2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：集合（解析版）

專題01集合（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................8

【考點(diǎn)1】集合的基本概念....................................................8

【考點(diǎn)2】集合間的基本關(guān)系..................................................11

【考點(diǎn)3】集合的運(yùn)算........................................................14

【分層檢測】...............................................................18

【基礎(chǔ)篇】.................................................................18

【能力篇】.................................................................25

【培優(yōu)篇】.................................................................28

考試要求：

1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，能在自然語言、圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)

語言刻畫集合.

2.理解集合間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.

3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.

4.理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集、交集與補(bǔ)集.

5.能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系與基本運(yùn)算.

知識(shí)梳理

L元素與集合

⑴集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,表示符號(hào)分別為?和a

⑶集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常用數(shù)集及記法

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

記法NN*或N+ZQ.R

2.集合間的基本關(guān)系

⑴子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合3中的元素，就

稱集合A為集合B的子集.記作A呈3(或524).

⑵真子集：如果集合但存在元素且依4就稱集合4是集合B的真子集,記作

A3(或3A).

(3)相等：若AG3,且回，則A=B

(4)空集的性質(zhì)：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集

符號(hào)表示AUB

合A的補(bǔ)集為［以

圖形表示u?

AUBAAB

集合表示[x\x^A,或x?3}{小￡4且％￡5}{x\x^U,且依A}

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)AAA=A,AA0=0,AnB=BHA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

2

（3）an（［必）=0,AU（［以）=u,10（［以）=A

I常用結(jié)論

1.若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2〃個(gè)，真子集有2〃一1個(gè)，非空子集有2〃一1個(gè),

非空真子集有2"一2個(gè).

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3.AG3=An3=A=AU3=5=［必？］團(tuán)

4.［0（An3）=（［必）U（［加），［u（AU5）=（［以）n（［4）.

真題自測

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)設(shè)全集U=Z，集合M={x|%=3k+1,左wZ},N={1|x=3k+2,k^Z},金(MuN)=

()

A.{x|x=3左，左EZ}B.{x|x=3k-l,/ceZ]

C.{x\x=3k-2,kEZ}D.0

2.(2023?全國?高考真題)已知等差數(shù)列{4}的公差為整，集合S=[osqj〃eN*},若S={。，耳，則"=()

11

A.-1B.----C.0D.—

22

3.(2023?全國?高考真題)設(shè)集合U=R,集合M={小＜1},N={尤|一1＜尤＜2},則{小22}=()

A.d(MUN)B.NU務(wù)M

C.eWAN)D.MugN

4.(2023,全國,高考真題)已知集合Af={-2,-1,0,1,2},A^=|%|x2—x—6＞oj-,則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

5.(2023,全國,高考真題)設(shè)集合A={0,—a},B=11,a—2,2a—21,若AgB,則a=().

2

A.2B.1C.-D.-1

6.(2022?全國?高考真題)已知集合4={-1,1,2,4},B={尤k則4口3=()

A.{-1,2}B,{1,2}C,{1,4}D.{-1,4}

7.(2022?全國?高考真題)設(shè)全集。={-2,T0,1,2,3},集合A={-1,2},3={x|f-以+3=0},則用(AuB)=

3

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

8.（2022?全國?高考真題）設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合〃滿足={1,3},則（）

A.2&MB.3&MC.4已知D.

9.（2022?全國,高考真題）若集合M={x|五<4},N={x\3x>l},則McN=（）

A.{尤|04x<2}B.<x<2j>C.{x|3W6}D,卜;<x<16,

10.（2021?全國?高考真題）設(shè)集合U={1,2,3,4,5,真,4=設(shè)3,6},8={2,3,4},則A（&3）=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

11.（2021?全國?高考真題）已知集合5={s[s=2"+1,"eZ},T={巾=4"+l,aeZ},貝（]S?T（）

A.0B.SC.TD.Z

12.（2021?全國?高考真題）設(shè)集合A/={x[0<x<4},N=1x；Wx451,則AfcN=（）

A.B.“gwxvd}

C.{x|4Vx<5}D.1x|0<x<5^

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集Z={x|x=3k#eZ}U{x|x=3左+1,左eZ}U{x|x=3Z+2,keZ},U=Z,所以，

毛（Af|jN）={x|x=3左水eZ}.

故選：A.

2.B

【分析】

根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.

【詳解】

27r27r2冗

依題意,等差數(shù)列｛%｝中,a?=?1+(n-l)-y=yn+(a1-y),

27r27r

顯然函數(shù)y=cos[(〃+(q-T)]的周期為3,而〃eN*,即cosa“最多3個(gè)不同取值，又

4

{costz?|HGN*}=[a,b],

貝ij在cosa{,cosa2,cosa3中,cosa{=cosa2wcosa3或cosaxwcosa?=cosa3,

9jr9TTjr

于是有cose=cos(e+q),即有e+(e+g)=2E/￡Z,解得。=也一方,左￡2,

LLt、1ir-r1/1兀、r/-1兀、47T,7T917T1

所以keZ,ab=cos(E-—)cos[(E--)+—]=-cos(E--)cosK7TI=-COSKUCOS—.

故選:B

3.A

【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為{x|xN2}即可.

【詳解】由題意可得MUN={X|X<2},則其(〃UN)={X|XN2},選項(xiàng)A正確；

=則NUgM={尤|尤>—1},選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

Mn^={x|-l<x<l},則心(〃cN)={x|xW-l或轉(zhuǎn)1},選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

2N=m|x4-1或xZ2},則MU2N={x|x<l或xZ2},選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

4.C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出.

方法二：將集合“中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出.

【詳解】方法一：因?yàn)殡p=卜-一彳_620}=(-8,-2]33，+8)，而"={-2,-1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故選：C.

方法二：因?yàn)?={-2,-1,0,1,2},將-2,-1,0,1,2代入不等式尤2-x_6Z0,只有-2使不等式成立，所以

AfcN={-2}.

故選：C.

5.B

【分析】

5

根據(jù)包含關(guān)系分。-2=0和2〃-2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?勺8,則有：

若4-2=0,解得a=2,此時(shí)A={0,—2},B={l,0,2},不符合題意;

若2a-2=0,解得。=1,此時(shí)4={0,-1},B={l,-l,0},符合題意；

綜上所述：a=l.

故選：B.

6.B

【分析】方法一：求出集合8后可求AcB.

【詳解】［方法一］：直接法

因?yàn)?={x|0VxV2},故4「3={1,2},故選：B.

［方法二］:【最優(yōu)解】代入排除法

尸-1代入集合8=卜卜-1區(qū)1},可得2<1,不滿足，排除A、D；

x=4代入集合2=卜卜-1區(qū)1},可得341,不滿足，排除C.

故選：B.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法;

方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解.

7.D

【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.

【詳解】由題意，3=卜,2_4尤+3=。}={1,3},所以AuB={-l,l,2,3},

所以0-{-2,。}.

故選：D.

8.A

【分析】先寫出集合/，然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可

【詳解】由題知"={2,4,5},對(duì)比選項(xiàng)知，A正確,BCD錯(cuò)誤

故選:A

6

【分析】求出集合”,N后可求McN.

【詳解】M=[x\0<x<16],N=[x\x>—}f故A/cN=<x<16>,

故選：D

【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求AC（AB）.

【詳解】由題設(shè)可得率3={1,5,6},故Ac@3）={L6},

故選：B.

11.C

【分析】分析可得T=S,由此可得出結(jié)論.

【詳解】任取feT,則t=4〃+l=2.（2〃）+l,其中"eZ,所以，t&S,故T=S,

因止匕，snr=T.

故選：C.

12.B

【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算即可

【詳解】因?yàn)椤?{x|0<x<4},N={x|；WxV5},所以McN=卜|；4x<",

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.

攣考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】集合的基本概念

一、單選題

1.（2023?江蘇?一模）設(shè)M=卜=：,左ez1,N=，尤卜=左+（,左eZ,,貝I］（）

A.MNB.NMC.M=ND.McN=0

2.（2023?北京海淀?模擬預(yù)測）設(shè)集合M=若-3eV,則實(shí)數(shù)公（）

7

A.0B.-1C.0或—1D.0或1

二、多選題

3.（22-23高一下?湖南邵陽?開學(xué)考試）若對(duì)任意xeA,-eA,則稱A為"影子關(guān)系"集合，下列集合為“影

X

子關(guān)系"集合的是（）

A.{-1,1}B.C.{#2>1}D.{小>0}

4.（2021?全國,模擬預(yù)測）設(shè)集合4=［卜=機(jī)+6,若無yA,x2eA,xl?x2eA,則運(yùn)算十可

能是（）

A.加法B.減法C.乘法D.除法

三、填空題

5.（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知集合A={-1,2,4},B={2,m2}.若B=則實(shí)數(shù)用的取值集合為.

6.（2023?湖北?二模）己知X為包含v個(gè)元素的集合（veN*,v>3）.設(shè)A為由X的一些三元子集（含有

三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集

中，則稱（X,A）組成一個(gè)y階的Steiner三元系.若（X,A）為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的

個(gè)數(shù)為.

參考答案：

1.B

【分析】分別分析兩個(gè)集合中的元素所代表的意思即可判斷選項(xiàng).

【詳解】解：因?yàn)獒?左+；=:（2左+1）,因?yàn)樽骵Z,

所以集合N是由所有奇數(shù)的一半組成，

而集合M是由所有整數(shù)的一半組成，故NM.

故選：B

2.C

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論2根-1=-3和機(jī)-3=-3兩種情況，求解加并檢驗(yàn)集合的互異性，

可得到答案.

【詳解】設(shè)集合"={2相-1,*3},若-

,.--3GM,2加一1二一3或加一3二-3,

當(dāng)2機(jī)一1=一3時(shí)，m=-l,此時(shí)Af={-3,-4}；

當(dāng)m一3=-3時(shí)，m=0,此時(shí)M={-3,-l}；

8

所以〃?=-1或0.

故選：C

3.ABD

【分析】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】根據(jù)"影子關(guān)系"集合的定義，

可知{尤|x>0}為“影子關(guān)系"集合，

由{巾2>1},得{布<-1或x>l},當(dāng)x=2時(shí)，9{小2>1},故不是“影子關(guān)系"集合.

故選：ABD

4.AC

【分析】先由題意設(shè)出西=叫+6勺，%2=牲+6%,然后分別計(jì)算再+兀2，西-％2，再入2，五，即可得解.

X2

【詳解】由題意可設(shè)石=見+百々，%2=牡+6%，其中嗎，加2，%，以GN*，

貝I］占+x?=（見+m2）+J^（4+%），X1+無2eA,所以加法滿足條件，A正確；占—%=（小一生日代（當(dāng)一巧），

當(dāng)％=%時(shí)，升所以減法不滿足條件，8錯(cuò)誤；

不工2=叫“4+3〃1%+&（町%+〃引乙），%％eA,所以乘法滿足條件，C正確；土=色土*L,當(dāng)

x2

生=區(qū)=〃2>0）時(shí)，五任人,所以除法不滿足條件，D錯(cuò)誤.

x

m2%2

故選：AC.

5.{-2,2}

【分析】

根據(jù)得到集合8的元素都是集合A的元素，即可求得加的值.

【詳解】由題意8=4,所以蘇=-1或〃/=4,貝?。荩骸?2或:w=-2,

所以實(shí)數(shù)優(yōu)的取值集合為{-2,2}.

故答案為：{-2,2}.

6.7

【分析】令X={a,6,c,d,e,fg},列舉出所有三元子集，結(jié)合（X,A）組成y階的Steiner三元系定義，確定A

中元素個(gè)數(shù).

【詳解】由題設(shè),令集合X={a,6,c,d,eJ,g},共有7個(gè)元素,

9

所以X的三元子集，如下共有35個(gè):

{a,b,c},{a,b,d}^{a,瓦e}、{a,b,f},{a,b,g}y[a,c,d]y{a,c,e},{a,c,f},{a,c,g}、[a,d,e},{a,d,f},

{a,d,g},{a,e,f},{a,e,g}、{a,f,g}、[b,c,d},{6,c,e}、{6,c,/}、{6,c,g}、[b,d,e}^{b,d,f}y{b,d,g}、

{b,e,f},{b,e,g}A[b,f,g],{c,d,e}、{c,d,f},{c,d,g}、{c,e,f}、{c,e,g}、{cj,g}、{d,e,f}A{d,e,g}、

{d,f,g}.{e,f,g},

因?yàn)锳中集合滿足X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集，所以A中元素滿

足要求的有：

{a,b,c},{a,d,e}、{a,￡g}、也dj}、{6,e,g}、{c,d,g}、{c,e,f},共有7個(gè)

{c,d,g}{c,e,7},7

{a,6,c}、{a,d,f},{a,e,g}、{b,d,e}y、共有個(gè);

,{a,d,g}

{a,b,c}、{a,e,f}y{b,d,e},{瓦f,g}、{c,d,f}.{c,e,g},共有7個(gè);

[a,b,d],{a,c,e}y{a,f,g},[b,c,f],{8e,g}、{c,d,g}、[d,e,f],共有7個(gè):

[a,b,d}y{a,c,g}、{a,e,f},{b,c,e},{6J,g}、{GdJ}、{d,e,g},共有7個(gè);

{a,b,d)、{a,c,f},{a,e,g}、{6,c,e}、{友fg}、{c,〃,g}、{d,e,f),共有7個(gè);

{a,b,e}A{a,c,d},{a,/,g}、{b,c,f},{瓦d,g}、{c,e,g}、{d,e,f},共有7個(gè);

{a,b,e}y{a,c,f},{a,d,g}、{6,c,d}、{b,f,g},{c,e,g}、{d,e,f},共有7個(gè);

{a,b,e}y{a,c,g}、{a,d,于}、[b,c,d},{b,f,g},{c,e,/}、{d,e,g},共有7個(gè)

{a,b,f},{a,c,d},{a,e,g}、{6,c,e}、{瓦d,g}、{Gfg}、[d,e,f],共有7個(gè);

{a,b,f},{a,c,e}、{a,d,g}、[b,c,d],{6,e,g}、[c,f,g}y{d,e,f},共有7個(gè);

{a,6,/}、{a,c,g}、{a,d,e}、{瓦c,d}、{瓦e,g}、{c,e,/}、{d,f,g},共有7個(gè);

{a,b,g},{℃"}、{?,?,/}>{b,c,e\,{b,d,f),{G/,g}、{d,e,g},共有7個(gè);

{a,/?,g}、{a,c,e}、{a,dj}、{6,c,d}、{4e,/}、{cj,g}、{d,e,g},共有7個(gè);

{a,b,g}^[a,c,f},{a,d,e}、{b,c,d},{b,e,f}y{c,e,g}、{d,f,g},共有7個(gè)

共有15種滿足要求的集合A,但都只有7個(gè)元素.

故答案為：7

反思提升：

1.研究集合問題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其

他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.

2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素

是否滿足互異性.

【考點(diǎn)2】集合間的基本關(guān)系

一、單選題

10

1.（2024.全國模擬預(yù)測）若集合4=卜€(wěn)3丫=萬三，5={0,1},則集合Ac3的真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024?全國模擬預(yù)測）已知集合A={x，og2x2V2},B={m}.若4口8=8,則優(yōu)的取值范圍是（）

A.（?,2]B.[-2,2]

C.（—,2）U（2,y）D.[-2,0）U（0,2]

二、多選題

3.（23-24高一上?陜西西安?期中）下列說法正確的是（）

A.0￡{0}

B.集合{/=2〃”Z}鵬臼

/、flxeQ

C.函數(shù)/X=八":的值域?yàn)閇0,1]

[0xe^Q

D.〃x）=Hx|在定義域內(nèi)單調(diào)遞增

4.（2024?甘肅定西?一模）設(shè)集合A={x|尤?—尤46},8={町|xeA,yeA},則（）

A.AC\B=B

B.BcZ的元素個(gè)數(shù)為16

C.A<JB=B

D.AIZ的子集個(gè)數(shù)為64

三、填空題

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知全集。=酊集合4="|昏<（）1,8={乂卜+2|<3}.若=則"的

最大值為.

6.（2021?山東淄博?模擬預(yù)測）已知數(shù)列{4}為等差數(shù)列，數(shù)列出}為等比數(shù)列.若集合A={4%%},集

合3=體也，4}，集合。={。,瓦一2}（a>0,b>0）,且A=8=C,貝!Ja+6=.

參考答案：

1.D

【分析】先求集合4確定AcB即可求解.

【詳解】因?yàn)锳={xeN|3-x20}={0,L2,3},B={0,l},所以={0,1},

所以集合AcB的真子集的個(gè)數(shù)為2?-1=3.

11

故選:D.

2.D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合A,由題意可知BuA,即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得4=舊0</422}=[-2,0）u（0,2],

因?yàn)?則8勺4,所以〃?e[—2,0）50,2].

故選：D.

3.BD

【分析】根據(jù)空集的定義判斷A,根據(jù)集合元素的特征判斷B,根據(jù)所給函數(shù)解析式判斷C,將函數(shù)寫成分

段函數(shù)、再分析函數(shù)在各段的單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：0={0}或0{0},故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：{X|X=2H,HGZ}={-..,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,???},

YY

又一EZ,令一=keZ,所以x=2左，左eZ,

22

即，無￡eZ,={x|尤=2太&eZ}={…，一6,—4,一2,0,2,4,6,8,…},

所以{x|尤=2w,"eZ}=,xgez},故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)椤皒）=Jo尤仁蔡，所以“X）的值域?yàn)閧0，1}，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D：〃x）=x|x|=j'產(chǎn)。

[-X，尤<0

因?yàn)閥=V在[0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，y=在0）上單調(diào)遞增，

且/（X）為連續(xù)函數(shù)，所以/（x）在R上單調(diào)遞增，故D正確；

故選：BD

4.BCD

【分析】解二次不等式化簡集合A,進(jìn)而求得集合B,利用集合的交并運(yùn)算與常用數(shù)集的定義，結(jié)合集合子

集個(gè)數(shù)的求法逐一分析各選項(xiàng)即可得解.

【詳解】對(duì)于ABC,因?yàn)锳={x|f—尤46}={x|-2W},

所以3={孫|XGA,veA1=1x|-6<x<9},即

12

所以AcB=A,=8,BcZ有6+1+9=16個(gè)元素，故A錯(cuò)誤，BC正確；

對(duì)于D,而AIZ有2+1+3=6個(gè)元素，所以AIZ的子集個(gè)數(shù)為2$=64,故D正確.

故選：BCD.

5.-5

【分析】先求集合8,對(duì)A分類討論，并結(jié)合BuA,數(shù)形結(jié)合求出。的取值范圍，注意端點(diǎn)值能否取到.

［詳解］因?yàn)?={%肛+2卜3}={止5vxvl},

當(dāng)av1時(shí)，A={x|6/<x<1},若=則5gA.

在數(shù)軸上表示出集合A,B,如圖，

4—

B

-----AA>

Q—5---1-----x

則aV-5；

當(dāng)a>l時(shí)，A={x［l<x4a},此時(shí)Au_B=A不成立，

當(dāng)a=l時(shí)，A-0,此時(shí)4口3=4不成立.

綜上，。的最大值為-5.

故答案為：-5

6.5

【解析】根據(jù)題意判斷出a=-2,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得代=匕也=4,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式

2a=-2+b(或2b=—2+a),求出<7、b即可.

【詳解】由{卬,02,。3}={4,4,4}={4>，一2},其中a>0,b>0,

可得a=一2,則4&=4,令仇=。也=匕，或々=6也=?？傻枚?4,①

令{%}中的q=-2,出=a，4=6,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a?=q+?，

所以2。=—2+b,(2)

根據(jù)①②得出。=11=4,所以。+少=5；

令{凡}中的q=-2,%=b,%=。，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2%=4+%，

所以%=-2+a,③

根據(jù)①③得出。=4力=1,所以“+。=5；

同理令{%}中的%=-2,%=a,%=b,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a2=a,+a3,

13

所以2。=-2+%，與①聯(lián)立可。+匕=5；

令{%}中的%=-2,g=瓦q=。，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2%=%+%，

所以》=-2+。，與①聯(lián)立可a+6=5；綜上所述a+6=5.

故答案為：a+b=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)與集合相等，關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出4=-2,根據(jù)等比數(shù)列的

性質(zhì)可得也=4,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式2a=-2+6（或力=-2+。），考查學(xué)生分析問題、

解決問題的能力.

反思提升：

1.若3GA,應(yīng)分3=0和BW0兩種情況討論.

2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)

系，進(jìn)而求得參數(shù)范圍.注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.求得參數(shù)后，

一定票把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.

【考點(diǎn)3】集合的運(yùn)算

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合從={尤lN<3,xeZ},8={x|y=ln（無一1）},則Ac他3）=（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0）

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合4=<x1083，一][4。"，B={x|-x2+3%>0）,則（）

A.RB.[-1,3）C.（0,2）D.（-1,2）

、多選題

3.（2022?重慶?模擬預(yù)測）己知全集。=!<,集合A=<o,則關(guān)于q,A的表達(dá)方式正確的有（

B.|x|(x-2)(x-l)>0}

D.(-0o,l)U(2，+°°)

4.（23-24高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）圖中陰影部分所表示的集合是（

A.MI曲NB.N1c.wne(Nfw)D.(WXN)

14

三、填空題

5.(2020?江蘇南通?模擬預(yù)測)某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14,10,8.若這三天中

至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20,則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是.

6.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)設(shè)N；={1,2,…，利}表示不超過根(〃zeN*)的正整數(shù)集合，&表示/個(gè)元素的

有限集，S(A)表示集合A中所有元素的和，集合心={s(a%uN；},則小=；若$(加)42024,

則m的最大值為.

參考答案：

1.C

【分析】解絕對(duì)值不等式求出集合A,求函數(shù)的定義域求得集合B.由此求出第2,從而得到Ac(43).

【詳解】由題意，得4={—2,-1,0』,2},B={x|x>l},所以43={x|x<l},所以低可={—2,-1,0,1}.

故選：C.

2.B

【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式求出集合A,再解一元二次不等式求出集合最后根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由1咱生￡|40得。<工<1,解得-Kx<2,

所以A=1Jlog3<01={x|-1<x<2}.

由t?+3尤>0解得0cx<3,即2=同一爐+3%>0}="|0<%<3},

所以AuB=[-l,3).

故選：B.

3.AB

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念及分式不等式及其解法即可求解.

【詳解】由題意得，A=p|f1<oj=(x|(x-2)(x-l)<O)=(l,2),

所以舟4=(-<?,1]2[2,+8)={彳|(%_2)(X_1)20},

故AB正確，CD錯(cuò)誤，

故選：AB.

4.AC

【分析】利用維恩圖，根據(jù)交并補(bǔ)的混合運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】如圖,

15

u

\N(③)M

①l②出

對(duì)于A,^^=?+?,則A/neN=④，故A正確；

對(duì)于B,藥川=①+②，則NnaM=②，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,MAN=③，6（wnN）=①+②+④，故〃n七（NQM）=④，故c正確；

對(duì)于D,（瘵W）n（uN）=①，故D錯(cuò)誤，

故選：AC.

5.6

【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為論""圖的問題，然后結(jié)合題意確定這三天都開車上班的職工人數(shù)至多幾人即可.

【詳解】如圖所示，（。+b+c+x）表示周一開車上班的人數(shù)，（b+d+e+x）表示周二開車上班人數(shù)，（c+e+f+x）

表示周三開車上班人數(shù)，x表示三天都開車上班的人數(shù)，

則有：

a+b+c+%=14

b+d+e+x=10

<

c+e+f+x=8

a+b+c+d+e+f+x=20

Jq+2b+2c+d+2e+/+3x=32

[a+Z?+c+d+e+f+x=20

即b+c+e+2x=12,當(dāng)b=c=e=0時(shí)，x的最大值為6,

即三天都開車上班的職工人數(shù)至多是6.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題主要考查論""圖的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解

能力.

6.{3,4,5}22

16

【分析】

根據(jù)定義，結(jié)合等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)根=3,笈=2時(shí)，4表示有2個(gè)元素的集合，N；={1,2,3},

因?yàn)榍?有2個(gè)元素，

所以&={1,2}或{1,3}或{2,3},所以《={3,4,5}；

由題中定義可知：7；?,3={6,7,8,...,3m-3},

、（6+3m-3）（3m-3-5）

于是由S（7；3）?2024n---------------------------L<2024=>9m92-15m-4072<0

5-7163135+716313

=>--------------<m<---------------，

66

而5/16129<V16313<V16384n127<J16313<128,

即5+排6313名22.2,又因?yàn)楦鵨N*,

6

所以加的最大值為22,

故答案為：{3,4,5}；22

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題中定義，運(yùn)用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式.

反思提升：

1.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算.

2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：

（1）離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解；

（2）連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.

攣分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2023?重慶?三模）已知集合4=[€（2|（》-1）（尤2-2）=。},B={.xeR|（x-l）（.x2-2）=0},則下列關(guān)系正

確的是（）

A.A=3B.BC.BAD.Ac8=0

2.（2024?浙江?二模）已知集合加={1,2,3},N={0,1,2,3,4,7},若MgAuN,則滿足集合A的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.6C.7D.8

17

3.（2024?全國，模擬預(yù)測）若集合4={尤|3爐-16尤40},8={x|y=ln（5x-2）},則AHB=（）

x|<x

A.^x|o<x<||B.{|-y!

c-bio-x<t}d-

4.（2024?貴州貴陽,模擬預(yù)測）若集合A={尤|2〃zx-3>0,〃?eR},其中2e4且遙A,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

是（）

A-CHB.［『句U［『JD，

二、多選題

5.（2024?廣西?二模）若集合M和N關(guān)系的Venn圖如圖所示，則M,N可能是（）

A.〃={0,2,4,6},N={4}

B.M={x|尤2<I},N={X［x>-l}

C.M={尤Iy=lgr},N={y|y=e'+5}

D.M={（x,y）lV=y2},N={（x,y）|y=x}

6.（20-21高一上?廣東深圳?階段練習(xí)）1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割"

來定義無理數(shù)（史稱"戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為"無

理"的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).將有理數(shù)集。劃分為兩個(gè)非空的子集/與N,且滿足

MUN=Q,MnN=0,M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱（”,N）為戴德金分割.試判斷

下列選項(xiàng)中，可能成立的是（）

A.若河={尤?（2］尤<0},N={尤eQ|尤>0},貝U（MN）滿足戴德金分割

B.若（”,N）為戴德金分割，則又沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素

C.若（/,N）為戴德金分割，則M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素

D.若（M,N）為戴德金分割，則又沒有最大元素，N也沒有最小元素

7.（23-24高一上?重慶永川?期中）下列說法正確的是（）

18

A.集合”={一2,3%2+3%-4,x2+x-4},若貝|x=—2或％=1

B.設(shè)全集為R,若則物7RA

C.1x|x=3n+1,nez|=1x|x=3n—2,nGz|

D.‘5和y都是無理數(shù)〃是〃x+y是無理數(shù)〃的必要不充分條件

三、填空題

2r-1

8.（23-24高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）已知集合人={%|―-<0},全集U=R,則aA=_______

x+1

9.（2024?山東臨沂?一模）集合A={x|lgx<l},5=L1>1L則4口金8=.

10.（2020?江蘇?一模）若4={1,2,3,4,5},3={3,4,5,6},則下圖中陰影表示的集合為.

11.（2023,河南?模擬預(yù)測）設(shè)集合A={x|-4WxW2},3={x|/_4x—5<0},

C={x|尤2—（a+4）x+2（a+2）<0}.

⑴求（々A）UB；

（2）從下面（1）（2）中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

①CU（QAC3；②Cu（AUB）；③（AcB）cC=0.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

12.（2023?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測）已知集合&=卜|4.一/_3>0},集合8={x|2〃?<x<!.

（1）若Ac3=0,求實(shí)數(shù)〃2的取值范圍；

（2）命題p：xeA,命題q:尤e8,若p是g成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)數(shù)集的定義，求解方程，得出集合即可得出答案.

【詳解】若尤wR,解（尤T）（尤2-2）=0可得，*=1或苫=-我或尤=夜，

所以8={1,-后,0}.

19

若xeQ,貝ijx=l,所以A={1},

所以4勺氏

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)包含關(guān)系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.

【詳解】因?yàn)镸=

所以A可以是{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2,3,0},{1,2,3,7},{123,0,4},{1,2,3,0,7},{1,2,3,7,4},{1,2,3,0,4,7},共8個(gè),

故選:D

3.D

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集確定集合A,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域確定集合5,再根據(jù)集合的交集運(yùn)

算得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榧?={尤|3/-16x40}={x|0Vx4g;,3={x[y=ln（5x-2）}={x|x）|:,

則AP|B=|x||<x<y|.

故選：D.

4.A

【分析】借助元素與集合的關(guān)系計(jì)算即可得.

f2mx2—3>033

【詳解】由題意可得G[,,八，解得=<加工*

[2mxl-3<042

故選：A.

5.ACD

【分析】根據(jù)Venn圖可知N依次判定選項(xiàng)即可.

【詳解】根據(jù)Venn圖可知NM,

對(duì)于A,顯然NM,故A正確;

對(duì)于B,M={x|-l<x<l},^={x|x>-l},則M=故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,M={x|x>0},N={y|y>5},則NM,故C正確；

對(duì)于D,M=[^x,y)\y=x,或,=—x},N={(x,y)|y=尤},

則NM,故D正確.

20

故選：ACD

6.BD

【分析】A選項(xiàng)，MuN={xeQ|x洛0}#Q,A錯(cuò);BD選項(xiàng)，可舉出例子；C選項(xiàng)，推理出HcN#0,C

錯(cuò)誤.

【詳解】A選項(xiàng)，M={xeQ|x<0},^={x6Q|x>0},故MuN={xeQ|x#O}聲Q,A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)，設(shè)M={xeQ|x<O},N={xeQkNO},滿足”UN=Q,MQN=0,

此時(shí)(M,N)為戴德金分割，且M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素，B正確；

C選項(xiàng)，若“有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素，則McNw0,故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，TSM=(X6Q|X<A/2),2V=(X6Q|X>A/2),滿足M沒有最大元素，N也沒有最小元素，D正確.

故選：BD

7.BC

【分析】對(duì)于A：由2eM,得出3f+3x-4或尤2+尤-4等于2,分別求解，然后驗(yàn)證互異性即可判斷為錯(cuò)；

對(duì)于B：由集合間的包含關(guān)系和補(bǔ)集的概念判斷正確；對(duì)于C：令集合{士=3"-2,“。}中的〃=尢+1,人Z,

即可判定為正確；對(duì)于D,取特值即可判定為錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A：由2eM,

若3尤？+3x-4=2=>無？+x—2=0=>尤=-2或1，

當(dāng)x=l時(shí)，/+工一4=一2不滿足互異性，舍去，當(dāng)無=一2時(shí)，/+工_4=一2,不滿足互異性，舍去；

若f+x—4=2=>》2+犬-6=0nx=—3或2,

當(dāng)x=2時(shí)，3/+3x-4=14合題意，當(dāng)尤=-3時(shí)，3爐+3左一4=14,合題意，

故x=-3或2,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若AgB,則如lRA,B正確；

對(duì)于C令集合{x|x=3九一2,〃eZ}中的?i="+l#eZ,得

{x[x=3"-2,〃eZ}={x[x=3^+l,keZ}={x[x=3"+l,〃eZ},故C正確；

對(duì)于D：x=G,y=-百=>x+y=O不是無理數(shù)，若x+y=&+l為無理數(shù)，可取工=君,丫=1,尤和>不都是無理

數(shù)，故"x和v都是無理數(shù)”是勺+y是無理數(shù)”的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò).

故選：BC.

8.(-8,-1]口|1，+8)

21

【分析】利用集合的補(bǔ)集求解.

【詳解】解：集合4={尤|生[wo}=[x]-l<x(]],全集U