非線性偏微分方程偏微分方程數(shù)值方法

非線性偏微分方程偏微分方程數(shù)值方法非線性偏微分方程偏微分方程數(shù)值方法非線性偏微分方程偏微分方程數(shù)值方法非線性偏微分方程定義:各階微分項有次數(shù)高于一的，該微分方程即為非線性微分方程(一)主要研究內(nèi)容非線性偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，無論在理論中還是在實際應(yīng)用中，非線性偏微分方程均被用來描述力學、控制過程、生態(tài)與經(jīng)濟系統(tǒng)、化工循環(huán)系統(tǒng)及流行病學等領(lǐng)域的問題。利用非線性偏微分方程描述上述問題充分考慮到空間、時間、時滯的影響，因而更能準確的反映實際。本方向主要研究非線性偏微分方程、H-半變分不等式、最優(yōu)控制系統(tǒng)的微分方程理論及其在電力系統(tǒng)的應(yīng)用。1.非線性偏微分方程的研究:我們主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及穩(wěn)定性;偏微分方程的初值問題、初邊值問題的整體解(包括周期解和概周期解)的存在性及漸近性;平衡解的存在性，尤其是當問題依賴于某些參數(shù)時平衡解的分叉結(jié)構(gòu)，以及平衡解的穩(wěn)定性問題;非線性方程的數(shù)值解。2.H-半變分不等式的研究:建立具有極大單調(diào)算子擾動的多值(S)型和偽單調(diào)型映象的廣義度理論，廣義不動點指標理論和具有非凸、不可微泛函的非線性發(fā)展型H-半變分不等式理論，由此來研究含間斷項的非線性偏微分方程。3.最優(yōu)控制系統(tǒng)的微分方程理論及其在電力系統(tǒng)的應(yīng)用:主要研究與電力生產(chǎn)有關(guān)的控制系統(tǒng)的理論和應(yīng)用。首先提出了對Banach空間中抽象非線性發(fā)展方程所描述的最優(yōu)控制系統(tǒng)的研究。引進非光滑分析，研究最優(yōu)控制系統(tǒng)的微分方程，利用變分不等式理論研究多值問題、數(shù)值計算等，所獲理論成果應(yīng)用于電力系統(tǒng)的許多最優(yōu)控制問題(如:電力系統(tǒng)勵磁調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù)的辨識、牛頓最優(yōu)潮流的數(shù)學模型等)。(二)研究方向的特色1.變分不等式理論與能量泛函的凸性密切相關(guān)，由于現(xiàn)代科學技術(shù)的需要，特別是研究自由邊界和固體力學問題的需要，傳統(tǒng)的方法往往都無法解決這類問題，人們對H-半變分不等式進行研究，研究涉及現(xiàn)代分析及應(yīng)用、偏微分方程以及科學計算等眾多領(lǐng)域中亟待解決和發(fā)展的重要課題。2.該研究是現(xiàn)代數(shù)學與電力生產(chǎn)的交叉學科研究課題，它對電力生產(chǎn)及管理有著十分重要的理論指導意義和實際應(yīng)用價值，為控制系統(tǒng)設(shè)計、分析和計算都可提供一些重要的理論依據(jù)。在應(yīng)用數(shù)學學科的這一研究領(lǐng)域中本課題屬于國內(nèi)外前沿性研究工作。(三)可取得的突破1.深入研究空間、時間、時滯對解的性質(zhì)的影響，諸如靜態(tài)解、周期解的存在性、解的存在性、漸近性等問題;尋求它們在含間斷項的非線性偏微分方程方面的突破。2.尋求和發(fā)現(xiàn)新的處理非單調(diào)、非凸不可微能量泛函的方法(如建立Ishikawa迭代序列收斂準則)，建立發(fā)展型方程G-收斂準則，尋求可行的光滑方法將算子方程光滑化，創(chuàng)建新的先驗估計方法。3.應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學所獲得的理論，研究最有控制系統(tǒng)的微分方程，為控制系統(tǒng)設(shè)計、分析和計算提供一些重要的理論依據(jù)和方法。1747年，法國的達朗貝爾等由弦振動的研究而開創(chuàng)偏微分方程論。1760~1761年，法國的拉格朗日系統(tǒng)地研究了變分法及其在力學上的應(yīng)用。隨機微分方程數(shù)值解在隨機微分方程數(shù)值解這個領(lǐng)域，近幾年來國內(nèi)涉足它的人開始逐漸增多。它也是一門建立在隨機分析與微分方程數(shù)值解之間的新興學科。作為一個初學者，我想從它的框架簡單談一下自己的認識，以供討論。從研究的問題本身來說它主要分為:1隨機常微分方程數(shù)值方法2隨機偏微分方程數(shù)值方法3隨機延時微分方程數(shù)值方法4倒向隨機微分方程數(shù)值方法僅這四個方面就已經(jīng)涵蓋目前非常重要的一些技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。另外從數(shù)值方法上分，它可以分為:1強逼近問題2弱逼近問題還有更強的順向逼近。國內(nèi)最早涉足這個領(lǐng)域的是山大的彭實戈老師，已經(jīng)在倒向隨機微分方程理論及隨機最優(yōu)控制方面取得了驚人的突破。國外方面，在美國做隨機常微分方程的很少(只有Hchurz，lamba幾個)，做隨機偏微分方如Allen,Cao等等)。在歐洲做隨機常微分方程的很多(如Talay，程的較多(Higham，Milstein等)。另外澳洲也有專門研究隨機常微分方程的(如Burrage)。隨機微分方程(SDE)是a微分方程在哪些一個或更多期限是a隨機過程因而造成是本身一個隨機過程的解答。一般，SDEs合并空白噪聲哪些能被重視作為衍生物蘇格蘭的植物學家RobertBrown的行動(或熏肉香腸過程);然而，值得一提的是，任意波動的其他類型是可能的，例如跳躍過程(參見[1]).內(nèi)容1背景1.1術(shù)語1.2隨機微積分1.3數(shù)值解2用途在物理2.1筆記關(guān)于"Langevin等式"3用途在可能性和財政數(shù)學4解答的存在和獨特5參考6參見背景在SDEs的最早期的工作被完成描述蘇格蘭的植物學家RobertBrown的行動愛因斯坦's著名紙和同時由Smoluchowski。然而，其中一更加早期的工作與蘇格蘭的植物學家RobertBrown的行動有關(guān)相信Bachelier(1900)在他的論文'猜想理論'。這工作被跟隨了Langevin.最新Ito和Stratonovich在更加堅實的數(shù)學立足處投入了SDEs。術(shù)語在物理學，SDEs通常被寫當Langevin等式。這些有時纏擾不清稱"Langevin等式"即使有許多可能的形式。這些包括包含一個確定部分和一另外任意的一個常微分方程空白噪聲期限。第二個形式是?？藨?zhàn)斗機Planck等式.?？藨?zhàn)斗機Planck等式是描述時間演變的一個偏微分方程概率分布作用.第三個形式是在數(shù)學和財務(wù)最頻繁使用(如下所示)的隨機微分方程。這于Langevin形式是相似的，但它在有差別的形式通常被寫。這個形式頻繁地使用由數(shù)學家和在定量財務(wù)。SDEs進來二品種，對應(yīng)于隨機微積分的二個版本。隨機微積分蘇格蘭的植物學家RobertBrown的行動或熏肉香腸過程數(shù)學上被發(fā)現(xiàn)是格外復(fù)雜的。熏肉香腸過程non-differentiable;因此，它要求微積分它自己的規(guī)則。使用隨機微積分的二個版本，Ito隨機微積分并且Stratonovich隨機微積分.當你應(yīng)該使用一或其他時，它是有些模棱兩可的。方便地，你在解答可能再欣然轉(zhuǎn)換ItoSDE成等效StratonovichSDE和后面成援助;然而，使用的你一定小心當?shù)奈⒎e分SDE最初寫下時。數(shù)值解隨機微分方程的特別是數(shù)值解和隨機偏微分方程相對地講是一個年輕領(lǐng)域。幾乎為常微分方程的解答使用的所有算法為SDEs非常不足將運作，有非常惡劣的數(shù)字匯合。用途在物理在物理，SDEs在Langevin形式典型地被寫并且被稱為"Langevin等式"。例如，一般被結(jié)合的套優(yōu)先處理的SDEs在形式經(jīng)常被寫:那里是套未知數(shù)，fi并且gi是任意作用和ηm是，經(jīng)常被稱為的時間的任意作用"噪聲命名"。這個形式通常是能用的，因為有變換的標準技術(shù)高次等式成數(shù)通過介紹新的未知數(shù)結(jié)合了優(yōu)先處理的等式。如果gi是常數(shù)，系統(tǒng)被認為受疊加性噪聲支配，否則它被認為受乘噪聲支配。這個期限是有些引入歧途的，因為它來意味一般案件，即使看起來暗示有限的案件，:.疊加性噪聲是簡單的二個案件。正確解答可能使用平凡經(jīng)常被發(fā)現(xiàn)微積分.特別是，平凡連鎖法則微積分能使用。然而，在乘噪聲情況下，Langevin等式不是明確定義的個體獨自，并且必須指定它是否應(yīng)該解釋Langevin等式作為ItoSDE或StratonovichSDE。在物理，解答主要方法將發(fā)現(xiàn)概率分布作用作為時間功能使用等值?？藨?zhàn)斗機Planck等式(FPE)。福克戰(zhàn)斗機Planck等式是確定的偏微分方程.它告訴怎樣概率分布作用及時相似地演變于怎樣Schrdinger等式給量子波函數(shù)的時間演變或擴散等式給化工集中的時間演變。二者擇一地數(shù)值解可以獲得蒙特卡洛模仿。其他技術(shù)包括道路綜合化那在比喻畫在統(tǒng)計物理之間和量子力學(例如，?？藨?zhàn)斗機Planck等式可以被變換成Schrdinger等式通過重新調(diào)節(jié)幾可變物)或通過寫下常微分方程為統(tǒng)計片刻概率分布作用。筆記關(guān)于"Langevin等式"""在"Langevin等式"是有些不合文法命名原則。每個單獨物理模型有它自己的Langevin等式?；蛟S，"Langevin等式"或"伴生的Langevin等式"更將好遵守共同的英國用法。用途在可能性和財政數(shù)學記法用于概率論例如(和在概率論的許多應(yīng)用，財政數(shù)學)是輕微地不同的。這個記法做異乎尋常的自然時間的任意作用ηm在物理公式化更加明確。也是用于出版物的記法數(shù)字方法為解決隨機微分方程。用嚴密的數(shù)學用語，ηm不能僅被選擇作為一個通常作用，而是作為a廣義函數(shù).數(shù)學公式化比物理公式化對待這復(fù)雜化以較少二義性。一個典型的等式是形式那里B表示a熏肉香腸過程(標準蘇格蘭的植物學家RobertBrown的行動)。應(yīng)該解釋這個等式作為一個不拘形式的方式表達對應(yīng)積分方程上面等式描繪行為連續(xù)的時間隨機過程xt作為平凡的總和Lebesgue積分式并且Itō積分式.A啟發(fā)式(但是非常隨機微分方程的有用的)解釋那在小規(guī)模間隔時間長度δ隨機過程xt改變它的價值由是的數(shù)量通常分布與期望μ(xt,t)δ并且變化σ(xt,t)δ并且是過程的過去行為的獨立。這如此是，因為熏肉香腸過程的增加是獨立和通常分布。作用μ指漂泊系數(shù)，當時σ叫擴散率。隨機過程xt叫a擴散過程和通常是aMarkov過程.SDE的正式解釋被給根據(jù)什么構(gòu)成解答對SDE。有解答對SDE，一種強的解答和一種微弱的解答的二個主要定義。兩個要求過程的存在xt那解決SDE的積分方程版本。二句謊言之間的區(qū)別在部下的概率空間(ΩFPr)。一種微弱的解答包括a概率空間并且滿足積分方程的過程，而一種強的解答是滿足等式的過程和被定義在一個特定概率空間。一個重要例子是等式為幾何學蘇格蘭的植物學家RobertBrown的行動哪些是等式為a的價格的動力學股票在黑Scholes定價財政數(shù)學的模型選擇。也有更加一般的隨機微分方程，系數(shù)μ并且σ取決于不僅過程的現(xiàn)值xt，而且在過程的早先價值和可能在其他過程的當前或早先價值也是。在那個案件解答過程，x不是Markov過程，并且它稱Itō過程而不是擴散過程。當系數(shù)僅依靠禮物和通過價值x定義的等式稱隨機延遲微分方程。解答的存在和獨特和以確定普通和偏微分方程，知道是重要的特定SDE是否有一種解答，并且是否它是獨特的。下列是一個典型的存在和獨特定理為Itō采取價值的SDEsn-尺寸歐幾里德的空間Rn并且由駕駛m-尺寸蘇格蘭的植物學家RobertBrown的行動B;證明在ksendal(2003年，?5.2)也許被發(fā)現(xiàn)。讓T0，和讓是可測函數(shù)為哪些那里存在常數(shù)C并且D這樣為所有t?[0,T]和所有x并且y?Rn的地方讓Z是獨立的一個隨機變量σ-引起的代數(shù)Bs,s?0，和與有限二次矩:然后隨機微分方程或初值問題xt=Z;有Pr-幾乎肯定獨特t-連續(xù)的解答(t,ω)|?xt(ω)這樣x是適應(yīng)對濾清FtZ引起Z并且Bs,s?t和參考adomian，喬治(1983)。隨機系統(tǒng)數(shù)學在科學和工程學(169)。奧蘭多，F(xiàn)L:學術(shù)出版社公司。adomian，喬治(1986)。非線性隨機操作員等式.奧蘭多，F(xiàn)L:學術(shù)出版社公司。adomian，喬治(1989)。在物理的非線性隨機系統(tǒng)理論和應(yīng)用數(shù)學和它的應(yīng)用(46)。Dordrecht:Kluwer學術(shù)出版者小組。ksendal，BerntK。(2003).隨機微分方程:介紹以應(yīng)用.柏林:Springer。國際標準書號3-540-04758-1.Teugels，J。并且SundB。(eds。)(2004)。保險統(tǒng)計計算科學百科全書.Chichester:威里，523-527。C.W.Gardiner(2004)。隨機方法手冊:為物理、化學和自然科學.Springer，415。托馬斯?Mikosch(1998)。基本的隨機微積分:以財務(wù)視線內(nèi).新加坡:世界科學出版，212。國際標準書號981-02-3543-7.Bachelier，L.，(1900)。Théoriedelaspeculation(用法語)，PhD論文.NUMDAM:用英語在1971書'股市'Eds的任意字符。P.H.Cootner。高性能科學計算研究一、研究內(nèi)容一般地，構(gòu)成實際應(yīng)用物理過程的各個不同階段的物理模型，可分別由不同類型的時間相關(guān)或無關(guān)的偏微分方程在給定的物理區(qū)域上描述。如何針對不同偏微分方程的問題設(shè)計合適的網(wǎng)格和離散格式，如何設(shè)計可擴展的并行算法及其并行實現(xiàn)技術(shù)，在離散網(wǎng)格上給出方程的近似解，是我們研究的兩個主要方面。本項目的研究以科學計算的共性問題為核心，包括具有最優(yōu)復(fù)雜性的計算方法研究和能發(fā)揮計算機浮點計算峰值性能的實現(xiàn)技術(shù)研究，同時應(yīng)用本項目科學計算的共性問題的研究成果，解決一批我國具有重大需求的科學計算問題。1.創(chuàng)新計算方法的基礎(chǔ)理論研究計算數(shù)學是研究可在計算機上運行的數(shù)值算法的構(gòu)造及其數(shù)學理論的學科。過去五十多年科學計算發(fā)展的歷史表明:基礎(chǔ)計算方法的重要突破如有限元方法、多重網(wǎng)格方法、快速傅里葉變換等都極大地改變了科學計算的面貌。我們將研究有限元新型算法包括多重網(wǎng)格與區(qū)域分解算法、均勻化多尺度算法、自適應(yīng)高精度算法和各類方法的耦合，動力系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法，守恒律高分辨率差分格式，各類快速算法包括非規(guī)則網(wǎng)格的快速傅里葉變換等，同時研究新的應(yīng)用領(lǐng)域大規(guī)模高速集成電路中電磁信息計算中的計算方法。研究重點在并行自適應(yīng)算法與理論，保結(jié)構(gòu)計算方法的理論與應(yīng)用，大規(guī)模高速集成電路中電磁信息計算。1.1并行自適應(yīng)算法與理論這里自適應(yīng)方法主要是指網(wǎng)格自適應(yīng)方法，是一類滲透到了偏微分方程數(shù)值解、非線性逼近論、偏微分方程約束的最優(yōu)工程設(shè)計、網(wǎng)格產(chǎn)生等科目研究的方法?，F(xiàn)在網(wǎng)格自適應(yīng)方法主要分為三種主要的類型，分別叫做h-方法、p-方法和r-方法。其中h-方法是對網(wǎng)格進行自適應(yīng)的局部加密和稀疏化，p-方法是在網(wǎng)格的不同位置使用不同的基函數(shù)，r-方法是進行網(wǎng)格點的重新分布，又叫做移動網(wǎng)格方法。將h-方法和p-方法結(jié)合可以得到h-p方法，也可以將r-方法和p-方法結(jié)合得到r-p方法。網(wǎng)格自適應(yīng)方法最根本的目標在于使用最少的計算資源來解決問題，從而可以在現(xiàn)有的硬件資源條件下擴大計算的規(guī)模和提高計算的精度。針對當前國際研究發(fā)展的趨勢和本項目應(yīng)用問題的需求，我們主要的研究內(nèi)容集中在下面的二個方面:網(wǎng)格方法在偏微分方程數(shù)值解中的應(yīng)用研究摘要:該文的主要目的是研究無網(wǎng)格方法,并將其應(yīng)用于偏微分方程的數(shù)值解過程中.與傳統(tǒng)的網(wǎng)格方法不同,無網(wǎng)格方法的核心是用"點云"離散求解區(qū)域,并基于當?shù)攸c云離散結(jié)構(gòu),引入二次極小曲面逼近空間導數(shù).該文先以代表定常不可壓位勢繞流的Laplace方程為例,研究了Laplace方程的無網(wǎng)格離散形式,并運用GMRES高效算法對其快速求解,數(shù)值模擬了典型的圓柱繞流;并通過不同點云尺度的數(shù)值模擬,顯示出點云尺度對計算精度的影響.在此基礎(chǔ)上,將該方法推廣應(yīng)用到解算Euler方程組.針對守恒型Euler方程組的無網(wǎng)格離散形式,借鑒非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格方法附加耗散模型,采用五步Runge-Kutta顯式時間推進格式求解.并且基于點云離散結(jié)構(gòu),引入了當?shù)貢r間步長、殘值光順等加速收斂技術(shù),數(shù)值模擬了對稱和非對稱翼型繞流,獲得較好的計算結(jié)果.該文還對基于點云結(jié)構(gòu)的無網(wǎng)格計算軟件的面向?qū)ο笤O(shè)計模式進行了研究,著重于提高軟件的復(fù)用性和Matlab偏微分方程工具箱簡介1.概述本文只給出該工具箱的函數(shù)列表，讀者應(yīng)先具備偏微分方程的基本知識，然后根據(jù)本文列出的函數(shù)查閱Matlab的help，便可掌握該工具箱的使用。2.偏微分方程算法函數(shù)列表adaptmesh生成自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)及偏微分方程的解assemb生成邊界質(zhì)量和剛度矩陣assema生成積分區(qū)域上質(zhì)量和剛度矩陣assempde組成偏微分方程的剛度矩陣及右邊hyperbolic求解雙曲線型偏微分方程parabolic求解拋物線型偏微分方程pdeeig求解特征型偏微分方程pdenonlin求解非線性型微分方程poisolv利用矩陣格式快速求解泊松方程3.圖形界面函數(shù)pdecirc畫圓pdeellip畫橢圓pdemdlcv轉(zhuǎn)化為版本1.0式的*.m文件pdepoly畫多邊形pderect畫矩形pdetool偏微分方程工具箱的圖形用戶界面4.幾何處理函數(shù)csgchk檢查幾何矩陣的有效性csgdel刪除接近邊界的小區(qū)decsg將固定的幾何區(qū)域分解為最小區(qū)域initmesh產(chǎn)生最初的三角形網(wǎng)絡(luò)jigglemesh微調(diào)區(qū)域內(nèi)的三角形網(wǎng)絡(luò)poimesh在矩形區(qū)域上產(chǎn)生規(guī)則的網(wǎng)絡(luò)refinemesh細化三角形網(wǎng)絡(luò)wbound寫一個邊界描述文件wgeom寫一個幾何描述文件pdecont畫輪廓圖pdemesh畫偏微分方程的三角形網(wǎng)絡(luò)pdeplot畫偏微分方程的三角形網(wǎng)絡(luò)pdesurf畫表面圖命令5.通用函數(shù)pdetriq三角形單元的品性度量poiasma邊界點對快速求解泊松方程的"貢獻"矩陣poicalc規(guī)范化的矩陣格式的點索引poiindex規(guī)范化的矩陣格式的點索引sptarn求解一般的稀疏矩陣的特征值問題tri2grid由三角形格式轉(zhuǎn)化為矩形格式《偏微分方程中多尺度問題的數(shù)值解法》偏微分方程數(shù)值方法理論及其應(yīng)用、有限元方法、多重網(wǎng)格法與區(qū)域分解法"偏微分方程數(shù)值求解中的自適應(yīng)網(wǎng)格方法研究"人工邊界方法:無界區(qū)域上的偏微分方程數(shù)值解"有限元高精度理論及算法"、"具有奇異解的偏微分方程的數(shù)值解法"、"無界域上偏微分方程的數(shù)值解法"、"多尺度有限元方法及其快速算法"、"快速數(shù)值計算算法及軟件"偏微分方程數(shù)值解法2所謂的偏微分方程(PDE)是指含兩個以上自變量的微分方程。偏微分方程的求解一般說來太過復(fù)雜，所以現(xiàn)在還沒有一個對所有偏微分進行求解的理論，所謂的求解偏微分方程也只是對某些人們比較熟悉的類型進行求解。對于一個形如A(x,y)Uxx+B(x,y)Uxy+C(x,y)Uyy=f(x,y,U,Ux,Uy)inΩ的偏微分方程其中Ω是給定的平面有界區(qū)域。如果B^2-4AC0橢圓型B^2-4AC=0拋物線型B^2-4AC0雙曲線型如果ABC是常數(shù)，方程被稱為擬線性方程。以上三類方程，人們有較成熟的解法。這三類方程也有物理意義，比如橢圓型方程常見于電磁場的分布，拋物線型方程常見于擴散，雙曲線型常見于波動，后兩者還常會帶有對時間的求導項。這些方程，往往在一定的條件下才能有定解:Dirichlet條件，又稱第一類邊界條件，設(shè)定初值Neumann條件，又稱第二類邊界條件，設(shè)定邊值條件很多情況下，兩者都有，稱為混合邊界條件。我的課題中涉及到一個物質(zhì)隨著流動相在色譜柱里運動的方程，能夠描述物質(zhì)濃度波在柱內(nèi)的運動和變形，因此會包括一階時間項和二階空間項，有個專有名詞--對流擴散方程，是種拋物線型和雙曲線型的混合型方程。偏微分方程數(shù)值解法差分方法有限元方法擬譜方法自適應(yīng)格點方法小波分析方法解偏微分方程解決的方向:微分算子的計算或表達時間的差分離散邊界的處理收斂性分析誤差的估計穩(wěn)定性分析微分算子的自適應(yīng)計算時間和空間的自適應(yīng)計算差分法從定解問題的微分或積分形式出發(fā),用數(shù)值微商或數(shù)值積分公式導出相應(yīng)的線性代數(shù)方程組.構(gòu)造逼近微分方程定解問題的差分格式:直接差分化法,積分插值法以及有限體積法或廣義差分法.差分解的存在唯一性,收斂性以及穩(wěn)定性的研究.這些理論問題為對差分解作出先驗估計.基于極值定理以及能量不等式作估計.有限元法從定解問題的變分形式出發(fā),用Ritz-Galerkin方法導出相應(yīng)的線性代數(shù)方程組.中文譯名?偏微分方程的多尺度小波方法本書系《小波分析及其應(yīng)用》第6卷，是一本論文集。小波分析是目前國際上公認的最新時-頻分析工具，由于其具有自適應(yīng)性和數(shù)學顯微鏡性質(zhì)，而成為眾多學科共同關(guān)注的焦點。從數(shù)學角度講，小波分析對函數(shù)逼近、調(diào)和分析、統(tǒng)計學、微分和積分方程的數(shù)值解等均產(chǎn)生直接的影響。本書作為小波分析與一般偏微分方程(PDE-partialDifferentialEquation)技術(shù)的橋梁，將多尺度分解的概念引入到了PDE的數(shù)值求解，可有效的分析較復(fù)雜問題。書中內(nèi)容分為6部分:(1)回顧了基于多層預(yù)調(diào)節(jié)及多網(wǎng)格技術(shù)的有限元法，多尺度空間分解框架，域內(nèi)橢圓形問題的多尺度解法。(2)快速小波算法(壓縮與自適應(yīng)方面):D維二階橢圓形PDE的自適應(yīng)解的小波配置方法，求解非線性PDE的自適應(yīng)小波分析，基于小波包最佳基的動態(tài)自適應(yīng)概念在對流擴散PDE中的應(yīng)用，求解橢圓算子方程中的非線性近似與自適應(yīng)技術(shù)。(3)積分方程的小波求解，包括強橢圓邊界積分方程的多尺度Galerkin法。(4)小波多尺度求解PDE的軟件工具與數(shù)值實例。(5)多尺度分析在湍流中的應(yīng)用。(6)偏微分算子的小波分析。本書收集的14篇論文代表了當前小波在偏微分方程應(yīng)用中的最新進展，可供小波理論及應(yīng)用、PDE等應(yīng)用數(shù)學領(lǐng)域的科研人員學習參考。(力學系馬堅偉)小波分析方法小波分析方法解偏微分方程思路:Galerkin方法為基礎(chǔ);半群方法為基礎(chǔ).基于偏微分方程或積分方程的信號處理,流體動力學的問題就能用此方程描述.這些問題解的特征為光滑的(smooth),非振蕩的(non-oscillatory),shock.方法為:算子和解投影到小波基上.基函數(shù)的消失矩特性使得解和算子能夠稀疏表達,因此就能給出快速,自適應(yīng)算法.這些算法基于在光滑區(qū)域用較少的小波系數(shù),在奇異區(qū)域得用較多的小波系數(shù).解這類方程重要的一步為時間的離散.因為進化方程的擴散項,標準的顯格式容許小的時間步長.另外,隱格式容許大的時間步長,但在每一步得解線性方程組,這就給應(yīng)用帶來了困難.B.Alpert,G.Beylkin,Tchamitchian(1990-2005)用的方法:Wavelet-Galerkinmethod,Taylor-Galerkinmethod,配點方法,非標準小波表示.JohnWeiss用小波Galerkin方法(Daubechies,1992,1993).用的是時間差分,空間離散.計算比較復(fù)雜,但精度好.小波Galerkin方法Galerkin配點方法:通過投影將連續(xù)算子離散化為矩陣形式,此方法的困難在于二重積分的數(shù)值計算;為解決這困難,研究者提出了函數(shù)基用小波基,此方法被稱為小波Galerkin方法.在作數(shù)值逼近計算時,因為用了小波基,因此很多算子可用稀疏矩陣表示,那么小波Galerkin方法就為作快速數(shù)值計算提供了算法.總的來說,小波Galerkin方法在作逼近分析時比Adomian分解方法更可靠,在作數(shù)值逼近計算時比Galerkin方法速度更快.算法復(fù)雜性為另外,得分析穩(wěn)定性;不同小波基礎(chǔ)的誤差估計;時間空間的自適應(yīng).Legendre多小波的非標準表示的優(yōu)點:算子矩陣稀疏;子區(qū)間元素相同;維數(shù)低;可線性化非線性項.Legendre多小波不連續(xù),微分算子的處理方法:通過尺度方程導出系數(shù)方程組,解此方程組可得到算子矩陣;用傳統(tǒng)的弱導數(shù)通過積分計算算子矩陣.此小波處理邊界有優(yōu)勢.邊界的處理?構(gòu)造多分辨分析,使得小波基滿足邊界條件.用插值小波,配點方法.變系數(shù)的處理?時間空間的自適應(yīng)?應(yīng)用小波分析求解微分方程研究作者:來源:信息與計算科學系責任編輯:xinxi課題主持人:孫濤項目組成員:孫濤、李震、武斌、趙燕項目研究時間:2010.5-2012.5項目研究內(nèi)容:主要研究應(yīng)用小波分析進行微分方程的求解特別是偏微分方程的數(shù)值求解。預(yù)期目標是研究應(yīng)用小波理論進行微分方程求解的已有成果，分析比較各種方法在理論與應(yīng)用上的優(yōu)缺點，同時對其在適用范圍、計算精度、計算復(fù)雜性、收斂性以及穩(wěn)定性等方面進行對比，從而有針對性的對各種方法進行改進或完善;對將小波方法應(yīng)用于偏微分方程數(shù)值求解的數(shù)學思想進行研究，形成基本的小波方法;對小波方法求解偏微分方程的小波基的特點進行分析，明確用于偏微分方程數(shù)值解法的小波基的數(shù)學特性，設(shè)計用小波方法求解偏微分方程的一般數(shù)學方法。研究成果形式:論文和研究報告。偏微分方程是需要常微分方程和隨機微分(隨機過程)兩門課做基礎(chǔ)的需同時具備邊界條件和初始條件。只給邊界條件，一般無法解。如題目無初始條件，可自定(設(shè))一些初始條件。只有范圍的結(jié)果,但不能求出精確的解.給了邊界就能.穩(wěn)定性分析是針對某一特定的差分算法來說的。而并不是對偏微分方程來說的。一般是用Fouier分析的辦法來做。你可以看一下余德浩,湯華中編的科學出版社出版的"微分方程數(shù)值解法"里面216頁有一些相關(guān)的東西。比較常用的差分算法有Lax_Wendroff格式以及MacCormack格式。另外，你如果想要解析解的話，估計可能要用特征線法?；蛘叻蛛x變量法看一下。微分方程數(shù)值解?NumericalSolutionsofDifferentialEquations課程編號:S080800XJ001課程屬性:學科基礎(chǔ)課