山西省運城市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

山西省運城市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題本試題滿分150分，考試時間120分鐘.留意事項：1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，仔細核對條形碼上的姓名?準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.答題時運用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清晰.3.請依據(jù)題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.一?單項選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在等差數(shù)列中，，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得方程組，求得公差.【詳解】等差數(shù)列中,,，由通項公式可得解得故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡函數(shù)的解析式，利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，因此，.故選：D.3.九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智嬉戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按肯定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù)確定解開圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中，用表示解開n（，）個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，若數(shù)列滿意，且當(dāng)時，則解開5個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）A.10 B.16 C.21 D.22【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列遞推公式，代入計算即可.【詳解】依據(jù)題意，由，得.故選：D.4.已知直線和相互平行，則實數(shù)（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，結(jié)合兩直線的平行，得到且，即可求解.【詳解】由題意，直線和相互平行，可得且，即且，解得或.故選：C.5.若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（）A.5 B. C.3 D.3或【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項公式求解．【詳解】解：設(shè)該等比數(shù)列公比為q，∵數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，∴，，∴，故，解得，∴．故選：C6.在二面角的棱上有兩個點、，線段、分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個二面角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)這個二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個二面角的度數(shù)為，故選：C.【點睛】本題考查利用向量的幾何運算以及數(shù)量積探討面面角.7.若數(shù)列對隨意滿意，下面選項中關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（）A.肯定是等差數(shù)列B.肯定是等比數(shù)列C.可以既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.可以既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列【答案】D【解析】【分析】由已知可得或，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，可得答案．【詳解】由，得或，即或，若，則數(shù)列是等差數(shù)列，則B錯誤；若，當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列，則A錯誤．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列；由，不能得到數(shù)列為非0常數(shù)列，則不行以既是等差又是等比數(shù)列，則C錯誤；可以既不是等差又不是等比數(shù)列，如1，3，5，10，20，，故D正確；故選：D．8.已知點是雙曲線的左?右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（）A.與雙曲線的實軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線【答案】B【解析】【分析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進而可得A不正確，計算可推斷B正確，再求出，的關(guān)系可得C不正確，求出，的關(guān)系，進而求出漸近線的方程，可得D不正確．【詳解】因為，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因為在以為直徑的圓上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B．9.若等差數(shù)列的前項和為，首項，，，則滿意成立的最大正整數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項和，確定和的正負．【詳解】∵，∴和異號，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，首項，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿意的最大自然數(shù)為4040．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題求滿意的最大正整數(shù)的值，關(guān)鍵就是求出，時成立的的值，解題時應(yīng)充分利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解,屬于中檔題.10.已知，，，其中，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先令函數(shù)，求導(dǎo)推斷函數(shù)的單調(diào)性，并作出函數(shù)的圖像，由函數(shù)的單調(diào)性推斷，再由對稱性可得.【詳解】由，則，同理，，令，則，當(dāng)；當(dāng)，∴在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即可得，又，，由圖的對稱性可知，.故選：C11.公比為的等比數(shù)列，其前項和為，前項積為，滿意，.則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為B.C.的最大值為D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)已知條件，推斷出，即可推斷選項D，再依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，推斷，，由此推斷出選項A,B,C.．【詳解】依據(jù)題意，等比數(shù)列滿意條件，，，若，則，則，，則，這與已知條件沖突，所以不符合題意，故選項D錯誤；因為，，，所以，，，則，，數(shù)列前2024項都大于1，從第2024項起先都小于1，因此是數(shù)列中的最大值，故選項A正確．由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故選項B不正確；而，由以上分析可知其無最大值，故C錯誤；故選：A12.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的單調(diào)減區(qū)間為B.設(shè)，若對，使得成立，則C.當(dāng)時，D.若方程有4個不等的實根，則【答案】B【解析】【分析】函數(shù)，，，,，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性以及極值，畫出圖象．A.結(jié)合圖象可推斷出正誤；．B.設(shè)函數(shù)的值域為，函數(shù)，的值域為．若對，，使得成立，可得．分別求出，，即可推斷出正誤．C.由函數(shù)在單調(diào)遞減，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，由此即可推斷出正誤；D.方程有4個不等的實根，則，且時，有2個不等的實根，由圖象即可推斷出正誤；．【詳解】函數(shù)，，，．，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，，由此作出函數(shù)的大致圖象，如圖示：A.由上述分析結(jié)合圖象，可得A不正確．B.設(shè)函數(shù)的值域為，函數(shù)，的值域為．，對，，．，，．由，若對，，使得成立，則，所以，因此B正確．C．由函數(shù)在單調(diào)遞減，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，，即，因此C不正確；D.方程有4個不等的實根，則，且時，有2個不等的實根，結(jié)合圖象可知，因此D不正確．故選：B．二?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，則實數(shù)k=___________.【答案】2【解析】【分析】由題可求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求.【詳解】∵，∴，，又函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，∴.故答案為：2.14.已知函數(shù)的圖象與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，則的外接圓E的方程是________．【答案】【解析】【分析】由題可求三角形三頂點的坐標(biāo)，三角形的外接圓的方程即求.【詳解】令，得或，則，∴外接圓的圓心的橫坐標(biāo)為2，設(shè)，半徑為r，由，得，則，即，得，.∴的外接圓的方程為.故答案為：.15.若數(shù)列滿意，則稱為“追夢數(shù)列”.已知數(shù)列為“追夢數(shù)列”，且，則數(shù)列的通項公式__________.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)題意，由“追夢數(shù)列”的定義可得“追夢數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進而可得若數(shù)列為“追夢數(shù)列”，則為公比為3的等比數(shù)列，進而由等比數(shù)列的通項公式可得答案．【詳解】依據(jù)題意，“追夢數(shù)列”滿意，即，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列為“追夢數(shù)列”，則.故答案為：.16.已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有，且，則使得成立的的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)當(dāng)時，有，令，得到在上遞增，再依據(jù)在上的偶函數(shù)，得到在上是奇函數(shù)，則在上遞增，然后由，得到求解．【詳解】∵當(dāng)時，有，令，∴，∴在上遞增，又∵在上的偶函數(shù)∴，∴在上奇函數(shù)∴在上遞增，又∵，∴當(dāng)時，，此時，0＜x＜1，當(dāng)時，，此時，，∴成立的的取值范圍是．故答案為：﹒三?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求.【答案】（1）（2）1280【解析】【分析】（1）干脆利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）先推斷出數(shù)列單調(diào)性，由，則時，，時，；然后去掉肯定值，利用等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由，可知，∴;【小問2詳解】由（1）知，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由，則時，，時，；.18.如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長為3的正方形，是中點，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合線面角定義進行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小問2詳解】∵平面平面，交AD于點F，平面，平面平面，∴平面，以為原點，，方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（Ⅰ）求實數(shù)，的值；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值.【答案】（Ⅰ）最大值為，最小值為.（Ⅱ）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（Ⅰ）切點在函數(shù)上，也在切線方程為上，得到一個式子，切線的斜率等于曲線在的導(dǎo)數(shù)，得到另外一個式子，聯(lián)立可求實數(shù)，的值；（Ⅱ）函數(shù)在閉區(qū)間的最值在極值點或者端點處取得，通過比較大小可得最大值和最小值.【詳解】解：（Ⅰ），∵曲線在處的切線方程為，∴解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，則，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，∴在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與切線方程的關(guān)系以及利用導(dǎo)函數(shù)求最值的問題.20.已知數(shù)列滿意，．（1）設(shè)，求證:數(shù)列等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）將變形為，得到為等比數(shù)列，（2）由（1）得到的通項公式，用錯位相減法求得【詳解】（1）由，，可得，因為則，，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1），由，可得，，，上面兩式相減可得：，則．【點睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．(4)裂項相消法：用于通項能變成兩個式子相減，求和時能前后相消的數(shù)列求和.21.設(shè)橢圓的焦距為，原點到經(jīng)過兩點的直線的距離為.（1）求橢圓的離心率；（2）如圖所示，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過兩點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得，進而求解離心率即可；（2）依據(jù)題意得圓心是線段的中點，且，易知斜率存在，設(shè)其直線方程為，再結(jié)合韋達定理及弦長公式求解即可.【小問1詳解】解：過點直線方程為，∴原點到直線的距離，由，得，解得離心率.【小問2詳解】解：由（1）知，橢圓的方程為.依題意，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，聯(lián)立，得.設(shè)，則，.由，得，解得.所以.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.22.已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性：（2）若對恒成立