福建省廈門市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

福建省廈門市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（試卷滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，，所以,所以.故選：D.2.設(shè)，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取特別值推斷ABC，由冪函數(shù)的單調(diào)性推斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在當(dāng)單調(diào)遞增，，所以故選：D3.下面各組函數(shù)中是同一函數(shù)是（）A.與B.與C.與D.與【答案】C【解析】【分析】分別分析各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域，值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可得出答案.【詳解】A．函數(shù)的定義域?yàn)椋?，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)，B．，定義域?yàn)?，函?shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)C．兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)D．由得得，由得或，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，故選：C．4.已知,,則的大小關(guān)系是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】,選B5.“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及性質(zhì)，分別驗(yàn)證充分性與必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則故函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，，即，解得.所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件.故選:C.6.函數(shù)圖象大致形態(tài)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的解析式，得出函數(shù)為奇函數(shù)，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解除B、D；又由當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，解除A.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)函數(shù)的解析式識(shí)別函數(shù)的圖象，其中解答中熟記函數(shù)的基本性質(zhì)，嫻熟應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與判定實(shí)力.7.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為（）A.2 B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先將函數(shù)化簡變形得，然后構(gòu)造函數(shù)，可推斷為奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合可得，從而可求得結(jié)果【詳解】由題意知，（），設(shè)，則，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以.故選:C.8.為了廣闊人民群眾的食品健康，國家提倡農(nóng)戶種植綠色蔬菜．綠色蔬菜生產(chǎn)單位依據(jù)特定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行生產(chǎn)，并要經(jīng)過特地機(jī)構(gòu)認(rèn)定，獲得許可運(yùn)用綠色蔬菜商標(biāo)標(biāo)記資格．農(nóng)藥的平安殘留量是其很重要的一項(xiàng)指標(biāo)，平安殘留量是指某蔬菜運(yùn)用農(nóng)藥后的殘留量達(dá)到可以免洗入口且對(duì)人體無害的殘留量標(biāo)準(zhǔn)．為了防止一種變異的蚜蟲，某農(nóng)科院研發(fā)了一種新的農(nóng)藥“蚜清三號(hào)”，經(jīng)過大量試驗(yàn)，發(fā)覺該農(nóng)藥的平安殘留量為0.001mg/kg，且該農(nóng)藥噴灑后會(huì)漸漸自動(dòng)降解，其殘留依據(jù)y＝ae﹣x的函數(shù)關(guān)系降解，其中x的單位為小時(shí)，y的單位為mg/kg．該農(nóng)藥的噴灑濃度為2mg/kg，則該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到平安殘留量標(biāo)準(zhǔn)，至少須要（）小時(shí)．（參考數(shù)據(jù)ln10≈2.3）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】先由可得a的值，再依據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，解不等式2≤0.001，即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，所以2＝a?e﹣0，解得a＝2，所以y＝2e﹣x，要使該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到平安殘留量標(biāo)準(zhǔn)，則2e﹣x≤0.001，解得x≥﹣ln＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，因?yàn)閘n＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），所以要使該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到平安殘留量標(biāo)準(zhǔn)，至少須要8小時(shí)．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）A.0 B.1 C.2 D.5【答案】ACD【解析】【分析】化簡集合，由可得，分和兩種狀況進(jìn)行探討即可求解【詳解】，因?yàn)?，所以，若，則，滿意；若，則，因?yàn)?，所以或，解得或，故選：ACD10.已知正數(shù)滿意，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)條件和基本不等式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿意，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以A正確；由，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以C錯(cuò)誤；由正數(shù)滿意，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值是，所以D正確.故選：ABD11.已知實(shí)數(shù)a滿意，下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)即可推斷A；依據(jù)即可推斷B，留意符號(hào)；依據(jù)即可推斷C；利用立方和公式即可推斷D.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，故A正確；，所以，故B錯(cuò)誤；，又，所以，則，故C正確；，故D正確.故選：ACD.12.函數(shù)的定義域?yàn)镮，若使得均有，且函數(shù)是偶函數(shù)，則可以是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】求出各函數(shù)的最大值，推斷各函數(shù)的奇偶性，即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)沒有最大值，則不存在，使得，故A不符題意；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，所以又，所以，所以，即，使得，又，而，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，，則，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是奇函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D，由，得，故使得，因?yàn)榕c要么都是有理數(shù)，要么都是無理數(shù)，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故D符合題意.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)根式、對(duì)數(shù)的性質(zhì)有求解集，即為函數(shù)的定義域.【詳解】由函數(shù)解析式知：，解得，故答案為：.14.若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則_____________．【答案】256【解析】【分析】依據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求出，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以，則.故答案為：256.15.已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，當(dāng)時(shí)，能成立，分類探討的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，即當(dāng)時(shí)，不等式能成立，即能成立．當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故．當(dāng)時(shí)，則時(shí)，函數(shù)的最小值為，求得．當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，滿意條件．綜上可得，實(shí)數(shù)的范圍為或，故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：解答本題時(shí)要留意審題，本題不是恒成立問題，而是能成立問題，所以等價(jià)于當(dāng)時(shí)，不等式能成立．即函數(shù)的最小值大于零，而不是最大值大于零.16.若是奇函數(shù)，則_____________，_____________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到，即可求出的值，求出函數(shù)的定義域，再由奇函數(shù)的性質(zhì)，求出的值，再代入檢驗(yàn)即可.【詳解】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，可得，所以且，所以，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，即，所以，此時(shí)，則，符合題意；故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，記關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集為.（1）若，求集合；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）干脆解不等式得解；（2）先化簡集合,再依據(jù)，得到關(guān)于的不等式得解.【詳解】（1）由，得；（2）.由，得，又，所以，即的取值范圍是.18.計(jì)算求值：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：.19.某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）滿意函數(shù)：.（1）將利潤P（單位：元）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）【答案】（1）；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，總利潤最大，最大利潤為25000元.【解析】【分析】（1）分與兩種狀況，求解出利潤P（單位：元）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）分分與兩種狀況，求解出利潤的最大值，比較后得到結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，故；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為25000；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，綜上：當(dāng)月產(chǎn)量300臺(tái)時(shí)，總利潤最大，最大利潤為25000元.20.已知定義在上的奇函數(shù).（1）求；（2）用定義證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）若實(shí)數(shù)滿意，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）由是定義在上的奇函數(shù)，得到，即可求解；（2）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)在單調(diào)遞減.（3）結(jié)合在單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，解得.（2）任取且，則因，故，從而，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞減.（3）由，又由，因?yàn)?，結(jié)合在單調(diào)遞減，可得，即，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】含有“”的不等式的解法：1、首先依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式；2、依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為詳細(xì)的不等式（組），此時(shí)要留意和的取值應(yīng)再外層函數(shù)的定義域內(nèi)；3、結(jié)合不等式（組）的解法，求得不等式（組）的解集，即可得到結(jié)論.21.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)覺可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．（1）推斷函數(shù)為奇偶性，并求函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心；（2）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論．【答案】（1）為奇函數(shù)，的對(duì)稱中心是；（2）見解析.【解析】【分析】（1）先依據(jù)定義證明為奇函數(shù)，然后找出之間的關(guān)系，利用題目條件寫出的對(duì)稱中心；（2）仿照題干的寫法寫出相關(guān)命題即可【小問1詳解】為奇函數(shù)，證明如下，首先定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故為奇函數(shù)，，故，于是是奇函數(shù)，由題意知，對(duì)稱中心是；【小問2詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).22.若函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若存在非零?shí)數(shù)使得隨意都有，且，則稱為上的-增長函數(shù).(1)已知函數(shù)，函數(shù)，推斷和是否為區(qū)間上的增長函數(shù)，并說明理由；(2)已知函數(shù)，且是區(qū)間上的-增長函數(shù)，求正整數(shù)的最小值；(3)假如是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且為上的增長函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)是，不是，理由見解析；(2)；(3).【解析】【分析】(1)利用給定定義推理推斷或者反例推斷而得；(2)把恒成立的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，再求函數(shù)最小值而得解；(3)依據(jù)題設(shè)條件，寫出函數(shù)f(x)的解析式，再分段探討求得，最終證明即為所求.【詳解】(1)g(x)定義域R，，g(x)是，取x=-1，，h(x)不是，函數(shù)是區(qū)間上的增長函數(shù)，函數(shù)不是；(2)依題意，，而n>0，關(guān)于x的一次函數(shù)是增函數(shù)，x=-4時(shí)，所以n2-8n>0得n>8，從而正整數(shù)n的最小值為9；(3)依題意，，而，f(x)在區(qū)間[-a2,a2]上是遞減的，則x，x+4不能同在區(qū)間[-a2,a2]上，4>a2-(-a2)=2a2，又x∈[-2a2，0]時(shí)，f(x)≥0，x∈[0，2a2]時(shí)，f(x)≤0，若2a2<4≤4a2，當(dāng)x=-2a2時(shí)，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，所以4a2<4，即-1<a<1.因?yàn)椋?/p>