電磁場(chǎng)與電磁波-矢量場(chǎng)基礎(chǔ)小結(jié)

三種坐標(biāo)系的單位矢量；矢量函數(shù)在不同坐標(biāo)系中的變換；不同坐標(biāo)系中線元、面元、體積元的表示標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度。第2講小結(jié)1.2三種常用的坐標(biāo)系在電磁學(xué)理論中，電磁定律不隨坐標(biāo)系變化，但是在求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，還需要將這些定理得出的關(guān)系用一個(gè)跟已知問(wèn)題的幾何特征相適合的坐標(biāo)系來(lái)表達(dá)。因此，引入多種坐標(biāo)系，以方便地進(jìn)行分析。在任一時(shí)刻，描述場(chǎng)的物理狀態(tài)分布的函數(shù)是唯一的。——大小、方向是唯一的。坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：1.2三種常用的坐標(biāo)系1.2三種常用的坐標(biāo)系例1.3求從點(diǎn)

到點(diǎn)

的距離矢量。直角坐標(biāo)系解解例1.4設(shè)和求：在上的分量在上的分量1.2三種常用的坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系位置矢量微元：注意、、的方向不隨x，y，z的變化而變化面元矢量：體積元：1.2三種常用的坐標(biāo)系則圓柱坐標(biāo)系在電磁學(xué)中，經(jīng)常要計(jì)算線積分、面積分和體積分。每一種情況都需要表示一個(gè)坐標(biāo)微分變化對(duì)應(yīng)的微分長(zhǎng)度變化。然而，有些坐標(biāo)不是長(zhǎng)度；而且需要一個(gè)變換因子將微分變化

轉(zhuǎn)換成長(zhǎng)度變化1.2三種常用的坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系注意：圓柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)單位矢量

和

都不是常矢量位置矢量微元：？隨不同而變化位置矢量：1.2三種常用的坐標(biāo)系面元矢量：體積元：圓柱坐標(biāo)系度量系數(shù)（拉梅系數(shù)）：長(zhǎng)度元坐標(biāo)微分1.2三種常用的坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系矢量變換：1.2三種常用的坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系矢量變換：1.2三種常用的坐標(biāo)系3.球坐標(biāo)系右旋法則:1.2三種常用的坐標(biāo)系矢量

在柱坐標(biāo)系中可用三個(gè)分量表示為若有則球坐標(biāo)系1.2三種常用的坐標(biāo)系位置矢量微元：位置矢量：球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)單位矢量

、、

都不是常矢量1.2三種常用的坐標(biāo)系球坐標(biāo)系面元矢量：體積元：拉梅系數(shù)：長(zhǎng)度元坐標(biāo)微分1.2三種常用的坐標(biāo)系矢量變換：球坐標(biāo)系1.2三種常用的正交坐標(biāo)系4.坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)

在所考察的空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)在該空間區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。如果物理量是標(biāo)量，稱(chēng)該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱(chēng)該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱(chēng)為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)可表示為：靜態(tài)矢量場(chǎng)：時(shí)變時(shí)變場(chǎng)的數(shù)學(xué)建模（除有限個(gè)點(diǎn)或某些表面外）連續(xù)1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度1、標(biāo)量場(chǎng)的等值面 等值面:標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面的特點(diǎn)：意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿(mǎn)場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。等值面方程：標(biāo)量場(chǎng)的等值面1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度方向?qū)?shù)標(biāo)量場(chǎng)在場(chǎng)任一點(diǎn)附近沿不同方向的空間變化率方向?qū)?shù)數(shù)學(xué)模型1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度2、方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)定義： 標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)沿

方向的變化率稱(chēng)為

沿該方向的方向?qū)?shù)。特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)有關(guān)也與方向有關(guān)1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)在點(diǎn)沿方向的空間變化率

場(chǎng)沿方向增加場(chǎng)沿方向減少場(chǎng)沿方向無(wú)變化問(wèn)題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度3、標(biāo)量場(chǎng)的梯度 說(shuō)明：定義：標(biāo)量場(chǎng)u在點(diǎn)M處梯度為一個(gè)矢量，以符號(hào)gradu來(lái)表示，它在點(diǎn)M處沿方向的分量等于標(biāo)量場(chǎng)u在點(diǎn)M處沿方向的方向?qū)?shù)其中，為與之間的夾角，且當(dāng)時(shí)，意義：梯度描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的變化最大的方向及其最大變化率1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度4、標(biāo)量場(chǎng)梯度的計(jì)算

哈密頓(W.R.Hamilton)引入倒三角算符號(hào)(讀作“del(德?tīng)?”或“nabla(那勃拉)”)表示矢量形式的微分算子:梯度在方向的分量： 同理，有1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度標(biāo)量場(chǎng)梯度的計(jì)算公式 圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度5梯度的性質(zhì)：

◆標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間

某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增

大）的方向，其數(shù)值表示變化最大

方向上場(chǎng)的空間變化率。◆標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，

是梯度在該方向上的投影?！魳?biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等

值面（或切平面）1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度梯度運(yùn)算的基本公式： 1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度例1.5

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)

(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：

(1)該函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數(shù)

沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。解(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度表征其方向的單位矢量(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿

方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度而該點(diǎn)的梯度值為顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度例1.6場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)與源點(diǎn)P′(x′,y′,z′)間的距離為R,試證：(1)(2)解：(1)1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度(2)而故有證畢1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度解：由梯度運(yùn)算法則可得例1.7已知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在其周?chē)臻g任一點(diǎn)

處產(chǎn)生的電位為,其中，且已知電場(chǎng)強(qiáng)度,求。1.4矢量場(chǎng)的通量和散度1、矢量場(chǎng)的矢量線3、矢量場(chǎng)的散度2、矢量場(chǎng)的通量4、散度定理1.4矢量場(chǎng)的通量和散度4、散度定理?V很小時(shí)1.4矢量場(chǎng)的通量與散度例1.8點(diǎn)電荷

在離其

處產(chǎn)生的電通量密度為

求任意點(diǎn)處電通量密度的散度，并求穿出r為半徑的球面的