新教材2025版高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念和通項公式學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第二冊

第1課時等差數(shù)列的概念和通項公式【課標(biāo)解讀】1.理解等差數(shù)列、等差中項的概念．2．駕馭等差數(shù)列的通項公式，并能運用通項公式解決一些簡潔的問題．3．駕馭等差數(shù)列的推斷與證明方法．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性【教材要點】要點一等差數(shù)列的概念(1)文字語言：假如一個數(shù)列從第________項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)?，那么這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個________叫做等差數(shù)列的________，公差通常用字母________表示．(2)符號語言：an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)．要點二等差中項在兩個數(shù)a，b之間插入數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，則A稱為a與b的等差中項?，即2A＝________．批注?一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差即使等于常數(shù)，這個數(shù)列也不肯定是等差數(shù)列，因為當(dāng)這些常數(shù)不同時，該數(shù)列不是等差數(shù)列，因此定義中強(qiáng)調(diào)“同一個常數(shù)”，即該常數(shù)與n無關(guān)．批注?在等差數(shù)列{an}中，任取相鄰的三項an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，則an是an－1與an＋1的等差中項．反之，若an－1＋an＋1＝2an對隨意的n≥2，n∈N*均成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．要點三等差數(shù)列的通項公式首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式an＝____________．要點四從函數(shù)角度相識等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上．【夯實雙基】1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若一個數(shù)列從其次項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)數(shù)列{an}滿意an＋1－an＝1(n>1)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．()(3)若三個數(shù)a，b，c滿意2b＝a＋c，則a，b，c肯定是等差數(shù)列．()(4)一個無窮等差數(shù)列{an}中取出全部偶數(shù)項構(gòu)成一個新數(shù)列，公差仍舊與原數(shù)列相等．()2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋5，則此數(shù)列()A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項為5的等差數(shù)列D．是公差為n的等差數(shù)列3．已知實數(shù)m是1和5的等差中項，則m＝()A．5 B．±5C．3 D．±34．已知公差d＝－13，a7＝8，則a1題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1等差數(shù)列的通項公式及應(yīng)用例1在等差數(shù)列{an}中，(1)若a5＝15，a17＝39，試推斷91是否為此數(shù)列中的項；(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.[聽課記錄]【方法總結(jié)】求等差數(shù)列通項公式的方法鞏固訓(xùn)練1(1)[2024·山東棗莊高二期末]已知等差數(shù)列{an}，若a3＝4，a5＝10，則a1＝()A．1 B．－1C．－2 D．3(2)100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項？假如是，是第幾項？假如不是，說明理由．題型2等差中項及其應(yīng)用例2(1)若m和2n的等差中項為4，2m和n的等差中項為5，則m與n的等差中項是__________．(2)在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c，使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．[聽課記錄]【方法總結(jié)】(1)涉及等差數(shù)列中相鄰三項的問題可用等差中項求解；(2)若數(shù)列{an}滿意2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，則可判定數(shù)列{an}是等差數(shù)列．鞏固訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1與a2的等差中項為1，a2與a3的等差中項為2，則公差d＝____________．題型3等差數(shù)列的判定與證明例3已知數(shù)列{an}滿意a1＝4且an＝4－4an-1(n>1)，記b(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．[聽課記錄]【方法總結(jié)】證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的2種常用方法鞏固訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的通項公式an＝pn2＋qn(p，q∈R)．(1)當(dāng)p和q滿意什么條件時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列？(2)求證：數(shù)列an+14．2等差數(shù)列4．2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念和通項公式新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點]要點一2常數(shù)公差d要點二a＋b要點三a1＋(n－1)d[夯實雙基]1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：∵an－an－1＝2n＋5－(2n＋3)＝2，∴{an}是公差為2的等差數(shù)列．故選A.答案：A3．解析：由題知：2m＝1＋5＝6，m＝3.故選C.答案：C4．解析：∵a7＝a1＋6d＝8，∴a1＝8－6×(－13答案：10題型探究·課堂解透例1解析：(1)設(shè){an}的公差為d，因為a1+4d=15所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.令2n＋5＝91，得n＝43.因為43為正整數(shù)，所以91是此數(shù)列中的項；(2)設(shè){an}的公差為d，則a1+d=11∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3.鞏固訓(xùn)練1解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a3＝4，a5＝10，所以a1+2d=4a故選C.(2)∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，由7n－5＝100，得n＝15，∴100是這個數(shù)列的第15項．答案：(1)C(2)見解析例2解析：(1)由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8.由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6.所以m與n的等差中項為m+n2＝6(2)因為－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，所以b是－1與7的等差中項，則b＝-1+7又a是－1與3的等差中項，所以a＝-1+3又c是3與7的等差中項，所以c＝3+72所以該數(shù)列為－1，1，3，5，7.答案：(1)3(2)見解析鞏固訓(xùn)練2解析：由題意知a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，則a2＋a3－(a1＋a2)＝2，即a3－a1＝2＝2d，∴d＝1.答案：1例3解析：(1)證明：∵bn＋1－bn＝1＝1＝a＝an-2又b1＝1a1-∴數(shù)列{bn}是首項為12，公差為1(2)由(1)知，bn＝12＋(n－1)×12＝1∵bn＝1a∴an＝1bn＋2＝鞏固訓(xùn)練3解析：(1)若{an}是等差數(shù)列，則an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，是