2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（解析版）

專題17導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................2

【考點(diǎn)突破】...............................................................10

【考點(diǎn)1］根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值..............................................10

【考點(diǎn)2】求已知函數(shù)的極值..................................................17

【考點(diǎn)3】由函數(shù)的極值求參數(shù)................................................23

【考點(diǎn)4】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值..............................................31

【分層檢測】...............................................................37

【基礎(chǔ)篇】.................................................................37

【能力篇】.................................................................49

【培優(yōu)篇】.................................................................53

考試要求：

1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.

2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值3會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

.知識(shí)梳理

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值五a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，/(a)=0；而且在

點(diǎn)x=a附近的左側(cè)片x)<0,右側(cè)外0>0.則a叫做函數(shù)y=/(x)的極小值點(diǎn)，火。)叫做函數(shù)丁=

段)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值汽6)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，/(/?)=0；而且在

點(diǎn)、x=b附近的左側(cè)［於)〉0,右側(cè)［(x)<0.則b叫做函數(shù)y=*x)的極大值點(diǎn),犬。)叫做函數(shù)丁=

汽x)的極大值.

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)人功在區(qū)間［a,加上有最值的條件：

如果在區(qū)間［a,加上函數(shù)y=?x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在區(qū)間［a,加上的最大(小)值的步驟：

①求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,上的極值;

②將函數(shù)y=/U)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值Na),1。)比較,其中最大的一個(gè)是最大值，最小

的一個(gè)是最小值.

|常用結(jié)論

1.求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)

為極值就是最值.

2.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大

小關(guān)系.

攣真題自測

一、單選題

b

1.(2022?全國?高考真題)當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)/(X)=Qlnx+—取得最大值—2,貝U1⑵=()

x

11

A.—1B.——C.-D.1

2.(2022?全國,高考真題)已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

34"36，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

2

727812764

A.B.7'IC.D.[18,27]

3.（2021?全國?高考真題）設(shè)〃w0,若。為函數(shù)/（x）=a（x—a）2（x—?的極大值點(diǎn)，則（）

A.a<bB.a>bC.abva1D.ab>a2

二、多選題

4.（2023?全國?高考真題）若函數(shù)〃切=。11^+。+5（4#0）既有極大值也有極小值，則（）.

A.bc>QB.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<Q

5.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,/3）=y2〃x）+x2"y）,則（）.

A./（O）=OB./（1）=0

C.是偶函數(shù)D.尤=0為“X）的極小值點(diǎn)

6.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)，（元）=丁-彳+1,則（）

A.Ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)B.Ax）有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)（0,1）是曲線>=/（尤）的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/（x）的切線

三、填空題

7.（2022,全國?高考真題）已知彳=再和x=%分別是函數(shù)/。）=2優(yōu)-ef（a>0且awl）的極小值點(diǎn)和極

大值點(diǎn).若占<%，則。的取值范圍是.

8.（2021?全國,高考真題）函數(shù)/（x）=|2x-l|-21nx的最小值為.

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)題意可知〃1）=-2,尸（1）=。即可解得a,b,再根據(jù)廣⑺即可解出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?,+功，所以依題可知，/（1）=-2,尸（1）=0,而（（町=三一《，所以

b=-2,a-b=0,即a=-2,6=-2,所以尸"）=」+彳，因此函數(shù)在（0,1）上遞增,在（1,+向上遞減,

x=l時(shí)取最大值，滿足題意，即有尸（2）=-1+3=-（

故選：B.

2.C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為3由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四

棱錐體積的取值范圍.

【詳解】回球的體積為36%,所以球的半徑氏=3,

3

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2“，高為心

則產(chǎn)=2a2+*,32=2a之+(3—h)2,

所以6/Z=/2,2a2=I2-h2

ii?/4/21f/6

所以正四棱錐的體積V=wS/z=wx4a2x%=wx(/2-震)又工=了八一記

3333669136

所以叫

當(dāng)34142#時(shí)，r>0,當(dāng)2遙<”3若時(shí)，T<0,

所以當(dāng)/=2面時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為日,

27Q1

又/=3時(shí)，V=—,/=3石時(shí)，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為2一7，

所以該正四棱錐體積的取值范圍是"，”.

L43J

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以V=：a2"=1.(6/z—/z2)/z=g(i2—2/z)/zx/z?gx—―2h［+h+h=竽(當(dāng)且僅當(dāng)。=4取至［|),

當(dāng)或時(shí)‘得"袈則等』手

當(dāng)/=3有時(shí)，球心在正四棱錐圖線上，此時(shí)〃=］+3=］,

爭=孚"=卓，正四棱錐體積乂=%%=；(篁y號(hào)q,故該正四棱錐體積的取值范圍是目爭

3.D

【分析】

4

先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對"進(jìn)行分類討論，

畫出/(X)圖象，即可得到a，b所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】若。=)，則/(無)=。(尤-。丫為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故Mb.

??J(x)有。和b兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在工=。左右附近是不變號(hào)，在x=b左右附近是變號(hào)的.依題意，a為函數(shù)

/(.V)-a(x”『(‘v")的極大值點(diǎn),，在x=a左右附近都是小于零的.

當(dāng)a<0時(shí)，由x>6,f(x)<o,畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知a<0,故a。〉".

當(dāng)〃〉0時(shí)，由時(shí)，/(尤)>0,畫出了(l)的圖象如下圖所示:

綜上所述，Q?！?成立.

故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.

4.BCD

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/‘(X),由已知可得了'(X)在(0,+8)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程

有兩個(gè)不等的正根判斷作答.

5

【詳解】函數(shù)〃x)=alnx+2+二的定義域?yàn)?0收)，求導(dǎo)得廣。)，_._'=加一”2。,

%%XXXX

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)既有極大值也有極小值，則函數(shù)/'(X)在(0,+8)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而〃。0,

因此方程以2一區(qū)一2c=0有兩個(gè)不等的正根%,%2，

A=Z?2+Sac>0

b

于是《玉+%=—>。，即有〃2+8ac>0,ab>0,ac<0顯然片從^。，即bcvO,A錯(cuò)誤，BCD正確.

af

2c八

=--->。

、a

故選：BCD

5.ABC

【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC,舉反例/(勸=。即可排除選項(xiàng)

D.

%?In|Y|xw0

方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對于D,可構(gòu)造特殊函數(shù)/(尤)=八進(jìn)行判斷即可.

。，元=0

【詳解】方法一：

因?yàn)椤?孫)r"(x)+x"(y),

對于A,令x=y=O,/(0)-0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令無=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則"1)=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)-2/(-1),則/(一1)=0,

令y=-1,/(-X)=f(.x)+x2f(-V)=/(%),

又函數(shù)“x)的定義域?yàn)镽,所以為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,不妨令/。)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)了(無)無極值，故D錯(cuò)誤.

方法二：

因?yàn)?(移)=y2/(x)+x2/(y)>

對于A,令x=y=O,/(0)-0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令無=y=l,f(l)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-L,/(1)=/(-1)+/(-1)-2/(-1),則/(一1)=0,

令>=T"(r)=/(尤)+r(-1)=/(%),

又函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,所以“X)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,當(dāng)X、2H。時(shí)，對/(盯)=y2/(x)+x2/(y)兩邊同時(shí)除以/y2,得到？：)=,

6

故可以設(shè)坐^=1中|(尤片0),則/(x)=<:嗎4°,

x[0,x=0

當(dāng)x>0肘，/(x)=x2Inx,則/,(x)=2xlnx+x2?—=x(21nx+l),

令/?'("<O,得0<x<e*4f^)>0,得x>￡；

故/(x)在[0,上單調(diào)遞減，在fA,+/上單調(diào)遞增，

因?yàn)槿伺螢榕己瘮?shù)，所以/⑺在-e”,0上單調(diào)遞增，在-%彳上單調(diào)遞減,

\7V7

顯然，此時(shí)x=0是/(x)的極大值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

6.AC

【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合〃x)的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的

幾何意義判斷D.

【詳解】由題，r(x)=3x2-l,令，Kx)>0得x>#或尤<一日，

令/(x)<0得一旦*<3,

33

所以“幻在(-應(yīng)-亭，(*+00)上單調(diào)遞增，(當(dāng)當(dāng)上單調(diào)遞減，所以x=±￥是極值點(diǎn)，故A正確；

因/(一￥)=1+半>0，/(,)=1一書>0，f(-2)=-5<0,

所以，函數(shù)外力在一小一孝)上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)轉(zhuǎn)走時(shí)，/(%)>/|^|>0,即函數(shù)在(當(dāng),+/上無零點(diǎn)，

綜上所述，函數(shù)，(幻有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

333

令h(x)=x-xf該函數(shù)的定義域?yàn)镽,h^-x)=(-x)-(-x)=-x+x=-7i(x),

7

則■＞)是奇函數(shù)，(0,0)是/z(x)的對稱中心，

將〃(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到了(x)的圖象，

所以點(diǎn)(o,D是曲線y=/(x)的對稱中心，故c正確；

令_f(x)=3d—l=2,可得X=±l,又/⑴=

當(dāng)切點(diǎn)為(1』)時(shí)，切線方程為，=2x-l,當(dāng)切點(diǎn)為(-M)時(shí)，切線方程為y=2x+3,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【分析】法一：依題可知，方程21n“"X—2ex=0的兩個(gè)根為不三，即函數(shù)y=lna?優(yōu)與函數(shù)y=ex的圖象

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)g(尤)=lna.優(yōu)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到g(x)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)

的幾何意義求得過原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)

因?yàn)槭?x)=21na"'-2ex,所以方程21nad-2ex=0的兩個(gè)根為士，%，

即方程=ex的兩個(gè)根為和尤2，

即函數(shù)y=lne優(yōu)與函數(shù)丁=6》的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

因?yàn)?%分別是函數(shù)"x)=2"-ed的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)“X)在(YO,%)和(無2，長0)上遞減，在(為,尤2)上遞增，

所以當(dāng)時(shí)Ro,可)(々,+℃),/'(x)＜。，即y=ex圖象在＞=inad上方

當(dāng)尤?石,X2)時(shí)，了什耳＞。，即＞=ex圖象在y=］nad下方

。＞1,圖象顯然不符合題意，所以。＜a＜l.

^-g(x)=lna-ar,則g,(x)=ln2a-av,0＜a＜l,

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為(無o，lna-1),

則切線的斜率為g'(xo)=ln2a.*,故切線方程為y-lna?d=li?,

則有-Ina"'"=-尤ohr，解得無o=^—,則切線的斜率為1112a,“京=eg?口，

因?yàn)楹瘮?shù)＞=山內(nèi)疝與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

8

所以elYave，解得,<〃<e,又Ovavl,所以

ee

綜上所述，”的取值范圍為、」］.

［方法二］:【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)

/r(x)=21na-ax—2ex=0的兩個(gè)根為x，%

因?yàn)槭?，々分別是函數(shù)〃元）=2優(yōu)-eV的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)“X）在（YO,大）和（彳2，+℃）上遞減，在（網(wǎng),工2）上遞增，

設(shè)函數(shù)g（x）=/'（x）=2（/lna-ex）,貝加（x）=2/（Ina），-2e,

若則g'（x）在R上單調(diào)遞增,此時(shí)若g'（%）=0,則尸（x）在

（6,無。）上單調(diào)遞減，在（如收）上單調(diào)遞增，此時(shí)若有》=不和x=z分別是函數(shù)

/。）=24-夕2（4>0且"1）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則可>々，不符合題意；

若0<a<l,則g'（x）在R上單調(diào)遞減，此時(shí)若式/）=0,則尸（力在（f%）上單調(diào)遞增，在（飛,收）上單

調(diào)遞減，令g'（%）=。，則*=就產(chǎn)，此時(shí)若有x=xi和％=%分別是函數(shù)/（力=2"-"2（。>0且awl）的

極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且不<%，則需滿足/（毛）>0，廣（x°）=2（a為皿-氣）=2［惠-緒）>0,即

X0<Y~,/11^>1故仙4領(lǐng)=/1114=111^1^>1,所以

【整體點(diǎn)評】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出"小題小做"，是該題

的最優(yōu)解；

法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于

通性通法.

9

8.1

【分析】由解析式知/(x)定義域?yàn)?。,+8),討論0<xV］、%>1,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,

22

即可求了(幻最小值.

【詳解】由題設(shè)知：/(%)=|2%-1|-21nx定義域?yàn)?0,+8),

團(tuán)當(dāng)時(shí)，f(x)=l-2x-2lnx,止匕時(shí)/(x)單調(diào)遞減；

12

當(dāng)一<工(1時(shí)，f(x)=2x-l-21nx有7(x)=2——<0,此時(shí)〃龍)單調(diào)遞減；

2fx

2

當(dāng)%>1時(shí),f(x)=2x-l-21nx,有/'(尤)=2——>0,此時(shí)/(元)單調(diào)遞增；

x

又了(九)在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，

團(tuán)綜上有：0cxW1時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，x>l時(shí)，/(x)單調(diào)遞增；

0/(x)>/(l)=l

故答案為：1.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)11根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值

一、單選題

1.(21-22高三?北京西城?開學(xué)考試)如圖所示，已知直線、=履與曲線y=/(x)相切于兩點(diǎn)，函數(shù)

g(x)=kx+m(m>0),則對函數(shù)戶(x)=g(x)-〃x)描述正確的是()

A.有極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn)B.有極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn)

C.至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)D.至少有一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)

2.(21-22高二下?北京西城?期末)設(shè)函數(shù)/■⑴=?+分+4x的極小值為一8,其導(dǎo)函數(shù)>=/'⑺的圖

象過點(diǎn)(一2,0),如圖所示，則/(幻=()

10

2

A.--x3-x2+4xB.-X3-2X2+4X

C.-x3+4xD.-2x3+x2+4x

二、多選題

3.(2022?山東臨沂?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)“x)=ln(x+l)+a(f-x),其中aeR,則()

Q

A.當(dāng)OWaWg時(shí)，f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)

B.當(dāng)“<0時(shí)/⑺有1個(gè)極值點(diǎn)

Q

C.當(dāng)a時(shí)，“X)有。個(gè)極值點(diǎn).

D.若Vx>0,/(x)20成立，貝iJOVaWl

4.(2023?湖北武漢?模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=和y=g(x)的圖像都是R上連續(xù)不斷的曲線，如果

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)〃l)=g⑴=1,那么下列情形可能出現(xiàn)的是()

A.1是“%)的極大值，也是廉元)的極大值B.1是“X)的極大值，也是g(x)的極小值

C.1是〃x)的極小值，也是g(x)的極小值D.1是f(x)的極小值,也是g(x)的極大值

三、填空題

5.(2021?四川成都,模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域?yàn)椋跿5］,其部分自變量與函數(shù)值的對應(yīng)情況如表:

X-10245

〃尤)312.513

〃元)的導(dǎo)函數(shù)尸(x)的圖象如圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①了("在區(qū)間［T,。］上單調(diào)遞增；

②/(X)有2個(gè)極大值點(diǎn)；

③〃元)的值域?yàn)椋?,3］；

④如果xe［r,5］時(shí)，的最小值是1,那么/的最大值為4.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

11

6.(2023?陜西寶雞?二模)若函數(shù)〃x)=e'-eT+gx3一辦無極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

參考答案：

1.C

【分析】由題設(shè)尸'(x)=^-f'(x),令、=履與y=/(尤)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為且％<々，由圖存在毛€(%,馬)使

F(x0)=0,則尸(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)王V無。<9，結(jié)合圖象判斷尸(無)的符號(hào)，進(jìn)而確定尸⑴單調(diào)性，即可

確定答案.

【詳解】由題設(shè)，F(xiàn)(x)=kx+m-f(x),貝1|F'(x)u"f'(x),

又直線y=自與曲線>=/(x)相切于兩點(diǎn)且橫坐標(biāo)為x“x2且不<乙,

所以尸'(x)=0的兩個(gè)零點(diǎn)為％,三,由圖知：存在/e(外,蒼)使尸，(飛)=0,

綜上，P'(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)％<不，

,

由圖：(0,而)上P'(x)<0,(尤1，尤0)上P'(x)>0,(%,%)上戶'。)<0,(X2,+OO)±F(X)>0,

所以尸(x)在(0㈤上遞減，(%,尤。)上遞增，(無。,馬)上遞減，(々,+8)上遞增.

故F(x)至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).

故選：C.

2.B

【分析】由題設(shè)((尤)=3"2+2法+4,根據(jù)所過的點(diǎn)可得b=3a+l,結(jié)合圖象求出極小值點(diǎn)并代入了CO求

參數(shù)，即可得解析式，注意驗(yàn)證所得參數(shù)是否符合題設(shè).

【詳解】由題設(shè)，八尤)=3-+26x+4,則八-2)=12。-46+4=0,故6=3a+l,

所以f'(x)=3ax2+2(3。+l)x+4=(3ax+2)(x+2),

2

令((x)=0,可得彳=—2或了=-丁，由圖知：a<0且x=-2處有極小值，

3a

所以-8。+46-8=-8,即a=-l,b=-2,經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)，

故/(x)=-x3-2x2+4元.

故選：B

3.BD

【分析】求導(dǎo)，記g(x)=2辦?+辦+1-。，結(jié)合圖象討論可知函數(shù)/(尤)的單調(diào)性，結(jié)合〃0)=。分析可得答

案.

【詳解】/⑴的定義域?yàn)?-1,口)

當(dāng)a=0時(shí)，〃x)=ln(x+l)單調(diào)遞增，顯然無極值，故A錯(cuò)誤；

12

、1/cn2ax2+ax+1-a

f(x)=----ci\2x-1)=--------------

v7x+1l7x+1

記g(%)=2ax2+ax+1-a(aw0)

Q

由。2-8。(1一。)<0,gp9a2-8fl<0,解得0<a4§

Q

所以當(dāng)時(shí)，g(x)>0,即/(x)W0,

所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)無極值，

8

當(dāng)a<0或時(shí)，記且0)=2。X2+以+1一。的兩木艮為玉,々，且玉

則a<0時(shí)，因?yàn)間(—D=l,所以由圖可知石<-1<%2

則Tv%〈W時(shí)，g(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，%>犬2時(shí)，g(x)<0,八>)單調(diào)遞減

所以此時(shí)/(x)在％處有極大值，故B正確;

Q1

當(dāng)時(shí)，因?yàn)間(0)=l-420,由圖可知-1<%<-^<N40

-l<x<占或x>%時(shí)，g(無)>0,不<方<三時(shí)，g(x)<0,

所以/(X)在x=%處有極大值，在x=X2處有極小值，故c錯(cuò)誤;

當(dāng)a>l時(shí)，因?yàn)間(0)=l-a<0,由圖可知尤2>。

0Vx<尤2時(shí)g(x)<0,x>%時(shí)g(x)>0,

所以/⑺在。％)上單調(diào)遞減，在(％，+8)單調(diào)遞增

13

因?yàn)?（。）=。，所以由上可知，要使Vx>0,成立，必然有了（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以O(shè)WaWl,

4.ABC

【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)圖象滿足題干依次判定選項(xiàng)即可.

【詳解】對于A選項(xiàng)，構(gòu)造如圖所示圖象，則A選項(xiàng)正確;

對于B選項(xiàng)，構(gòu)造如圖所示圖象，則B選項(xiàng)正確;

則C選項(xiàng)正確;

對于D選項(xiàng)，因?yàn)?是“X）的極小值，則在1的附近存在毛，使得〃石）>〃1）,

14

又1也是g(x)的極大值，則在1的附近存在太2，使得g(l)>g(9),

所以在工的附近存在毛與巧，使得/'(%)>g(X2),不合題意，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

5.③④

【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合作出判斷.

【詳解】根據(jù)函數(shù)”X)的導(dǎo)函數(shù)-(X)的圖象與表格，整理出函數(shù)“X)的大致圖象，如圖所示.

對于①，在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；

對于②，F(xiàn)(無)有1個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；

對于③，根據(jù)函數(shù)的極值和端點(diǎn)值可知，“X)的值域?yàn)閇1,3],故③正確；

對于④，如果時(shí)，〃尤)的最小值是1,那么f的最大值為4,故④正確.

綜上所述，所有正確結(jié)論的序號(hào)是③④.

故答案為：③④

6.(—oo,2]

【分析】若函數(shù)了⑺無極值點(diǎn)，則導(dǎo)數(shù)/‘(X)無變號(hào)零點(diǎn)，令ga)=r(M,根據(jù)g'⑺的正負(fù)得出其單調(diào)性,

即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)無變號(hào)零點(diǎn)列不等式求解，即可得出答案.

【詳解】/(x)=eX-eT+；尤3一公，貝iJf'(x)=e*+eT+x2-a,

若函數(shù)/(尤)=e，-eT+卜J。尤無極值點(diǎn)，

則尸(x)=e*+「。無變號(hào)零點(diǎn)，

令g(尤)=尸(%)=6"+尸+*2-4,

貝Ug，(x)=2x,

當(dāng)x<0時(shí)，0<ex<l>e^>l,2x<0,則則g'(x)=]-。+2x<0,

15

當(dāng)x>0時(shí)，ex>1,0<e-%<1,2x>0,則6，一尸>0,貝=右,+2%>0,

則g（無）在（-8,0）上單調(diào)遞減，（0,+8）上單調(diào)遞增，

即/'（X）在（-8,0）上單調(diào)遞減，（0,+8）上單調(diào)遞增，在x=0處取得最小值，

若/''（力=3+。+彳2—。無變號(hào)零點(diǎn)，貝4'（0）=6。+/+。2一。20,解得：aV2,

故答案為：（F,2].

反思提升：

由圖象判斷函數(shù)y=/（x）的極值，要抓住兩點(diǎn)：（1）由y=/（%）的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y

=/（x）的可能極值點(diǎn)；（2）由導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的圖象可以看出y=/（x）的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y

=/（x）的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).

【考點(diǎn)2】求已知函數(shù)的極值

一、單選題

1.（2024?寧夏銀川?一模）若函數(shù)“尤）=（犬-分-2）e*在》=—2處取得極大值，則了⑺的極小值為（）

A.-6e2B,-4eC.-2e2D.-e

2.（2024?四川成都?二模）函數(shù)〃x）=e'+asinx,xe（F,y）,下列說法不正確的是（）

A.當(dāng)a=—l時(shí)，〃x）>0恒成立

B.當(dāng)a=l時(shí)，f（x）存在唯一極小值點(diǎn)為

C.對任意a>0,〃x）在xw（一無,y）上均存在零點(diǎn)

D.存在。<0,/（力在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

二、多選題

3.（23-24高二下?江蘇南京?階段練習(xí)）已知2（x）=d+xlnx+2,g（尤）=/（%）—ex,則（）

A.函數(shù)在1-1上的最大值為3B.依>0,f（x）>2

C.函數(shù)g（x）在（3,4）上沒有零點(diǎn)D.函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)有2個(gè)

-Y>0

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知/（%）=<x'''則方程尸。）-（4+3）/（x）+34=0可能有（）

—4x~1,xW0,

個(gè)解.

A.3B.4C.5D.6

三、填空題

5.（2023?全國模擬預(yù)測）已知定義在口上的奇函數(shù)〃尤）滿足當(dāng)》>0時(shí)，〃2力/（》+4）=16,（》-8）/。）“

16

(尸(X)為“X)的導(dǎo)函數(shù))，且〃x)<0,則“X)的極大值為.

6.(2023?西藏拉薩?一模)已知函數(shù)/(*)=(無一一修一1八一句，函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)關(guān)于y軸

對稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)；當(dāng)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f(x)的極大值為.

參考答案：

1.C

【分析】由題意求出。的值，進(jìn)而求出了(X),再解出極小值即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃尤)=(丁-6-2)e，在》=一2處取得極大值，

貝！1/'(彳)=[彳2+(2-a)x-2-a}e",(xeR)且/(-2)=0,

即4—2(2-。)—2—a=0,所以a=2；

所以/(x)=(x2_2x-2)?e*,/f(x)=(X?-4)e*=(x+2)(x-2)e”,

令r(x)=0,貝！]x=2或無=一2,

由xe(-oo,-2)，r(x)>0,xe(-2,2),/,(x)<0,xe(2,+oo),(x)>0,

所以在(e,-2),(2,+功上單調(diào)遞增,在(-2,2)上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)在x=-2處取得極大值，力及小=/(2)=-2e2.

故選：C.

2.C

【分析】對于A：代入a=-l,直接函數(shù)性質(zhì)判斷；對于B：代入a=l,求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性來判斷；對于

CD：求出/(x)在xe(-兀,+8)上的單調(diào)性和極值，再來判斷即可.

【詳解】對于A：當(dāng)°=一1時(shí)，/(x)=el-sinx,xe(-71,+?),

當(dāng)xe(-7t,0)時(shí)，e'>0,sinx<0,則e*-sin無>0,

當(dāng)xe[0,+oo),eA>l,sinxe[-l,l],則e'-sinx〉。，不能取等號(hào)，

所以〃x)>0恒成立，A正確；

對于B：當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=eA+sinx,xe(-71,+oo),則/>'(%)=e*+cosx

令//(%)=e*+cosx,貝i]〃(x)=e*-sinx,由選項(xiàng)A得/恒成立，

17

則/'(x)在(一兀,+8)上單調(diào)遞增,又—(_兀)=e-+cos(-7t)^o,/,(o)=e°+cos0)0,

故存在％e(-兀,0)使得了'伍)=0,

所以/'(X)在(-兀，與)上單調(diào)遞減，在(％,+°°)上單調(diào)遞增，故/1(x)存在唯一極小值點(diǎn)％,B正確;

對于CD：令/(x)=e*+asinx,當(dāng)x=E火？Z,顯然不是零點(diǎn),

當(dāng)xHfar,左eZ,上2-1時(shí)，令/(x)=0,得a=-----

sinx

%

EIx/xV2ecosx+—

則令尸(%)=---則--L/\—0(cosx-sinx)_14),

sinx上(町一：-2-I~2

sinxsmx

當(dāng)無￡［-兀+2配一：兀+2E)左eZ時(shí)，F(xiàn)r(x)<0,F(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)XE1-［兀+2左兀,2也］,左GN時(shí)，，F(xiàn)r(x)>0,b(%)單調(diào)遞增

(3\~~+2kjt--

止匕時(shí)有極小值尸］-彳兀+2EJ=0e471>V2e4>0,

當(dāng)xe(2E,；7i+2E:J,ZeN時(shí)，9(x)>0,尸⑴單調(diào)遞增，

當(dāng)xe］：兀+2防1,兀+2防1)左eN時(shí)，F(xiàn),(%)<0,尸(x)單調(diào)遞減，

止匕時(shí)有極大值F兀+2也］=_缶/2麻<_^/2eZ<o,

故選項(xiàng)C中任意a>0"(x)均有零點(diǎn)，錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D中，存在。<0J(x)在xe(-兀,+。)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)a=_0j,

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一：對于不等式恒成立問題可以構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來解決；二：對于零

點(diǎn)問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來解決.

3.AC

【分析】求函數(shù)〃x)的導(dǎo)數(shù)，得尸(x)=2x+lnx+l,尤>0.因?yàn)閒'(x)在(0,+e)上遞增，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的

存在性判斷零點(diǎn)在(片2,片)之間，設(shè)為七,再代入計(jì)算可以求出函數(shù)在1,1上的最值，判斷AB的真假；

求g(x)的導(dǎo)數(shù)，得g'(x)=2x+lnx+l-e,x>0,利用其單調(diào)性得g'(x)=0至多一解，可判斷D；再根據(jù)

函數(shù)零點(diǎn)的存在性，可判斷C的真假.

【詳解】對A,B,因?yàn)椤▁)=f+%inX+2,x>0.

所以ff(x)=2x+lnx+l,x>0.

18

設(shè)/z(x)=2x+lnx+l,x>0,貝?。荨?％)=2+1，因?yàn)閄>0,所以在(0,+。)上恒成立.

所以/'(%)=21+111%+1在(0,+。)上單調(diào)遞增,

且=曰一/'卜一)

/'(b2)=2b2-2+11<0,=2e^-l+l=->0,

所以比?尸,「)，使得〃不)=0.

所以〃x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

又七卜布一51n2+2=正-”2,〃1)=1+0+2=3,

/(%)二片+x0lnx0+2,因?yàn)?%+In/+1=0,

1n

所以/(%)=片+3%o+2=x0(x0+lnx0)+2=x0(-x0-l)+2=2-X0-XQ,

因?yàn)閤°c(e-2,eT),所以“x0)<2.故A正確，B錯(cuò)誤;

對D,Xg(x)=x2+xlnx+2-ex,x>0.

所以g'(%)=2%+lnx+l-e,x>0.

設(shè)制x)=2x+lnx+l-e,尤>0貝ijmr(x)=2+—,x>0,所以加(x)>0在(0,+。)恒成立.

所以g'(%)=2%+lnx+l—e在(0,+。)上單調(diào)遞增，

所以g'(犬)=0至多一個(gè)解，故D錯(cuò)誤；

對C,又因?yàn)間'(l)=3-e>0,

所以g'(x)=0只有一解，在區(qū)間3,1

所以g(x)在(3,4)上單調(diào)遞增,且g⑶>0,

所以g(x)在(3,4)上無零點(diǎn).故C正確.

故選：AC

4.ABCD

【分析】方程產(chǎn)⑴―(左+3)/(%)+3左=0得/(%)=3或((%)=無,作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷解的個(gè)數(shù).

【詳解】/(x)=-(x>0),有尸(x)=e'(：_l),

XX

當(dāng)0<x<l時(shí)/(x)<0,/⑺單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)尸(尤)>0,“盼單調(diào)遞增，

當(dāng)x=l時(shí)，”幻有極小值〃l)=e.

19

f(x)=-x2-4x-l(x<0),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,

/(尤)在(―0,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,0)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x=—2時(shí)，〃勸有極大值/(-2)=3.

k》>0

由/(無)=尤’’的圖象如圖所示，

—尤2-4-x—1,x40

由廣(x)—(%+3)，(x)+3%=。得/(x)=3或/(x)=k,

由圖象可知/(無)=3有3個(gè)解，/(元)=左可能有1,2,3,4個(gè)解，

若左=3,貝|/2(同一(左+3)/(力+3左=0有3個(gè)解；

若上R3,則方程產(chǎn)(初一伏+3)/(尤)+3%=0可能有4,5,6,7個(gè)解.

故選：ABCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

⑴直接求零點(diǎn)：令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

⑵零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間可上是連續(xù)不斷的曲線，且〃〃)"他)<0,還必須結(jié)合

函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同

的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

5.4

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的極大值即可.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)尤>0時(shí)，/(2x)/(x+4)=16,所以[〃8)1=16,

又〃力<0,故〃8)=T.

由(x-8)_f(x)N0可知,xe(0,8)時(shí),f'(x]<0,單調(diào)遞減，

20

xe(8,y)時(shí)，f(x"OJ(x)單調(diào)遞增,

故在(0,+動(dòng)上的極小值為〃8)=T,

又〃x)為奇函數(shù)，

所以的極大值為/(-8)=-/(8)=4.

故答案為：4

6.(^-l)2(x+1)子/評

【分析】因式分解得〃尤)=(x-。)(尤-b)(x+l),然后根據(jù)零點(diǎn)互為相反數(shù)可得解析式；當(dāng)函數(shù)〃x)有三

個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求出解析式后利用導(dǎo)數(shù)求極值即可.

【詳解】/(x)=(x-a)(x-/?)(x+l),

當(dāng)a=6時(shí)，函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)為一1,另一個(gè)必為1,

于是。=人=1,/(%)=(尤一1)2(%+1)；

當(dāng)了(X)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)/■")的圖象與X軸的交點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，

所以0是函數(shù)“X)的零點(diǎn)，

從而1也是函數(shù)“X)的零點(diǎn)，

于是〃力=龍(無—1)(尤+1),/'(尤)=31—1,

由_ra)=o,得戶±￥，

當(dāng)x<一］或時(shí)，制勾>0；當(dāng)一#<x<#時(shí)，f'(x)<0.

所以，當(dāng)尤=一1時(shí)，函數(shù)/(X)有極大值，極大值為4t

故答案為：(尤-1)2(尤+1)；瞑

反思提升：

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)火X)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)Hx)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(x);

(3)解方程/(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗(yàn)/㈤在/(x)=0的根次左右兩側(cè)值的符號(hào)；

21

（5）求出極值.

【考點(diǎn)3】由函數(shù)的極值求參數(shù)

一、單選題

1.（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知函數(shù)〃x）=e，--在R上無極值，貝的取值范圍是（）

A.（一00，1B.[00，]]C.[0,e）D.0,1

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)八對=3手出+x在（0㈤上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

B.-e11

C.（o,e“）D.。，爭4

I27

二、多選題

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=（x-a）3+6.若過原點(diǎn)可作函數(shù)的三條切線，則（）

A./（%）恰有2個(gè)異號(hào)極值點(diǎn)B.若。>0,貝伯40,a3）

C.〃力恰有2個(gè)異號(hào)零點(diǎn)D.若“<0,貝

4.（2024?江蘇徐州?一模）已知函數(shù)/■（元）=/（尤-呢'）,aeR,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)a=-l時(shí)，/⑺有唯一零點(diǎn)

B.當(dāng)a>g時(shí)，f（x）是減函數(shù)

C.若只有一個(gè)極值點(diǎn)，則aWO或

D.當(dāng)。=1時(shí)，對任意實(shí)數(shù)L總存在實(shí)數(shù)和三，使得「（「）=/（>一"毛）

玉*2

三、填空題

5.（2023?四川遂寧?模擬預(yù)測）己知函數(shù)/（x）=,，函數(shù)g（x）=sin（25+0）（0>O）的兩相鄰對稱中心之間

1-X

的距離為1,且X=g為函數(shù)y=g（x）的一個(gè)極大值點(diǎn).若方程/W=g（尤）在XewZ）上的所有

根之和等于2024,則滿足條件中整數(shù)”的值構(gòu)成的集合為

6.（2024?陜西銅川?三模）若函數(shù)/（可=。犬+個(gè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

參考答案：

1.D

【分析】求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，討