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Page24遼寧省2024屆高二其次次階段測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若向量,,且,則實(shí)數(shù)值是()A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知利用數(shù)量積為零列式計(jì)算即可.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,因?yàn)?,所以,解得.故選:C.2.已知點(diǎn),若直線與線段有交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意知A、B兩點(diǎn)在直線的異側(cè)或在直線上,得出不等式(2k﹣2﹣1)×(﹣k﹣3﹣1)≤0,求出解集即可.【詳解】依據(jù)題意,若直線l:kx﹣y﹣1=0與線段AB相交,則A、B在直線的異側(cè)或在直線上,則有(2k﹣2﹣1)×(﹣k﹣3﹣1)≤0,即(2k﹣3)(k+4)≥0,解得k≤﹣4或k≥,即k的取值范圍是(﹣∞,﹣4]∪[,+∞).故選C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與線段AB相交的應(yīng)用問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化思想,是基礎(chǔ)題.3.若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn),則弦所在直線方程為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得圓心坐標(biāo)為,依據(jù)斜率公式求得,再由依據(jù)圓的弦的性質(zhì),得到,結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程,即可求解.【詳解】由題意,圓,可得,所以圓心坐標(biāo)為,半徑為,又由斜率公式,可得,依據(jù)圓的弦的性質(zhì),可得,所以,所以弦所在直線方程為,即,所以弦所在直線方程為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的求解,以及圓的弦的性質(zhì),其中解答中嫻熟應(yīng)用圓的弦的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.4.已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且,則C的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義及條件,表示出,結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?,由雙曲線的定義可得,所以,;因,由余弦定理可得,整理可得,所以,即.故選:A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:雙曲線的定義是入手點(diǎn),利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.5.空間直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)點(diǎn),且法向量為的平面方程為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l的方程為,閱讀上面的材料并解決下面問(wèn)題:現(xiàn)給出平面的方程為,經(jīng)過(guò)的直線l的方程為,則直線l與平面的位置關(guān)系為()A.相交但不垂直 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可知,平面的一個(gè)法向量和直線的一個(gè)方向向量,由和的位置關(guān)系,推斷直線與平面的位置關(guān)系.【詳解】平面的方程為,平面的一個(gè)法向量為,經(jīng)過(guò)的直線l的方程為,直線的一個(gè)方向向量為,,∴,又點(diǎn)在直線l上但不在平面內(nèi),所以.故選:C.6.四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)E?F?G分別是棱AB?AD?DC中點(diǎn),則()A.1 B.-1 C.4 D.-4【答案】A【解析】【分析】求出EG、EF、GF的長(zhǎng),從而求出,再由,能求出結(jié)果.【詳解】∵四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)都等于2,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別是棱AB,AD,DC的中點(diǎn),∴,,
∴,又∴,
.
故選:A.7.已知平面的法向量為,點(diǎn)在平面內(nèi),點(diǎn)到平面的距離為,則()A.-1 B.-11 C.-1或-11 D.-21【答案】C【解析】【分析】依據(jù)點(diǎn)到平面距離的向量法公式求解即可.【詳解】,而,即,解得或-11.故選:C8.已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且,拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)C,于點(diǎn),若四邊形的面積為,則準(zhǔn)線l的方程為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一:已知,求得,在利用直線方程和拋物線方程聯(lián)立得到,解得,,再依據(jù)梯形面積公式即可求解出p,進(jìn)而得到準(zhǔn)線l的方程;方法二:依據(jù)拋物線焦半徑公式,,已知,解得,求出高為,再依據(jù)梯形面積公式即可求解出p,進(jìn)而得到準(zhǔn)線l的方程.【詳解】解:方法一:由題意知,準(zhǔn)線的方程為,設(shè),,則,由,得,即①由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,代人拋物線方程,消去,得,所以②聯(lián)立①②,得,解得或(舍去),所以,因?yàn)?,將的值代人,解得,所以?zhǔn)線的方程為,故選:D.方法二:設(shè),,,則,,因?yàn)?,所以,解得,則因?yàn)樗倪呅问侵苯翘菪?,其中,,高為,所以四邊形的面積為,解得,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為,故選:D.二?選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分.9.已知A?B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,,直線AP?BP相交于點(diǎn)P,且兩直線的斜率之積為m,則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的所在的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線B.當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的所在的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C.當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的所在的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的所在的曲線是圓【答案】AD【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用斜率乘積轉(zhuǎn)化為求解軌跡方程,通過(guò)的范圍,推斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則直線的斜率為,直線的斜率為,由已知可得,,化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為,當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去與x軸的交點(diǎn)),所以A正確;當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去與x軸的交點(diǎn)),所以B錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去與x軸的交點(diǎn)),所以C錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡為圓(除去與x軸的交點(diǎn)),所以D正確.故選:AD.10.如圖,在四棱錐中,底面ABCD為平行四邊形,,,底面ABCD,則()A.B.PB與平面ABCD所成角為C.異面直線AB與PC所成角的余弦值D.平面PAB與平面ABCD所成二面角為45°【答案】AC【解析】【分析】設(shè),先證,建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合空間向量的應(yīng)用逐一推斷即可得解.【詳解】設(shè),因?yàn)?,,由余弦定理可得,即,從而,即,由底面ABCD,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,故,,,,,所以,所以,即,故A正確;易知面的一個(gè)法向量為,所以PB與平面ABCD所成角滿意,即PB與平面ABCD所成角為,故B錯(cuò)誤;異面直線AB與PC所成角滿意,故C正確;設(shè)面的一個(gè)法向量為,所以,令,則,即,由于,故D錯(cuò)誤;故選:AC.11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)曲線C的方程是,下列結(jié)論正確的是()A.曲線C上的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的最小值是B.曲線C上的點(diǎn)和定點(diǎn)的距離與到定直線l:的距離的比是C.曲線C繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,所得曲線方程是D.曲線C的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng),設(shè)出曲線隨意一點(diǎn)的坐標(biāo),依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及基本不等式求得“最小值”;B選項(xiàng),結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案,C選項(xiàng),通過(guò)求實(shí)半軸來(lái)進(jìn)行推斷;D選項(xiàng),通過(guò)求切線方程來(lái)進(jìn)行推斷.【詳解】曲線C的方程是,則,所以曲線是反比例函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象,即曲線是雙曲線.A選項(xiàng),設(shè)是曲線上的隨意一點(diǎn),,令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以.所以,,所以當(dāng)時(shí),取得最小值為,A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng),到直線的距離為,所以曲線C上的點(diǎn)和定點(diǎn)的距離與到定直線l:的距離的比是,B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng),由上述分析可知曲線是雙曲線,由于曲線的圖象關(guān)于對(duì)稱,所以是雙曲線實(shí)軸所在直線,由解得或,點(diǎn)與點(diǎn)的距離是,所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),而雙曲線的實(shí)半軸,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng),,所以在曲線上隨意一點(diǎn)處的切線方程為,令得;令得,所以曲線C的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是,D選項(xiàng)正確.故選:ABD12.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,M為的中點(diǎn),N為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),則下列命題正確的有()A.若,則MN的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為B.若MN與平面ABCD所成的角為,則N的軌跡為圓C.若N到直線與直線DC的距離相等,則N的軌跡為拋物線D.若與AB所成的角為,則N的軌跡為雙曲線【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)MN中點(diǎn)為H,DM中點(diǎn)為Q,連接PQ,計(jì)算出PQ可知P的軌跡為圓可推斷A;依據(jù)已知算出DN,可推斷B;依據(jù)拋物線定義可推斷C;以DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸,利用向量的夾角公式計(jì)算可推斷D.【詳解】對(duì)于A,設(shè)MN中點(diǎn)為H,DM中點(diǎn)為Q,連接HQ,則,且,如圖,若,則所以,,則,所以點(diǎn)H的軌跡是以Q為圓心,半徑為的圓,面積,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,,則,所以N的軌跡是以D為圓心,半徑為的圓,故B正確;對(duì)于C,點(diǎn)N到直線的距離為BN,所以點(diǎn)N到定點(diǎn)B和直線DC的距離相等,且B點(diǎn)不在直線DC上,由拋物線定義可知,N的軌跡是拋物線,故C正確;對(duì)于D,如圖,以DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),,,,所以,,,化簡(jiǎn)得,即,所以的軌跡為雙曲線,故D正確;故選:BCD.三?填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若三個(gè)點(diǎn),,中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線C:上,則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得到點(diǎn),在雙曲線上,即可求出,進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)點(diǎn),,中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線上,又雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以點(diǎn),雙曲線上,所以,解得,所以其漸近線方程為:.故答案為:.14.歷史上第一個(gè)探討圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯(公元前375年-325年),大約100年后,阿波羅尼奧更詳盡?系統(tǒng)地探討了圓錐曲線,并且他還進(jìn)一步探討了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),比如:從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過(guò)拋物線反射后,反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸;反之,平行于拋物線對(duì)稱軸的光線,經(jīng)拋物線反射后,反射光線經(jīng)過(guò)拋物線的交點(diǎn).設(shè)拋物線C:,一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線經(jīng)過(guò),被拋物線反射后,又射到拋物線上的Q點(diǎn),則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】##0.0625【解析】【分析】依據(jù)題意,求得拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)及反射點(diǎn)的坐標(biāo),即可求得到反射光線所在直線方程,聯(lián)立其與拋物線方程,求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱軸的光線交拋物線于點(diǎn),故對(duì),令,則可得,也即的坐標(biāo)為,又拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,故可得直線方程為,聯(lián)立拋物線方程可得:,解得或,將代入,可得,即的坐標(biāo)為,故答案為:.15.正方體的校長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是內(nèi)不包括邊界的動(dòng)點(diǎn),若,則線段AP長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)平面確定平面,進(jìn)而在上,故當(dāng)時(shí),最小,計(jì)算線段長(zhǎng)度利用等面積法計(jì)算得到答案.【詳解】與相交于,連接,,,,,,故平面,,故平面,P是內(nèi)不包括邊界的動(dòng)點(diǎn),故在上,當(dāng)時(shí),最小中,,,依據(jù)等面積法:.故答案為:16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:,,若圓O上存在兩點(diǎn)A?B滿意下列條件:M為弦AB的中點(diǎn),,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由幾何關(guān)系得,再由三角比列不等式求解,【詳解】由M為弦AB的中點(diǎn),,得,,點(diǎn)在圓外,設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線切點(diǎn)分別為,由題意得,,則,解得故答案為:四?解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條直線與橢圓相交于A?B兩點(diǎn).(1)若M是線段AB的中點(diǎn),求直線AB的方程;(2)若直線AB的斜率為2,求線段AB的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)設(shè)出兩交點(diǎn)坐標(biāo)及直線的表達(dá)式,通過(guò)與中點(diǎn)的關(guān)系,作差,求出斜率,進(jìn)而得出直線AB的方程.(2)寫出直線的表達(dá)式,與橢圓方程聯(lián)立,得出交點(diǎn)坐標(biāo),求出兩點(diǎn)之間的距離.【小問(wèn)1詳解】由題意,在橢圓中,過(guò)的直線與橢圓相交于A?B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn)∴設(shè),,直線解得:∴∴,即【小問(wèn)2詳解】由題意及(1)得在橢圓中,過(guò)的直線與橢圓相交于A?B兩點(diǎn),直線AB的斜率為2,∴,即解得:或∴A?B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,∴18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:及其上一點(diǎn).(1)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且,求直線l的方程;(2)設(shè)點(diǎn)滿意:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)確定圓心和半徑,依據(jù)平行得到直線方程為,依據(jù)弦長(zhǎng)公式結(jié)合圓心到直線的距離得到答案.(2),,即在圓的內(nèi)部,代入計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】,即,故圓心,,,設(shè)直線方程,,故圓心到直線的距離為,即,解得或,故直線方程為或.【小問(wèn)2詳解】,即,,故在圓的內(nèi)部,即,解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍是19.如圖,四棱錐的底面為正方形,底面,設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:平面PDC;(2)已知,Q為l上的點(diǎn),且,求PB與平面QCD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)由,可推得,又易證平面,從而得平面;(2)建系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求解與平面所成角的正弦值即可.【小問(wèn)1詳解】證明:,平面,平面,平面,又平面,且平面平面,,又底面,底面,,又正方形,,,平面平面,又,平面;【小問(wèn)2詳解】解:因?yàn)榈酌?,面,所以,又正方形中,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,依據(jù)題意可得:,,,,,由于Q為l上的點(diǎn),且,則,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,,,與平面所成角的正弦值為.20.已知圓M:與拋物線E:相交于四點(diǎn)A?B?C?D,且在四邊形ABCD中,.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)G,面積為,求點(diǎn)G的坐標(biāo)及m的值.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)設(shè),,,,聯(lián)立圓與拋物線方程,可得關(guān)于的一元二次方程,由判別式大于0及方程根的狀況求得的范圍;(2)由對(duì)稱性,點(diǎn)在軸上,可設(shè),由,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得值,即可得到的坐標(biāo).再由,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】依據(jù)圓與拋物線的對(duì)稱性,四邊形是以軸為對(duì)稱軸的等腰梯形,不妨設(shè),,在第一象限,,,,,則,,聯(lián)立,得.上述方程有互異兩正根,則,解得.【小問(wèn)2詳解】由對(duì)稱性,點(diǎn)在軸上,可設(shè),由,得,化簡(jiǎn)得,由,,,在拋物線上,且均為正數(shù),所以,將其代入得:,由于,所以,由(1)知?jiǎng)t,即.,化簡(jiǎn)得,解得或,由(1)知,故或均符合,故或,【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:一般對(duì)于解析幾何的大題,常涉及到面積,弦長(zhǎng),定值,定點(diǎn)類問(wèn)題.一般從兩個(gè)基本環(huán)節(jié)進(jìn)行求解:翻譯轉(zhuǎn)化;將題目中的幾何關(guān)系恰當(dāng)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)代數(shù)式(等式或者不等式),消元求值;對(duì)所列出的不等式或者方程,進(jìn)行變形,化簡(jiǎn)消元.21.如圖,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AD∥BC,AD=2BC=2,BC⊥DC,∠BAD=60°,平面PAD⊥底面ABCD,E為AD的中點(diǎn),△PAD為正三角形,M是棱PC上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn)).(1)若M為PC的中點(diǎn),求證:PA∥平面BME;(2)是否存在點(diǎn)M,使二面角M-BE-D的大小為30°.若存在,求出點(diǎn)M的位置;若不存在,說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)連接AC交BE于點(diǎn)F,依據(jù)平面幾何學(xué)問(wèn)可得ABCE為平行四邊形,即得MF∥PA.再依據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論;(2)先依據(jù)空間直角坐標(biāo)系,再設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),依據(jù)方程組解得平面法向量,依據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最終依據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程解得M坐標(biāo),即得點(diǎn)M的位置.【小問(wèn)1詳解】證明:如圖,連接AC交BE于點(diǎn)F,連接CE.由題意知BC∥AE,且,故四邊形ABCE為平行四邊形,∴F為AC的中點(diǎn),在△PAC中,又由M為PC的中點(diǎn),得MF∥PA.又MF?平面BME,PA?平面BME,∴PA∥平面BME.【小問(wèn)2詳解】連接PE,則由題意知PE⊥平面ABCD.故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E-xyz,則E(0,0,0),,,.設(shè),,則,解得,,,取平面DBE的法向量,設(shè)平面BME的法向量,則,即,令,則,故平面BME的一個(gè)法向量,又由,則,解得,即,故存在點(diǎn)滿意要求,且M為棱PC上靠近端點(diǎn)C的四等分點(diǎn).22.已知拋物線C:,點(diǎn).(1)設(shè)斜率為1的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若的面積為,求直線l的方程;(2)是否存在定圓M:,使得過(guò)曲線C上隨意一點(diǎn)Q作圓M的兩條切線,與曲線C交
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