數(shù)學(xué)課堂探究：平面向量的數(shù)量積（第課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一向量數(shù)量積的運(yùn)算求向量數(shù)量積的方法：1．分別求出向量a與向量b的模及向量a與向量b夾角的余弦值，然后根據(jù)數(shù)量積的定義求解．如待求式是較復(fù)雜的數(shù)量積的運(yùn)算，需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．在運(yùn)算時(shí)要注意確定兩個(gè)向量的夾角，特別是平行向量要注意向量是同向還是反向．2．如果涉及圖形的數(shù)量積的運(yùn)算，要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量進(jìn)行向量線性運(yùn)算后求數(shù)量積．這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長(zhǎng)度的向量．【典型例題1】已知｜a|＝2，|b｜＝3，a與b的夾角為120°，試求：（1）a·b；（2)(a＋b)·（a－b)；（3）(2a－b)·（a＋3b）．解：(1）a·b＝|a｜·｜b｜c(diǎn)os120°＝2×3×＝－3。(2）(a＋b)·（a－b）＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝｜a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3）(2a－b)·（a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a｜2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34?！镜湫屠}2】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，求·的值．解：由已知得|｜＝2，|｜＝2，∵⊥.∴·＝0.又由圖可知，＝＋＝＋＝＋。＝＋＝＋＝＋?！唷ぃ健ぃ健ぃ?＋2＋eq\f(1,4）·＝|｜2＋|｜2＝4.探究二求向量的模利用數(shù)量積求解模的問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用,注意以下兩點(diǎn)：1．此類求模的問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系，要靈活應(yīng)用a2＝｜a｜2，勿忘記開方；2．向量數(shù)量積與模的關(guān)系及其作用：a·a＝a2＝｜a｜2或｜a|＝，此關(guān)系用來求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．【典型例題3】(1)已知向量a，b滿足｜a｜＝｜b｜＝5,且a與b的夾角為60°,則｜2a＋b|＝________.(2）已知向量a,b滿足｜a|＝，a與b的夾角為135°，｜a＋b｜＝，則｜b｜＝________。解析:(1）|2a＋b|2＝(2a＋b）2＝4a2＋4a·b＋b2＝4｜a｜2＋4|a|｜b｜c(diǎn)os60°＋|b|2＝4×25＋4×5×5×＋25＝175.∴|2a＋b｜＝5。(2)∵|a＋b｜＝，∴a2＋2a·b＋b2＝5，∴｜a|2＋2｜a|·｜b|cosθ＋|b｜2＝5?！啵黚｜2－2|b|－3＝0?！啵黚｜＝3或|b|＝－1（舍去)．答案：（1)5（2）3探究三有關(guān)向量的夾角與垂直問題1．求兩向量的夾角主要借助公式cosθ＝，求解方法有兩種：一是根據(jù)已知條件求出a·b，｜a｜與|b｜，代入公式求解;二是找出|a｜，｜b|與a·b的關(guān)系通過約分求解，注意夾角的范圍．2．非零向量a·b＝0?a⊥b是非常重要的性質(zhì)，應(yīng)熟練掌握．【典型例題4】(1)已知向量a,b滿足｜a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a,則a與b的夾角為________；(2）已知向量a，b滿足a－b與a＋b垂直,2a＋b與b垂直，則a與b的夾角為________．解析：(1）∵(a－b)⊥a,∴(a－b）·a＝0，∴a2＝a·b＝2。設(shè)a,b的夾角為θ，則cosθ＝＝＝.∵0≤θ≤π，∴θ＝.（2）∵a－b與a＋b垂直，∴(a－b)·(a＋b）＝0?！郺2＝b2.∴｜a｜＝｜b|?！?a＋b與b垂直,∴(2a＋b）·b＝0?！?a·b＋b2＝0.∴a·b＝－b2＝－｜b|2.設(shè)a，b夾角為θ，則cosθ＝＝＝－?！?≤θ≤π，∴θ＝.答案：(1)（2)探究四判斷平面圖形的形狀1．依據(jù)向量數(shù)量積的有關(guān)知識(shí)判斷平面圖形的形狀,關(guān)鍵是由已知建立數(shù)量積、向量的長(zhǎng)度、向量夾角等之間的關(guān)系，移項(xiàng)、平方是常用方法，從中得到邊角的關(guān)系．2．解決這類題型還要注意對(duì)向量加(減）法的幾何意義、數(shù)量積為0的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用,采用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題．【典型例題5】在△ABC中，(－）·（＋)＝0，2＝·，則△ABC的形狀是（)A．等腰三角形B．直角三角形C．等