2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：基本不等式（原卷版）

專題04基本不等式（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................2

【考點突破】...............................................................10

【考點1］利用基本不等式求最值..............................................10

【考點2］基本不等式的綜合應(yīng)用..............................................13

【考點3］基本不等式的實際應(yīng)用..............................................20

【分層檢測】...............................................................27

【基礎(chǔ)篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................33

【培優(yōu)篇】.................................................................36

考試要求：

1.了解基本不等式的證明過程.

2.能用基本不等式解決簡單的最值問題.

3.掌握基本不等式在生活實際中的應(yīng)用.

融知識梳理

1.基本不等式：q不w―2~

⑴基本不等式成立的條件：a>Q,b>0.

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號.

(3)其中審叫做正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)，血叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2.兩個重要的不等式

^(r+b-^2ab(a,6GR),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號.

(2%?！锊芬籎(a,6GR),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積犯等于定值P,那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2、年.

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值為5

|常用結(jié)論

l.^+|>2(a,8同號)，當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號.

/a+^a2-\-b2

2J、2-'

3.應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等"，忽略某個條件，就會出錯.

4.在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保

證它們等號成立的條件一致.

.真題自測

一、單選題

1.(2022?全國?高考真題)已知9根=10,〃=10m—11/=8機—9,貝!J()

A.a>0>bB.<3>Z?>0C.b>a>0D.b>0>a

2.(2021?全國?高考真題)下列函數(shù)中最小值為4的是(

A.y=f+2%+4

2

.9_4

C.y=2“+2'D.y=lnxH-------

"Inx

22

3.（2021?全國?高考真題）己知小乃是橢圓C：45=1的兩個焦點，點加在C上，貝"Ml訃版|的最

大值為（）

A.13B.12C.9D.6

4.（2021?浙江?高考真題）已知。,力,7是互不相同的銳角，則在sinacos/?,sin/?cos7，sin/cosa三個值中，大

于g的個數(shù)的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

二、多選題

5.（2022?全國?高考真題）若x,y滿足尤2+y一孫=1,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

三、填空題

AT

6.（2022?全國,高考真題）已知44BC中，點。在邊上，NAD8=120。,AO=2,8=28。.當(dāng)白上取得

AB

最小值時，BD=.

7.（2023?天津?高考真題）在AABC中，BC=1,NA=60。，AD=1AB,CE=|cD,記麗=扇正=5,用。，方

表示荏=;若而=g覺，則荏.說的最大值為.

8.（2021,天津■局考真題）若a>0,b>0,貝U—+白+。的最小值為_________.

ab

.考點突破

【考點1］利用基本不等式求最值

一、單選題

1.（2023?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）已知實數(shù)a,6,c滿足a<b<c且仍c<0,則下列不等關(guān)系一定正確的是（）

A.ac<beB.ab<ac

bc>ba?

C.-+->2D.—+—>2

cbab

2.（2023?遼寧葫蘆島?二模）若。〉0"〉0,2必+a+力=3,則a+2辦的最小值是（）

A.—B,1

2

C.2D.

2

二、多選題

3.（2023?江蘇?一模）已知正數(shù)a,Z?滿足ab=〃+b+l,貝！J（）

3

A.a+6的最小值為2+2后B.他的最小值為1+0

C.」+1的最小值為20-2D.2"+4〃的最小值為16旅

ab

4.（2023?山東煙臺?三模）已知〃>0力>0且4a+Z?=2,貝|（）

A.ab的最大值為gB.26+揚的最大值為2

C.2+f的最小值為6D.4"+2"的最小值為4

ab

三、填空題

5.（2023?遼寧大連三模）已知孫>0,且尤?+2孫=1,則f+y2的最小值為.

6.（2020?天津濱海新?模擬預(yù)測）已知無>0,>>0,則，可‘2+0方的最大值是_________.

x+4yx+y

反思提升：

1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

>7nnh

2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x+y=/（/為常數(shù)），求勺最值”的問題，先將包+‘轉(zhuǎn)

化為再用基本不等式求最值.

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3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不

等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.

【考點2】基本不等式的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?山東濟寧?一模）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,內(nèi)c,且a=3,acosB=（2c-b）cosA,

則AABC面積的最大值為（）

A.姓B.9C.2D.2

4242

2.（21-22高一上?河南商丘?期末）若對任意實數(shù)x>0,y>0,不等式x+而<a（x+y）恒成立，則實數(shù)。的

最小值為（）

A."B.V2-1C.V2+1D.”

二、多選題

3.（2023?河北保定?二模）如圖，正方形ABCD的邊長為1,P、。分別為邊AB、D4上的動點，若△APQ

的周長為定值2,貝U（）

4

A.NPCQ的大小為30。B.△PC。面積的最小值為0-1

C.PQ長度的最小值為2后-2D.點C到PQ的距離可以是日

22

4.（2021?全國?模擬預(yù)測）己知/為橢圓C：,+5=1的左焦點，直線八y=履化W0）與橢圓C交于A,

3兩點，軸，垂足為E,8E與橢圓C的另一個交點為尸，則（）

14廣

A.府|+際|的最小值為2B.AABE面積的最大值為0

C.直線8E的斜率為g左D.—RW為鈍角

三、填空題

5.（2024?廣東深圳?一模）已知函數(shù)八天下耳兀一再乂天一⑴G一七乂?！?。），設(shè)曲線y=〃x）在點（玉"（%））

處切線的斜率為左。=1,2,3）,若占,馬,退均不相等，且左2=-2,則尤+的的最小值為.

21

6.（2021?湖北襄陽?一模）已知x>0,丁>0,且一+—=1,若x+2y>"+2加恒成立，則實數(shù)機的取值范

xy

圍是.

反思提升：

（1）當(dāng)基本不等式與其他知識相結(jié)合時，往往是提供一個應(yīng)用基本不等式的條件，然后利用常

數(shù)代換法求最值.

（2）求參數(shù)的值或范圍時，要觀察題目的特點，利用基本不等式確定等號成立的條件，從而得

到參數(shù)的值或范圍.

【考點3】基本不等式的實際應(yīng)用

一、單選題

1.（2023?湖南?一模）某農(nóng)機合作社于今年初用98萬元購進一臺大型聯(lián)合收割機，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計該

機第一年（今年）的維修保養(yǎng)費是12萬元，從第二年起，該機每年的維修保養(yǎng)費均比上一年增加4萬元.

若當(dāng)該機的年平均耗費最小時將這臺收割機報廢，則這臺收割機的使用年限是（）

A.6年B.7年C.8年D.9年

2.（22-23高一上?重慶沙坪壩?期末）2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，

是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊含"吉祥團圓”美好愿景的名畫一一《梧

桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫縱約176cm,橫約95cm,其掛在墻壁上的最低點B離地面194cm.小南身高160cm

5

（頭頂距眼睛的距離為10cm）,為使觀賞視角。最大，小南離墻距離S應(yīng)為（）

A.40V2cmB.76cmC.94cmD.446cm

二、多選題

3.（2023?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）某單位為了激勵員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資,

現(xiàn)擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅“％,第二次漲幅6%；

乙：第一次漲幅4％,第二次漲幅7％;

22

丙：第一次漲幅血K%,第二次漲幅癡％.

其中a>3>0,小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（）

A.方案甲和方案乙工資漲得一樣多B.采用方案乙工資漲得比方案丙多

C.采用方案乙工資漲得比方案甲多D.采用方案丙工資漲得比方案甲多

4.（2023?河北唐山?三模）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中提到底面為長方形的屋狀的楔體（圖

示的五面體跖-ABC。）.底面長方形ABC。中3c=3,AB=4,上棱長EF=2,且EF〃平面ABC。，高

（即收到平面ABCD的距離）為1,。是底面的中心，則（）

B.五面體EF-ABC。的體積為5

C.四邊形與四邊形CDE廠的面積和為定值3回

D.V43E與△3CF的面積和的最小值為3亞

三、填空題

5.（2021?黑龍江大慶,三模）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架,

其中卷第九勾股中記載："今有邑，東西七里，南北九里，各中開門.出東門一~F五里有木.問出南門幾何

步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)

作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門x里見到樹，則.若一小城，如圖所示，出

東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：1里=300步）里.

6

6.（21-22高三上?湖北?階段練習(xí)）拿破侖?波拿巴，十九世紀(jì)法國偉大的軍事家、政治家，對數(shù)學(xué)很有興趣，

他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理："以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個三角

形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，在"LBC中，ZBAC=6ff,以A3,BC,AC為邊向外作三

個等邊三角形，其中心依次為。，E,F,若DF=2C，貝________，M+AC的最大值為________.

AD

反思提升：

（1）根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

（2）解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.

（3）在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時，若等號取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

!分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

2貝

1.（2023?北京西城?二模）設(shè)a=lg§,b=Jlg3/g2,c=1lg6,Ij()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

2.（2023?山東濱州?二模）已知直線/:5+叫=1與圓。：/+丁=i相切，則相〃的最大值為（）

7

1

A.-B.C.1D.2

42

3.（2023?湖南長沙?一模）已知2"'=3"=6,則加，"不可能滿足的關(guān)系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.(m-l)2+(n-l)2>2

已知機>0,n>0,直線y=,兀+根+1與曲線y=lnx—〃+2相切，貝!!'■+工的最

4.（2023?湖北?模擬預(yù)測）

emn

小值是（）

A.16B.12C.8D.4

二、多選題

12

5.（2023?吉林白山?一模）若正數(shù)b滿足—H—=1,貝!J()

ab

21>2C.旱J

A.ab<8B.-----1-----D.26Z+Z?>8

。-1b—2ab2

21

6.（22-23高一上?甘肅臨夏?階段練習(xí)）已知。>03>0,且2々+人=1,若不等式一+丁>加恒成立，則加的

ab

值可以為（）

A.10B.9C.8D.7

7.(2021?江蘇南通?一模)已知〃>0,b>0,a+b=ab則()

A.a+2b>3+2yf2B.20+2*>8

I1[—

C.abT---25D.~r=+~i=-

ab7a

三、填空題

8.（2023?海南省直轄縣級單位?模擬預(yù)測）已知正數(shù)b滿足L+；=20，若（。-沖&4（"）3,則

ab

a2+Z?2=

9.（2023?遼寧沈陽?二模）已知1<"4,則/一+一1的最小值是

4一〃a—\

10.（2022?上海?二模）已知對Vxe（0,+oo）,不等式%-L恒成立，則實數(shù)加的最大值是

四、解答題

11.（2023?廣西南寧?二模）已知b,c均為正數(shù)，且片+2〃+3c2=4,證明:

⑴若a=c,則

2

(2)a+2b+3c<2y/6.

12.（9-10高二下?江蘇?期末）首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以〃節(jié)能減排，綠色生態(tài)〃為主題.

某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.

已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量X（噸）之間的函數(shù)

8

關(guān)系可近似的表示為y=g/-200x+80000,且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.

⑴該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位

不虧損？

【能力篇】

一、單選題

5

1.（2022?河北石家莊?二模）己知x=[±T，y=iog45,z=log34，則x、y、z的大小關(guān)系為（）

A.y>x>zB.X>y>zc.z>x>yD.x>z>y

二、多選題

2.（22-23高一下?安徽合肥?階段練習(xí)）直角三角形ABC中，尸是斜邊8C上一點，且滿足麗=2定，點M，N

在過點P的直線上，若說=機通，亞=〃記0>0,〃>0）,則下列結(jié)論正確的是（）

1215

A.一+—為常數(shù)B.相，孔的值可以為：m=-,n=-

mn22

C.優(yōu)+2〃的最小值為3D.暑蛆的最小值為]