《高等微波網(wǎng)絡》課件第4章

第4章網(wǎng)絡綜合4.1網(wǎng)絡綜合的基本概念4.2單端口集總參數(shù)網(wǎng)絡的綜合4.3無耗單端口網(wǎng)絡的綜合4.4雙端口達林頓梯形網(wǎng)絡的綜合4.5等長度傳輸線雙端口無耗網(wǎng)絡的綜合4.6Butterworth綜合4.7Chebyshev綜合4.81/4波長阻抗變換器

4.1網(wǎng)絡綜合的基本概念

網(wǎng)絡綜合在微波工程中指的是預先規(guī)定元件的特性指標而用網(wǎng)絡去實現(xiàn)的一個過程。它包括三個方面的問題：

(1)提出目標，即預想的理想響應；

(2)選用可能的函數(shù)去逼近理想響應；

(3)設法實現(xiàn)具有逼近函數(shù)特性的網(wǎng)絡。

綜合有不同的分類，根據(jù)元件的特性，可以分為集總參數(shù)綜合和分布參數(shù)綜合。根據(jù)所規(guī)定的特性，可以分為幅值綜合和相位綜合；根據(jù)頻率特性可以分為低通、高通、帶通、帶阻等。

復平面下網(wǎng)絡的模型如圖4.1-1所示。圖4.1-1網(wǎng)絡模型其傳遞函數(shù)為：

極點在左半平面，零點在右半平面的傳遞函數(shù)叫做全通函數(shù)。

根據(jù)信號處理的知識，可知零、極點均在s域LHS的傳遞函數(shù)為最小相移函數(shù)。(4.1.1)4.1.1理想低通模型

研究所要綜合的一般低通網(wǎng)絡如圖4.1-2所示。

網(wǎng)絡的幅值特性常用增益G和截止頻率ωc表示，G表示端口2負載所吸收的功率Pl與端口1信號源所能提供的最大資用功率Pa之比，即

應該指出，可能實現(xiàn)的網(wǎng)絡增益函數(shù)G必須滿足如下約束條件：

(4.1.2)圖4.1-2低通響應網(wǎng)絡

(1)增益G必須是ω的偶函數(shù)：

即

G(ω)=G(－ω)

(4.1.5)(4.1.3)(4.1.4)

(2)增益G(ω2)必須是頻率ω的有限次冪的有理多項式。

這是因為采用有限個集總元件實現(xiàn)的網(wǎng)絡，其S參數(shù)一定是ω的有限次冪有理多項式。

(3)盡可能地逼近理想響應函數(shù)。

因為事實上有限次冪的有理多項式無法達到我們所希望的理想低頻響應，所以網(wǎng)絡綜合理論就提出采用某類函數(shù)去逼近目標。最常用的是Butterworth函數(shù)、Chebyshev函數(shù)和Jacobi函數(shù)。4.1.2網(wǎng)絡綜合的一般過程

為了分析方便，在網(wǎng)絡綜合理論中，常常把jω虛軸延拓為復平面s。其中

s=σ+jω

(4.1.6)

延拓的概念在數(shù)學、物理和工程方面均有廣泛的應用。它只要求原jω平面在延拓前后的特性保持相同，而對于其他區(qū)域則可帶一定的任意性。很容易看出，在s平面上的增益G可以寫成

G(－s2)=S21(s)S21(－s)

(4.1.7)如果用表示S21(－s)，稱為Herwitz共軛，則有

(4.1.8)

本章所綜合的是無耗集總元件網(wǎng)絡，所以還可以進一步寫成

(4.1.9)

下一個重要步驟是已知S11(s)S*11(s)，試圖分解出S11(s)。特別注意分解的形式是不唯一的，但是分解所得的S11(s)必須在s的右半平面保持解析，而且需進一步綜合出網(wǎng)絡函數(shù)。根據(jù)網(wǎng)絡輸入端的S11(s)求出低通網(wǎng)絡的輸入阻抗函數(shù)，即

最后，根據(jù)Zin(s)綜合出梯形網(wǎng)絡。(4.1.10)

4.2單端口集總參數(shù)網(wǎng)絡的綜合

在綜合網(wǎng)絡結構之前首先要把預給的工作特性化為對應的有理函數(shù)，它們一般是網(wǎng)絡參量函數(shù)。下面討論單端口網(wǎng)絡函數(shù)的一些特點。

從N端口網(wǎng)絡入手，在任何信號作用下，根據(jù)基爾霍夫定理，N端口集總參數(shù)網(wǎng)絡的時域端口電壓和電流之間有如下關系：(4.2.1)式中，zij是微積分算子，即

式中，Lij、Rij和Cij為第i網(wǎng)口與第j網(wǎng)口的公共元件。因此，式(4.2.1)是關于t的微積分方程組。

對式(4.2.1)施行Laplac變換，假設初始條件為0，則得(4.2.2)(4.2.3)采用復頻率可以把振幅振動過程的幅度變化和相位變化統(tǒng)一起來加以描述，因此它相比于實頻率只能描述單純簡諧振蕩而言具有更一般的性質(zhì)。式(4.2.3)是一個代數(shù)方程組，Ui(s)、Ii(s)分別稱為復頻域電壓和電流，而

從式(4.2.3)可以解得電流為(4.2.4)(4.2.5)式中，Δ(s)為式(4.2.3)的系數(shù)行列式，Δji(s)是元素Zji(s)的代數(shù)余子式。Δ(s)、Δji(s)均為s的多項式，且為實系數(shù)多項式。它們之比為一實系數(shù)的s有理函數(shù)。

對于單端口網(wǎng)絡，工作特性參量主要是其輸入阻抗。這時在式(4.2.3)中由于只有一個端口，i=j=1，所以，輸入阻抗為

Zin也稱為單端口網(wǎng)絡的策動點阻抗函數(shù)。(4.2.6)根據(jù)上述討論可以得到單端口網(wǎng)絡的阻抗函數(shù)的一些基本概念：

(1)Zin(s)可表示為

(2)式(4.2.7)中分子多項式的根s1，s3，…為阻抗函數(shù)Zin(s)的零點，而分母多項式的根s2，s4，…為阻抗函數(shù)Zin(s)的極點。(4.2.7)

(3)對于無源網(wǎng)絡，零點、極點不可能位于s平面的右半平面，因為無源網(wǎng)絡中電壓、電流不可能是增長型振蕩的(能量守恒)。

(4)零點、極點必然是成對共軛地出現(xiàn)的，因為只有這樣才能保證阻抗函數(shù)分子和分母多項式的系數(shù)為正。對應的物理意義就是電感、電阻和電容總應為實數(shù)值，不存在復數(shù)值的電路元件。

(5)無源單端口的阻抗函數(shù)是正實函數(shù)，即當s為實數(shù)時，Zin(s)必為實數(shù)；當Res≥0時ReZin(s)≥0。利用網(wǎng)絡內(nèi)部儲能和耗能恒為正實函數(shù)的性質(zhì)，可以證明結論(5)。Zin(s)的正實性意味著s平面的右半平面映射到Zin平面的右半平面，而s的正實軸映射到Zin平面的正實軸；但s平面的負實軸不一定只映射到Zin平面的負實軸上。

通過類似分析，可得單端口網(wǎng)絡的導納也具有上述性質(zhì)。單端口網(wǎng)絡阻抗函數(shù)和導納函數(shù)的正實性是該網(wǎng)絡在物理上可實現(xiàn)的條件。以下通過簡單的例子來說明綜合的基本過程。

【例4.2.1】綜合一個單端口網(wǎng)絡，使其輸入阻抗的模在ω=ω0處為極點，在ω=0及ω=2ω0處為零點。在ω>2ω0范圍不作要求，即限于ω≤2ω0。畫出該網(wǎng)絡的輸入阻抗特性如圖4.2-1(a)所示。

解首先觀察所給的工作特性，用有理函數(shù)形式表示輸入阻抗。由ω=0，ω=2ω0為零點，依據(jù)零點、極點分布必然成對共軛地出現(xiàn)，可寫出下面驗證Zin(s)是否為正實函數(shù)。當s為實數(shù)時，Zin(s)顯然為實數(shù)；當Res≥0時ReZin(s)≥0，因此Zin(s)是可以用物理結構實現(xiàn)的。接著用一定的數(shù)學方法綜合出具體的電路結構來。綜合的方法很多，最常用的是輾轉相除法：化為連分式即

根據(jù)以上連分式，可以畫出梯形電路來，如圖4.2-1(b)所示。圖4.2-1例4.2.1網(wǎng)絡的工作特性及其綜合結構

4.3無耗單端口網(wǎng)絡的綜合

無耗單端口網(wǎng)絡的輸入阻抗為一電抗函數(shù)，即Zin=jX。根據(jù)Foster定理，電抗函數(shù)X有如下特性:

(1)X(ω)為ω的單調(diào)增函數(shù)；

(2)X(ω)是ω的奇函數(shù)，即X(－ω)=－X(ω)；

(3)X的零、極點交替出現(xiàn)；

(4)X(ω)的零極點必定關于原點對稱出現(xiàn)。從物理上看，電抗函數(shù)或者是電感性，或者是電容性，這樣X(ω)的分子或分母中必然有一個因子ω，它由ω=0是X(ω)的零點還是極點來決定。當ω=0，X=0時，因子ω位于分子上；當ω=0，X=∞時，因子ω位于分母上。同時，X(ω)在ω=∞處的性質(zhì)可根據(jù)內(nèi)在的零、極點分布來決定。如果分子的ω最高次冪比分母高一次，則ω=∞是X(ω)的極點;如果分子的ω最高次冪比分母低一次，則ω=∞為X(ω)的零點?？梢?，從ω=0和ω=∞點來觀察，電抗函數(shù)可能有四種情況：

當ω=0，X=－∞和ω=∞，X=+∞時，對應的電抗函數(shù)有如下形式：

式中，H為正實數(shù)，n為奇數(shù)。

當ω=0，X=－∞和ω=∞，X=0時，對應的電抗函數(shù)有如下形式：(4.3.1)(4.3.2)式中，n為偶數(shù)。

當ω=0，X=0和ω=∞，X=∞時，對應的電抗函數(shù)有如下形式：

式中，n為偶數(shù)。

當ω=0，X=0和ω=∞，X=0時，對應的電抗函數(shù)有如下形式：(4.3.3)(4.3.4)式中，n為奇數(shù)。n等于ω在零到無窮大間的零、極點數(shù)目的總和，即

0<ω1<ω2<…<ωn<∞

(4.3.5)

可以看出，上述式子中分子和分母都是ω的多項式，它們的系數(shù)都是正有理數(shù)，各項的冪逐項下降兩次，分子和分母的最高次冪相差一次，所以，分子多項式若是奇函數(shù)，則分母多項式就一定是偶函數(shù)，反之亦然，從而保證了電抗函數(shù)為ω的奇函數(shù)。將式(4.3.1)~式(4.3.4)中的jω換成復頻率s，便可以將電抗函數(shù)Zin(jω)=jX(ω)解析延拓到復頻率s平面上的Zin(s)。利用上述電抗函數(shù)的性質(zhì)，可以容易地判斷一個有理函數(shù)是否為電抗函數(shù)。例如：是電抗函數(shù)，而不是電抗函數(shù)。已知電抗函數(shù)后，便可綜合出無耗單端口網(wǎng)絡的結構，常用的方法仍是利用輾轉相除法將電抗函數(shù)變成連分式形式，從而得到梯形網(wǎng)絡。設電抗函數(shù)的通式為(4.3.6)利用輾轉相除法得其連分式為

則bi(i=1，3，5，…)是串聯(lián)電感Li，bj(j=2，4，6，…)是并聯(lián)電容Cj，于是得到最后的網(wǎng)絡結構如圖4.3-1所示。(4.3.7)圖4.3-1無耗梯形網(wǎng)絡

4.4雙端口達林頓梯形網(wǎng)絡的綜合

早在1939年，達林頓已經(jīng)證明，任何有理正實函數(shù)都可以作為其終端接有一個電阻的無耗雙口網(wǎng)絡的輸入阻抗進行綜合。這一節(jié)只研究當信號源與負載均為電阻性時，可實現(xiàn)一定類型的轉換功率增益特性的無耗雙口網(wǎng)絡的綜合法。

設圖4.4-1的無耗雙口網(wǎng)絡對R1與R2的歸一化散射矩陣為S(s)，信號源與負載之間的轉換功率增益特性為G(ω2)。有|S21(jω)|2=G(ω2)

(4.4.1)圖4.4-1無耗雙口網(wǎng)絡對無源雙口網(wǎng)絡來說，|S21(jω)|介于0和1之間，故轉換功率增益特性在實頻率軸的所有點應滿足

0≤G(ω2)≤1

(4.4.2)

對無耗雙口網(wǎng)絡來說，散射矩陣具有幺正性，則有

|S22(jω)|2=1－|S21(jω)|2=1－G(ω2)

(4.4.3)

經(jīng)過解析延拓，式(4.4.1)和式(4.4.3)變?yōu)?/p>

S21(s)S21(－s)=G(－s2)

(4.4.4)

S22(s)S22(－s)=1－G(－s2)

(4.4.5)因而對于給定的G(ω2)，可以按式(4.4.5)求得S22(s)。式(4.4.5)左端函數(shù)的極點與零點都是象限對稱的。因為散射矩陣S必須是有界實矩陣，所以在因式分解時，必須把式(4.4.5)中左半平面LHS的極點分配給S22(s)，若將式(4.4.5)LHS平面的零點也分配給S22(s)，則這樣的S22(s)稱為最小相移反射系數(shù)。

當輸入端口接參考電阻R1時，輸出端口的反射系數(shù)為(4.4.6)圖4.4-1中從輸出端看進去的策動點阻抗為

下一步就可以將Z22(s)作為終端接有電阻的無耗雙口網(wǎng)絡的輸入端口策動點阻抗綜合，而這個終端電阻是R1或1/R1。

最后要指出的是，由式(4.4.5)分解出來的最小相移反射系數(shù)S22(s)可以取正、負兩個不同符號。對具有低通特性的G(ω2)，由式(4.4.7)得(4.4.7)(4.4.8)或

除了R1=R2的特例外，S22(s)的符號只允許有一種選擇，這一點由式(4.4.9)可以看出，下面以實際例子作進一步說明。(4.4.9)

【例4.4.1】設信號源內(nèi)阻與負載電阻分別為R1=2Ω，R2=1Ω。要求的轉換功率增益特性為

試設計無耗雙口網(wǎng)絡。

解這里G(ω2)是一個低通響應函數(shù)，設想網(wǎng)絡N具有圖4.4-2所示的結構。(4.4.10)圖4.4-2具有低通特性的LC梯形網(wǎng)絡當ω=0時，串臂電感相當于短路，此時的轉換功率增益是

由式(4.4-10)可得ω=0時的增益為(4.4.11)(4.4.12)由式(4.4.11)和式(4.4.12)得k=8。故轉換功率特性應為

由式(4.4.5)得(4.4.13)(4.4.14)上式的最小相移分解方式是

式(4.4.15)有兩種可能的符號。由式(4.4.7)決定的輸出端策動點阻抗Z22(s)也有兩個不同的值。當式(4.4.15)取正號時

當式(4.4-15)取負號時(4.4.15)(4.4.16a)(4.4.16b)按給定條件R1=2Ω，即Z22(0)=2Ω，故Z22(s)應取式(4.4-16a)，式(4.4-15)中取正號。Z22(s)的連分式展開式如下：

按達林頓綜合法實現(xiàn)的雙口網(wǎng)絡如圖4.4-3所示。(4.4.17)圖4.4-3例4.4.1實現(xiàn)的雙口網(wǎng)絡

4.5等長度傳輸線雙端口無耗網(wǎng)絡的綜合

單純由集總元件L、C所構成的網(wǎng)絡在微波系統(tǒng)中是很難實現(xiàn)的。微波系統(tǒng)中，常用一定長度的傳輸線(短截線)來構成微波元件。本節(jié)介紹用等長度傳輸線構成微波網(wǎng)絡的綜合方法。

4.5.1s面網(wǎng)絡

首先討論由等長度傳輸線構成微波元件的特性。在等長度傳輸線構成的微波元件中，傳輸線不外有三種工作狀態(tài)：短路線、開路線和連接線，如圖4.5-1所示。對于電長度為θ的短路線而言，其輸入阻抗Zin=Z0jtanθ。而對于開路線，輸入導納Yin=Y0jtanθ。對于連接線，它是一雙端口網(wǎng)絡，其A矩陣為圖4.5-1傳輸線的三種工作狀態(tài)由此可見，無論是那種傳輸線，它們都是jtanθ的函數(shù)，而θ又是ω的函數(shù)(

)，所以，可以把tanθ看成是新的頻率變量，即令s=jtanθ，則三種傳輸線的特性變?yōu)殚_路線:

Yin(s)=Y0s=sC

(4.5.1)短路線:

Zin(s)=Z0s=sL

(4.5.2)連接線:(4.5.3)于是，在ω平面上的傳輸線根據(jù)其工作狀態(tài)不同，在s復平面上分別對應于

短路線：電感L=Z0。

開路線：電容C=Y0。

連接線：單位元件。連接線在s平面上是一特殊的雙端口網(wǎng)絡，沒有集總元件與之對應，我們稱其為單位元件(unitelement，簡記為u.e.)。

ω平面上的電阻在s平面上還是個電阻，因為它與頻率無關。應用s=jtanθ的頻率變換，可以把ω平面上的等長傳輸線網(wǎng)絡變換成s面上的由集總元件和單位元件組成的網(wǎng)絡，這種網(wǎng)絡稱為s面網(wǎng)絡。在這種變換中，對應變換點上網(wǎng)絡的特性是不變的(如輸入阻抗、工作特性等)。

【例4.5.1】將圖4.5-2(a)所示的ω平面上的等長傳輸線網(wǎng)絡變換為s面網(wǎng)絡，并求其輸入阻抗。(網(wǎng)絡已關于終端負載歸一化。)

解利用ω平面上等長傳輸線與s面網(wǎng)絡元件的等效關系，不難畫出圖4.5-2(a)網(wǎng)絡的s面等效網(wǎng)絡，如圖4.5-2(b)所示。圖(b)中網(wǎng)絡總歸一化轉移矩陣為于是歸一化輸入阻抗為如果θ=90°，即，則zin=1。圖4.5-2例4.5.1題圖4.5.2s面網(wǎng)絡的綜合

首先預給網(wǎng)絡的工作衰減函數(shù)，求得其輸入阻抗，然后由輸入阻抗綜合網(wǎng)絡結構。但因通常所給的工作衰減都是頻率ω的函數(shù)，所以必須經(jīng)過s=jtanθ的頻率變換，得出s面上的工作衰減，然后求出s面的輸入阻抗，進行s面網(wǎng)絡綜合。把ω面上的工作衰減變換成s面上的工作衰減，要視具體情況而定。本節(jié)主要討論已知s面網(wǎng)絡的輸入阻抗，如何綜合出s面網(wǎng)絡來。已知s面網(wǎng)絡的輸入阻抗去綜合s面網(wǎng)絡時，需從輸入阻抗中逐次地移出電感L、電容C以及單位元件，要求每移出一個元件應使輸入阻抗逐次簡化，最后只剩下一個負載電阻，這樣就完成了s面網(wǎng)絡的綜合。從輸入阻抗Zin(s)中移出電感L和電容C的過程比較簡單，只要將Zin(s)分子與分母相除就可以了，它有下列幾種可能情況：

(1)Zin(s)=sL+Zin′(s)，即移出一個串聯(lián)電感L；

(2)Zin(s)=

+Zin′(s)，即移出一個串聯(lián)電容C；

(3)Yin(s)=sC+Yin′(s)，即移出一個并聯(lián)電容C；

(4)Yin(s)=

+Yin′(s)，即移出一個并聯(lián)電感L。從輸入阻抗中移出一個單位元件則比較復雜。需要應用下面的理查茲定理。

理查茲定理設s面網(wǎng)絡的輸入阻抗Zin(s)=(m1+n1)(m2+n2)，其中，m是s的偶函數(shù)，n是s的奇函數(shù)。如果在s=1時，m1m2－n1n2=0，則可以從Zin(s)中移出一個特性阻抗為Z0=Zin(1)的單位元件，其余函數(shù)Zin′(s)為

且比Zin(s)的結構簡單(即Zin′(s)的分子和分母的最高次冪比Zin(s)的低一次)。(4.5.4)如果在s=1時m1m2－n1n2≠0，則式(4.5.4)的結構比Zin(s)的結構更復雜，這時須把Zin(s)的分子和分母同乘以s+1，然后再移出單位元件，這樣得到的余函數(shù)結構要簡單些。

式(4.5.4)的證明是容易的，由于單位元件是一段θ的傳輸線，所以

解出Zin′得在上式中令Z0=Zin(1)，便得到式(4.5.4)。從證明過程中可以看出，在任何條件下式(4.5.4)都成立。之所以還要求滿足條件(m1m2－n1n2)|s=1=0，是為了保證Zin′(s)比Zin(s)結構更簡單，因為這時Zin′(s)中分子和分母多項式中含有公因子s2－1，可以消去。如果(m1m2－n1n2)|s=1≠0，則Zin(s)的分子和分母都乘以s+1后，條件(m1m2－n1n2)|s=1=0便可以滿足。所以，(m1m2－n1n2)|s=1=0這個條件是非常重要的。只有滿足了這個條件，每移出一單位元件、電感L或電容C，都可使原函數(shù)逐漸簡化，最后有可能把原函數(shù)分解成只剩下一個負載電阻，從而完成s面網(wǎng)絡的綜合。

【例4.5.2】已知一雙端口無耗網(wǎng)絡歸一化輸入阻抗

，試綜合其s面網(wǎng)絡。

解首先驗證(m1m2－n1n2)|s=1=4×16－8×8=0，所以可以移出一單位元件，其特性阻抗z0=zin(1)=，余函數(shù)為消去上式中分子、分母的公因子s2－1，再從zin′(s)中移出一個并聯(lián)電感，用分子除分母，得

即導納所以并聯(lián)電感。余函數(shù)可以驗證：

所以可再從zin′(s)中移出一個單位元件，其特性阻抗為

而余函數(shù)為最后剩下的負載電阻為1。這樣便完成了s面網(wǎng)絡綜合，綜合的電路就是圖4.5-2(b)所示電路。

需要說明的是，由輸入阻抗綜合出的s面網(wǎng)絡不是唯一的。

4.6Butterworth綜合

本節(jié)和下節(jié)簡單介紹如何采用所選定的逼近函數(shù)去近似問題所要求的理想增益，即“逼近論問題”。廣義地說，構成的逼近函數(shù)除了要符合是頻率ω的偶函數(shù)和有理多項式的條件外，還必須盡可能地趨近理想特性曲線。詳細的綜合步驟可參看相關書籍。

1.Butterworth逼近以及基本性質(zhì)

Butterworth首先在1930年提出如下一類響應特性：(4.6.1)其中，0≤Kn≤1。

Butterworth逼近有如下基本性質(zhì)：

(1)在ω=0和ω=∞處具有最大平滑特性，故通常把Butterworth又稱為最平坦函數(shù)；

(2)通帶和阻帶的Butterworth逼近面積分別與理想響應的面積差為，也就是與成比例；

(3)在ω=0處，G(0)=Kn。而在ω=ωc處，不管n為何值，均有。這個性質(zhì)也成為Butterworth的三分貝帶邊性質(zhì)。

2.Butterworth響應中n的選擇

在微波工程中，Butterworth響應中的參數(shù)n表示所要綜合的集總元件的數(shù)目，它是根據(jù)通帶與阻帶內(nèi)所要求的技術指標來決定的。n越大，函數(shù)越接近于矩形響應。

4.7Chebyshev綜合

1.Chebyshev多項式

n階第一類Chebyshev多項式定義為

當|x|≤1時，Tn(x)=cos(ncos－1x)

(4.7.1)

當|x|>1時，Tn(x)=cosh(ncosh－1x)

(4.7.2)

其遞推公式是

Tn+1(x)=2xTn(x)－Tn－1(x)

(4.7.3)

2.Chebyshev多項式的幾個重要性質(zhì)

(1)零點性質(zhì)：

當n=2k，k=0，1，2…時，Tn(0)=(－1)；

當n=2k+1，k=0，1，2…時，Tn(0)=0。

(2)帶邊特性:

Tn(1)=1

(3)奇偶特性:

Tn(－x)=(－1)nTn(x)

(4)帶內(nèi)特性:自變量|x|≤1稱為帶內(nèi)，n階Chebyshev多項式有n個零點，這n個零點全部落在-1<x<１的區(qū)域內(nèi)，且Tn(x)在-1和+1之間等波紋起伏。因此，也常常把Chebyshev響應稱為等波紋響應。

(5)帶外特性：|x|>1稱為帶外，|Tn(x)|在帶外單調(diào)上升，當x1時，Tn(x)≈2n－1xn。

(6)最佳特性:

所有n階多項式Tn(XMx)中(其中XM＞１)，若x0表示其最大一個實根，對于一定的XM(1－x0)，定義上升斜率為

則Chebyshev多項式可得到最大的Q值，即

3.Chebyshev逼近及n的選擇

Chebyshev逼近是在微波工程中最為常用的一類函數(shù)。定義Chebyshev響應的增益是

十分明顯，是ω的偶函數(shù)，即符合逼近函數(shù)條件，ε稱為等波紋系數(shù)，ωc是截止角頻率。(4.7.4)

4.81/4波長阻抗變換器

在微波電路中，常常遇到阻抗匹配問題，如不同傳輸線間的連接、不同元件間的連接、各種天線與饋線間的連接等問題。如果是直接連接，必然是會產(chǎn)生反射，影響功率傳輸。因此，需要在連接點間插入匹配網(wǎng)絡，以達到阻抗匹配，保證功率無反射地傳輸。根據(jù)待匹配負載的性質(zhì)，阻抗匹配網(wǎng)絡可以分為三種：一種是匹配純電阻負載的阻抗匹配網(wǎng)絡，稱之為阻抗變換器，這類匹配都是無反射匹配；另一種是匹配復阻抗負載的阻抗變換網(wǎng)絡，通常采用共軛匹配，以期獲得最大功率輸出；第三種是匹配負阻與正阻的阻抗匹配網(wǎng)絡，以期獲得一定的功率增益。本節(jié)介紹最常用的一種阻抗匹配器——1/4波長阻抗變換器的原理與設計方法。4.8.1基本原理

我們知道，一節(jié)λ/4線可起到阻抗變換作用。設源阻抗Zg=Rg，負載阻抗ZL=RL，λ/4線特性阻抗為Z1，則輸入阻抗，在l=λ/4時，，所以，。于是，只要，就可以保證輸入端匹配，即Zg=Zin。之所以能達到匹配，是因為其兩端產(chǎn)生的反射在輸入端大小相等，相位相反，相互抵消所致。但當頻率變化l≠λ/4時，兩端反射將不能完全抵消，因而匹配程度變壞。所以，一節(jié)λ/4變換器的匹配帶寬很窄。為此，采用多節(jié)階梯阻抗變換器，這種變換器是由許多長度相同(在中心頻率上是1/4波長)、特性阻抗不等的均勻傳輸線構成的，如圖4.8-1所示。圖中各阻抗值都對源阻抗Z0歸一化，即Z0=1，ZL=Zn+1=R，R叫做阻抗變化比。各傳輸線特性阻抗呈階梯變化，階梯上的反射在輸入端相互抵消，只要階梯阻抗變化足夠慢，就能夠保證足夠的寬帶匹配。圖4.8-11/4波長階梯阻抗變換器對于一節(jié)1/4波長阻抗變換器，A矩陣為(4.8.1)匹配條件為，則或A11和A22是實函數(shù)，并且是cosθ的一次多項式。對于兩節(jié)1/4波長阻抗變換器，A矩陣為即

由于傳輸線無耗，Z1、Z2為實數(shù)，所以A11、A22為實函數(shù)，并且是cosθ的二次多項式，在Z1Z2=R的情況下，有(4.8.2)推而廣之，對于n節(jié)1/4波長阻抗變換器，有

由于各傳輸線無耗，所以Z1，Z2，…，Zn是實數(shù)，因此A11、A22是實函數(shù)，并且是cosθ的n次多項式；A12、A21為虛函數(shù)，并且在ZiZn－i+1=R的情況下，有(4.8.3)已知1/4波長階梯阻抗變換器的A矩陣后，可求得

式中，a11，a12，a21，a22為歸一化A矩陣參數(shù)，且

于是(4.8.4)考慮到網(wǎng)絡無耗和互易，A11、A22為實數(shù)，A12、A21為虛數(shù)以及detA=1，有(4.8.5)通常都要求1/4波長階梯阻抗變換器滿足

于是，式(4.8.5)變成(4.8.6)由于A11和A22均為cosθ的n次多項式，所以也是cosθ的n次多項式。令其為Pn(cosθ/μ0)，其中μ0為一常數(shù)。這樣，1/4波長阻抗變換器的工作衰減為(4.8.7)再引入頻率變換，則

(4.8.8)式中，Pn(x)為x的n次多項式。這樣，便可以像設計濾波器那樣設計阻抗變換器了。在一般情況下，阻抗變換器的工作特性都指定在ω1~ω2的頻帶內(nèi)，中心頻率為ω0，帶內(nèi)最大衰減不超過LAr或輸入電壓駐波比不超過ρr。對帶外則一般不作要求。下面先研究一下x=cosθ/μ0的變換。

設有一低通原型，工作衰減為式(4.８.8)，如圖4.８-2(a)所示。經(jīng)過x=cosθ/μ0變換后，變到ω面上的工作衰減如圖4.8-2(b)所示。變換的對應點如表4.8.1所示。表4.8.1變換的對應點

圖4.8-2x=cosθ/μ0變換前后的工作衰減由于傳輸線阻抗的半波長重復性，所以，圖4.8-2(b)的響應每經(jīng)2ω0重復一次。圖4.8-2(b)中響應在ω1~ω2內(nèi)衰減不超過LAr，故可作為1/4波長階梯阻抗變換器的響應。因此，如果把式(4.8.8)按低通響應設計，再用變換式x=cosθ/μ0變換到ω面上，就可以得到阻抗變換器響應。低通原型可以采用Butterworth或Chebyshev多項式逼近，故Pn(x)可以選為Butterworth或Chebyshev多項式，從而得到最平坦或切比雪夫階梯阻抗變換器。4.8.2綜合過程

在式(4.8.8)中若選用，則可得到

Butterworth變換器；若選用，則可得到Chebyshev阻抗變換器，下面以Butterworth變換器為例給出綜合過程。

首先給出1/4波長阻抗變換器帶寬的定義。通常定義相對帶寬為(4.8.9)式中，λg1和λg2分別為工作頻帶內(nèi)最長的和最短的波導波長。中心波長定義為

每節(jié)長度為

電長度為(4.8.10)(4.8.11)(4.8