解三角形課件-2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2025新高考數(shù)學(xué)

二輪復(fù)習(xí)解三角形落實主干知識1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容a2＝

；b2＝

；c2＝_________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理變形(1)a＝2RsinA，b＝

，c＝

；(2)sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；(3)a∶b∶c＝__________________cosA＝

；cosB＝

；cosC＝____________2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.三角形解的判斷

A為銳角A為鈍角或直角圖形

關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解(2)S＝

＝

＝

；(3)S＝

(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.練基礎(chǔ)1.(人A必二6.4.3節(jié)例題改編)在△ABC中,c=1,a=2,C=30°,則A=(

)A.60° B.90° C.45° D.120°B2.(人A必二6.4.3節(jié)習(xí)題改編)已知△ABC中,AB=3,BC=4,AC=,則△ABC的面積等于(

)B3.(人A必二6.4.3節(jié)例題改編)如圖,某市區(qū)域地面有四個5G基站A,B,C,D.已知C,D兩個基站建在江的南岸,距離為20km,基站A,B在江的北岸,測得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,則A,B兩個基站的距離為(

)D4.(人A必二6.4.3節(jié)習(xí)題改編)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,則c=

.

真題體驗1.(2023·全國乙,文4)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=,則B=(

)C解析

由acos

B-bcos

A=c及正弦定理,得sin

Acos

B-sin

Bcos

A=sin

C,即sin(A-B)=sin

C.又因為A,B,C是△ABC的內(nèi)角,2.(2023·北京,7)在△ABC中,(a+b)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),則C=(

)BC4.(2021·全國乙,理15)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為,B=60°,a2+c2=3ac,則b=

.

練考點考點一正弦定理、余弦定理的直接應(yīng)用B(2)(2024·福建廈門模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知b-c=a,2sinB=3sinC,則cosA=(

)A[對點訓(xùn)練1](1)(2024·福建三明三模)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=3,b=,c=7,則A+C的值為(

)C(2)(2024·山東青島一模)△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=2asinB,bc=4,則△ABC的面積為(

)A考點二三角形中的最值與范圍問題例2(2024·湖北武漢二模)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(2a-c)cosB-bcosC=0.(1)求B;解

(1)∵(2a-c)cos

B-bcos

C=0,由正弦定理得(2sin

A-sin

C)cos

B-sin

Bcos

C=0,2cos

Bsin

A-cos

Bsin

C-sin

Bcos

C=0,即2cos

Bsin

A=sin

Bcos

C+cos

Bsin

C,∴2cos

Bsin

A=sin(B+C)=sin

A.∵A∈(0,π),∴sin

A≠0,即cos

B=.∵B∈(0,π),∴B=.[對點訓(xùn)練2](2024·廣東茂名一模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且bsin(B+C)=asin(1)求B的大小;(2)若D是邊AC的中點,且BD=2,求△ABC面積的最大值.思維升華求解三角形中面積和周長最值問題的常用方法在△ABC中，如果已知一個角及其對邊，假設(shè)已知A，a，根據(jù)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即可得到“b2＋c2”與“bc”的等量關(guān)系.考點三解三角形的實際應(yīng)用例3(1)(2024·山東臨沂一模)在同一平面上有相距14千米的A,B兩座炮臺,A在B的正東方.某次演習(xí)時,A向西偏北θ方向發(fā)射炮彈,B則向東偏北θ方向發(fā)射炮彈,其中θ為銳角,觀測回報兩炮彈皆命中18千米外的同一目標(biāo),接著A改為向西偏北

方向發(fā)射炮彈,彈著點為18千米外的點M,則B炮臺與彈著點M的距離為(

)A.7千米 B.8千米C.9千米 D.10千米D(2)(2024·江蘇揚州模擬)小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的高度.把塔底與塔頂分別看作點C,D,CD與地面垂直,小李先在地面上選取點A,B,測得AB=20m,在點A處測得點C,D的仰角分別為30°,60°,在點B處測得點D的仰角為30°,則塔CD高為

m.

20解析

在△ACD中,延長DC與BA的延長線交于點E,如圖所示.由題意可知,∠CAE=30°,∠DAE=60°,∠DBA=30°,所以A,B,E三點在同一條直線上,所以∠DAC=30°,∠DCA=120°,∠ADC=30°,∠BDA=30°,所以△ACD,△BAD為等腰三角形,即|CD|=|CA|,|AD|=|AB|.設(shè)|CD|=x,即|CA|=x,在△ACD中,由余弦定理得,|AD|2=|CD|2+|CA|2-2|CD||CA|cos∠DCA,規(guī)律方法1.實際測量中的有關(guān)幾個術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中,目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角

方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角α的范圍是0°≤α<360°

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角,通常表達為北(南)偏東(西)α例:(1)北偏東α:

(2)南偏西α:

坡角與坡比坡面與水平面所成二面角的度數(shù)叫做坡度,θ為坡角;坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比,即

=tan

θ

2.解三角形實際應(yīng)用題的步驟

[對點訓(xùn)練3](1)(2024·陜西西安模擬)在100m高的樓頂A處,測得正西方向地面上B,C兩點(B,C與樓底在同一水平面上)的俯角分別是75°和15°,則B,C