蘇教版高中數(shù)學必修5全部教案

蘇教版高中數(shù)學必修5全部教案【精美整理版】

目錄

第一章解三角形..............................................................................1

第1課時正弦定理（1）...................................................................1

第2課時正弦定理（2）....................................................................3

第3課時正弦定理（3）......................................................................7

第4課時余弦定理（1）.................................................................10

第5課時余弦定理（2）...................................................................13

第6課時余弦定理（3）...................................................................16

第7課時正、余弦定理的應(yīng)用（1）............................................................20

第8課時正、余弦定理的應(yīng)用（2）............................................................24

第9課時解三角形復習課................................................................27

⑴、⑵..................................................................................27

第二章數(shù)列.................................................................................34

第1課數(shù)列的概念及其通項公式..........................................................34

第2課時數(shù)列的概念及其通項公式........................................................37

第3課時等差數(shù)列的概念和通項公式.......................................................40

第4課時等差數(shù)列的概念和通項公式.......................................................44

第5課時等差數(shù)列的概念和通項公式.......................................................47

第6課時等差數(shù)列的前n項和（1）..........................................................50

第7課時等差數(shù)列的前n項和（2）..........................................................54

第8課時等差數(shù)列的前n項和（3）..........................................................59

第9課時等比數(shù)列的概念和通項公式.......................................................63

第10課時等比數(shù)列的概念和通項公式......................................................67

第11課時等比數(shù)列的概念和通項公式......................................................70

第12課時等比數(shù)列的...................................................................74

前n項和（1）.................................................................................74

第13課時等比數(shù)列的...................................................................77

前n項和（2）................................................................................77

第"課時等比數(shù)列的...................................................................82

前n項和（3）.................................................................................82

第15、16課時數(shù)列復習課（2課時）.......................................................87

第三章不等式...............................................................................100

第1課時不等關(guān)系.....................................................................KX）

第2課時一元二次不等式（1）.................................................................104

第3課時一元二次不等式（2）..............................................................110

第4課時一元二次不等式（3）..............................................................114

第5課時一元二次不等式應(yīng)用題..........................................................118

第6課時二元一次不等式表示的平面區(qū)域..................................................120

第7課時二元一次不等式組表示的平面區(qū)域................................................124

第8課時簡單的線性規(guī)劃問題..........................................................128

第9課時線性規(guī)劃應(yīng)用題...............................................................131

第10課時基本不等式的證明（1）............................................................135

第11課時基本不等式的證明（2）.............................................................139

第12課時不等式的證明方法............................................................142

第13課時基本不等式的應(yīng)用（1）............................................................145

第14課時基本不等式的應(yīng)用（2）.............................................................148

第15課時不等式復習課.................................................................151

本站資源匯總［優(yōu)秀資源，值得收藏］.......................................................157

第一章解三角形聽課隨筆

【知識結(jié)構(gòu)】

【重點難點】

重點：（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡

單的三角形度量問題。

難點：（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題

第1課時正弦定理（1）

【學習導航】

知識網(wǎng)絡(luò)

直角三角形的邊角關(guān)系一任意三角形的邊角關(guān)系一正弦定理

學習要求

1.正弦定理的證明方法有幾種，但重點要突出向量證法；

2.正弦定理重點運用于三角形中“已知兩角一邊”、“已知兩邊一對角”等的相關(guān)問題

【課堂互動】

自學評價

1.正弦定理：在AABC中，=2/?.

sinJsinBsinC

2.正弦定理可解決兩類問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角;

（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角。

【精典范例】

【例1】在^ABC中，A=30°,C=105°,a=10,求b,c.

分析：正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題.

【解】因為A=30\C=105。，所以B=45。.因為

sinAsinBsinC

所以人空上c=K￡=WsmlO5：=5&+5j

sinAsin300sin/sin300

因此，b,c的長分別為10V2和5J2+5J6

【例2】根據(jù)下列條件解三角形:

(l)b=^3,B=60°,c=l;

(2)c="6,A=45°,a=2.

分析：正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對角，求其他邊和角的問題.

csinB1xsin6001

.sinC=

解】1）5息~r=^3~=2-------------

**=60,.'.C<B,.'.C為銳角，?：C=30°,a=>ii,.：。=據(jù)2+。2=2

(2)VsiL國6烯45盤.??.c=6o或"嘰

第1頁共159頁

，當C=60時.乂=叵弊=&1

sinCsin60

?:當期時，……舒二紀3所以，

b=d3+1,B=75,u-vv°或b=W-1,B=15,u-tzv°.

追蹤訓練一

1.在aABC中,C=105°,B=45°,c=5,貝此的值為（A）

A5（3-1）B5（3+1）

cioD5（<6+42）

2在AABC中，已知a=3,b=4.sin8=；則而A=（C）

3II

A—DI

4D6C2

3.（課本P9練習第2題）在aABC中，

（1）已知人=75。乃=45*=342,求a,b;

（2）已知A=30°,B=120°,b=12,求a,c。

略解：（l）a=3+J3,b=2J3:

（2注4由，『4由（可以先判斷是等腰三角形再解）

4.（課本P9練習第3題）根據(jù)下列條件解三角形：

（l）b=40,c=20,C=25°;

（2）b=13,a=26,B=30°o

略解：（1）由題意知：

sinB=2sinC=2sin25°乜）.423TB=58?；?22°

->A=97°,a=47或A=33。，a-25.8（要注意兩解的情況）

（2）由題意知:

A=90°->C=60°—c=13也

【選修延伸】

【例3】在銳角三角形ABC中，A=2B,a.b,c所對的角分別為A,B,C,試激皇的范圍

,隔

分析：本題由條件銳角三角形得到B的范圍，從而得出色的范圍。

h

8<90"

【解】在銳角三角形ABC中，A、B、C<90。,即：<25<90°=>30°<5<45°,

180°-35<900

由正弦定理知：

asinAsin2B?

-=------=---------=2cos8e

bsinBsinB

故所求的范圍是：（J2J3。

【例力在AABC中，設(shè)

第2頁共159頁

cos8cosCcosJ的怙

,klJIH.o

3/y2ca

【解】由正弦定理得：

cos5_cosCcosJ

3sinB2sinCsinJ

tan^=-tanA

A

tanC=-tan/4

2

廠、tan8+tanC5tanA

anJ=—tan(8+C)=------------=---------；—=>tan2A-W

又“l(fā)-tani?tanC6-tan-A

6

追蹤訓練二

(1)在AABC中，已知b+c=8,NB=30。，ZC=45°,則b=Jc=

(2)在AABC中，加果NA=30o,NB=12(F,b=12,那么2=,AABC的面積是

(3)在4ABC中，bc=30,S=—VJ，則ZA=—

MBC—

【師生互動】

學生質(zhì)疑

教師釋疑

第2課時正弦定理（2）

【學習導航】

知識網(wǎng)絡(luò)

正弦定理一測量問題中的應(yīng)用

學習要求

1.正弦定理的教學要達到“記熟公式”和“運算正確”這兩個目標：

2.學會用計算器，計算三角形中數(shù)據(jù)。

［課堂互動】

自學評價

1.正弦定理：在aABC中，——=_芻一=4-=2/?,

sinJs\nBsinC

變形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

(2)sinJ=—sinS=—sinC=——

'/2R2R2R

第3頁共159頁

2.三角形的面積公式:

(1)s-tibsinC〃csin/=—c〃sin8

212

(2)s=2R2sinAsinBsinC

4R

【精典范例】

【例1】如圖，某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35°，沿傾斜角為20°的斜坡前進1000

m后到達D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5°,求山的高度BC(精確至U1m).

分析：要求BC,只要求AB,為此考慮

所課E交BC于E,因為ZDAC=20°,所以

ZADE=160°,于是NADB=360-160°—65°=135°.又ZBAD=35°

200=15°，所以ZABD=3O°,

也出吆絲=1000收

在BD中，由正弦定理，得sin乙48。(m).

在RtZ\ABC中，BC=ABsin35=1000\/2sin35o^ll(m).

答山的高度約為811m.

【例2】在埃及，有許多金字塔形的王陵，經(jīng)過幾千年的風化蝕食，有不少已經(jīng)損壞了，考古人員在研究

中測得一座金字塔的橫截面如圖頸部臉丹塌了)，ZA^ZB^5°AB=120m,如何求得它的高?

(sin50°=0.766,sin55°=0.819)

分析：本題可以轉(zhuǎn)化成：(1)解三角形，確定頂點C;

(2)求三角形的高O

【解】

(1)先分別沿A、B延長斷邊，確定交點C,NC=180°-NA-NB,用正弦定理

AR

算出AC或BC;AC=^-s\nB

sinC

=-^-T-*sin55°?101.8

sin750

(2)設(shè)高為h,則

h=ACsinA=101.8sin500之78

【例3】一座攔水壩的橫斷面為梯形,如圖所示，求攔水壩的橫斷面面枳一請用計算器解答，精確到J0.1)

(解］

連接BD,設(shè)NBDC-a,貝ij由正弦定理知

第4頁共159頁

BC。即

sinZBDCsinZDBC

7050

sinasin(600-a)

7J3

ntana=----na之35.5,從而有

17

ZBDA=105°-35.5°=69.5°,

BDBC

104.4由

sin120”sin35.5°

ABBD

sinZBDA-sinZBAD

AB磊n①K)L2,

sin69.5°

而梯形的高

h=BCsin4BC=70sin60°=35^3

所以有S.e=；(CD+4B)h

=l(50+10L2)-355/3^4583.0

注：本題也可以構(gòu)造直角三角形來解，過C作CE1AB于E,過D作DF1AB于F即可。

【例4】已知a、b、c是ZXABC中NA、

NB、NC的對邊，S是AABC的面積，若aF=4,b=5,S=5也求c的長度。

［解］

由三角形的面積公式得：S=lf//)sinC=-4-5sinC=5Qnsi6生

2-2

ncosC=+—=5>c-*Ja2+A2—2?/>cosC

=J16+25±245?；.

c=J21^V61

追蹤訓練一聽課隨筆

1.海上有A、B兩個小島榔巨10海里，從4島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75。

的視角，則B、c間的距離是(D)

A.10^3海里B.3四缸里

3

C.5也海里D.5北海里

第5頁共159頁

2.有一長為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°,現(xiàn)要將傾斜角改為10°,則坡底要伸長(A)

A.1公里B.sinlO0公里

C.coslO0公里D.cos20°公里

3.如圖：在斜度一定的山坡_L的一點A測得山頂，一建筑物頂端C對于山坡的斜度為15°,向山頂前進

100nl后，又從點B測得斜度為45°,假設(shè)建筑物高50m,求此山對于地平面的斜度0.

【解】在中,AB=100m,ZCAB=15\^ACB=450-15°=30°

,_100BC

由正弦定理：-.....=-------.：BC=200xinl5Q

sin300sin15"

在4DBC中，CD=50m,ZCBD=45°,ZCDB=90°+0

+士im50200sinl5e_/r.

由正弦定理：------=------------=>ros0=V3-1,

sin45sin(90+0)

:.e=42.94°

【選修延伸】

【例￡】在湖面上高h處，測得云彩仰角為a,而湖中云彩影的俯角為B,

求云彩高.

【解】C、C關(guān)于點B對稱，設(shè)云高CE=x,

^CD=x-h,C0D=x+h,

在RtzXACD中，AD==土士

tanatana

+、+cC'Dx+A

在Rtz\AC"D中，=--------=----------

tan(3tan。

.x-hx^h

??

tanatan3

解得Y=/rta?^tam=Asin@>a)

taip-tanzsinft-a)

追蹤訓練二

1.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，

看見一燈塔在船的南偏西60°,另一燈塔在船的南偏西75°,則這只船的速度是每小時(C)

A.5海里B.5y13海里

C.10海里D.IOA/3海里

2.某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第?：輛車的俯角差等于他看見第二輛車

與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離d,與第二輛車與第三輛車的距離d2之間的關(guān)系為

(C)

A.di>dzB.di=d2

cdD.不能確定大小

第6頁共159頁

聽課隨筆

【師生互動】

學生質(zhì)疑

教師釋疑

第3課時正弦定理⑶

知識網(wǎng)絡(luò)

判斷二角形狀

正弦定理的應(yīng)用,中面兒何中某叫問題

解的個數(shù)的判定

學習要求

L掌握正弦定理和三角形面積公式，并能運用這兩組公式求解斜三角形;

2.熟記正弦定理及其變形形式；

3.判斷4ABC的形狀.

【課堂互動】

自學評價

1.正弦定理：在aABC中，=2/?,

sinJsin8sinC

a±b_a±b±c

sinA±sinBsin/l±sin5±sinC

R為ZiABC的外接圓的半徑

2.三角形的面積公式：

s，一“加inC三一Asin,4—crisinB

⑵s=2R2sinAsinBsinC

ahc

(3)

【精典范例】

【例1】在4ABC中，已知，一=」一=，一試判斷4ABC的形狀.

cos/fcosScosC

【解】吟」—=k,由正弓碇理Wa=ksinA,b=ksinB,c=ksinC

sin/

第7頁共159頁

代入已知條件，得s'"=,即tanA=tanB=tanC.

cos/cosBcosC

XA,B,Ce(0,n),

所以A=B=C,從而aABC為正三角形.

點評：通過正弦定理，可以實現(xiàn)邊角互化.聽課隨筆

【例2】在△ABC中，AD是NBAC的平分線，用正弦定理證畔=照

ACuC

【證】設(shè)NBAD=a,ZBDA=B,則ZCAD=a,ZCDA=180°

CD中分別運用正弦定理，得任二

一B.在4ABD和AA

ACsina.

sin(180°-^)pAB

——又s1n(180°-P)=sSB,所以訪=—.BP—

sinaDCAC

_BD

DC

【例3】根據(jù)下列條件，判斷△△國有沒有解?若有解，判斷解的個數(shù).

(l)a=5,b=4,A=120°,求B;

(2)a=5,b=4,A=90°,求B:

(3)^10V6,b=20J3,"5。，求B;

(4'=20也,420由八=45。,求4

(5)a=4,h=l^,A=60°,求B

【解】⑴???A=12(F,???B只能是銳角，因此僅有一解.

(2)VA=90°,.*.B!八1〕匕Aitxm，LJPLDkIJ?FF-

(3)由于A為銳角，而10"=20石xY：即。=6sin,4,因此僅有一解B=90。.

(4)由于A為銳角，而20>2072>2)>/3x—=|0\/6即b>a>bsinA,因此有兩解，易解得

2

B=60°或120°.

(5)由于A為銳角，］又4〈號叵。m60。=5,即acbsinA

AB無解.

追蹤訓練一

1.在AABC中，已知b=6,c=10,B=30°,則解此三角形的結(jié)果是（C）

A.無解B.一解

C.兩解D.解的個數(shù)不能確定

2.在^畋中,若A=2B,則a等于（|D）

A.2bsinAB.2bcosA

C.2bsinBD.2bcosB

3.在ZkABC中，若-也=，則aABC的形狀是（D）

tan3b2

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.不能確定D.等腰三角形

［選修延伸］

第8頁共159頁

【例4】如圖所示，在等邊三角形中，AB=a,0為三角形的中心，過0的直線交AB于M交AC于N,

求」于+」丁的最大值和最小值.

OM2ON2

【解】由于0為正三角形ABC的中心,

Z.MA=ZNA(?=—.設(shè)NMOA=a,

6

OM0A

在△AOM中，由正弦定理得:sin/"阿?…

6

——a—a

：.OM=—------,在AAON中，由正弦定理得：ON=―-------

sin(a+匹)sin(a--)

1I12r.2,冗、.乃V.12.1.、

-------+------r=—[sin'(a+—)+sin-(a—)1=—(―+sin2'a),

OM2ON2a266a22

故當演褊蘇+備取得最大蜷

-<sina^l

4

2此時―!—+—L_取得最小直”

所以，當盜自日留絲usina=-

劣劣時4OM?ON1a2.

追蹤訓練二

1.在aABC中，A:B:C=4:1:1,則a:b:c=(D)

2.在AABC中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6,且a+b+c=l5,則a=4,b=5

C=_______

3.已知aABC中，a:b:c=l:V3:2,則A:B:C等于(A)

A.1:2:3B.2:3:lC.1:3:2D.3:l:2

4.如圖，4ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角,

為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為(C)

Pi?匕

A75°B.60°C.50°D.45

5.匕知AABC中，sinA:sinB:sinC=k:(1-2k):3k(k#)),則k的取值范圍為(B)

聽課隨筆

A.(2,+o)B.(-.-)

C購D.《收)

&2

6.在4ABC中,

cos2Jcos281I

證明:?,??—??=—一—

a2b2a2b2

笫9頁共159頁

cos24cosIBI-2sin:AI-2sin2B

證明:

hb1

生十#…皿/日sin2Asin2B

由止弦定理得：——=——

a2b2

-c-o-s-2-J---c-o-s-2-5=--1----1-

/b2a2b2

【師生互動】

學生質(zhì)疑

教師釋疑

第4課時余弦定理(1)

知識網(wǎng)絡(luò)

三角形中的向量關(guān)系一余弦定理

學習要求

1.掌握余弦定理及其證明；

2.體會向量的工具性；

【課堂互動】

自學評價

1.余弦定理：

(1)a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2ac-cosB,c2=a2+b2-2abcosC

⑵變形：cosA^nc0$B=士竺dc。"'"」

2bc2ac；2ab

2.利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：

(1)已知三邊，求三個角；

(2)知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角

第10頁共159頁

【精典范例】

【例1】在△ABC中，

(1)已知b=3,c=l,A=60。，求a:

(2)已知a=4,b=5,c=6,求A(精確到0.1).

【解】⑴由余弦定理，得a?=b2+c2-2bccosA=32+12_2x3xlxcos600=7,

所以3FV7.

52+62-42

(2)由余弦定理，得cosA=---------=---------=0.75.

2bc2x5x6

所以，AML4

點評:利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜所像酯單問題：(1)已知三邊，求三個角;(2)已知

和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.

【例2】AB兩地之間隔著一個水塘，現(xiàn)選擇另一點C測得CA=182m,CB=126m,

ZACB=63°,求A,B兩地之間的距離(精確到1m).

【解】由余弦定理，得

Ap2=CA2+CB2-2ACCBcosC

=28178.18

所以AB-168(m)

答A,B兩地之間的距離約為168nl

【例3】用余弦定理證明：在△貶中，斗C為銳角時，對雙?：當C為鈍角時，對5w

【證】當C為銳角時，oosOQ由余弦定理，Wc2=a2+b2-2abcosC<a2+b2,

即a2+b2>c.

同理可證，當C為鈍角時，a斗風？

點評：余弦定理可以看做是勾股定理的推廣，

追蹤訓練一

1.在AABC中，

(1)已知A=6()o,b=4,c=7,

求a;

(2)已知a=7,b=5,c=3,求A|.

略解：(l)aJ37

略解：(2)灌u孳

2.若三條線段的長為5,6,7,則用這三條線段(B)A.能

組成直角三角形

B.能組成銳角三角形

C.能組成鈍角三角形

D.不能組成三角形

3.在4ABC中，已知a?+b2+ab=C?試求NC的大小.

第11頁共159頁

略解：

4.兩游艇自某地同時出發(fā)，一艇以1。km/h的速度向正北行駛，另一艇以7km/h的速度向北偏

東45°的方向行駛，問：經(jīng)過40min,兩艇相距多遠？

略解：兩艇相距4.71km

(選修延伸］

【例4】在△ABC中，BC=aAC=b,且&b是方程x丈2由x+2=0的兩根，2cos(A+B)=l。

(1)求角C的度數(shù)；

(2)求AB的長；

⑶求AABC的面積。

解：⑴cosC=cospr-（4+8）］=-COS（/I+S）=-l=>C=120°

⑵因為&b是方程x2-2J3x+⑥0的兩根，所以卜+6=2百

ab=2

/.AB2=Z>2+a:-2fl/>cosl20°=（a+出=AB=V10

(3)S“Be=』absinC=—

22

【例5】在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為破c,廁:

a2-b2_sin（j-B）

r2sinC

證明：由余弦定理知：

a2=b2+c2-2bc-cosA,b2=a2+c2-2accosB

則a2-b2

=b2-a2-2bccosA+2accosB

整理得：

a2-b2acosB-hcosA

-----；—=---------------------.

c2c

又由正弦定理得：

a_sin/b

csinCcsiiC

第12頁共159頁

22

a-bsinAcosB-cosAsinB_sin(力-8)

sinCsinC

追蹤訓練二

1.在AABC中，已知b=/,c=l,B=45。,則@=(B)

V6+V2

A2

2

V6±V2V6-V2聽課隨筆

c-----------D-----------

22

2.在△ABC中，已知AB=5AC=6,BCH31,貝IJA二(A)

3.在4ABC中，若b=10,c=15,伊烹則此三角形有一解。

提示：由余弦定理得：

2ab220a

->a2-l0^3a-l25=0->a=5也士10^2

負值不合題意，舍去。

4、AABC中，若a2-c2+bc=b2,

n

則A=T

【師生互動】

學生質(zhì)疑

教師釋疑

第5課時余弦定理（2）

【學習導航】

知識網(wǎng)絡(luò)

余5起/飛航判運斷問「題角中形的的應(yīng)形用狀

學習要求

1.能把一些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；

2.余弦定理的教學要達到“記熟公式”和“運算正確”這兩個目標：

3.初步利用定理判斷三角形的形狀。

【課堂互動】

自學評價

1.余弦定理：

(1)a2=b2+c2-2bc-cosA,b2=q2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2ab:cosC,

(2)變形:

2.利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：

(1)已知三邊，求三個角；

(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.

【精典范例】

【例1】在長江某渡口處，江水以5km的速度向東流，一渡船在江南岸的A碼頭出發(fā)，預定要在0.lh后

到達江北岸B碼頭，設(shè)AN為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東15°,并與A碼頭相距1.2km該

渡船應(yīng)按什么方向航行?速度是多少(角度精確到0.1°,速度精確到0.lkm/h)?

【解】如圖，船按AD方向開出，AC方向為水流方向，以AC為一邊、AB為對角線作平行中邊形ABCD,

其中AB=1.2(km),AC=5x().l=O.5(km).

^AABC中，由余弦定理，得

BC2=1.22+0.52-21.20.5cos(90°-15°)所以

AD=BGI.17(ki.

因此，船的航行速度為1.17-rO.1=11.7(km/h).

在4ABC中，由正弦定理得

/CsinNB/CO.5sin75w.

sinZJSC-----------------------=0.41所以

BC1.17

ZABO24.4

所以/DAN=/DAB-mAB=/ABC-15240

答：渡船應(yīng)按北偏西9.4°的方向，并以11.7km/h的速度航行.

【例2】在4ABC中，已知sinA=2sinBcosC,試判斷該三角形的形狀.

【解】由正弦定理及余弦定理，得吧1=色,8§。=佇塵二U

sinBA,osc=tn2ab

aft"一/

所以一=2：一,整理得b2=c2

bZab

第14頁共159頁

因為b>0,c>0,所以b=c.因此，Z\ABC為等腰三角形.

【例3】如圖，AM是4ABC中BC邊上的中線，求證：AMAB2+AC2)-BC2

【證明】

設(shè)NAMB=a,則ZAMC=180°?a.在△ABM中，由余弦定理，得

BIXCAB2=M2EM2-AMEM]t

在AACM中，由余弦定理，得AC2=AM2+MC2-2AM]180°-a）因為

cos(180°-)=-cosa.5A/=A/C=-BC.

所以46：+/C：=2AM2+g,

因此，JAf=1y]2(AB:^AC2)-BC2

追蹤訓練一

1.在ZkABC中，如果sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么cosC等于(D).

A2211

,iB."3C."3D."4

2如圖，長7m的梯子BC靠在斜壁上，梯腳與壁基相距1.5m,梯頂在沿著壁向上6m的地方，求壁

面和地面所成的角a(精確到0.1。).

略解：cosa=0.5972

:.a七126.7

3.在ZXABC中，已知a=2,b=3,C=60°,試證明此三角形為銳角三

角形.

【選修延伸】

【例4】在△ABC中，設(shè)"+"―-isinJsinB=—請判斷三角形的形狀。

a+b-c4

【解】由萼三=3/+卜工2二（a+bbFYQ+b（2-州）2-/=0,毗bWQ得

a2-ab^-b2-c2=0c2=a2^b2-ab,

cosC=<衛(wèi)=1,C=60°

lab2

第15頁共159頁

而郵in/sin*得犧S(A+B>網(wǎng)A石里

-l[-cosC-cos(A-B)]=1,cos(]而一〃%A~B=^A包

，三角形為等邊三角形。

追蹤訓練二

1.在△ABC中，A=6O°>1,其面積為J3,則一~。+八￡—等于(B