函數(shù)模型的應(yīng)用 限時訓(xùn)練-2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習【解析版】

函數(shù)模型的應(yīng)用一、單項選擇題1．(★)(2023·福州模擬)中央經(jīng)濟工作會議將做好“碳達峰、碳中和”工作列為2022年的重點任務(wù)之一，要求持續(xù)提升能源利用效率，加快能源消費方式轉(zhuǎn)變．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率．下列敘述中正確的是()A．消耗1L汽油，乙車最多可行駛5kmB．甲車以80km/h的速度行駛1h，約消耗10L汽油C．以相同速度行駛相同路程，三輛車中甲車消耗汽油最多D．某城市機動車最高限速80km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油答案D解析對于A，當乙車速度為80km/h時，乙車每消耗1L汽油行駛的里程超過5km，所以A錯誤；對于B，甲車以80km/h的速度行駛時，燃油效率為10km/L，則行駛1h約消耗8L汽油，所以B錯誤；對于C，以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三輛車中甲車消耗汽油最少，所以C錯誤；對于D，機動車最高限速80km/h，相同條件下，丙車比乙車燃油效率高，故更省油，所以D正確．2．(★★)(2023·寧波模擬)教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣．按照國家標準，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應(yīng)小于0.15%.經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有0.25%的二氧化碳，若開窗通風后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為y%，且y隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律可以用函數(shù)y＝0.05＋λ(λ∈R)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間t(單位：分鐘)的最小整數(shù)值為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693，ln3≈1.099)()A．7B．9C．10D．11答案A解析由題意知，當t＝0時，y＝0.05＋λ＝0.25，解得λ＝0.2，即y＝0.05＋0.2.令y＝0.05＋0.2<0.15，即<0.5，即－eq\f(t,10)<ln0.5＝lneq\f(1,2)＝－ln2≈－0.693，解得t>6.93，故所需時間t的最小整數(shù)值為7.3．(★★)隨著社會的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻繁，這對信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟．其中電磁波在空間中自由傳播時的能量損耗滿足傳輸公式L＝32.44＋20lgD＋20lgF，其中D為傳輸距離，單位是km，F(xiàn)為載波頻率，單位是MHz，L為傳輸損耗(亦稱衰減)，單位是dB.若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB，則傳輸距離約增加了(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg4≈0.6)()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍答案C解析設(shè)L′是變化后的傳輸損耗，D′是變化后的傳輸距離，F(xiàn)′是變化后的載波頻率，則L′＝L＋18，F(xiàn)′＝2F，18＝L′－L＝20lgD′＋20lgF′－20lgD－20lgF＝20lgeq\f(D′,D)＋20lgeq\f(F′,F)＝20lgeq\f(D′,D)＋20lg2，則20lgeq\f(D′,D)＝18－20lg2≈12，即lgeq\f(D′,D)≈0.6≈lg4，從而D′≈4D，即傳輸距離約增加了3倍．4．(★★)(2024·南昌模擬)某大型家電商場在一周內(nèi)計劃銷售A，B兩種電器，已知這兩種電器每臺的進價都是1萬元，若廠家規(guī)定，一家商場進貨B的臺數(shù)不高于A的臺數(shù)的2倍，且進貨B至少2臺，而A，B的售價分別為12000元/臺和12500元/臺，若該家電商場每周可以用來進貨A，B的總資金為6萬元，所進電器都能銷售出去，則該商場在一周內(nèi)銷售A，B電器的總利潤(利潤＝售價－進價)的最大值為()A．1.2萬元 B．2.8萬元C．1.6萬元 D．1.4萬元答案D解析設(shè)該商場在一周內(nèi)進貨B的臺數(shù)為x，則一周內(nèi)進貨A的臺數(shù)為(6－x)，設(shè)該商場在一周內(nèi)銷售A，B電器的總利潤為y萬元，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x≤26－x，))可得2≤x≤4，且x∈N，則y＝0.2(6－x)＋0.25x＝0.05x＋1.2，所以ymax＝0.05×4＋1.2＝1.4.5．(★★)(2023·唐山模擬)某地錳礦石原有儲量為a萬噸，計劃每年的開采量為本年年初儲量的m(0<m<1，且m為常數(shù))倍，那么第n(n∈N*)年開采完成后剩余儲量為a(1－m)n萬噸，并按該計劃方案，用10年時間開采到原有儲量的一半．若開采到剩余儲量為原有儲量的70%，則需開采約(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4)()A．4年B．5年C．6年D．8年答案B解析設(shè)第n年開采完成后剩余儲量為y萬噸，則y＝a(1－m)n，當n＝10時，y＝eq\f(1,2)a，所以eq\f(1,2)a＝a(1－m)10，a>0，故eq\f(1,2)＝(1－m)10，即1－m＝，進而y＝，設(shè)第x年開采完成后，剩余儲量為原有儲量的70%，即y＝＝0.7a，故eq\f(7a,10)＝，即eq\f(7,10)＝，即eq\f(x,10)＝＝log2eq\f(10,7)≈log21.4≈log2eq\r(2)＝eq\f(1,2)，解得x≈5.故需開采約5年．6．(★★)(2023·東城區(qū)模擬)某校學(xué)生計劃在實驗樓門口種植蔬菜，現(xiàn)有12m長的圍欄，準備圍成兩邊靠墻(墻足夠長)的菜園，若P處有一棵樹(不考慮樹的粗細)與兩墻的距離分別是2m和am(0<a≤10)，如圖所示．設(shè)此矩形菜園ABCD的最大面積為u，若要求將這棵樹圍在菜園內(nèi)(包括邊界)，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是()答案B解析由題意，設(shè)CD＝x，則AD＝12－x，所以矩形菜園ABCD的面積S＝x(12－x)＝－x2＋12x＝－(x－6)2＋36，因為要將這棵樹圍在菜園內(nèi)(包括邊界)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,12－x≥a，))解得2≤x≤12－a，當12－a>6，即0<a<6時，在x＝6處矩形菜園ABCD的面積S最大，最大面積u＝Smax＝36；當12－a≤6，即6≤a≤10時，在x＝12－a處矩形菜園ABCD的面積S最大，最大面積u＝Smax＝a(12－a)．綜上，u＝f(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36，0<a<6，,a12－a，6≤a≤10，))根據(jù)函數(shù)解析式可知，其圖象為B.二、多項選擇題7．(★)(2023·濰坊模擬)圖①是某大型游樂場的游客人數(shù)x(萬人)與收支差額y(萬元)(門票銷售額減去投入的成本費用)的函數(shù)圖象，銷售初期該游樂場為虧損狀態(tài)，為了實現(xiàn)扭虧為盈，游樂場采取了兩種措施，圖②和圖③中的虛線為采取了兩種措施后的圖象，則下列說法正確的是()A．圖①中點A的實際意義表示該游樂場投入的成本費用為1萬元B．圖①中點B的實際意義表示當游客人數(shù)為1.5萬時，該游樂場的收支恰好平衡C．圖②表示游樂場采取的措施是降低門票的售價D．圖③表示游樂場采取的措施是減少投入的成本費用答案ABD解析圖①中點A的實際意義表示游樂場的投入成本為1萬元，A正確；圖①中點B的實際意義表示當游客人數(shù)為1.5萬時，游樂場的收支恰好平衡，B正確；圖②表示游樂場采取的措施是提高門票的售價，C錯誤；圖③表示游樂場采取的措施是減少投入的成本費用，D正確．8．(★)(2024·長沙模擬)某購物節(jié)中，某團購平臺對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額滿一定額度，可以給予優(yōu)惠：①若購物總額不超過50元，則不給予優(yōu)惠；②若購物總額超過50元但不超過100元，則可以使用一張15元優(yōu)惠券；③若購物總額超過100元但不超過300元，則按標價給予8折優(yōu)惠；④若購物總額超過300元，其中300元內(nèi)的按第③條給予優(yōu)惠，超過300元的部分給予7折優(yōu)惠．某人購買了部分商品，則下列說法正確的是()A．若購物總額為66元，則應(yīng)付款為51元B．若應(yīng)付款為208元，則購物總額為260元C．若購物總額為360元，則應(yīng)付款為252元D．若購物時一次性全部付款為380元，則購物總額為500元答案ABD解析對于A，若購物總額為66元，滿足購物總額超過50元但不超過100元，可以使用一張15元優(yōu)惠券，則應(yīng)付款為66－15＝51(元)，故A正確；對于B，若應(yīng)付款為208元，則購物總額超過100元但不超過300元，所以購物總額為208÷0.8＝260(元)，故B正確；對于C，若購物總額為360元，則購物總額超過300元，則應(yīng)付款為300×0.8＋60×0.7＝282(元)，故C錯誤；對于D，若購物時一次性全部付款380元，說明購物總額超過300元，設(shè)購物總額為x元，則300×0.8＋(x－300)×0.7＝380，解得x＝500，故D正確．9．(★★)(2023·鎮(zhèn)江模擬)某食品的保鮮時間t(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)之間的關(guān)系滿足函數(shù)t＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64，x≤0，,2kx＋6，x>0，))且該食品在4℃時的保鮮時間是16小時．已知甲在某日上午10時購買了該食品，并將其放在室外，且此日的室外溫度隨時刻的變化如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．該食品在6℃時的保鮮時間是8小時B．當x∈[－6,6]時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減小C．到了此日13時，甲所購買的食品還在保鮮時間內(nèi)D．到了此日14時，甲所購買的食品已過保鮮時間答案AD解析由題意可得24k＋6＝16，解得k＝－eq\f(1,2)，∴t＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64，x≤0，,，x>0，))∴當x＝6時，t＝23＝8，A正確；當x∈[－6,0]時，保鮮時間恒為64小時；當x∈(0,6]時，保鮮時間t隨x增大而逐漸減小，B錯誤；此日11時至13時，溫度超過11度，其保鮮時間不超過2小時，故到了此日13時，甲所購買的食品不在保鮮時間內(nèi)，C錯誤；由以上分析知，到了此日14時，甲所購買的食品已過保鮮時間，D正確．10．(★★★)(2024·贛州模擬)從4G到5G通信，網(wǎng)絡(luò)速度提升了40倍．其中，香農(nóng)公式C＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N)))是被廣泛公認的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N()A．若不改變信噪比eq\f(S,N)，而將信道帶寬W增加一倍，則C增加一倍B．若不改變信道帶寬W和信道內(nèi)信號的平均功率S，而將高斯噪聲功率N降低為原來的一半，則C增加一倍C．若不改變帶寬W，而將信噪比eq\f(S,N)從255提升至1023，C增加了25%D．若不改變帶寬W，而將信噪比eq\f(S,N)從999提升至4999，C大約增加了23.3%答案ACD解析對于A，若不改變信噪比eq\f(S,N)，而將信道帶寬W增加一倍，即2Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N)))＝2C，則C增加一倍，所以A正確；對于B，若不改變信道帶寬W和信道內(nèi)信號的平均功率S，而將高斯噪聲功率N降低為原來的一半，即Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,\f(N,2))))＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2S,N)))≠Wlog2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(2S,N)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,N)))2))＝2Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N)))，所以B錯誤；對于C，若不改變帶寬W，而將信噪比eq\f(S,N)從255提升至1023，則eq\f(Wlog21＋1023,Wlog21＋255)－1＝eq\f(log2210,log228)－1＝eq\f(10,8)－1＝eq\f(1,4)，所以C增加了25%，所以C正確；對于D，若不改變帶寬W，而將信噪比eq\f(S,N)從999提升至4999，則eq\f(Wlog21＋4999,Wlog21＋999)－1＝eq\f(log25000,log21000)－1＝eq\f(lg5000,lg1000)－1＝eq\f(lg5＋lg1000,3)－1＝eq\f(lg5,3)≈0.233，所以C大約增加了23.3%，所以D正確．三、填空題11．(★★)(2023·寧波模擬)某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，根據(jù)當年的物價，每厘米厚的隔熱層的造價成本是9萬元．又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費用N(單位：萬元)與隔熱層厚度h(單位：厘米)滿足關(guān)系N(h)＝eq\f(m,3h＋4)(0≤h≤10)，經(jīng)測算，如果不建隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費用為10萬元．設(shè)F(h)為隔熱層的建造費用與30年的能源消耗費用總和，那么當F(h)達到最小時，隔熱層厚度h為________厘米．答案eq\f(16,3)解析由題意得，當h＝0時，N(h)＝eq\f(m,4)＝10，解得m＝40，又F(h)＝9h＋30×N(h)＝9h＋30×eq\f(40,3h＋4)(0≤h≤10)，所以F(h)＝9h＋eq\f(1200,3h＋4)＝3(3h＋4)＋eq\f(1200,3h＋4)－12≥2eq\r(33h＋4×\f(1200,3h＋4))－12＝108，當且僅當3(3h＋4)＝eq\f(1200,3h＋4)，即h＝eq\f(16,3)時，等號成立．故當F(h)達到最小時，隔熱層厚度h為eq\f(16,3)厘米．12．(★★★)(2024·青島模擬)長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度極大地降低了洪澇災(zāi)害風險，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)作用．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度、統(tǒng)一蓄水．用蓄滿指數(shù)(蓄滿指數(shù)＝水庫實際蓄水量÷水庫總蓄水量×100)來衡量每座水庫的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：(1)調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間[0,100]；(2)調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；(3)調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關(guān)于x的函數(shù)解析式：①y＝－eq\f(1,20)x2＋6x；②y＝10eq\r(x)；③y＝；④y＝100sineq\f(π,200)x.則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是________．答案②④解析①y＝－eq\f(1,20)x2＋6x＝－eq\f(1,20)(x2－120x