2025版新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系課時(shí)作業(yè)新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

1．1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，則p·q＝()A．－1B．1C．0D．－22．已知i，j，k是空間直角坐標(biāo)系Oxyz的坐標(biāo)向量，并且＝－i＋j－k，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(－1，1，－1)B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1)D．不能確定3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2，1，4)關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(0，0，0)B．(2，－1，－4)C．(6，－3，－12)D．(－2，3，12)4．向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥b，a⊥bB．a(chǎn)∥b，a⊥cC．a(chǎn)∥c，a⊥bD．以上都不對(duì)5．若△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，則k的值為()A．B．－C．2D．±6．如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，則的坐標(biāo)為_(kāi)_______，的坐標(biāo)為_(kāi)_______．7.如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的中點(diǎn)，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為()A．(1，1，1)B．(1，1，)C．(1，1，)D．(1，1，2)8．已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，向量a＝(m，－1，n)，且向量a分別與，垂直，則|a|＝()A．4B．2C．2D．9．在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(a，b，c)，有下列敘述：①點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)是P1(a，－b，c)；②點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P2(a，－b，－c)；③點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)是P3(a，－b，c)；④點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P4(－a，－b，－c).其中敘述正確的個(gè)數(shù)為()A．3B．2C．1D．010．已知點(diǎn)A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C為線段AB上一點(diǎn)且＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)___________．11．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點(diǎn)，則cos〈C1D，A1C〉＝________．12．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，點(diǎn)A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).(1)求|2a＋b|；(2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得⊥b？(O為原點(diǎn))13．(多選)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)·取得最小值時(shí)，下列說(shuō)法正確的是()A．λ＝B．λ＝1C．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，，)D．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，，)14.如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段DC上．(1)當(dāng)PB＝2AP，且點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M時(shí)，求|PM|的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)點(diǎn)P是面對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在面對(duì)角線DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究|PQ|的最小值．1．1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1．答案：A解析：∵p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.故選A.2．答案：D解析：向量的坐標(biāo)與B點(diǎn)的坐標(biāo)不同．由于A點(diǎn)的坐標(biāo)未知，故無(wú)法確定B點(diǎn)坐標(biāo)．故選D.3．答案：C解析：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，設(shè)P3(x，y，z)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12).故選C.4．答案：C解析：∵c＝2a，∴a∥c，又∵a·b＝－2×2＋0＋1×4＝0，∴a⊥b.故選C.5．答案：D解析：∵A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，∴＝(3，－2，k)，＝(6，－1，－2k).∵△ABC中，∠C＝90°，∴·＝(3，－2，k)·(6，－1，－2k)＝18＋2－2k2＝0，解得k＝±eq\r(10).故選D.6．答案：(0，2，1)(2，2，1)解析：因?yàn)锳(0，0，0)，D1(0，2，1)，C1(2，2，1)，所以＝(0，2，1)，＝(2，2，1).關(guān)鍵實(shí)力綜合練7．答案：A解析：設(shè)PD＝a，則A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E(1，1，eq\f(a,2))，∴＝(0，0，a)，＝(－1，1，eq\f(a,2)).∵cos〈，〉＝eq\f(\f(a2,2),a·\r(2＋\f(a2,4)))＝eq\f(\r(3),3)，∴a＝2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，1，1).故選A.8．答案：D解析：因?yàn)榭臻g三點(diǎn)A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，所以＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，因?yàn)橄蛄縜＝(m，－1，n)，且向量a分別與，垂直，所以，解得m＝－1，n＝－1，所以a＝(－1，－1，－1)，故|a|＝eq\r(3).故選D.9．答案：C解析：①點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于橫軸(x軸)對(duì)稱，則x不變，其余相反，即對(duì)稱點(diǎn)是P1(a，－b，－c)，故①錯(cuò)誤；②點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱，則y，z不變，x相反，即對(duì)稱點(diǎn)P2(－a，b，c)，故②錯(cuò)誤；③點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于縱軸(y軸)對(duì)稱，則y不變，x，z相反，即對(duì)稱點(diǎn)是P3(－a，b，－c)，故③錯(cuò)誤；④點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則x，y，z都為相反數(shù)，即對(duì)稱點(diǎn)為P4(－a，－b，－c)，故④正確．故選C.10．答案：(eq\f(10,3)，－1，eq\f(7,3))或(eq\f(14,3)，3，eq\f(11,3))解析：∵點(diǎn)A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C為線段AB上一點(diǎn)，且＝eq\f(1,3)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y，z)，①＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)(－2，－6，－2)＝(－eq\f(2,3)，－2，－eq\f(2,3))，即(x－4，y－1，z－3)＝(－eq\f(2,3)，－2，－eq\f(2,3))，∴(x，y，z)＝(eq\f(10,3)，－1，eq\f(7,3)).②＝－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)(－2，－6，－2)＝(eq\f(2,3)，2，eq\f(2,3))，即(x－4，y－1，z－3)＝(eq\f(2,3)，2，eq\f(2,3))，∴(x，y，z)＝(eq\f(14,3)，3，eq\f(11,3)).11．答案：eq\f(\r(15),15)解析：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則C1(0，1，2)，D(1，0，1)，A1(0，0，2)，C(0，1，0).∴＝(1，－1，－1)，＝(0，1，－2).∴cos〈，〉＝＝eq\f(－1＋2,\r(3)×\r(5))＝eq\f(\r(15),15).12．解析：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋（－5）2＋52)＝5eq\r(2).(2)假設(shè)存在點(diǎn)E，＝(1，－1，－2)，＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，則·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝9－5t＝0，解得t＝eq\f(9,5)，因此存在點(diǎn)E，使得⊥b，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－eq\f(6,5)，－eq\f(14,5)，eq\f(2,5)).核心素養(yǎng)升級(jí)練13．答案：AC解析：由于點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，所以滿意共線的條件，設(shè)Q(t，t，2t)，所以＝(1－t，2－t，3－2t)，＝(2－t，1－t，2－2t)；故·＝6t2－16t＋10＝6(t－eq\f(4,3))2－eq\f(2,3)，當(dāng)t＝eq\f(4,3)時(shí)，·取得最小值．即題中的λ＝t＝eq\f(4,3)，點(diǎn)Q(eq\f(4,3)，eq\f(4,3)，eq\f(8,3)).故選AC.14．解析：(1)由題意知點(diǎn)A(1，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(1，1，1)，當(dāng)PB＝2AP時(shí)，P(1，eq\f(1,3)，eq\f(2,3))，M(－1，eq\f(1,3)，－eq\f(2,3))，∴|PM|＝eq\r(（1＋1）2＋（\f(1,3)－\f(1,3)）2＋（\f(2,3)＋\f(2,3)）2)＝eq\f(2\r(13),3).(2)當(dāng)點(diǎn)P是面對(duì)角線AB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P(1，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，點(diǎn)Q在面對(duì)角線DC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q(a，1，a)，a∈[0，1]，則|PQ|＝eq\r(（1－a）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))\s\up12(2)＋\