2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章第06講事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式(七大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第06講事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：條件概率 2題型二：相互獨(dú)立事件的判斷 3題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算 3題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用 4題型五：全概率公式及其應(yīng)用 5題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用 5題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用 602重難創(chuàng)新練 703真題實(shí)戰(zhàn)練 11題型一：條件概率1．（2024·高三·江西南昌·開學(xué)考試）慶“七一”，教育局組織黨史知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)過(guò)激烈角逐，最后甲乙兩隊(duì)爭(zhēng)奪冠軍.實(shí)行“三局兩勝”制（無(wú)平局）.若甲隊(duì)在每局比賽中獲勝的概率均為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進(jìn)行了三局的概率為.2．（2024·高三·河南·開學(xué)考試），，，共4位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校組織的暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，這次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)共有：交通安全宣傳，防火知識(shí)宣傳，防水安全教育，養(yǎng)老院志愿者服務(wù)，國(guó)情宣傳教育，養(yǎng)老院志愿者服務(wù)，國(guó)情宣傳教育5個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)目?jī)H報(bào)其中一個(gè)項(xiàng)目.記事件為“四名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目互不相同”，事件為“僅有報(bào)了防火知識(shí)宣傳”，則．3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，下圖是易經(jīng)后天八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽(yáng)線，表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，記事件“兩卦的六根線中恰有三根陽(yáng)線”，“至少有一卦恰有兩根陽(yáng)線”，則（

）A． B． C． D．題型二：相互獨(dú)立事件的判斷4．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)同時(shí)到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué).設(shè)事件“恰有兩人在同一個(gè)社區(qū)”，事件“甲同學(xué)和乙同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，事件“丙同學(xué)和丁同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，則下面說(shuō)法正確的是（

）A．事件與相互獨(dú)立 B．事件與是互斥事件C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與是對(duì)立事件5．若，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對(duì)立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將一枚均勻的骰子擲兩次，記事件為“第一次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件為“第二次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則（

）A．與不獨(dú)立 B．C．與不互斥 D．題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算7．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）某人上樓梯，每步上1階的概率為，每步上2階的概率為，設(shè)該人從第1階臺(tái)階出發(fā)，到達(dá)第3階臺(tái)階的概率為．8．（2024·天津和平·二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問(wèn)題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率為．9．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)5次.該質(zhì)點(diǎn)在有且僅有一次經(jīng)過(guò)位置的條件下，共經(jīng)過(guò)兩次1位置的概率為.10．甲，乙兩人組成的“夢(mèng)隊(duì)”參加籃球機(jī)器人比賽，比賽分為自主傳球，自主投籃2個(gè)環(huán)節(jié)，其中任何一人在每個(gè)環(huán)節(jié)獲勝得2分，失敗得0分，比賽中甲和乙獲勝與否互不影響，各環(huán)節(jié)之間也互不影響.若甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，乙在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，且甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2的概率為，“夢(mèng)隊(duì)”在比賽中得分不低于6分的概率為.題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用11．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）為慶祝祖國(guó)周年華誕，某商場(chǎng)決定在國(guó)慶期間舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)．盒中裝有個(gè)除顏色外均相同的小球，其中個(gè)是紅球，個(gè)是黃球．每位顧客均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)時(shí)從盒中隨機(jī)取出球，若取出的是紅球，則可領(lǐng)取“特等獎(jiǎng)”，該小球不再放回；若取出的是黃球，則可領(lǐng)取“參與獎(jiǎng)”，并將該球放回盒中．(1)在第2位顧客中“參與獎(jiǎng)”的條件下，第1位顧客中“特等獎(jiǎng)”的概率；(2)記為第個(gè)顧客參與后后來(lái)參與的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”的概率，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)事件為第個(gè)顧客參與時(shí)獲得最后一個(gè)“特等獎(jiǎng)”，要使發(fā)生概率最大，求的值．12．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三個(gè)人通過(guò)初賽，進(jìn)入決賽.已知甲與乙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時(shí)，乙獲勝的概率為.(1)決賽規(guī)則如下：首先通過(guò)抽簽的形式確定甲、乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，每場(chǎng)比賽勝者積1分，負(fù)者積0分，首先累計(jì)到2分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)，且每局比賽相互獨(dú)立.（?。┣笕丝偡e分為2分的概率；（ⅱ）求比賽結(jié)束時(shí)，三人總積分的分布列與期望(2)若，假設(shè)乙獲得了指定首次比賽選手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略13．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動(dòng)，答題人根據(jù)所獲得的分?jǐn)?shù)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類題目．規(guī)定每位答題人共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類題目；乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對(duì)時(shí)，則下一次答A類題目，每次答錯(cuò)時(shí)，則下一次答B(yǎng)類題目．已知A類題目每次答對(duì)得40分，答錯(cuò)得0分，B類題目每次答對(duì)得30分，答錯(cuò)得0分．若小李每道A類題目能答對(duì)的概率均為，每道B類題目能答對(duì)的概率均為，且每道題能否答對(duì)與回答順序無(wú)關(guān)．(1)若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；(2)若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？題型五：全概率公式及其應(yīng)用14．某藥廠用甲、乙兩地收購(gòu)而來(lái)的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，這兩個(gè)地區(qū)的供貨量分別占，，且用這兩地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為，，現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意取出一件產(chǎn)品，則此產(chǎn)品是優(yōu)等品的概率為．15．（2024·天津河北·二模）學(xué)習(xí)小組為了研究手機(jī)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響，對(duì)本學(xué)校學(xué)生手機(jī)使用情況統(tǒng)計(jì)分析有以下結(jié)果：若學(xué)生前一天沒(méi)有玩手機(jī)，則接下來(lái)一天也不玩手機(jī)的概率為0.7，若學(xué)生前一天玩手機(jī)，接下來(lái)一天也玩手機(jī)的概率為0.8.已知一個(gè)學(xué)生第一天沒(méi)玩手機(jī)，根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算，那么他第二天玩手機(jī)的概率為，第三天不玩手機(jī)的概率為.題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用16．（2024·高三·上海·開學(xué)考試）某校高一（1）班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人，全班分成4個(gè)小組，第一組有學(xué)生10人，共青團(tuán)員4人，從該班任選一個(gè)作學(xué)生代表.已知選到的是共青團(tuán)員，求他是第一組學(xué)生的概率.17．同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng).由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為，混合在一起.現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，則它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中（填甲、乙、丙）廠生產(chǎn)的可能性最大？18．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率為．題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用19．（2024·高三·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品?二等品和三等品.已知該工廠生產(chǎn)一等品的概率為，生產(chǎn)二等品的概率為，生產(chǎn)三等品的概率為.一等品在出廠時(shí)，通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率為；二等品在出廠時(shí)，通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率為；三等品在出廠時(shí)，通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率為.(1)已知隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中，通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的有8件，其中有2件二等品和1件三等品.現(xiàn)在從這8件通過(guò)檢測(cè)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，設(shè)其中一等品的數(shù)量為，求分布列和期望，(2)求隨機(jī)抽取的一件產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率，(3)若隨機(jī)抽取的一件產(chǎn)品通過(guò)了質(zhì)量檢測(cè)，求該產(chǎn)品為一等品的概率20．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1，2，3臺(tái)加工的次品率分別為6%，5%，4%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)之比為5：6：9，現(xiàn)任取一個(gè)零件，求：(1)它是第1臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的概率是多少?(2)它是次品的概率是多少．(3)若取到的這個(gè)零件是次品，那么它是哪臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出來(lái)的可能性最大?用具體數(shù)據(jù)說(shuō)明．21．（2024·新疆烏魯木齊·二模）某果園產(chǎn)蘋果，其中一堆蘋果中大果與小果的比例為．(1)若選擇分層抽樣，抽出100個(gè)蘋果，其中大果的單果平均重量為240克，方差為300，小果的單果平均重量為190克，方差為320，試估計(jì)果園蘋果的單果平均重量、方差；(2)現(xiàn)用一臺(tái)分選機(jī)進(jìn)行篩選，已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為，經(jīng)過(guò)分選機(jī)篩選后，現(xiàn)從篩選出來(lái)的“大果”里隨機(jī)抽取一個(gè)，問(wèn)這個(gè)“大果”是真的大果的概率．22．（2024·河南·三模）某學(xué)校安排甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)同時(shí)到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會(huì)，已知甲班藝術(shù)生占比8%，乙班藝術(shù)生占比6%，丙班藝術(shù)生占比5%．學(xué)生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機(jī)從場(chǎng)下學(xué)生中選一人參與互動(dòng)．(1)求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；(2)如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來(lái)自哪個(gè)班的可能性最大．1．某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊5名跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入跳水比賽決賽，現(xiàn)采用抽簽法決定決賽跳水順序，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）如圖，甲乙做游戲，兩人通過(guò)劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰(shuí)首先到達(dá)第3格，并規(guī)定從0格出發(fā)，每次劃拳贏的一方往右前進(jìn)一格，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩人都往右前進(jìn)一格．如果一方連續(xù)贏兩次，那么他將額外獲得右前進(jìn)一格的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)到達(dá)第3格，當(dāng)有任何一方到達(dá)第3格時(shí)游戲結(jié)束，則游戲結(jié)束時(shí)恰好劃拳3次的概率為（

）0123A． B． C． D．3．（2024·安徽·一模）有三臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，任取一個(gè)零件，則它是次品的概率（

）A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.05254．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）某公司進(jìn)行招聘，甲、乙、丙被錄取的概率分別為，，，且他們是否被錄取互不影響，若甲、乙、丙三人中恰有兩人被錄取，則甲被錄取的概率為（

）．A． B． C． D．5．在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中共有5扇關(guān)閉的門，其中2扇門后面有獎(jiǎng)品，其余門后沒(méi)有獎(jiǎng)品，主持人知道獎(jiǎng)品在哪些門后.參賽者先選擇一扇門，但不立即打開.主持人打開剩下的門當(dāng)中一扇無(wú)獎(jiǎng)品的門，然后讓參賽者決定是否換另一扇仍然關(guān)閉的門.參賽者選擇不換門和換門獲獎(jiǎng)的概率分別為（

）A． B． C． D．6．在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個(gè)地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)A，B，C地區(qū)分別有的人患過(guò)流感，且A，B，C三個(gè)地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中隨機(jī)選取一人，則此人患過(guò)流感的概率為（

）A． B． C． D．7．設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的光片，其中甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的分別為5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再?gòu)倪@盒中任取一張光片，則取得的光片是次品的概率為（

）A． B． C． D．8．（多選題）（2024·高三·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件：兩次的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，：兩次的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)，：第一次的點(diǎn)數(shù)大于2，則（

）A． B．C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立9．（多選題）（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，，，則（

）A． B． C． D．10．（多選題）某箱中有若干個(gè)編號(hào)依次為的球，每個(gè)球除編號(hào)外完全相同.現(xiàn)從箱中每次不放回地取一個(gè)球，若第次取出球的編號(hào)為，則記為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若則B．若則C．若則事件和事件相互獨(dú)立D．若則事件和事件相互獨(dú)立11．（多選題）（2024·高三·江蘇·開學(xué)考試）甲罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（

）A．為互斥事件 B．C． D．12．2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)女子乒乓球決賽，中國(guó)選手陳夢(mèng)與孫穎莎奉獻(xiàn)了一場(chǎng)精彩絕倫的巔峰對(duì)決，她們技藝精湛，頑強(qiáng)拼搏，展現(xiàn)國(guó)球風(fēng)采，為觀眾帶來(lái)了視覺(jué)盛宴.現(xiàn)甲?乙兩名乒乓球選手進(jìn)行一場(chǎng)七局四勝的比賽，即誰(shuí)先贏4局的比賽，誰(shuí)就獲勝，比賽結(jié)束.已知每一局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為，且第一局乙獲勝，則甲最終以比獲勝的概率為.13．（2024·四川·一模）條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念，近年來(lái)，條件概率和條件期望已被廣泛的應(yīng)用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)，是離散型隨機(jī)變量，則在給定事件條件下的期望為，其中為的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率.某商場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng)，凡在該商場(chǎng)每消費(fèi)500元，可有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次獲獎(jiǎng)的概率均為，某人在該商場(chǎng)消費(fèi)了1000元，共獲得4次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).設(shè)表示第一次抽中獎(jiǎng)品時(shí)的抽取次數(shù)，表示第二次抽中獎(jiǎng)品時(shí)的抽取次數(shù).則.14．（2024·高三·河北秦皇島·開學(xué)考試）有甲、乙兩個(gè)口袋，甲口袋裝有2個(gè)紅球，乙口袋裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，有放回地從兩個(gè)口袋中各取1個(gè)球，并記為1次取球，若取到的2個(gè)球均為紅球，則停止取球；否則在兩個(gè)口袋中各加進(jìn)1個(gè)白球，然后再按照以上規(guī)則取球，直到取到的2個(gè)球均為紅球?yàn)橹梗洝叭×舜吻蚝笸Ｖ谷∏颉保瑒t；．15．（2024·高三·全國(guó)·單元測(cè)試）已知有黑、白兩種除顏色外完全相同的若干小球，放入三個(gè)相同的空箱子中，已知三個(gè)箱子中小球的數(shù)量之比為，其中黑球占比分別為．若從三個(gè)箱子中各取一球，則取得的球均為黑球的概率為；若將三個(gè)箱子中的球全倒入一個(gè)箱子內(nèi)，則從中取得一個(gè)白球的概率為．16．在神舟十五號(hào)載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功的背景下．某學(xué)校高一年級(jí)利用高考放假期間組織1200名學(xué)生參加線上航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

(1)若從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人，求10人中成績(jī)不高于50分的人數(shù)；(2)求的值，并以樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)以及中位數(shù)；(3)由首輪競(jìng)賽成績(jī)確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級(jí)互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率．17．（2024·廣東佛山·三模）隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．18．在一個(gè)盒子中有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，甲、乙兩人輪流從盒子中隨機(jī)地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，每次取1個(gè)，取后不放回，直到2個(gè)白球都被取出來(lái)后就停止取球．(1)求2個(gè)白球都被乙取出的概率；(2)求2個(gè)白球都被甲取出的概率；(3)求將球全部取出才停止取球的概率19．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）小郅同學(xué)的左、右口袋中分別裝有3個(gè)糖果，每次取糖他都有的概率從右口袋中取，每次取糖過(guò)程相互獨(dú)立.當(dāng)他發(fā)現(xiàn)某個(gè)口袋中沒(méi)有糖時(shí)停止取糖.(1)求當(dāng)他右口袋為空時(shí)，左口袋中剩余2個(gè)糖的概率，并求出的值使最大.(2)若，求小郅最終發(fā)現(xiàn)其右口袋沒(méi)有糖的概率.(3)對(duì)于，求證成立不等式：.20．A，B，C，D四位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：先將四位同學(xué)平均分成兩組，每組進(jìn)行一場(chǎng)比賽決出勝負(fù)，獲勝者進(jìn)入勝者組，失敗者進(jìn)入敗者組.勝者組和敗者組中再各自進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝者組中獲勝者獲得冠軍，失敗者獲得亞軍，敗者組中獲勝者獲得季軍.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為.(1)求同學(xué)A獲得冠軍的概率；(2)求A，B兩人不能夠在比賽中相遇的概率.1．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計(jì)概率．(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）9．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828第06講事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：條件概率 2題型二：相互獨(dú)立事件的判斷 3題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算 4題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用 7題型五：全概率公式及其應(yīng)用 10題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用 11題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用 1202重難創(chuàng)新練 1503真題實(shí)戰(zhàn)練 28題型一：條件概率1．（2024·高三·江西南昌·開學(xué)考試）慶“七一”，教育局組織黨史知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)過(guò)激烈角逐，最后甲乙兩隊(duì)爭(zhēng)奪冠軍.實(shí)行“三局兩勝”制（無(wú)平局）.若甲隊(duì)在每局比賽中獲勝的概率均為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進(jìn)行了三局的概率為.【答案】/0.4【解析】設(shè)事件“甲獲得冠軍”為事件，比賽進(jìn)行了三局為事件，則,，.故答案為：2．（2024·高三·河南·開學(xué)考試），，，共4位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校組織的暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，這次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)共有：交通安全宣傳，防火知識(shí)宣傳，防水安全教育，養(yǎng)老院志愿者服務(wù)，國(guó)情宣傳教育，養(yǎng)老院志愿者服務(wù)，國(guó)情宣傳教育5個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)目?jī)H報(bào)其中一個(gè)項(xiàng)目.記事件為“四名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目互不相同”，事件為“僅有報(bào)了防火知識(shí)宣傳”，則．【答案】【解析】由題意，事件為“四名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目互不相同”，事件為“僅有報(bào)了防火知識(shí)宣傳”，可得，，所以．故答案為：.3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，下圖是易經(jīng)后天八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽(yáng)線，表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，記事件“兩卦的六根線中恰有三根陽(yáng)線”，“至少有一卦恰有兩根陽(yáng)線”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由八卦圖可知，八卦中全為陽(yáng)線和全為陰線的卦各有一個(gè)，兩陰一陽(yáng)和兩陽(yáng)一陰的卦各有三個(gè)，所以，所以.故選：C題型二：相互獨(dú)立事件的判斷4．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)同時(shí)到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué).設(shè)事件“恰有兩人在同一個(gè)社區(qū)”，事件“甲同學(xué)和乙同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，事件“丙同學(xué)和丁同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，則下面說(shuō)法正確的是（

）A．事件與相互獨(dú)立 B．事件與是互斥事件C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與是對(duì)立事件【答案】A【解析】對(duì)于A，依題意，甲、乙、丙、丁中必有兩人在同一社區(qū)，即事件是必然事件，，顯然，，因此事件與相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，由，得事件與不是互斥事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然事件事件與不可能同時(shí)發(fā)生，即，而，事件與相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然事件與可以同時(shí)不發(fā)生，如甲丙在同一社區(qū)，因此事件與不是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤.故選：A5．若，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對(duì)立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立【答案】C【解析】由得，因?yàn)椋?，所以事件與相互獨(dú)立，無(wú)法判斷事件與是否互斥.故選：C.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將一枚均勻的骰子擲兩次，記事件為“第一次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件為“第二次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則（

）A．與不獨(dú)立 B．C．與不互斥 D．【答案】C【解析】A：事件和的發(fā)生沒(méi)有影響，相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；B：，，故B錯(cuò)誤；C：事件和可以同時(shí)發(fā)生，所以與不互斥，故C正確；D：，故D錯(cuò)誤；故選：C.題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算7．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）某人上樓梯，每步上1階的概率為，每步上2階的概率為，設(shè)該人從第1階臺(tái)階出發(fā)，到達(dá)第3階臺(tái)階的概率為．【答案】【解析】到達(dá)第3臺(tái)階的方法有兩種：第一種：

每步上一個(gè)臺(tái)階，上兩步，則概率為；第二種：

只上一步且上兩個(gè)臺(tái)階，則概率為，所以到達(dá)第3階臺(tái)階的概率為，故答案為：.8．（2024·天津和平·二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問(wèn)題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率為．【答案】/【解析】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則，，，所以，，若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率，若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率．故答案為：；．9．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)5次.該質(zhì)點(diǎn)在有且僅有一次經(jīng)過(guò)位置的條件下，共經(jīng)過(guò)兩次1位置的概率為.【答案】/【解析】設(shè)事件“有且僅有一次經(jīng)過(guò)”，事件“共經(jīng)過(guò)兩次位置1”，按到位置需要1步，3步，5步分類討論.記向左，向右，①若1步到位為事件，則滿足要求的是，（第5步無(wú)關(guān)），，（第5步無(wú)關(guān)），所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是，所以；③若5步到位為事件，則滿足要求的是，所以，所以滿足的情況有：，，，，,所以所以.故答案為：110．甲，乙兩人組成的“夢(mèng)隊(duì)”參加籃球機(jī)器人比賽，比賽分為自主傳球，自主投籃2個(gè)環(huán)節(jié)，其中任何一人在每個(gè)環(huán)節(jié)獲勝得2分，失敗得0分，比賽中甲和乙獲勝與否互不影響，各環(huán)節(jié)之間也互不影響.若甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，乙在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，且甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2的概率為，“夢(mèng)隊(duì)”在比賽中得分不低于6分的概率為.【答案】2【解析】若甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2,則甲乙兩人中一個(gè)人成功一個(gè)人失敗，故概率為，故，“夢(mèng)隊(duì)”在比賽中得分不低于6分，則至少要贏3次，故概率為,故答案為：題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用11．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）為慶祝祖國(guó)周年華誕，某商場(chǎng)決定在國(guó)慶期間舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)．盒中裝有個(gè)除顏色外均相同的小球，其中個(gè)是紅球，個(gè)是黃球．每位顧客均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)時(shí)從盒中隨機(jī)取出球，若取出的是紅球，則可領(lǐng)取“特等獎(jiǎng)”，該小球不再放回；若取出的是黃球，則可領(lǐng)取“參與獎(jiǎng)”，并將該球放回盒中．(1)在第2位顧客中“參與獎(jiǎng)”的條件下，第1位顧客中“特等獎(jiǎng)”的概率；(2)記為第個(gè)顧客參與后后來(lái)參與的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”的概率，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)事件為第個(gè)顧客參與時(shí)獲得最后一個(gè)“特等獎(jiǎng)”，要使發(fā)生概率最大，求的值．【解析】（1）設(shè)第位顧客中“特等獎(jiǎng)”為事件，第位顧客中“參與獎(jiǎng)”為事件，，，故，所以在第位顧客中“參與獎(jiǎng)”的條件下，第位顧客中“特等獎(jiǎng)”的概率為.（2）由題意得，個(gè)顧客參與后后來(lái)的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”表示最后一位顧客中“特等獎(jiǎng)”，前位顧客中有一位中“特等獎(jiǎng)”，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（3）設(shè)第個(gè)顧客參與時(shí)拿下最后一個(gè)“特等獎(jiǎng)”的概率最大，則概率，要使最大，即使最大，所以，即，化簡(jiǎn)得，且，又在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，綜上所述，.12．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三個(gè)人通過(guò)初賽，進(jìn)入決賽.已知甲與乙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時(shí)，乙獲勝的概率為.(1)決賽規(guī)則如下：首先通過(guò)抽簽的形式確定甲、乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，每場(chǎng)比賽勝者積1分，負(fù)者積0分，首先累計(jì)到2分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)，且每局比賽相互獨(dú)立.（?。┣笕丝偡e分為2分的概率；（ⅱ）求比賽結(jié)束時(shí)，三人總積分的分布列與期望(2)若，假設(shè)乙獲得了指定首次比賽選手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略【解析】（1）（ⅰ）由題意可知，兩場(chǎng)比賽后結(jié)束，即甲或乙連續(xù)獲得兩場(chǎng)勝利，有兩種情況，；（ⅱ）由題意可知，，所以，，，所以三人總積分的分布列為2340.60.160.24所以.（2）設(shè)事件為“第一局乙對(duì)丙最終乙獲勝”，為“第一局乙對(duì)甲最終乙獲勝”，為“第一局甲對(duì)丙而最終乙獲勝”，其中包含三種情況，第一，第一局乙獲勝，第二局乙獲勝；第二，第一局乙獲勝，第二局甲獲勝，第三局丙獲勝，第四局乙獲勝；第三，第一局丙獲勝，第二局甲獲勝，第三局乙獲勝，第四局乙獲勝，故；同理可得；；顯然，故，，由于，故，所以，故乙的最優(yōu)指定策略是讓乙和甲打第一局.13．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動(dòng)，答題人根據(jù)所獲得的分?jǐn)?shù)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類題目．規(guī)定每位答題人共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類題目；乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對(duì)時(shí)，則下一次答A類題目，每次答錯(cuò)時(shí)，則下一次答B(yǎng)類題目．已知A類題目每次答對(duì)得40分，答錯(cuò)得0分，B類題目每次答對(duì)得30分，答錯(cuò)得0分．若小李每道A類題目能答對(duì)的概率均為，每道B類題目能答對(duì)的概率均為，且每道題能否答對(duì)與回答順序無(wú)關(guān)．(1)若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；(2)若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？【解析】（1）若“小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分”記為事件，則小李至少答對(duì)道A類題目，所以.（2）若小李采用甲方案答題，設(shè)他的得分為，則他答對(duì)的題數(shù)為，且，所以，則，若小李采用乙方案答題，則設(shè)他的得分為，的可能取值為，，，，，，，所以，因?yàn)?，所以小李想要答題得分的期望值更大，應(yīng)該選擇乙方案答題.題型五：全概率公式及其應(yīng)用14．某藥廠用甲、乙兩地收購(gòu)而來(lái)的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，這兩個(gè)地區(qū)的供貨量分別占，，且用這兩地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為，，現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意取出一件產(chǎn)品，則此產(chǎn)品是優(yōu)等品的概率為．【答案】/【解析】記產(chǎn)品是優(yōu)等品為事件，來(lái)自甲地為事件，來(lái)自乙地為事件，則，，，，所以，故從該廠產(chǎn)品中任意取出一件產(chǎn)品，則此產(chǎn)品是優(yōu)等品的概率為.故答案為：15．（2024·天津河北·二模）學(xué)習(xí)小組為了研究手機(jī)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響，對(duì)本學(xué)校學(xué)生手機(jī)使用情況統(tǒng)計(jì)分析有以下結(jié)果：若學(xué)生前一天沒(méi)有玩手機(jī)，則接下來(lái)一天也不玩手機(jī)的概率為0.7，若學(xué)生前一天玩手機(jī)，接下來(lái)一天也玩手機(jī)的概率為0.8.已知一個(gè)學(xué)生第一天沒(méi)玩手機(jī)，根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算，那么他第二天玩手機(jī)的概率為，第三天不玩手機(jī)的概率為.【答案】0.30.55【解析】由題意，學(xué)生前一天沒(méi)有玩手機(jī)，則接下來(lái)一天也不玩手機(jī)的概率為0.7，所以一個(gè)學(xué)生第一天沒(méi)玩手機(jī)，那么他第二天玩手機(jī)的概率為，由全概率公式知第三天不玩手機(jī)的概率為.故答案為：；題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用16．（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）某校高一（1）班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人，全班分成4個(gè)小組，第一組有學(xué)生10人，共青團(tuán)員4人，從該班任選一個(gè)作學(xué)生代表.已知選到的是共青團(tuán)員，求他是第一組學(xué)生的概率.【答案】【解析】設(shè)事件表示“選到第一組學(xué)生”，事件表示“選到共青團(tuán)員”，由題意，，,所以“已知選到的是共青團(tuán)員，則他是第一組學(xué)生的概率”為.故答案為：17．同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng).由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為，混合在一起.現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，則它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中（填甲、乙、丙）廠生產(chǎn)的可能性最大？【答案】丙【解析】“取到一件產(chǎn)品為正品”的概率為，則它是甲廠的概率為，是乙廠的概率為，是丙廠的概率為，所以它是丙廠生產(chǎn)的概率最大.故答案為：丙18．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率為．【答案】【解析】記事件：車床加工的零件為次品，記事件：第臺(tái)車床加工的零件，則，，，，，，任取一個(gè)零件是次品的概率為如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率為.故答案為：.題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用19．（2024·高三·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品?二等品和三等品.已知該工廠生產(chǎn)一等品的概率為，生產(chǎn)二等品的概率為，生產(chǎn)三等品的概率為.一等品在出廠時(shí)，通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率為；二等品在出廠時(shí)，通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率為；三等品在出廠時(shí)，通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率為.(1)已知隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中，通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的有8件，其中有2件二等品和1件三等品.現(xiàn)在從這8件通過(guò)檢測(cè)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，設(shè)其中一等品的數(shù)量為，求分布列和期望，(2)求隨機(jī)抽取的一件產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率，(3)若隨機(jī)抽取的一件產(chǎn)品通過(guò)了質(zhì)量檢測(cè)，求該產(chǎn)品為一等品的概率【解析】（1）因?yàn)橥ㄟ^(guò)質(zhì)量檢測(cè)的8件產(chǎn)品中，有2件二等品和1件三等品，則一等品的數(shù)量為件，所以的可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為：所以；（2）設(shè)事件表示產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)，表示產(chǎn)品為一等品，表示產(chǎn)品為二等品，表示產(chǎn)品為三等品，則，，，，，，所以，即隨機(jī)抽取的一件產(chǎn)品通過(guò)質(zhì)量檢測(cè)的概率為；（3）依題意所求概率為.20．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1，2，3臺(tái)加工的次品率分別為6%，5%，4%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)之比為5：6：9，現(xiàn)任取一個(gè)零件，求：(1)它是第1臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的概率是多少?(2)它是次品的概率是多少．(3)若取到的這個(gè)零件是次品，那么它是哪臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出來(lái)的可能性最大?用具體數(shù)據(jù)說(shuō)明．【解析】（1）由題意第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)之比為5：6：9，現(xiàn)任取一個(gè)零件，它是第1臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的概率；（2）設(shè)事件“零件為第i臺(tái)車床加工”，事件“零件為次品”，，，現(xiàn)任取一個(gè)零件，它是次品的概率（3），，，而，所以它是第3臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的可能性最大．21．（2024·新疆烏魯木齊·二模）某果園產(chǎn)蘋果，其中一堆蘋果中大果與小果的比例為．(1)若選擇分層抽樣，抽出100個(gè)蘋果，其中大果的單果平均重量為240克，方差為300，小果的單果平均重量為190克，方差為320，試估計(jì)果園蘋果的單果平均重量、方差；(2)現(xiàn)用一臺(tái)分選機(jī)進(jìn)行篩選，已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為，經(jīng)過(guò)分選機(jī)篩選后，現(xiàn)從篩選出來(lái)的“大果”里隨機(jī)抽取一個(gè)，問(wèn)這個(gè)“大果”是真的大果的概率．【解析】（1）個(gè)蘋果中，大果的個(gè)數(shù)為，小果的個(gè)數(shù)為，設(shè)大果的單果平均重量為，方差為，小果的單果平均重量為，方差為，則，，，，則100個(gè)蘋果的平均重量為，100個(gè)蘋果的方差為：.故估計(jì)果園蘋果的單果平均重量為、方差為；（2）記事件放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件放入水果分選機(jī)的蘋果為小果，記事件水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，則“大果是真大果”為，則，，，，由全概率公式可得：，，因此，.22．（2024·河南·三模）某學(xué)校安排甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)同時(shí)到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會(huì)，已知甲班藝術(shù)生占比8%，乙班藝術(shù)生占比6%，丙班藝術(shù)生占比5%．學(xué)生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機(jī)從場(chǎng)下學(xué)生中選一人參與互動(dòng)．(1)求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；(2)如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來(lái)自哪個(gè)班的可能性最大．【解析】（1）設(shè)“任選一名學(xué)生恰好是藝術(shù)生”，“所選學(xué)生來(lái)自甲班”，“所選學(xué)生來(lái)自乙班”,“所選學(xué)生來(lái)自丙班”．由題可知：，，，，，

.（2）；

所以其來(lái)自丙班的可能性最高．1．某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊5名跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入跳水比賽決賽，現(xiàn)采用抽簽法決定決賽跳水順序，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”可分為甲最后一個(gè)出場(chǎng)或甲在中間出場(chǎng)，方法數(shù)為，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”，即“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”，方法數(shù)為，因此所求概率為．故選：A．2．（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）如圖，甲乙做游戲，兩人通過(guò)劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰(shuí)首先到達(dá)第3格，并規(guī)定從0格出發(fā)，每次劃拳贏的一方往右前進(jìn)一格，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩人都往右前進(jìn)一格．如果一方連續(xù)贏兩次，那么他將額外獲得右前進(jìn)一格的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)到達(dá)第3格，當(dāng)有任何一方到達(dá)第3格時(shí)游戲結(jié)束，則游戲結(jié)束時(shí)恰好劃拳3次的概率為（

）0123A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)事件“第次劃拳甲贏”為，事件“第次劃拳甲平局”為，事件“第次劃拳甲輸”為，則，則游戲結(jié)束時(shí)恰好劃拳3次的概率為故選：D3．（2024·安徽·一模）有三臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，任取一個(gè)零件，則它是次品的概率（

）A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525【答案】D【解析】根據(jù)題意，設(shè)任取一個(gè)零件，由第1，2，3臺(tái)車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，則，，，，，任取一個(gè)零件是次品的概率，故選：D4．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）某公司進(jìn)行招聘，甲、乙、丙被錄取的概率分別為，，，且他們是否被錄取互不影響，若甲、乙、丙三人中恰有兩人被錄取，則甲被錄取的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)甲，乙，丙被錄取分別為事件，三人中恰有兩人被錄取為事件，則，．故選：C．5．在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中共有5扇關(guān)閉的門，其中2扇門后面有獎(jiǎng)品，其余門后沒(méi)有獎(jiǎng)品，主持人知道獎(jiǎng)品在哪些門后.參賽者先選擇一扇門，但不立即打開.主持人打開剩下的門當(dāng)中一扇無(wú)獎(jiǎng)品的門，然后讓參賽者決定是否換另一扇仍然關(guān)閉的門.參賽者選擇不換門和換門獲獎(jiǎng)的概率分別為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不換門：則與一開始隨機(jī)選擇一扇門的中獎(jiǎng)概率一樣，為；假設(shè)換門：若一開始選擇的門有獎(jiǎng)，則換門后的中獎(jiǎng)概率為；若一開始選擇的門無(wú)獎(jiǎng)，則換門后的中獎(jiǎng)概率為．所以換門的中獎(jiǎng)概率為．故選：C6．在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個(gè)地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)A，B，C地區(qū)分別有的人患過(guò)流感，且A，B，C三個(gè)地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中隨機(jī)選取一人，則此人患過(guò)流感的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記事件D：選取的這個(gè)人患了流感，記事件E：此人來(lái)自A地區(qū)，記事件F：此人來(lái)自B地區(qū)，記事件G：此人來(lái)自C地區(qū)，則，且彼此互斥，由題意可得，，，，，，由全概率公式可得.故選：A.7．設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的光片，其中甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的分別為5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再?gòu)倪@盒中任取一張光片，則取得的光片是次品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)=“任取一個(gè)X光片為次品”，=“X光片為某廠生產(chǎn)”（甲、乙、丙廠依次對(duì)應(yīng)）則,且兩兩互斥.由題意可得：,.故選：A.8．（多選題）（2024·高三·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件：兩次的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，：兩次的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)，：第一次的點(diǎn)數(shù)大于2，則（

）A． B．C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理得基本事件的總數(shù)為個(gè)，事件包含的基本事件為，，共18個(gè)，所以，事件包含的基本事件為，共9個(gè)，所以，故A正確;事件包含的基本事件為，，，共有24個(gè)，所以，故B正確，而包含的基本事件為共有9個(gè)，所以，而，故，所以與不是相互獨(dú)立事件，故C錯(cuò)誤;而包含的基本事件為，共有6個(gè)，所以，而，故，所以與是相互獨(dú)立事件，故D正確.故選：ABD.9．（多選題）（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)A：因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由，故B正確；對(duì)C：因?yàn)椋蔆正確；對(duì)D：，所以：.所以.故D正確.故選：BCD10．（多選題）某箱中有若干個(gè)編號(hào)依次為的球，每個(gè)球除編號(hào)外完全相同.現(xiàn)從箱中每次不放回地取一個(gè)球，若第次取出球的編號(hào)為，則記為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若則B．若則C．若則事件和事件相互獨(dú)立D．若則事件和事件相互獨(dú)立【答案】BC【解析】對(duì)于A，若，則只可能第1次取出的球編號(hào)為1，故，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則第1次未取到編號(hào)為1的球，且總計(jì)4個(gè)球，分情況討論：若第1次取編號(hào)為2的球，第2次取編號(hào)為1號(hào)或3號(hào)或4號(hào)球，共3種情況；若第1次取編號(hào)為3的球，第2次取編號(hào)為1號(hào)或2號(hào)或4號(hào)球，共3種情況；若第1次取編號(hào)為4的球，第2次取編號(hào)為1號(hào)或2號(hào)或3號(hào)球，共3種情況，總計(jì)9種情況，第2次取編號(hào)為2的球的情況共2種，故，故B正確；對(duì)于C，若，則前兩次均未取編號(hào)為1的球，故，，滿足，故C正確；對(duì)于D，若，則前兩次均未取編號(hào)為1的球，且總計(jì)5個(gè)球，前兩次可取的只能為編號(hào)為2號(hào)或3號(hào)或4號(hào)或5號(hào)球.，且，而第2次取球需分情況討論：若第1次取編號(hào)為3的球，第2次取編號(hào)為2號(hào)或4號(hào)或5號(hào)球，共3種情況；若第1次取編號(hào)為2的球，第2次取編號(hào)為3號(hào)或4號(hào)或5號(hào)球，共3種情況；若第1次取編號(hào)為4的球，第2次取編號(hào)為2號(hào)或3號(hào)或5號(hào)球，共3種情況；若第1次取編號(hào)為5的球，第2次取編號(hào)為2號(hào)或3號(hào)或4號(hào)球，共3種情況，總計(jì)12種情況，第2次取編號(hào)為3的情況共3種，故，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．（多選題）（2024·高三·江蘇·開學(xué)考試）甲罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（

）A．為互斥事件 B．C． D．【答案】BD【解析】A選項(xiàng):事件可以同時(shí)發(fā)生；顯然不成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng):當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球，此時(shí)發(fā)生的概率為，∴，∴B選項(xiàng)正確；D選項(xiàng):當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球，此時(shí)發(fā)生的概率為，∴,∴，∴D選項(xiàng)正確；C選項(xiàng):，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BD.12．2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)女子乒乓球決賽，中國(guó)選手陳夢(mèng)與孫穎莎奉獻(xiàn)了一場(chǎng)精彩絕倫的巔峰對(duì)決，她們技藝精湛，頑強(qiáng)拼搏，展現(xiàn)國(guó)球風(fēng)采，為觀眾帶來(lái)了視覺(jué)盛宴.現(xiàn)甲?乙兩名乒乓球選手進(jìn)行一場(chǎng)七局四勝的比賽，即誰(shuí)先贏4局的比賽，誰(shuí)就獲勝，比賽結(jié)束.已知每一局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為，且第一局乙獲勝，則甲最終以比獲勝的概率為.【答案】【解析】甲最終以比獲勝，即甲在第，，，局比賽中勝局，且第局獲勝，事件甲最終以比獲勝的概率為：，故答案為：.13．（2024·四川·一模）條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念，近年來(lái)，條件概率和條件期望已被廣泛的應(yīng)用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)，是離散型隨機(jī)變量，則在給定事件條件下的期望為，其中為的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率.某商場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng)，凡在該商場(chǎng)每消費(fèi)500元，可有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次獲獎(jiǎng)的概率均為，某人在該商場(chǎng)消費(fèi)了1000元，共獲得4次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).設(shè)表示第一次抽中獎(jiǎng)品時(shí)的抽取次數(shù)，表示第二次抽中獎(jiǎng)品時(shí)的抽取次數(shù).則.【答案】2【解析】由題意可知可取，所以，，，又因?yàn)?，所?故答案為：.14．（2024·高三·河北秦皇島·開學(xué)考試）有甲、乙兩個(gè)口袋，甲口袋裝有2個(gè)紅球，乙口袋裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，有放回地從兩個(gè)口袋中各取1個(gè)球，并記為1次取球，若取到的2個(gè)球均為紅球，則停止取球；否則在兩個(gè)口袋中各加進(jìn)1個(gè)白球，然后再按照以上規(guī)則取球，直到取到的2個(gè)球均為紅球?yàn)橹梗洝叭×舜吻蚝笸Ｖ谷∏颉?，則；．【答案】【解析】（1）依題意第一次從兩個(gè)口袋均取出紅球，故；（2）依題意前三次取球均不為兩個(gè)紅球，第4次取球?yàn)閮蓚€(gè)紅球.故.故答案為：；15．（2024·高三·全國(guó)·單元測(cè)試）已知有黑、白兩種除顏色外完全相同的若干小球，放入三個(gè)相同的空箱子中，已知三個(gè)箱子中小球的數(shù)量之比為，其中黑球占比分別為．若從三個(gè)箱子中各取一球，則取得的球均為黑球的概率為；若將三個(gè)箱子中的球全倒入一個(gè)箱子內(nèi)，則從中取得一個(gè)白球的概率為．【答案】120//【解析】設(shè)三個(gè)箱子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，則第一個(gè)箱子中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；第二個(gè)箱子中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；第三個(gè)箱子中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；由古典概型的概率公式知，三個(gè)箱子中取到黑球的概率分別為，記“從三個(gè)箱子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件，因?yàn)閺娜齻€(gè)箱子中取球相互獨(dú)立，所以，；記“三個(gè)箱子中的球全倒入一個(gè)箱子內(nèi)，則從中取得一個(gè)白球”為事件，黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，所以由古典概型的概率公式從知，．故答案為：0.05；0.6.16．在神舟十五號(hào)載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功的背景下．某學(xué)校高一年級(jí)利用高考放假期間組織1200名學(xué)生參加線上航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

(1)若從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人，求10人中成績(jī)不高于50分的人數(shù)；(2)求的值，并以樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)以及中位數(shù)；(3)由首輪競(jìng)賽成績(jī)確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級(jí)互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率．【解析】（1）從圖中可知組距為，則的頻率分別為,從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人時(shí),成績(jī)不高于50分的人數(shù)為（人）.（2）由圖可知，解得.使用組中值與頻率可估計(jì)平均數(shù)為.因?yàn)榍?，所以中位?shù)在內(nèi)，設(shè)估計(jì)的中位數(shù)為，則，得.（3）記甲、乙、丙獲優(yōu)秀等級(jí)分別為事件、、，則三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率等于.17．（2024·廣東佛山·三模）隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【解析】（1）設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，所以．（2）由題意知，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4，記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為X12P0.10.9所以X的數(shù)學(xué)期望（3）證明：由題知，所以，所以，所以，即：，所以，即.18．在一個(gè)盒子中有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，甲、乙兩人輪流從盒子中隨機(jī)地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，每次取1個(gè)，取后不放回，直到2個(gè)白球都被取出來(lái)后就停止取球．(1)求2個(gè)白球都被乙取出的概率；(2)求2個(gè)白球都被甲取出的概率；(3)求將球全部取出才停止取球的概率【解析】（1）若2個(gè)白球都被乙取出記為事件，即第一次甲取出紅球，第二次乙取出白球，第三次甲取出紅球，第四次乙取出白球，結(jié)束取球，則;（2）若2個(gè)白球都被甲取出記為事件，三種情況：①第一次甲取出白球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出白球，結(jié)束取球，其概率為；②第一次甲取出白球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出紅球，第四次乙取出紅球，第五次甲取白球，其概率為；③第一次甲取出紅球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出白球，第四次乙取出紅球，第五次甲取白球，其概率為；故．（3）若將球全部取出才停止取球記為事件，則最后一次即第5次取出的一定是白球．四種情況：①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，其概率為；②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，其概率為；③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，其概率為；④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，其概率為；故．19．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）小郅同學(xué)的左、右口袋中分別裝有3個(gè)糖果，每次取糖他都有的概率從右口袋中取，每次取糖過(guò)程相互獨(dú)立.當(dāng)他發(fā)現(xiàn)某個(gè)口袋中沒(méi)有糖時(shí)停止取糖.(1)求當(dāng)他右口袋為空時(shí)，左口袋中剩余2個(gè)糖的概率，并求出的值使最大.(2)若，求小郅最終發(fā)現(xiàn)其右口袋沒(méi)有糖的概率.(3)對(duì)于，求證成立不等式：.【解析】（1）由題意可知：，且，則，令，解得；令，解得；可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值.（2）設(shè)當(dāng)他發(fā)現(xiàn)右口袋為空時(shí)左口袋剩個(gè)糖果的概率為，則，所以.（3）設(shè)初始左、右口袋均有個(gè)糖果，則（2）中公式可化為：，下證：，即證，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，依此類推等價(jià)于，這顯然成立.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，化簡(jiǎn)最終不等式得：，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，可知，可得，所以.20．A，B，C，D四位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：先將四位同學(xué)平均分成兩組，每組進(jìn)行一場(chǎng)比賽決出勝負(fù)，獲勝者進(jìn)入勝者組，失敗者進(jìn)入敗者組.勝者組和敗者組中再各自進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝者組中獲勝者獲得冠軍，失敗者獲得亞軍，敗者組中獲勝者獲得季軍.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為.(1)求同學(xué)A獲得冠軍的概率；(2)求A，B兩人不能夠在比賽中相遇的概率.【解析】（1）同學(xué)A獲得冠軍，則要進(jìn)入勝者組且在該組中獲勝，其概率為.（2）四位同學(xué)分組為共3種，易知A，B兩人在第一輪相遇的概率為13，A，B兩人在敗者組相遇的概率為，A，B兩人在勝者組相遇的概率為，所以A，B兩人不能夠在比賽中相遇的概率為.1．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率