2025屆新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練專題17利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值教師版

專題17利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值一、多選題1．下列命題正確的有（）A．已知且，則B．，則C．的極大值和微小值的和為D．過(guò)的直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是【答案】ACD【分析】由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍；利用指對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法求；利用導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計(jì)算極值之和即可；由直線與有三個(gè)交點(diǎn)，即可知有兩個(gè)零點(diǎn)且不是其零點(diǎn)即可求斜率范圍.【詳解】A選項(xiàng)，由條件知且，所以，即；B選項(xiàng)，有，，而；C選項(xiàng)，中且開(kāi)口向上，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)且、，即為兩個(gè)極值點(diǎn)，所以；D選項(xiàng)，令直線為與有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)即可∴，解得故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)探討極值，由函數(shù)交點(diǎn)狀況求參數(shù)范圍，屬于難題.2．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，可判定A正確；依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和，且時(shí)，，可判定B不正確；由函數(shù)的單調(diào)性，得到，再結(jié)合作差比較，得到，可判定C正確；分別參數(shù)得到在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；由當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，由于，則，因?yàn)椋?，即，所以，所以C正確；由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問(wèn)題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分別變量，構(gòu)造新函數(shù)，干脆把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中為真命題的是（）A．的單調(diào)減區(qū)間是B．的微小值是﹣6C．過(guò)點(diǎn)只能作一條直線與的圖象相切D．有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可得出其單調(diào)性和極值，從而推斷ABD的真假，再依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可推斷C的真假．【詳解】因?yàn)椋?，得或，則在，上單調(diào)遞增；令，得，則在上單調(diào)遞減．所以微小值為，極大值為，而，故存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B、D正確；設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的圖象相切，切點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以切線方程為．將代入，得．令，則，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，，所以方程只有一解，即過(guò)點(diǎn)只能作一條直線與的圖象相切，故C正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．4．材料：函數(shù)是描述客觀世界改變規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析教材中，對(duì)“初等函數(shù)”給出了準(zhǔn)確的定義，即由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，且能用一個(gè)式子表示的，如函數(shù)，我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即為初等函數(shù).依據(jù)以上材料，對(duì)于初等函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A．無(wú)微小值 B．有微小值 C．無(wú)極大值 D．有極大值【答案】AD【分析】將函數(shù)的解析式變形為，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的極值，由此可得出結(jié)論.【詳解】依據(jù)材料知：，所以，令得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以有極大值且為，無(wú)微小值.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，同時(shí)也考查了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.5．設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，，則下列結(jié)論不正確的是（）A．在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞增C．在上有極大值 D．在上有微小值【答案】AC【分析】首先依據(jù)題意設(shè)，得到，再求出的單調(diào)性和極值即可得到答案.【詳解】由得，則即，設(shè)，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值.故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值，同時(shí)考查了構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題.6．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中真命題的為（）A．的單調(diào)減區(qū)間是B．的微小值是C．當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的且，恒有（a）（a）D．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【分析】由，知，令，得，，分別求出函數(shù)的極大值和微小值，知錯(cuò)誤，正確；由，且，令利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性，再依據(jù)切割線的定義即可推斷，故正確；【詳解】解：，其導(dǎo)函數(shù)為．令，解得，，當(dāng)時(shí)，即，或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有微小值，微小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤，正確；令，則故在上，即在上單調(diào)遞增，依據(jù)切割線的定義可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的，恒有，即對(duì)隨意的，恒有，即，故正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法，以及不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要細(xì)致審題，細(xì)致解答，留意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的敏捷運(yùn)用．二、單選題7．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中肯定成立的是（）A．有極大值 B．有微小值C．有極大值 D．有微小值【答案】A【分析】由函數(shù)的圖象，可得時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.由此可得函數(shù)的單調(diào)性，則答案可求.【詳解】解：函數(shù)的圖象如圖所示，∴時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.∴有極大值.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.8．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）①的解集是；②是極大值，是微小值；③沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值；④有最大值，沒(méi)有最小值；⑤有最小值，沒(méi)有最大值.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】干脆不等式可推斷①；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求函數(shù)的極值，可推斷②；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值可推斷③④⑤【詳解】解：由，得，即，解得，所以的解集是，所以①正確；由，得，令，則，解得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是微小值，是極大值，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)槭俏⑿≈?，且?dāng)時(shí)，恒成立，而是極大值，所以有最大值，沒(méi)有最小值，所以④正確，③⑤錯(cuò)誤，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)極值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題9．函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)；②y=f(x)在區(qū)間(-3，1)上單調(diào)遞增；③-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn)；④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.以上正確命題的序號(hào)是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，得到極值點(diǎn)，以及依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的切線斜率．【詳解】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故②正確；則是函數(shù)的微小值點(diǎn)，故①正確；∵在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的最小值點(diǎn)，故③不正確；∵函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)大于，切線的斜率大于零，故④不正確.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其中利用導(dǎo)函數(shù)推斷單調(diào)性的步驟為：1.先求出原函數(shù)的定義域；2.對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)；3.令導(dǎo)數(shù)大于零；解出自變量的范圍；該范圍即為該函數(shù)的增區(qū)間；同理令導(dǎo)數(shù)小于零，得到減區(qū)間；4.若定義域在增區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)單增；若定義域在減區(qū)間內(nèi)則函數(shù)單減，若以上都不滿意，則函數(shù)不單調(diào)．10．已知函數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】令，探討的取值范圍：當(dāng)時(shí)或當(dāng)時(shí)，可得或，探討的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可求解.【詳解】令，則，（1）當(dāng)時(shí)，，即，即.當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解.當(dāng)時(shí)，，，；，，且.當(dāng)時(shí)，，而，所以方程無(wú)解.（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，即.當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解.當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)解.綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)，考查了計(jì)算求解實(shí)力，屬于中檔題.11．設(shè)函數(shù)，則（）A．有極大值且為最大值 B．有微小值，但無(wú)最小值C．若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則 D．若方程恰有一個(gè)實(shí)根，則【答案】C【分析】求導(dǎo)后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再依據(jù)當(dāng)時(shí)，；、，畫出函數(shù)圖象草圖后數(shù)形結(jié)合逐項(xiàng)推斷即可得解.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，，再由，，可畫出函數(shù)圖象草圖，如圖，由圖象可知，為函數(shù)的極大值但不是最大值，故A錯(cuò)誤；為函數(shù)的微小值，且為最小值，故B錯(cuò)誤；若要使有3個(gè)實(shí)根，則要使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，故C正確；若要使恰有一個(gè)實(shí)根，則要使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象僅有1個(gè)交點(diǎn)，則或，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和推理實(shí)力，屬于中檔題.三、解答題12．已知函數(shù).（1）若，求在區(qū)間上的極值；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）微小值為，無(wú)極大值；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）求得，分和兩種狀況探討，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)改變，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，列表；單調(diào)遞減微小單調(diào)遞增所以，在區(qū)間上的有微小值，無(wú)極大值；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則，從而；若，則，從而.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：探討含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通常以下幾個(gè)方面：（1）求導(dǎo)后看函數(shù)的最高次項(xiàng)系數(shù)是否為，需分類探討；（2）若最高次項(xiàng)系數(shù)不為，且最高次項(xiàng)為一次，一般為一次函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)方程的根；（3）對(duì)導(dǎo)數(shù)方程的根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類探討，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)改變可得出函數(shù)的單調(diào)性.13．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）微小值為；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)求導(dǎo)推斷單調(diào)性、即可求得極值；（2）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)得符號(hào)推斷出的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類探討，考慮函數(shù)得最小值，從而推斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，找到函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）的定義域是，當(dāng)時(shí)，，.令，得或（舍）.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得微小值，微小值為.無(wú)極大值（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.①令，得，當(dāng)，的最小值為，即有唯一的零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，的最小值為，且，即不存在零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，的最小值，又，，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，，令，則，解得，可知在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法（1）干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.14．（1）已知，，若，且圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求的值.（2）求函數(shù)在上的極值.【答案】（1），，；（2）極大值為，微小值為.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合切點(diǎn)在切線上，列方程即可得解；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間后，結(jié)合極值的概念即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以即，由可得，因?yàn)閳D象在點(diǎn)處的切線方程為，所以，，即，，所以，，；（2）由可得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上的極大值為，微小值為.15．已知函數(shù).(1)若函數(shù)，求函數(shù)的極值；(2)若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）的極大值是，無(wú)極大值；（2）.【分析】（1）先寫函數(shù)并求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)推斷單調(diào)性和極值即可；（2）先分別參數(shù)，再探討函數(shù)最大值得到的取值范圍，即得結(jié)果.【詳解】解：（1），定義域?yàn)椋?；；當(dāng)改變時(shí)，的改變狀況如下表:1-0+↘微小值↗由上表可得的極大值是，無(wú)極大值；（2）由在時(shí)恒成立，即，整理為在時(shí)恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，且，.當(dāng)時(shí)，，設(shè)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，使得∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..，，∴當(dāng)時(shí)，，的最小值是.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟：①寫定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和③寫出單調(diào)區(qū)間，并推斷極值點(diǎn).解決恒成立問(wèn)題的常用方法：①數(shù)形結(jié)合法；②分別參數(shù)法；③構(gòu)造函數(shù)法.16．已知函數(shù)，（其中）.（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.（說(shuō)明：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）【答案】（1）微小值為，無(wú)極大值；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1），利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，然后可得極值；（2），利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，然后可建立不等式組求解；（3）問(wèn)題等價(jià)于求證；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，然后證明即可.【詳解】（1）∵，∴，由，得，由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的微小值為，無(wú)極大值.（2）函數(shù)，則，令，∵，解得，或（舍去），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，即，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）問(wèn)題等價(jià)于，由（1）知的最小值為.設(shè)，，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴，∵，∴，∴，故當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍時(shí)，須要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值分析，然后建立不等式組求解.17．已知函數(shù)，．（1）設(shè)，求函數(shù)的極值；（2）若，試探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）微小值為，無(wú)極大值；（2）1個(gè)．【分析】（1）先求得，然后求，對(duì)分成和兩種狀況進(jìn)行分類探討，結(jié)合單調(diào)性求得的極值.（2）首先推斷在上遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推斷出的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1），，，．，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)，無(wú)極值．②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，的微小值，無(wú)極大值．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，的微小值，結(jié)合的單調(diào)性可知，即恒成立．在上是增函數(shù)，，，在中有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：1.先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出圖像，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合的思想和分類探討的思想；2.構(gòu)造新函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探討兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題；3.分別參變量，即由分別參變量，得，探討直線與的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.18．已知函數(shù)，在時(shí)取得極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.【分析】（1）利用極值定義，列式，求出值并驗(yàn)證即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】解：（1）函數(shù)，則，函數(shù)在時(shí)取得極值，故，解得，此時(shí)，，函數(shù)的確在時(shí)取得微小值.故的值是；（2）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.19．已知函數(shù)，是奇函數(shù).（1）求的表達(dá)式；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）極大值，微小值.【分析】（1）求導(dǎo)，由得到的表達(dá)式，然后利用是奇函數(shù)求解.（2）由（1）知，求導(dǎo)，再利用極值的定義求解.【詳解】（1）函數(shù)，所以，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，解得，所以的表達(dá)式為.（2）由（1）知，則，當(dāng)或時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得微小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，利用奇偶性求函數(shù)解析式以及函數(shù)極值的求法，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.20．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（3）當(dāng)時(shí)，若當(dāng)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）有微小值，無(wú)極大值；（2）；（3）.【分析】（1）先代入?yún)?shù)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，列表推斷單調(diào)性，即得極值狀況；（2）先代入?yún)?shù)，將不等式移項(xiàng)整理，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，探討其單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式，即得結(jié)果；（3）先代入?yún)?shù)，將恒成立式移項(xiàng)整理，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，探討其單調(diào)性，再利用單調(diào)性推斷其最值滿意題意，即得結(jié)果；【詳解】（1）當(dāng)，定義域令，得列表如下：-0+↘微小值↗∴當(dāng)時(shí)，有微小值，無(wú)極大值；（2）當(dāng)令令列表如下：1-0+↘微小值↗當(dāng)時(shí)，有微小值，即在單調(diào)遞增，，故不等式即，故解集為；（3）當(dāng)，當(dāng)，恒有成立，即，恒有成立.令令，在單調(diào)遞增，①若，即，，即，即在單調(diào)遞增.成立.即時(shí)，當(dāng)，恒有成立.②若，即，取在單調(diào)遞增，，使得，∵當(dāng)，即，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，不恒成立，即不恒成立.綜上：.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)極值的步驟：①寫定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和③依據(jù)單調(diào)性推斷函數(shù)極值點(diǎn).解決恒成立問(wèn)題的常用方法：①數(shù)形結(jié)合法；②分別參數(shù)法；③構(gòu)造函數(shù)法.21．已知函數(shù)(aR).（1）探討的極值；（2）若a＝2，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】(1)先寫定義域求導(dǎo)，對(duì)a分類探討探討函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即確定函數(shù)的單調(diào)性和極值狀況；(2)a＝2時(shí)令化簡(jiǎn)不等式得，探討t進(jìn)行參數(shù)分別，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋摇啵╥）當(dāng)a=0時(shí)，恒成立，則在定義域上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值；（ii）當(dāng)a≠0時(shí)，，可令，解得，所以①當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞增，則的微小值為=，無(wú)極大值；②當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞減，則的極大值為=，無(wú)微小值；綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有微小值，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)微小值.（2）若a＝2，，不等式化為則令，則不等式化為，所以①當(dāng)時(shí)，參變分別得，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，∴.②當(dāng)時(shí)，不等式化為0>-1，明顯成立.③當(dāng)時(shí)，，則，可令，解得，且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，所以，所以.綜上所述，要使不等式恒成立，需實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟：①寫定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和③寫出單調(diào)區(qū)間，并推斷極值點(diǎn).解決恒成立問(wèn)題的常用方法：①數(shù)形結(jié)合法；②分別參數(shù)法；③構(gòu)造函數(shù)法.22．已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）極大值為，微小值為；（2）.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的極值；（2）“函數(shù)，在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)”可以轉(zhuǎn)化為“方程有兩個(gè)非零實(shí)根”.構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】解：由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)镽.（1）因?yàn)?所以，由，得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為；當(dāng)時(shí)，有微小值，并且微小值為.（2）因?yàn)椋詾橐粋€(gè)零點(diǎn).所以“函數(shù)，在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)”可以轉(zhuǎn)化為“方程有兩個(gè)非零實(shí)根”.令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有最小值，時(shí)，，時(shí)，.若方程有兩個(gè)非零實(shí)根，則，即.若，方程只有一個(gè)非零實(shí)根，所以.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值的求解，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，考查化歸轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是中檔題.23．函數(shù).（1）求的極大值和微小值；（2）已知在區(qū)間D上的最大值為20，以下3個(gè)區(qū)間D的備選區(qū)間中，哪些是符合已知條件的？哪些不符合？請(qǐng)說(shuō)明理由.①；②；③【答案】（1）極大值25，微小值-7；（2）區(qū)間①③不符，區(qū)間②符合，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）先求解出，依據(jù)分析得到的單調(diào)性，從而的極值可求；（2）依據(jù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性以及極值，分析得到的最大值，由此推斷所給區(qū)間是否符合條件.【詳解】(1)，令，或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值為，微小值為(2)當(dāng)區(qū)間為①時(shí)，在上遞減，在上遞增，，，所以，不符合；當(dāng)區(qū)間為②時(shí)，在上遞減，在上遞增，，，所以，符合；當(dāng)區(qū)間為③時(shí)，在上遞減，在上遞增，，，所以，不符合，綜上可知：區(qū)間①③不符，區(qū)間②符合.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值的思路：（1）若所給的閉區(qū)間不含參數(shù)，則只需對(duì)求導(dǎo)，并求在區(qū)間內(nèi)的根，再計(jì)算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值；（2）若所給的區(qū)間含有參數(shù)，則需對(duì)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類探討，推斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值.24．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的微小值；（2）關(guān)于的不等式在上存在解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的微小值；（2）由參變量分別法得出在區(qū)間上有解，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的微小值為；（2）由得，令，由在有解知，，，令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，所以，，使得，即，且當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則.所以，當(dāng)時(shí)，，則.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式在區(qū)間上有解的問(wèn)題，考查參變量分別法的應(yīng)用，屬于中等題.25．已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【答案】（Ⅰ）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的增減區(qū)間.（Ⅱ）分別常數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用求導(dǎo)求函數(shù)的值域，最終得參數(shù)范圍.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí),則定義域?yàn)闀r(shí)，得，解得的單調(diào)增區(qū)間為時(shí)，得，解得的單調(diào)減區(qū)間為（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)所以在有兩個(gè)實(shí)根即在有兩個(gè)實(shí)根所以函數(shù)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)令解得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以為極大值點(diǎn)，取得極大值，也是最大值又，因?yàn)楹瘮?shù)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)所以所以.【點(diǎn)睛】本題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值問(wèn)題，都是利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)解決.利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值一般步驟為：求函數(shù)的定義域求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)大于0.解得對(duì)應(yīng)x范圍即為增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0.解得對(duì)應(yīng)x范圍即為減區(qū)間最終推斷極值點(diǎn)求出極值求出特定區(qū)間的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，與極值比較得最值.26．已知函數(shù)的極大值為2.（1）求a的值和的微小值；（2）求在處的切線方程.【答案】（1），微小值為；（2）.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，解對(duì)應(yīng)的不等式，求出單調(diào)區(qū)間，得出極大值，依據(jù)題中條件，求出，即可得出微小值；（2）依據(jù)（1）的結(jié)果，先得到，，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而可得切線方程.【詳解】（1）由得，令或，令，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取極大值，即.則在處取得微小值；（2）由（1）知，故，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，在處的切線斜率為.故其切線方程為：，即.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)極值的一般有以下幾個(gè)步驟：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；（2）解導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式，得出單調(diào)區(qū)間；（3）由極值的概念，結(jié)合單調(diào)性，即可得出極值.27．已知函數(shù).（1）探討的極值；（2）若方程在上有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分為和兩種情形探討函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得極值；（2）題意等價(jià)于在上有實(shí)數(shù)解，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，通過(guò)推斷單調(diào)性及最值可得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，由已知可得.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.此時(shí)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以有微小值，無(wú)極大值.綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，的微小值為，無(wú)極大值.（2）令.方程在上有實(shí)數(shù)解，即在上有零點(diǎn).當(dāng)，時(shí)，，，所以，此時(shí)不存在零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，，所以，故在上單調(diào)遞增.所以，.所以要使在上有零點(diǎn)，則，即，解得.即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決