貴州省2025屆高三數學下學期3+3+3高考備考診斷性聯考一理含解析

Page25貴州省2024屆高三數學下學期3+3+3高考備考診斷性聯考（一）（理）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數函數值域得，再依據交集的含義即可得到答案.【詳解】依據指數函數值域可知，表示的集合為，故選：C.2.復數，則（）A. B. C.2 D.5【答案】C【解析】【分析】依據復數運算規(guī)則計算即可.【詳解】，；故選：C.3.某醫(yī)療公司引進新技術設備后，銷售收入（包含醫(yī)療產品收入和其他收入）逐年翻一番，據統(tǒng)計該公司銷售收入狀況如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A.該地區(qū)2024年的銷售收入是2024年的4倍B.該地區(qū)2024年的醫(yī)療產品收入比2024年和2024年的醫(yī)療產品收入總和還要多C.該地區(qū)2024年其他收入是2024年的其他收入的3倍D.該地區(qū)2024年的其他收入是2024年的其他收入的6倍【答案】D【解析】【分析】設該地區(qū)2024年銷售收入為，則由銷售收入（包含醫(yī)療產品收人和其他收入）逐年翻一番，所以該地區(qū)2024年銷售收入為，該地區(qū)2024年銷售收入為，然后逐項分析即可.【詳解】設該地區(qū)2024年銷售收入為，則由銷售收入（包含醫(yī)療產品收人和其他收入）逐年翻一番，所以該地區(qū)2024年銷售收入為，該地區(qū)2024年銷售收入為，選項A：該地區(qū)2024年的銷售收入是2024年的4倍，故選項A正確；選項B：由圖可得該地區(qū)2024年的醫(yī)療產品收入為，該地區(qū)2024年的醫(yī)療產品收入為，該地區(qū)2024年的醫(yī)療產品收入為，由，故選項B正確；選項C：該地區(qū)2024年的其他收入為，2024年的其他收入為，所以該地區(qū)2024年其他收入是2024年的其他收入的3倍，故選項C正確；全科試題免費下載公眾號《中學僧課堂》選項D：該地區(qū)2024年的其他收入為，2024年的其他收入為，所以該地區(qū)2024年其他收入是2024年的其他收入的12倍，故選項D不正確.故選：D.4.我國古代數學名著《九章算術》對立體幾何有深化的探討，從其中一些數學用語可見，譬如“陽馬”意指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐．某“陽馬”的三視圖如圖所示，則它的最長側棱與底面所成角的正切值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先還原幾何體，并得到最長側棱，依據線面角的定義，求線面角的正切值.【詳解】如下圖，還原幾何體，其中平面，底面為矩形，，，，側棱，，,，所以最長的側棱是,與底面所成的角是，故選：C5.已知焦點在坐標軸上且中心在原點的雙曲線的一條漸近線方程為，若該雙曲線過點，則它的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據漸近線設雙曲線方程為，代入點坐標，計算得到答案.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，設雙曲線方程為，該雙曲線過點，則，故雙曲線方程為，故選：A6.已知直線與圓，則下列說法錯誤的是（）A.對，直線恒過肯定點B.，使直線與圓相切C.對，直線與圓肯定相交D.直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為【答案】B【解析】【分析】首先求出直線過定點，則可推斷A，求出圓心，，則，依據點在圓內，則直線與圓肯定相交，故可推斷B,C，對D選項，分析出時弦長最短，則，代入數據計算即可.【詳解】直線，即，令，解得，即直線恒過定點，故A正確；圓，即圓，圓心，半徑，則，即點在圓內，所以直線與圓肯定相交，故B錯誤，故C正確，當時直線與圓相交且直線被圓所截得的弦長最短，最短弦長，故D正確，故選：B.7.以下關于的命題，正確的是（）A.函數在區(qū)間上單調遞增B.直線是函數圖象的一條對稱軸C.點是函數圖象的一個對稱中心D.將函數圖象向左平移個單位，可得到的圖象【答案】D【解析】【分析】依據三角函數恒等變換化簡為，計算出，依據正弦函數的單調性，可推斷A;采納代入驗證的方法可推斷;依據三角函數的平移變換可得平移后的函數解析式，推斷D.【詳解】由題意得，當時，，由于函數在不單調，故函數在區(qū)間上不是單調遞增函數，A錯誤；當時，，故直線不是函數圖象的對稱軸，B錯誤；當時，，故點不是函數圖象的對稱中心，C錯誤；將函數圖象向左平移個單位，可得到的圖象，D正確，故選：D8.在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形態(tài)為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】依據三角恒等變換得，再由余弦定理解決即可.【詳解】由題知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形態(tài)為直角三角形，故選：A9.小明家訂了一份牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：00之間把牛奶送到小明家，小明出門去上學的時間在早上6：50~7：10之間，則小明在離開家之前能得到牛奶的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據題意，設送奶人到達時間為，小明出門去上學的時間為，則可以看成平面中的點，分析可得由試驗的全部結果所構成的區(qū)域并求出其面積，同理可得事務所構成的區(qū)域及其面積，由幾何概型公式，計算可得結果.【詳解】設送奶人到達時間為，小明出門去上學的時間為，記小明在離開家之前能得到牛奶為事務，以橫坐標表示送奶人到達時間，以縱坐標表示小明出門去上學的時間，建立平面直角坐標系，小明在離開家之前能得到牛奶的事務構成的區(qū)域如圖所示：由于隨機試驗落在長方形區(qū)域內任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件.依據題意，只要點落到陰影部分，就表示小明在離開家之前能得到牛奶，即事務發(fā)生，所以，故選：.10.已知符號函數，函數滿足，當時，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】計算得到A錯誤，依據周期計算得到B錯誤，依據定義計算C正確，取，得到D不正確，得到答案.【詳解】對選項A：，錯誤；對選項B：，函數周期為，，錯誤；對選項C：，正確；對選項D：取，，，不正確.故選：C11.已知直線l與曲線相切，切點為P，直線l與x軸、y軸分別交于點A，B，O為坐標原點．若的面積為，則點P的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】設出切點坐標，利用導數求切線斜率，寫出切線方程，求出點A，B的坐標，表示的面積函數，求面積函數與直線有幾個交點.【詳解】設直線l與曲線相切于，又，所以直線l的斜率為，方程為，令，；令，,即，.所以.設，則.由，解得或；由，解得.所以在，上單調遞增，在上單調遞減.，，，，且恒有成立，如圖，函數與直線有3個交點.所以點P的個數為3.故選：C.12.如圖,已知四面體ABCD中,,,E,F分別是AD,BC的中點．若用一個與直線EF垂直,且與四面體的每一個面都相交的平面去截該四面體,由此得到一個多邊形截面,則該多邊形截面面積的最大值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由四面體中互為異面直線的兩條棱長分別相等,則可將四面體放入長方體中,求出長方體的長寬高可發(fā)覺此長方體有一個面為正方形,故四面體中有一對異面直線垂直,由平面,及在長方體的位置,依據面面平行的判定定理及性質定理可證明截面為矩形,依據相像可得出截面相鄰兩邊的和為定值,依據矩形面積,利用基本不等式即可求得截面面積最大值.【詳解】解:由題知四面體中互為異面直線的兩條棱長分別相等,故可將此四面體放入長方體中,如圖所示:不妨設該長方體長、寬、高分別為,則有①,②,③,聯立①②③可得:,設平面與四面體的各面分別交于KL,LM,MN,KN,如圖所示:平面,由長方體性質可知平面,故平面平面平面,平面平面,平面平面,即平面平面,平面平面,,,即,同理可得,故,四邊形為正方形,,即,即,,,綜上:四邊形KLMN為矩形,所以,當且僅當時成立.故截面面積的最大值為1.故選:A【點睛】方法點睛:此題考查立體幾何中的截面問題,屬于難題,關于特別幾何體的方法有:(1)正四面體可放在正方體中考慮;(2)四面體中互為異面直線的棱長相等,可放在長方體中考慮;(3)有一條棱垂直底面,可補成直三棱柱.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，若，則___________．【答案】【解析】【分析】依據平面對量的坐標運算以及向量平行的坐標表示可求出結果.【詳解】因為，所以，，因為，所以，解得.故答案為：.14.綻開式中含項的系數為______．【答案】30【解析】【分析】先利用二項式定理求出的綻開式通項，再利用多項式相乘進行求解.【詳解】的綻開式通項為，因為，在中，令，在中，令，得，所以綻開式中的系數為.故答案為：30.15.若，則a的值為___________．【答案】1【解析】【分析】利用對數的運算性質分別對分子分母化簡即可得到結果.【詳解】原式.故答案為：116.拋物線焦點為F，直線l過點F且與拋物線交于點M，N（點N在x軸上方），點E為坐標軸上F右側的一點，已知，，若點N在雙曲線的一條漸近線上，則雙曲線的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】由題意做出圖形，利用圖形以及拋物線定義，再結合題中所給條件得出關于的方程，解之即可.【詳解】過M，N分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為P，Q，過M作于G，如圖所示：設，由拋物線定義知，，所以，因此在中，，又平行于x軸，所以，故為正三角形，，解得，又在拋物線上，所以（舍）或，所以在上，則，又，所以，即，又，故．故答案為：.三、解答題（共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對飲食的要求也愈來愈高．某地區(qū)為了解當地餐飲狀況，隨機抽取了100人對該地區(qū)的餐飲狀況進行了問卷調查．請依據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列問題．組別分組頻數頻率第1組140.14第2組m第3組360.36第4組0.16第5組4n合計（1）求的值；（2）求中位數；（3）若將滿足度在80分以上的人群稱為“美食客”，將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該地區(qū)中隨機抽取3人，記其中“美食客”的人數為，求的分布列和數學期望．【答案】（1）；（2）（3）分布列見解析，數學期望為.【解析】【分析】（1）依據頻率和頻數的定義結合頻率分步表可求得，依據頻率分步直方圖中的含義即可求得；（2）依據頻率分布直方圖結合中位數的估計方法即可得到答案；（3）由題意可得，利用二項分布概率公式求分布列和數學期望即可.【小問1詳解】由題意可得第四組的人數為，所以，，又內的頻率為，所以，內的頻率為，所以.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可得第一、二組頻率之和，第一、二、三組頻率之和為，故中位數在之間，設中位數為，則：，解得，故中位數為.【小問3詳解】由頻率分布表可得該地區(qū)抽取“美食客”的概率為，由題意可取，且，所以，，，，所以的分布列為012318.已知數列是遞增的等比數列．設其公比為，前項和為，并且滿足，是與的等比中項．（1）求數列的通項公式；（2）若，是的前項和，求使成立的最大正整數的值．【答案】（1）（）（2）5【解析】【分析】（1）依據等比數列的性質結合條件是與的等比中項得到，聯立條件得到和，依據題目條件和等比數列的通項公式即可求解.（2）依據（1）求得，利用錯位相減求和得到，從而得到，通過函數法推斷出是單調遞減數列，即可求解.【小問1詳解】因為是與的等比中項，所以，則由題意得：，即，解得：或，因為數列是遞增的等比數列，所以，即，，所以，故數列的通項公式為（）.【小問2詳解】由（1）得：（），則，①即，②則得：即（），所以（），設，則（），因為在上單調遞減，所以是單調遞減數列，又有，，所以當且時，成立，故使成立的最大正整數的值為.19.如圖,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,平面ABCD,,（1）求證:平面平面PBC;（2）試問在線段PC上是否存在一點M,使得二面角的大小為,若存在求出的值;若不存在,請說明理由．【答案】（1）證明見解析;（2）存在,.【解析】【分析】(1)先由長度之間關系證明,再證明平面,依據面面垂直判定定理即可證明結論;(2)先建立空間直角坐標,設,寫出M點坐標,分別求出平面及平面的法向量,進而求出二面角大小的余弦值,使其為,解出的值,進而求出的值即可.【小問1詳解】證明:,,,四邊行為平行四邊形,,又平面,,而,且BD,PD含于面PBD平面,又平面,平面平面;【小問2詳解】由(1)知,,且平面ABCD,故以D為原點,分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,則,假設在存在一點滿足條件,設,,,即,設為平面的法向量,則,即,即,令,可得,平面ABCD,不妨令平面的法向量為,由二面角的大小為,,或（舍去）,存在實數,即,解得,使得二面角的大小為．20.已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）詳見解析【解析】【分析】（1）依據條件得到關于的方程組，即可求得橢圓方程；（2）首先直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示線段中點坐標，再依據,以及，轉化為坐標表示，代入韋達定理后，即可求【小問1詳解】由條件可知，，解得：，，所以橢圓C的方程是；【小問2詳解】假設在軸上存在點，使且，聯立，設，，方程整理為，，解得：或，，，則線段的中點的橫坐標是，中點縱坐標，即中點坐標，，則，即，化簡為，①又,則，，整理為，，化簡為②由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.當時，，當時，，滿足，所以存在定點,此時直線方程是，當定點,此時直線方程是.21.已知．（1）探討的單調性；（2）若對恒成立，求整數a最小值．【答案】（1）分類探討，答案見解析；（2）2【解析】【分析】（1）求導，依據和兩種狀況探討.（2）把不等式分別參量得，求函數的最大值，但是求導后求不出詳細的根，所以設隱零點，整體代入求解.小問1詳解】的定義域為，（?。┊敃r，，∴在上單調遞增；（ⅱ）當時，令，令，∴當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．【小問2詳解】由，可得：，∵，∴原命題等價于對恒成立．令，∴，令，∴，∴在上單調遞增．又，故存在唯一的，使得．當時，，∴，∴在上單調遞增，當時，，∴，∴在上單調遞減．∴，∴時，恒成立．∴，又，∴a的最小整數值為2．【點睛】求某個函數的單調性時，發(fā)覺極值點不簡單求出，則用隱零點解決.第一步設出隱零點，然后代入得到等式，其次步依據設出的隱零點得到函數的單調區(qū)間，求出函數的極值第三步極值分別出代入，化簡成新的表達式第四步求的最值.請考生在