2025年高考數學一輪復習講義：用樣本估計總體（解析版）

專題56用樣本估計總體（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................8

【考點1】百分位數的估計....................................................8

【考點2】總體集中趨勢的估計................................................12

【考點3］總體離散程度的估計................................................17

【分層檢測】...............................................................21

【基礎篇】.................................................................21

【能力篇】.................................................................30

考試要求：

1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求〃個數據的第p百分位數.

2.會用數字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.

?知識梳理

L總體百分位數的估計

(1)第P百分位數的定義

一般地，一組數據的第2百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有睡的數據小于或

等于這個值，且至少有(100—p)%的數據大于或等于這個值.

(2)計算一組n個數據的第p百分位數的步驟

第1步，按從小到大排列原始數據.

第2步,計算，=.Xp%.

第3步，若，不是整數，而大于，的比鄰整數為/,則第p百分位數為第2項數據；若，?是整數，

則第p百分位數為第i項與第(計1)項數據的平均數.

2.樣本的數字特征

(1)眾數：一組數據中出現(xiàn)次數最多的那個數據,叫做這組數據的眾數.

(2)中位數：把〃個數據按大小順序排列，處于最空間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平

均數)叫做這組數據的中位數.

⑶平均數：把'…+劭稱為0,。2,…，詼這〃個數的平均數.

(4)標準差與方差：設一組數據XI,X2,X3,…，X”的平均數為"則這組數據的標準差和方差

分別是s=

[%(XI—X)2+(X2—X)2H------H(X"一關)2],

1一一-

2-2

s=~[(X1-x)2+(X2-x)2H----1-(xnX)].

|常用結論

1.頻率分布直方圖與眾數、中位數、平均數的關系

⑴最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數.

(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.

⑶平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小

長方形底邊中點的橫坐標之和.

2.平均數、方差的公式推廣

(1)若數據xi,xi,…，我的平均數為x,那么"ixi+a,mx2-\-a,mx3~\-a,…，如:的平均數

2

是mx-\-a.

（2）若數據％1,X2,,,,,小的方差為心,那么

①數據％I+Q,xi+a,…，而+。的方差也為V；

②數據0X1,aX2,…，〃元〃的方差為。2s2.

「,真題自測

一、單選題

1.（2024?全國?高考真題）某農業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產量（單位：kg）并整理如下表

畝產量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

頻數61218302410

根據表中數據，下列結論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產量的中位數小于1050kg

B.100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間

2.（2022.全國?高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽

取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和

講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%

95%....................................................................■0

90%-------?-------------------------------------------米----------------------

樹85%

每80%*講座前

田75%-----------------------------------------------------------------------------------*-----------------------------------------------------?講座后

70%..............................*'

65%------*....................

60%t-.............*..........................................................

0--------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1—

U12345678910

居民編號

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%

3

B.講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

二、多選題

3.（2023?全國?高考真題）有一組樣本數據玉,程…，％，其中七是最小值，%是最大值，貝U（）

A.々，七，4內的平均數等于和尤2，1*6的平均數

B.尤2，尤3，*4，尤5的中位數等于尤1，尤2「“，%的中位數

C.%2，%3，為4，%的標準差不小于為，工2，”，，工6的標準差

D.%,無3,尤4，尤5的極差不大于石，無2,…，毛的極差

三、解答題

4.（2024?上海?高考真題）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱.

（1）隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

（2）進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質量平均數為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單

果質量平均數為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數，并預估果園中單果的質量.

5.（2022?全國?高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總人口的16%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數據中患者的年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

參考答案：

4

題號123

答案CBBD

1.c

【分析】計算出前三段頻數即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數，再計算比例即可判斷B；根據極差計

算方法即可判斷C；根據平均值計算公式即可判斷D.

【詳解】對于A,根據頻數分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產量的中位數不小于1050kg,故A錯誤；

對于B,畝產量不低于1100kg的頻數為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為“10/0上-34=66%,故B錯誤；

對于C,稻田畝產量的極差最大為1200-900=300,最小為1150—950=200,故C正確;

對于D,由頻數分布表可得，平均值為

^x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75)=1067,故D錯誤.

故選；C.

2.B

【分析】由圖表信息，結合中位數、平均數、標準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數為70%；75%>70%,所以人錯;

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確率

的平均數大于85%,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，所

以C錯；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以D錯.

故選:B.

3.BD

【分析】根據題意結合平均數、中位數、標準差以及極差的概念逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：設9，%，4%的平均數為機，占,々，…，%的平均數為力，

IJll]n-m—無1+—+」+*4+工5+*6_%+,+*4+工5_2(一+4)-(++々+++%)

“64-12

因為沒有確定2(%+%)，毛+W+毛+%的大小關系，所以無法判斷相，”的大小,

5

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得〃2=2,"=二；故A錯誤；

6

對于選項B：不妨設占《馬W%《匕

可知無2，鼻,看,毛的中位數等于占,z，…的中位數均為°,故B正確；

對于選項C：因為A是最小值，尤6是最大值，

則馬,無3，尤4,無5的波動性不大于外,馬，…，升的波動性，即X2,X3,%4,X5的標準差不大于玉,馬,…的標準差,

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數“=：（2+4+6+8+10+12）=7,

標準差心=J1［（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2］=,

4,6,8,10,則平均數%=；（4+6+8+10）=7,

標準差$2=￡［（4-7）氣（6一7了+（8一7『+（10一7月=有,

顯然叵>&,即。>$2；故C錯誤；

3

對于選項D：不妨設玉<x2<x3<x4<x5<x6,

則％-xg%—%，當且僅當占=%,%=%時，等號成立，故D正確；

故選：BD.

（2）一級果抽取6箱，二級果抽取2箱

（3）方差1427.27克2,平均數285.44克，預估平均質量為287.69克

【分析】（1）利用組合知識和超幾何分布求概率公式求出答案;

（2）利用分層抽樣的定義進行求解；

（3）根據公式計算出總體樣本平均質量和方差，并預估平均質量.

【詳解】（1）設A事件為恰好選到一級果和二級果各一箱,

樣本空間的樣本點的個數〃=C*=若史=9180,

A事件的樣本點的公式機=?！?。1=3468,

所以尸（A）='346817

n9180-45

6

(2)因為一級果箱數：二級果箱數=102:34=3:1,

31

所以8箱水果中有一級果抽取8乂不二二6箱，二級果抽取8x丁=2箱；

3+13+1

(3)設一級果平均質量為"方差為S〉二級果質量為亍，方差為對,

總體樣本平均質量為白方差為S2,

因為T=303.45,了=240.41,S；=603.46,區(qū)=648.21,

12048

所以2=—=—X303.45+------X240.41=285.44克，

120+48120+48

22

S=x［603.46+(303.45-285.44)。+x［648.21+(240.41-285.44)，=1427.27克.

預估平均質量為鱉工+盤?產287.69克.

13613o

5.(1)47.9歲；

⑵0.89；

(3)0.0014.

【分析】(1)根據平均值等于各矩形的面積乘以對應區(qū)間的中點值的和即可求出；

(2)設A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據對立事件的概率公式尸(A)=1-P(N)即可解出;

(3)根據條件概率公式即可求出.

【詳解】(1)平均年齡元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲).

(2)設A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)設8="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50戶，C="從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”,

則由已知得：

P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B\C)=0.023x10=0.23,

則由條件概率公式可得

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),此人患這種疾病的概率為

P(BC)P(C)P(2|C_。。。1義。23

P(C\B)==0.0014375?0.0014.

P(B)P(B)-—0J6

考點突破

【考點1］百分位數的估計

7

一、單選題

1.（2025?黑龍江大慶?一模）法國當地時間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運動會在巴黎舉

行開幕式."奧林匹克之父”顧拜旦曾經說過，奧運會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不

是凱旋，而是拼搏.為弘揚奧運精神，某學校組織高一年級學生進行奧運專題的答題活動.為了調查男生和女

生對奧運會的關注程度，在高一年級隨機抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到

高的順序排列，得到下表中的樣本數據：

男生82858687889090929496

女生82848587878788889092

則下列說法錯誤的是（）

A.男生樣本數據的25%分位數是86

B.男生樣本數據的中位數小于男生樣本數據的眾數

C.女生樣本數據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數據的平均數不變

D.女生樣本數據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數據的方差不變

2.（2024?河南鄭州?模擬預測）已知某學校參加學科節(jié)數學競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72,78,

80,81,83,86,88,90,則這組數據的第75百分位數是（）

A.86B.87C.88D.90

二、多選題

3.（2023?江蘇連云港?模擬預測）某學校共有2000名男生，為了解這部分學生的身體發(fā)育情況，學校抽查

了100名男生體重情況.根據所得數據繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（）

A.樣本的眾數為67.5B.樣本的80%分位數為72.5

C.樣本的平均值為66D.該校男生中體重低于60依的學生大約為150人

4.（2024?廣東佛山?模擬預測）某企業(yè)是一所大學的社會實踐基地，實踐結束后學校對學生進行考核評分,

其得分的頻率分布直方圖如圖所示，該學校規(guī)定，把成績位于后25%的學生劃定為不及格，把成績位于前

25%的學生劃定為優(yōu)秀，則下列結論正確的是（）

8

A.本次測試及格分數線的估計值為60分B.本次測試優(yōu)秀分數線的估計值為75分

C.本次測試分數中位數的估計值為70分D.本次測試分數的平均數小于中位數

三、填空題

5.(2024?上海?模擬預測)某同學高三以來成績依次為"0,93,92,93,88,86,則這組數據的第40百分

位數為.

6.(2024?云南曲靖?二模)抽樣統(tǒng)計得到某班8名女生的身高分別為160,155,157,155.5,154,158,155,162,則

這8名女生身高的第75百分位數是.

參考答案:

題號1234

答案DBABCD

1.D

【分析】根據百分位數、中位數、眾數、平均數、方差的定義一一判斷即可.

【詳解】對于A：10x25%=2.5,所以男生樣本數據的25%分位數是86,故A正確；

對于B：男生樣本數據的中位數為咬尸=89,男生樣本數據的眾數為90,故B正確；

2

對于C：女生樣本數據的平均數為《(82+84+85+87x3+88x2+90+92)=87,

女生樣本數據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數據的平均數為1(84+85+87x3+88x2+90)=87,故

O

C正確；

對于D：女生樣本數據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數據的平均數不變，

但是極差變小，所以方差變小，故D錯誤.

故選:D

2.B

【分析】根據樣本數據百分位數的定義求解即可.

【詳解】將數據從小到大排序得72,78,80,81,83,86,88,90,

因為8x75%=6,

所以第75百分位數是^^=87.

故選：B.

9

3.AB

【分析】由頻率分布直方圖的眾數、百分位數、平均數以及頻數的計算公式對選項一一判斷即可得出答案.

【詳解】對于A：樣本的眾數為67.5,故A正確；

對于B：設樣本的80%分位數為。，

因為0.03x5+0.05x5+0.06x5=0.7<0.8,

貝iJ0.03x5+0.05x5+0.06x5+(a-70)x0.04=0.8,解得：a=12.5,故B正確；

對于C：設樣本的平均值為元，

則元=(57.5x0.03+62.5x0.05+67.5x0.06+72.5x0.04+77.5x0.02)x5=66.75,故C不正確；

對于D：該校男生中低于60僅的學生所占的頻率為：0.03x5=0.15,

該校男生中低于60像的學生大約為0.15x2000=300人，故D不正確.

故選：AB.

4.CD

【分析】根據百分位數的定義可判斷AB,根據中位數的定義可判斷C,根據頻率分布直方圖左拖尾可判斷

D.

【詳解】A.由頻率分布直方圖可知，分數小于60分的概率為1-(0.2+0.3+0.2)=0.3,分數小于50分的概率

為1-(0.1+0.2+0.3+0.2)=0.2,

所以分數的25%分位數在區(qū)間［50,60)內，故A錯誤；

B.由頻率分布直方圖可知，分數大于80分的概率為0.2,分數大于70分的概率為0.5,

所以優(yōu)秀分數線的估計值在區(qū)間［70,80)內，設其為機，

則(80-m)x0.03+0.2=0.25,

解得"個78.3,故B錯誤；

C.因為分數大于70分的概率為0.5,所以本次測試分數中位數的估計值為70分，故C正確；

D.因為頻率分布直方圖左拖尾，所以平均數小于中位數，故D正確.

故選：CD.

5.92

【分析】將數據從小到大排列，根據百分數的定義進行求解.

【詳解】將數據從小到大排列，86,88,92,93,93,110,

6x40%=2.4,故從小到大，選擇第3個數作為這組數據的第40百分位數，即92.

故答案為：92

6.159

10

【分析】利用百分位數的估計公式計算可得.

【詳解】將數據由小到大排列為：154,155,155,155.5,157,158,160,162,

由8x75%=6,得第75百分位數是158丁60=159.

2

故答案為：159

反思提升：

計算一組數據的第p百分位數的步驟

三按從小到大排列原始數據］

計算口兀xp%］

若，不是整數，而大于泊勺比鄰

r整數為7,則第p百分位數為第

-----------------------------

若，?是整數，則第P百分位數為第

i項與第（i+D項數據的平均數

【考點2］總體集中趨勢的估計

一、單選題

1.（2024?廣東惠州?模擬預測）為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環(huán)保知

識測試，得分如圖所示，假設得分值的中位數為“，眾數為6,平均值為J則（）

頻數

一一

010

」

8-

66

4

一

存3---3-2r

2E什-2"

L!仃

-n-A

得

O3456789O分

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

2.（2024?四川綿陽?模擬預測）某教育機構為調查中小學生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學生100天每

天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據此直方圖得出了

下列結論，其中正確的是（）

A.估計該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天

11

B.估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3

C.估計該學生每日完成作業(yè)時間的中位數為2.625小時

D.估計該學生每日完成作業(yè)時間的眾數為2.3小時

二、多選題

3.（2025?廣東?一模）現(xiàn)有十個點的坐標為（加0）,（程。），、國，0），它們分別與（%,10）,（網」。），…，（％，1。）

關于點（3,5）對稱.已知玉,9,?，稅的平均數為。，中位數為b,方差為c,極差為d,貝|為%，,，為）這組

數滿足（）

A.平均數為6-aB.中位數為6-b

C.方差為cD.極差為d

4.（23-24高一下?全國?期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱

形態(tài)，圖（2）形成"右拖尾"形態(tài)，圖（3）形成"左拖尾"形態(tài)，根據所給圖作出以下判斷，正確的是（）

A.圖（1）的平均數=中位數=眾數

B.圖（2）的平均數（眾數（中位數

C.圖（2）的眾數〈中位數（平均數

D.圖（3）的平均數〈中位數〈眾數

三、填空題

5.（2022?北京,模擬預測）某班在一次考試后分析學生在語文、數學、英語三個學科的表現(xiàn)，繪制了各科年級

排名的散點圖（如下圖所示）.

語文和英語年級排名散點圖語文和數學年級排名散點圖

300300

250250

r0oZ20o

造

部

趴5o15o

彘

1

10O0O

51)5()

°0°0

5010015020025030035050100150200250300350

語文排名語文排名

關于該班級學生這三個學科本次考試的情況，給出下列四個結論:

12

①三科中，數學年級排名的平均數及方差均最??；

②語文、數學、英語年級排名均在150名以外的學生為1人；

③本次考試該班語文第一名、數學第一名、英語第一名可能為三名不同的同學；

④從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200,則其英語和數學排名均在150以內的概率為;.

其中所有正確結論的序號是.

6.（2014高三?全國?專題練習）為了解本書居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社區(qū)

進行了“家庭每月日常消費額”的調查.他們將調查所得的數據分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、

乙、丙所調查數據的標準差分別為瑪，$2，S3,則它們的大小關系為.（用連接）

參考答案:

題號1234

答案DCABCDACD

1.D

【分析】根據題意求中位數、眾數和平均數，對比即可得結果.

【詳解】30個數中第15個數是5,第16個數是6,所以中位數。=個=5.5,

由題意可知：眾數6=5,

十士3x2+4x3+5x10+6x6+7x3+8x2+9x2+10x2179

平均值°=----------------------------------------------=——.

3030

所以

故選：D.

2.C

【分析】利用頻率分別直方圖、頻數、頻率、中位數、眾數直接求解.

13

【詳解】對于A,該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的天數為：0.5x0.5x100=25天，故A錯誤；

對于B,估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為（0.3+0.2+0.1+0.1）x0.5=0.35,故B錯誤；

對于C,[1,2.5）的頻率為（0.1+0.3+0.5）x0.5=0.45,[1,3）的頻率為0.45+0.4x0.5=0.65,

則該學生每日完成作業(yè)時間的中位數為2.5+0R5-=0?4x50.5=2.625,故C正確；

0.2

對于D,估計該學生每日完成作業(yè)時間的眾數為老2+三25二2.25,故D錯誤；

故選：C

3.ABCD

【分析】根據對稱知識可得y=6-結合平均數、中位數、方差、極差的性質，即可判斷

出答案.

【詳解】由于（和0）,伍,0）,、（%,0）,它們分別與（加10）,（%,1。），-、（卅,1。）關于點（3,5）對稱，

則有七+X=6(ieZ,lV，V10),即有y;=6-x,.(zeZ,l</<10).

則由平均數的性質可得%,%,-，%這組數的平均數為6-a,

結合中位數性質可知中位數為6-b,結合方差性質可得方差為c,極差非負，所以極差為d.

故選：ABCD

4.ACD

【詳解】根據平均數，中位數，眾數的概念結合圖形分析判斷.

【分析】圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數=中位數=眾數，故A正確；

圖（2）眾數最小，右拖尾平均數大于中位數，故B錯誤，C正確；

圖（3）左拖尾眾數最大，平均數小于中位數，故D正確.

故選：ACD.

5.①②④

【分析】依據平均數和方差的定義判斷①；求得語文、數學、英語年級排名均在150名以外的學生人數判

斷②；求得語文第一名、數學第一名、英語第一名的同學判斷③；求得從該班學生中隨機抽取1人，若其

語文排名大于200,則其英語和數學排名均在150以內的概率判斷④.

【詳解】①：三科中，數學對應的點比英語對應的點到橫軸的距離近且較為密集，

數學對應的點到橫軸的距離比語文對應的點到縱軸距離近且較為密集，

所以數學年級排名的平均數及方差均最小.判斷正確；

②：語文、數學、英語年級排名均在150名以外的學生為1人.判斷正確；

14

③：本次考試該班語文第一名、數學第一名、英語第一名為同一名同學.判斷錯誤；

(4)：由圖表可知語文排名大于200的有3位同學，

語文排名大于200且英語和數學排名均在150以內的同學僅有1位同學.

故從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200,

則其英語和數學排名均在150以內的概率為g.判斷正確.

故答案為①②④

6.s2<s3<Sj

【分析】根據平均數公式及方差公式分別計算S；、s；、S；,即可判斷；

【詳解】由圖甲：平均值為

，=500(1250X0.0006+1750x0.0004+2250x0.0002+2750x0.0002+3250x0.0006)=2200,

s：=(1250-2200)2x0.3+(l750-2200)2x0.2+(2250-2200)2x0.1

+(2750-2200)2x0.1+(3250-2200)2x0.3

=672500,

元=1250x0.1+1750x0.2+2250x0.4+2750x0.2+3250x0.1=2250,

s；=(1250一2250)2x0.1+(1750-2250)2x0.2+(2250-2250)2x0.4

+(2750-2250)2x0.2+(3250-2250)2x0.1

=300000,

=1250x0.2+1750x0.2+2250x0.3+2750x0.2+3250x0.1=2150,

s；=(1250-2150)2x0.2+(1750-2150)2x0.2+(2250-2150)2x0.3

+(2750-2150)2x0.2+(3250-2150)2x0.1

=390000,

則標準差e<鳥<8,

故答案為：$2<$3<邑.

反思提升：

⑴眾數、中位數、平均數的應用要點

中位數、眾數分別反映了一組數據的“中等水平”“多數水平”，平均數反映了數據的平均水

平，我們需根據實際需要選擇使用.

(2)頻率分布直方圖的數字特征

15

①眾數：眾數一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數據的頻率分布

直方圖中，最高小長方形的底邊中點的橫坐標；

②中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；

③平均數：平均數在頻率分布表中等于組中值與對應頻率之積的和.

【考點3］總體離散程度的估計

一、單選題

1.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知有4個數據的平均值為5,方差為4,現(xiàn)加入數據6和10,則這6

個數據的新方差為（）

713

A.-B.—C.6D.10

33

2.（2024?陜西西安?模擬預測）已知一組樣本數據項,馬，…，毛的方差為10，且無|+瑪=%+.%，則樣本數據

再-1,尤2+1,%3-1，尤4+1，毛的方差為（）

A.9.2B.10.8C.9.75D.10.25

二、多選題

3.（2024?山東泰安?模擬預測）下列結論正確的是（）

A.回歸直線￡=%+4至少經過其樣本數據（%,%）,（9,%），?,（%,%）中的一個點

B.已知命題P：Vx,ye（0,l）,x+y<2,則命題P的否定為Hx,ye（0,1）,x+y>2

C.若X為取有限個值的離散型隨機變量，則［E（x）『.（x2）

D.若一組樣本數據4、3、L、X"的平均數為10,另一組樣本數據2再+4、2七+4、L、2x,+4的

方差為8,則兩組樣本數據合并為一組樣本數據后的平均數和方差分別為17和54

4.（2024?福建福州?模擬預測）下列說法中，正確的是（）

A.數據40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位數為32

B.已知隨機變量J服從正態(tài)分布尸3<4）=0.84；則P（2<J<4）=0.34

C.己知兩個變量具有線性相關關系，其回歸直線方程為&+若5=2,元=1,歹=3,則4=1

D.若樣本數據幣%，…，稅的方差為2,則數據2網-1,29-1,…,2/-1的方差為4

三、填空題

5.（2023?吉林?一模）吉林市一中學有男生900人，女生600人.在“書香校園”活動中，為了解全校學生的

讀書時間，按性別比例分層隨機抽樣的方法抽取100名學生，其中男生、女生每天讀書時間的平均值分別

為60分鐘和80分鐘，方差分別為10和15.結合上述數據估計該校學生每天讀書時間的平均值為分

鐘，方差為.

6.（2022?北京?模擬預測）某班在一次考試后分析學生在語文、數學、英語三個學科的表現(xiàn)，繪制了各科年級

16

排名的散點圖（如下圖所示）.

語文和英語年級排名散點圖語文和數學年級排名散點圖

300300

250250

r0oN2

i造00

15o價

凝

10O

5()5()

°0°0

5010015020025030035050100150200250300350

語文排名語文排名

關于該班級學生這三個學科本次考試的情況，給出下列四個結論：

①三科中，數學年級排名的平均數及方差均最小；

②語文、數學、英語年級排名均在150名以外的學生為1人；

③本次考試該班語文第一名、數學第一名、英語第一名可能為三名不同的同學；

④從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200,則其英語和數學排名均在150以內的概率為;.

其中所有正確結論的序號是.

參考答案:

題號1234

答案CBBDBC

1.C

【分析】設原來的4個數依次為a,b,c,d,再利用平均數和方差的計算公式結合整體法即可.

【詳解】設原來的4個數依次為a,b,c,d,

.原來4個數據的平均值為5,方差為4,.?.4+8+c+d=20,

1[(o-5)2+0-5)2+(c-5)2+(^-5)2]=4,

(a-5)2+(6-5)2+(c-5>+(d-5)2=16,

+c~+d~-10(a+b+c+d)+100=16,

:.a2+b2+c2+d2=16+10x20-100=116,

現(xiàn)加入數據6和10,則這6個數據的平均數為

一(。+Z?+c+d+6+10)=6,

6

則這6個數據的方差為::[5-6y+S-6)2+(c-胡+(d-6)2+(6-6)2+(10-6)2]

17

=：“+/+02+屋一i2m+b+c+d）+4x36+16］

=:（116-12x20+4x36+16）=6.

故選：C.

2.B

【分析】根據條件中的方差和為+%=%+%，代入新數據的方差公式，即可求解.

15

【詳解】設樣本數據占,3,.，%的平均數為元，貝《2（無，一葉=1°，

3i=l

且樣本數據占-1,9+1,x3-l,x4+1,x5的平均數也為X,

故選:B

3.BD

【分析】對于選項A,回歸直線一定過樣本中心點，回歸直線可能不過任何一個點；對于選項B,全稱量詞

命題的否定的方法是改量詞，否結論；對于選項C,由。（*）=E儂2）-倒乂）］230即可判斷正誤；對于選

項D,計算出g>,、的值，再利用平均數和方差公式可求得合并后的新數據的平均數和方差.

1=11=1

【詳解】對于選項A,回歸直線亍=淡+&一定經過樣本中心點（只可，但不一定經過其樣本數據

（占，%），（尤2,%”（尤“，％）中的點，故A錯誤；

對于選項B,命題P的否定為"改,ye（O,l）,無+yN2”,故B正確；

對于選項C,X為取有限個值的離散型隨機變量，D（X）=E（X2）-［E（X）］2>0,則囪X）『〈E（X2）,故C

錯誤；

對于選項D,由題意可知，數據七、%、L、%的平均數為10,則工￡>,=10,則g>,=10w,

〃i=li=l

所以，數據2為+4、2%+4、L、2xn+4,

平均數為,￡（2%+4）=2￡/+4=2x10+4=24,￡（2%+4）=24/7,

〃i=\〃i=li=l

方差為，寸（2尤,+4）-（2元+4）］2=-^（x,.-10）2-400,

ni=l〃z=l〃z=l

Ann

即方差為一?；-400=8,所以￡x；=102n.

Hi=lz=l

將兩組數據合并后，新數據4、X?、L、無“、2%+4、2%+4、L、2X.+4,

18

平均數為--￡>+￡（2%+4）=；（10〃+24"）=17,

2〃|_i=ii=\J2YI

irn0n"|]fnn）

方差為丁2（x，T7）+￡（2七+4-17）9=卜￡片一86》；+458〃，

ZHL1=1i=l」，八i=li=lJ

即方差為：（5xl02w-860a+458〃）=54.故D正確.

故選：BD.

4.BC

【分析】根據第50百分位數為中位數判斷A,根據正態(tài)分布的性質判斷B,根據回歸直線方程的性質判斷C,

根據方差的性質判斷D.

【詳解】對數據排列:27,30,31,32,38,40,50,54,因為第50百分位數為中位數，所以50百分位數為35,故

A錯誤；

因為隨機變量J服從正態(tài)分布N（202）,P（J<4）=0.84,所以尸（短4）=0.16,所以尸（”0）=0.16,所以

P（0<J<4）=0.68,所以P（2<J<4）=0.34,故B正確；

因為g=2,于=1，7=3,則a=》一敘=3-2=1,故C正確;

因為樣本數據玉，々，…凸。的方差為2,所以數據2x1T2%-1,…,2占。-1的方差為2?x2=8,故D錯誤.

故選：BC.

5.68108

【分析】利用分層抽樣的平均值與方差公式計算即可.

【詳解】由題意可知男生女生抽取比例分別為：其二|，恐0r|，