1-2】下列說(shuō)法正確的是（

）A．“射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”是必然事件B．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1C．某種彩票中獎(jiǎng)的概率是，因此買(mǎi)100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)D．任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)和是2的倍數(shù)的概率是【答案】B【解析】對(duì)于A.“射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”是隨機(jī)事件，所以A錯(cuò)；對(duì)于B.事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1，所以B正確；對(duì)于C.某種彩票中獎(jiǎng)的概率是，因此買(mǎi)100張?jiān)摲N彩票不一定會(huì)中獎(jiǎng)，所以C錯(cuò)；對(duì)于D.任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，共有36種可能，其中能被2整除的可能是兩個(gè)數(shù)同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù)，共有18種可能，所以點(diǎn)數(shù)和是2的倍數(shù)的概率是，所以D錯(cuò)；故選：B【變式1-3】“某點(diǎn)P到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為3”這一事件是A．隨機(jī)事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上都不對(duì)【答案】B【解析】由于“某點(diǎn)P到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和必大于等于4”，故“某點(diǎn)P到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為3”這一事件是不可能事件．故選：B．【變式1-4】籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.記錄剩下動(dòng)物的腳數(shù).則該試驗(yàn)的樣本空間.【答案】【解析】由取動(dòng)物的次數(shù)來(lái)確定樣本點(diǎn)。解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余雞的只數(shù)最多4只，最少0只，所以剩余動(dòng)物的腳數(shù)可能是8，6，4，2，0.故答案為：題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算【典例2-1】同時(shí)擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有()A． B． C． D．與之間沒(méi)有關(guān)系【答案】C【解析】由同時(shí)拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以.故選：C.【典例2-2】對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】用表示試驗(yàn)的射擊情況，其中表示第1次射擊的情況，表示第2次射擊的情況，以1表示擊中，0表示沒(méi)中，則樣本空間.由題意得，，，，則，，且.即ABC都正確；又，..故D不正確.故選：D.【方法技巧】事件的關(guān)系運(yùn)算策略（1）互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生．（2）進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．也可類(lèi)比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件．【變式2-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于兩個(gè)事件，則事件表示的含義是（

）A．A與B同時(shí)發(fā)生 B．A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生C．A與B至少一個(gè)發(fā)生 D．A與B不能同時(shí)發(fā)生【答案】C【解析】由表示的是與中至少一個(gè)發(fā)生.故選：C.【變式2-2】擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點(diǎn)數(shù)，若A表示事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，B表示事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則事件“點(diǎn)數(shù)為5”可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】表示“點(diǎn)數(shù)為2”，表示“點(diǎn)數(shù)5”，表示“點(diǎn)數(shù)為3或2或1或4或6”，表示“點(diǎn)數(shù)為1或3或4或5或6”，故選：B【變式2-3】從10個(gè)事件中任取一個(gè)事件，若這個(gè)事件是必然事件的概率為0.3，是不可能事件的概率為0.1，則這10個(gè)事件中具有隨機(jī)性的事件的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】這10個(gè)事件中必然事件的個(gè)數(shù)為，不可能事件的個(gè)數(shù)為，所以具有隨機(jī)性的事件的個(gè)數(shù)為．故選：B【變式2-4】如圖，甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設(shè)“甲元件故障”，“乙元件故障”，則表示該段電路沒(méi)有故障的事件為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)，線路沒(méi)有故障，即甲、乙都沒(méi)有故障.即事件和同時(shí)發(fā)生，即事件發(fā)生.故選：C.【變式2-5】（2024·上海長(zhǎng)寧·一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)；設(shè)事件A為：至少一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；事件B為：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)；事件A的概率為，事件B的概率為；則是下列哪個(gè)事件的概率（

）A．兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù) B．至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)C．兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù) D．至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)【答案】D【解析】由題意，事件為：兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)，由概率指的是事件的對(duì)立事件的概率，則事件的對(duì)立事件為：至少有一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，或者至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù).故選：D.題型三：頻率與概率【典例3-1】某人拋擲一枚硬幣80次，結(jié)果正面朝上有43次.設(shè)正面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的概率為．【答案】/【解析】由題意可知事件A出現(xiàn)的頻率為，而概率是大量試驗(yàn)中，頻率趨于的一個(gè)穩(wěn)定值，由于硬幣正反面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，故事件A出現(xiàn)的概率為，故答案為：【典例3-2】（2024·高三·新疆阿克蘇·期末）“鍵盤(pán)俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤(pán)俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，若該地區(qū)有7600人，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤(pán)俠”持反對(duì)態(tài)度的有人．【答案】【解析】由題意，在隨機(jī)抽取的50人中，持反對(duì)態(tài)度的有36人，故可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤(pán)俠”持反對(duì)態(tài)度的約有.故答案為：.【方法技巧】（1）概率與頻率的關(guān)系（2）隨機(jī)事件概率的求法【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)口袋中放有個(gè)白球和個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學(xué)生分別從口袋中每次摸一個(gè)球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計(jì)概率，若從口袋中隨機(jī)摸1個(gè)球，則摸到紅球概率的估計(jì)值為．（小數(shù)點(diǎn)后保留一位小數(shù)）【答案】0.7【解析】由題意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，摸到紅球的次數(shù)共348次，所以摸到紅球概率的估計(jì)值為.故答案為：0.7【變式3-2】下列說(shuō)法：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是0.51；③隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，即趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是；⑥隨機(jī)事件的頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率；其中正確的有.【答案】③⑤【解析】概率指的是無(wú)窮次試驗(yàn)中，出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個(gè)固定的值的附近波動(dòng)，這個(gè)固定的值就是概率.①通過(guò)概率定義可以分析出，出現(xiàn)的事件是在一個(gè)固定值波動(dòng)，并不是一個(gè)確定的值，則本題中從該批產(chǎn)品中任取200件，應(yīng)該是10件次品左右，不一定出現(xiàn)10件次品，錯(cuò)誤；②100次拋硬幣的試驗(yàn)并不是無(wú)窮多次試驗(yàn)，出現(xiàn)的頻率也不是概率，事實(shí)上硬幣只有兩個(gè)面，每個(gè)面出現(xiàn)的概率是相等的，所以因此出現(xiàn)正面的概率是0.5，錯(cuò)誤；③隨機(jī)事件的概率是通過(guò)多次試驗(yàn)，算出頻率后來(lái)估計(jì)它的概率的，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)多了，這個(gè)頻率就越來(lái)越接近概率，所以隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，正確；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，說(shuō)明事件A發(fā)生的可能性很小，但并不表示不會(huì)發(fā)生，錯(cuò)誤；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是，正確；⑥根據(jù)概率的定義，隨機(jī)事件的頻率只是這個(gè)事件發(fā)生的概率的近似值，它并不等于概率，錯(cuò)誤；綜上，正確的說(shuō)法有③⑤.故答案為：③⑤【變式3-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在對(duì)于一些敏感性問(wèn)題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的個(gè)黑球和個(gè)白球，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個(gè)球，若摸到黑球則需要如實(shí)回答問(wèn)題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問(wèn)題二：你是否在考試中做過(guò)弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問(wèn)題二“考試是否做過(guò)弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計(jì)概率）．【答案】/【解析】由題意可知，每名調(diào)查者從袋子中抽到個(gè)白球或黑球的概率均為，所以，人中回答第一個(gè)問(wèn)題的人數(shù)為，則另外人回答了第二個(gè)問(wèn)題，在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率為，即摸到黑球且回答“是”的人數(shù)為，則摸到白球且回答“是”的人數(shù)為，所以，問(wèn)題二“考試是否做過(guò)弊”且回答“是”的百分比為.故答案為：.【變式3-4】長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率約為．【答案】0.375【解析】設(shè)該學(xué)校人數(shù)為，依題意得，近視的人數(shù)為，玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)的人有，近視人數(shù)為，于是玩手機(jī)小于1小時(shí)但又近視的人數(shù)為，玩手機(jī)小于1小時(shí)的總?cè)藬?shù)為，這類(lèi)人的近視率約為.故答案為：題型四：生活中的概率【典例4-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了人，已知非吸煙者占比，吸煙者中患肺癌的有人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的倍，則估計(jì)本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是．【答案】【解析】本次研究調(diào)查中，非吸煙者有7500人，吸煙者樣本量有2500人，設(shè)非吸煙者患肺癌的人數(shù)是人，則，，因此，本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)為45人．故答案為：.【典例4-2】（2024·北京朝陽(yáng)·一模）某購(gòu)物網(wǎng)站開(kāi)展一種商品的預(yù)約購(gòu)買(mǎi)，規(guī)定每個(gè)手機(jī)號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過(guò)搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購(gòu)買(mǎi)到該商品.規(guī)則如下：（?。u號(hào)的初始中簽率為；（ⅱ）當(dāng)中簽率不超過(guò)時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽率，每邀請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加.為了使中簽率超過(guò)，則至少需要邀請(qǐng)位好友參與到“好友助力”活動(dòng).【答案】【解析】因?yàn)閾u號(hào)的初始中簽率為，所以要使中簽率超過(guò)，需要增加中簽率，因?yàn)槊垦?qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加，所以至少需要邀請(qǐng)，所以至少需要邀請(qǐng)15位好友參與到“好友助力”活動(dòng).故答案為：【方法技巧】概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．【變式4-1】（2024·江蘇南京·三模）19世紀(jì)，美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率約為總數(shù)的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．根據(jù)本福特定律，在某項(xiàng)大量經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)（十進(jìn)制）中，以6開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為；若,，則k的值為．【答案】5【解析】由題意可得：（1）（2），而，故，則．故答案為：【變式4-2】為了了解學(xué)生遵守《中華人民共和國(guó)交通安全法》的情況，調(diào)查部門(mén)在某學(xué)校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查:向被調(diào)查者提出兩個(gè)問(wèn)題:（1）你的學(xué)號(hào)是奇數(shù)嗎?（2）在過(guò)路口的時(shí)候你是否闖過(guò)紅燈?要求被調(diào)查者背對(duì)調(diào)查人拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第（1）個(gè)問(wèn)題;否則就回答第（2）個(gè)問(wèn)題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問(wèn)題，只需要回答“是”或“不是”，因?yàn)橹挥斜徽{(diào)查本人知道回答了哪個(gè)問(wèn)題，所以都如實(shí)做了回答.如果被調(diào)查的600人(學(xué)號(hào)從1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估計(jì)在這600人中闖過(guò)紅燈的人數(shù)是.【答案】60【解析】設(shè)闖紅燈的概率為，根據(jù)已知中的調(diào)查規(guī)則，我們分析出回答“是”的兩種情況，進(jìn)而計(jì)算出回答是的概率，又由被調(diào)查的600人（學(xué)號(hào)從1到中有180人回答了“是”，我們易構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求出值，進(jìn)而得到這600人中闖過(guò)紅燈的人數(shù)．設(shè)闖紅燈的概率為，由已知中被調(diào)查者回答的兩個(gè)問(wèn)題，（1）你的學(xué)號(hào)是奇數(shù)嗎？（2）在過(guò)路口的時(shí)候你是否闖過(guò)紅燈？再由調(diào)查人拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第（1）個(gè)問(wèn)題；否則就回答第（2）個(gè)問(wèn)題可得回答是有兩種情況：①正面朝上且學(xué)號(hào)為奇數(shù)，其概率為；②反面朝上且闖了紅燈，其概率為．則回答是的概率為解得．所以闖燈人數(shù)為．故答案為：60【變式4-3】（2024·廣西·二模）今年由于豬肉漲價(jià)太多，更多市民選擇購(gòu)買(mǎi)雞肉、鴨肉、魚(yú)肉等其它肉類(lèi).某天在市場(chǎng)中隨機(jī)抽出100名市民調(diào)查，其中不買(mǎi)豬肉的人有30位，買(mǎi)了肉的人有90位，買(mǎi)豬肉且買(mǎi)其它肉的人共30位，則這一天該市只買(mǎi)豬肉的人數(shù)與全市人數(shù)的比值的估計(jì)值為.【答案】0.4【解析】由題意，將買(mǎi)豬肉的人組成的集合設(shè)為A，買(mǎi)其它肉的人組成的集合設(shè)為B，則韋恩圖如下：中有30人，中有10人，又不買(mǎi)豬肉的人有30位，∴中有20人，∴只買(mǎi)豬肉的人數(shù)為：100，∴這一天該市只買(mǎi)豬肉的人數(shù)與全市人數(shù)的比值的估計(jì)值為=0.4，故答案為；0.4題型五：互斥事件與對(duì)立事件【典例5-1】（2024·高三·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個(gè)白球；③兩球至少有一個(gè)白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【解析】設(shè)事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球｝，則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑)}；事件｛兩球恰有一個(gè)白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，事件｛兩球至少有一個(gè)白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及對(duì)立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對(duì)立的事件.故選：B【典例5-2】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)小于2”，“點(diǎn)數(shù)為3”．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．為對(duì)立事件 B．為互斥不對(duì)立事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件【答案】D【解析】點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，所以E，F(xiàn)是對(duì)立事件，選項(xiàng)A正確；點(diǎn)數(shù)大于2與點(diǎn)數(shù)小于2不可能同時(shí)發(fā)生，且不是必有一個(gè)發(fā)生，G，H為互斥且不對(duì)立事件，選項(xiàng)B正確；點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與點(diǎn)數(shù)大于2可能同時(shí)發(fā)生，E，G不互斥，選項(xiàng)C正確；點(diǎn)數(shù)大于2與點(diǎn)數(shù)為3可能同時(shí)發(fā)生，G，R為不互斥事件，選項(xiàng)D不正確.故選：D.【方法技巧】1、準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，既有且僅有一個(gè)發(fā)生．2、判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．【變式5-1】現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則下列事件中互為對(duì)立事件的是（

）A．恰好兩件正品與恰好四件正品B．至少三件正品與全部正品C．至少一件正品與全部次品D．至少一件正品與至少一件次品【答案】C【解析】根據(jù)題意，選項(xiàng)A中事件為互斥事件，不是對(duì)立事件；選項(xiàng)B、D中事件可能同時(shí)發(fā)生，全部正品是至少三件正品的子事件；選項(xiàng)C中事件為對(duì)立事件，全部次品不能存在有正品的事件.故選：C.【變式5-2】事件A與B獨(dú)立，、分別是A、B的對(duì)立事件，則下列命題中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A：由題意知，，故A錯(cuò)誤；B：由題意知，，故B錯(cuò)誤；C：事件A與B獨(dú)立，、分別是A、B的對(duì)立事件，所以A與獨(dú)立，則，故C正確；D：，故D錯(cuò)誤．故選：C【變式5-3】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件“出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與B的關(guān)系為（

）A．相互獨(dú)立事件 B．相互互斥事件C．即相互獨(dú)立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互獨(dú)立事件【答案】A【解析】由于表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4”，所以事件A與B不是互斥事件，由，，，有，所以事件A與B是相互獨(dú)立事件，不是互斥事件.故選：A題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率【典例6-1】某人忘記了一位同學(xué)電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，但確定這個(gè)數(shù)字一定是奇數(shù)，隨意撥號(hào)，則撥號(hào)不超過(guò)兩次就撥對(duì)號(hào)碼的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)第次撥號(hào)撥對(duì)號(hào)碼.撥號(hào)不超過(guò)兩次就撥對(duì)號(hào)碼可表示為，所以撥號(hào)不超過(guò)兩次就撥對(duì)號(hào)碼的概率為.故選：B【典例6-2】某同學(xué)參加社團(tuán)面試，已知其第一次通過(guò)面試的概率為，第二次面試通過(guò)的概率為，若第一次未通過(guò)，仍可進(jìn)行第二次面試，若兩次均未通過(guò)，則面試失敗，否則視為面試通過(guò)，則該同學(xué)通過(guò)面試的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榈谝淮瓮ㄟ^(guò)面試的概率為，第二次面試通過(guò)的概率為，所以兩次面試都沒(méi)有通過(guò)的概率為：，所以該同學(xué)通過(guò)面試的概率為：.故選：C.【方法技巧】求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法（1）直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．（2）間接法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式，即運(yùn)用逆向思維（正難則反）．特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解就顯得較簡(jiǎn)便．【變式6-1】某商場(chǎng)在618大促銷(xiāo)活動(dòng)中，活動(dòng)規(guī)則是：滿168元可以參加促銷(xiāo)摸獎(jiǎng)活動(dòng)，甲和乙兩個(gè)箱子各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球．顧客首先擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1或2，顧客從甲箱子隨機(jī)摸出一個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸出紅球的顧客可以領(lǐng)取獎(jiǎng)品，問(wèn)顧客中獎(jiǎng)率為．【答案】/0.7【解析】設(shè)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1或2為事件，則，骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6為事件，則，甲箱摸出紅球?yàn)?，乙箱摸出紅球?yàn)?，設(shè)顧客中獎(jiǎng)為事件，所以，，所以．故答案為：．【變式6-2】體育課上甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為.【答案】/【解析】記“甲投中”，“乙投中”，則,所以甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為.故答案為：0.38.【變式6-3】某電視臺(tái)舉辦知識(shí)競(jìng)答闖關(guān)比賽，每位選手闖關(guān)時(shí)需要回答三個(gè)問(wèn)題.第一個(gè)問(wèn)題回答正確得10分，回答錯(cuò)誤得0分；第二個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，回答錯(cuò)誤得0分；第三個(gè)問(wèn)題回答正確得30分，回答錯(cuò)誤得分.規(guī)定：每位選手回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分不低于30分就算闖關(guān)成功.若某位選手回答前兩個(gè)問(wèn)題正確的概率都是，回答第三個(gè)問(wèn)題正確的概率是，且各問(wèn)題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，則該選手僅回答正確兩個(gè)問(wèn)題的概率是；該選手闖關(guān)成功的概率是.【答案】//【解析】由題設(shè)，選手僅回答正確兩個(gè)問(wèn)題的概率是，由題意，只要第三問(wèn)回答正確，不論第一、二問(wèn)是否正確，該選手得分都不低于30分，只要第三問(wèn)回答錯(cuò)誤，不論第一、二問(wèn)是否正確，該選手得分都低于30分，所以選手闖關(guān)成功，只需第三問(wèn)回答正確即可，故概率為.故答案為：，【變式6-4】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判，則前4局中乙恰好當(dāng)一次裁判的概率是．【答案】/【解析】前局中，因第局甲當(dāng)裁判，則乙恰好當(dāng)1次裁判的事件A，設(shè)乙第二局當(dāng)裁判的事件A1、乙第三局當(dāng)裁判的事件A2，乙第二局當(dāng)裁判的事件A3，它們互斥，乙第二局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局輸，第三局勝，則,乙第三局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局勝，第二局輸，則，乙第四局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局勝，第二局勝，第三局輸，則，所以故答案為：.【變式6-5】設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，又，所以，所?故選：D.【變式6-6】（2024·高三·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）已知事件與事件是互斥事件，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若隨機(jī)試驗(yàn)為拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件，，則事件與事件是互斥事件，此時(shí)，，，所以，A錯(cuò)誤；，，，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；因?yàn)槭录c事件是互斥事件，所以，所以為必然事件，所以，D正確.故選：D.1．（2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨(dú)立C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨(dú)立【答案】B【解析】選項(xiàng)A，事件和事件可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本，事件與事件不互斥，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，，，，B正確；選項(xiàng)C，事件與事件可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本或筆袋，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，，，，與不獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選：B．2．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大【答案】D【解析】該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán)，記該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?，則此時(shí)連勝兩盤(pán)的概率為則；記該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為，則記該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為則則即，，則該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選：D3．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷））將一顆質(zhì)地均勻的骰子（各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)1次6點(diǎn)向上的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后擲3次，這3次之間是相互獨(dú)立，記事件為“拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上”，則為“拋擲3次都沒(méi)有出現(xiàn)6點(diǎn)向上”，記事件為“第次中，沒(méi)有出現(xiàn)6點(diǎn)向上”，，則，又，所以，所以.故選：D.4．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（重慶卷））從5張100元，3張200元，2張300元的奧運(yùn)預(yù)賽門(mén)票中任取3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知本題是一個(gè)古典概型，滿足條件的事件包含的結(jié)果比較多，可以從它的對(duì)立事件來(lái)考慮，取出的三張門(mén)票的價(jià)格均不相同，共有種取法，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件總的取法有種，三張門(mén)票的價(jià)格均不相同的概率是，至少有2張價(jià)格相同的概率為故答案選：C1．如圖，拋擲一藍(lán)、一黃兩枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，分別觀察底面上的數(shù)字.

（1）用表格表示試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（2）列舉下列事件包含的樣本點(diǎn)：A=“兩個(gè)數(shù)字相同”，B=“兩個(gè)數(shù)字之和等于5”，C=“藍(lán)色骰子的數(shù)字為2”.【解析】（1）該試驗(yàn)的所有可能結(jié)果如下表：

藍(lán)骰子點(diǎn)數(shù)黃骰子點(diǎn)數(shù)12341（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）4（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（2）A包含的樣本點(diǎn)：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）；B包含的樣本點(diǎn)：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；C包含的樣本點(diǎn)：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）.2．在某屆世界杯足球賽上，a，b，c，d四支球隊(duì)進(jìn)入了最后的比賽，在第一輪的兩場(chǎng)比賽中，a對(duì)b，c對(duì)d，然后這兩場(chǎng)比賽的勝者將進(jìn)入冠亞軍決賽，這兩場(chǎng)比賽的負(fù)者比賽，決出第三名和第四名.比賽的一種最終可能結(jié)果記為acbd（表示a勝b，c勝d，然后a勝c，b勝d）.（1）寫(xiě)出比賽所有可能結(jié)果構(gòu)成的樣本空間；（2）設(shè)事件A表示a隊(duì)獲得冠軍，寫(xiě)出A包含的所有可能結(jié)果；（3）設(shè)事件B表示a隊(duì)進(jìn)入冠亞軍決賽，寫(xiě)出B包含的所有可能結(jié)果.【解析】（1）第一輪的兩場(chǎng)比賽中，當(dāng)勝出時(shí)，比賽最終可能的結(jié)果為：第一輪的兩場(chǎng)比賽中，當(dāng)勝出時(shí)，比賽最終可能的結(jié)果為：第一輪的兩