新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 題型歸納演練專題3-10 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)原卷版

專題3-10導(dǎo)數(shù)與數(shù)列，導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)目錄TOC\o"1-1"\h\u專題3-10導(dǎo)數(shù)與數(shù)列，導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì) 1 1題型一：利用放縮通項(xiàng)公式解決數(shù)列求和中的不等問(wèn)題 1題型二：導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì) 10 22題型一：利用放縮通項(xiàng)公式解決數(shù)列求和中的不等問(wèn)題【典例分析】例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<0．例題2．（2022·福建·三明一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)證明：函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0只有一個(gè)公共點(diǎn)．(2)證明：對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【提分秘籍】常見(jiàn)的放縮不等式如下：①SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)；②SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)；③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)；④當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)；⑤當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0⑥SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)；【變式演練】1．（2022·廣西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．2．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)證明：對(duì)于任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0都成立.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－SKIPIF1<0.(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)＝SKIPIF1<0，對(duì)?x1SKIPIF1<0(0，＋∞)，?x2SKIPIF1<0(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)證明：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋…＋SKIPIF1<0(n∈N*，n≥2).4．（2022·湖南張家界·高二期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)①若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最小值；②證明：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.題型二：導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)【典例分析】例題1．（2022·江蘇南通·高二期末）某大型養(yǎng)雞場(chǎng)流行一種傳染病，雞的感染率為SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，從中隨機(jī)取出SKIPIF1<0只雞，記取到病雞的只數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的概率分布及數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0(2)對(duì)該養(yǎng)雞場(chǎng)所有雞進(jìn)行抽血化驗(yàn)，以期查出所有病雞SKIPIF1<0方案如下：按每SKIPIF1<0只雞一組分組，并把同組的SKIPIF1<0只雞的血混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題，再分別對(duì)該組SKIPIF1<0只雞逐只化驗(yàn)SKIPIF1<0設(shè)每只雞的化驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍例題2．（2022·山東·曹縣一中高二階段練習(xí)）垃圾分類，是指按一定標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱，分類的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，為爭(zhēng)物盡其用.垃圾分類后，大部分運(yùn)往垃圾處理廠進(jìn)行處理.為了監(jiān)測(cè)垃圾處理過(guò)程中對(duì)環(huán)境造成的影響，某大型垃圾處理廠為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，并制定如下方案：每年工廠的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為80萬(wàn)元，日常全天候開(kāi)啟3套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即檢查污染處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即同時(shí)啟動(dòng)另外兩套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè)，且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，也立即檢查污染處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段（以1小時(shí)為計(jì)量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為SKIPIF1<0，且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染處理系統(tǒng)的概率；(2)若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為20元/小時(shí)（不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用），除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要6萬(wàn)元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，問(wèn)該工廠的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過(guò)預(yù)算（全年按9000小時(shí)計(jì)算）？并說(shuō)明理由.【提分秘籍】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求最值【變式演練】1．（2022·全國(guó)·高一）根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有X個(gè)孩子的概率模型為：X1230概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為SKIPIF1<0且相互獨(dú)立，事件SKIPIF1<0表示一個(gè)家庭有i個(gè)孩子SKIPIF1<0，事件B表示一個(gè)家庭的男孩比女孩多(例如：一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩，則該家庭男孩多．)(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，并根據(jù)全概率公式SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)為了調(diào)控未來(lái)人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)p受到各種因素的影響(例如生育保險(xiǎn)的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等)．①若希望SKIPIF1<0增大，如何調(diào)控p的值？②是否存在p的值使得SKIPIF1<0，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行對(duì)抗比賽，每場(chǎng)比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的主辦方提供8000元獎(jiǎng)金并規(guī)定：①若有人先贏4場(chǎng)，則先贏4場(chǎng)者獲得全部獎(jiǎng)金同時(shí)比賽終止；②若無(wú)人先贏4場(chǎng)且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．已知每場(chǎng)比賽甲贏的概率為p（0＜p＜1），乙贏的概率為1-p，且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，假設(shè)比賽不會(huì)意外終止，記比賽場(chǎng)次為隨機(jī)變量Y，求Y的分布列；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若已進(jìn)行了5場(chǎng)比賽，其中甲贏了3場(chǎng)，乙贏了2場(chǎng)，此時(shí)比賽因意外終止，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求甲獲得的獎(jiǎng)金金額；（3）規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生，否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生．若本次比賽SKIPIF1<0，且在已進(jìn)行的3場(chǎng)比賽中甲贏2場(chǎng)、乙贏1場(chǎng)，請(qǐng)判斷：比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎(jiǎng)金是否有可能發(fā)生，并說(shuō)明理由．3．（2022·福建·廈門(mén)雙十中學(xué)高三階段練習(xí)）一疫苗生產(chǎn)單位通過(guò)驗(yàn)血方法檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，需要檢驗(yàn)血液是否有抗體現(xiàn)有SKIPIF1<0份血液樣本每份樣本取到的可能性均等有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；（2）混合檢驗(yàn)將其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)若檢驗(yàn)結(jié)果無(wú)抗體，則這k份的血液全無(wú)抗體，因而這k份血液樣本只需檢驗(yàn)一次就夠了，若檢驗(yàn)結(jié)果有抗體，為了明確這k份血液究竟哪幾份有抗體就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)總次數(shù)為k+1次假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果有無(wú)抗體都是相互獨(dú)立的，且每份樣本有抗體的概率均為SKIPIF1<0．（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；（2）現(xiàn)取其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為SKIPIF1<0，采用混合檢驗(yàn)方式樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式SKIPIF1<0，并證明SKIPIF1<0．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是不是陽(yáng)性，現(xiàn)有SKIPIF1<0份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)SKIPIF1<0次．方式二：混合檢驗(yàn)，將其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這SKIPIF1<0份血液樣本全為陰性，因而這SKIPIF1<0份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這SKIPIF1<0份血液樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這SKIPIF1<0份血液樣本再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這SKIPIF1<0份血液樣本的檢驗(yàn)次數(shù)總共為SKIPIF1<0．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為SKIPIF1<0．現(xiàn)取其中SKIPIF1<0份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為SKIPIF1<0，采用混合檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系式SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0與干擾素計(jì)量SKIPIF1<0相關(guān)，其中SKIPIF1<0是不同的正整數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立．①求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比采用逐份檢驗(yàn)方式的檢驗(yàn)總次數(shù)的期望值更少，求SKIPIF1<0的最大值．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．1．（2022·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0(1)求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)證明：當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：SKIPIF1<0．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的極值；(2)（i）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，求正整數(shù)SKIPIF1<0的最大值；（ii）證明：SKIPIF1<0．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；(2)已知函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上不存在極值點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍；(3)證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）試討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）求證：SKIPIF1<0.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某病毒在進(jìn)入人體后有潛伏期，患者在潛伏期內(nèi)無(wú)任何癥狀，但已具傳染性.假設(shè)一位病毒攜帶者在潛伏期內(nèi)每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率為p，（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求一天內(nèi)被一位病毒攜帶者直接感染人數(shù)X的分布列和均值：（2）某定點(diǎn)醫(yī)院為篩查某些人員是否感染此病毒，需要檢測(cè)血液樣本是否為陽(yáng)性，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，即k份血液樣本需要檢驗(yàn)k次；②混合檢驗(yàn)，即將k份（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這k份血液樣本全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了：如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液樣本究竟哪份為陽(yáng)性，就要對(duì)k份血液樣本再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液樣本的檢驗(yàn)次數(shù)為k+1次.假設(shè)樣本的檢驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，且每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性的概率為SKIPIF1<0，為使混合檢驗(yàn)需要的檢驗(yàn)的總次數(shù)SKIPIF1<0的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)SKIPIF1<0的期望值更少，求k的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）公元1651年，法國(guó)一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫（Demere）向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡（B.Pascal）提出了一個(gè)問(wèn)題，帕斯卡和費(fèi)馬（Fermat）討論了這個(gè)問(wèn)題，后來(lái)惠更斯（C.Huygens）也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答.該問(wèn)題如下：設(shè)兩名運(yùn)動(dòng)員約定誰(shuí)先贏SKIPIF1<0局，誰(shuí)便贏得全部獎(jiǎng)金SKIPIF1<0元.每局甲贏的概率為SKIPIF1<0，乙贏的概率為SKIPIF1<0，且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.在甲贏了SKIPIF1<0局，乙贏了SKIPIF1<0局時(shí)，比賽意外終止.獎(jiǎng)金該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏SKIPIF1<0局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比SKIPIF1<0分配獎(jiǎng)金.（1）規(guī)定如果出現(xiàn)無(wú)人先贏SKIPIF1<0局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比SKIPIF1<0分配獎(jiǎng)金.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.（2）記事件SKIPIF1<0為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率SKIPIF1<0，并判斷當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，事件SKIPIF1<0是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.8．（2022·浙江金華第一中學(xué)高二階段練習(xí)）某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有SKIPIF1<0份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)SKIPIF1<0次；②混合檢驗(yàn)，將其SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這SKIPIF1<0份的血液全為陰性，因而這SKIPIF1<0份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這SKIPIF1<0份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這SKIPIF1<0份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這SKIPIF1<0份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為SKIPIF1<0次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為SKIPIF1<0.（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率．（2）現(xiàn)取其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為SKIPIF1<0，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為SKIPIF1<0．①記E(SKIPIF1<0)為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望．若SKIPIF1<0運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，求出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0