2025屆四川省某中學高三模擬預測數(shù)學試題（一） 含解析

四川省綿陽中學2025屆高考適應性月考卷(一)

數(shù)學

注意事項：

1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填

寫清楚.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號.在試題卷上作答無效.

3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的)

1.已知集合人小岷1/,B={y\y=^}^則(”)cB=()

A.(0,9)B,[9,+oo)C.{0}[9,+<?)D,[0,9)

【答案】C

【解析】

【分析】化簡集合A,8,再結(jié)合集合交集、補集運算即可求解.

【詳解】A={x|log3%<2}={x|0<x<9},

5={y|y=?}={y|y20}，

可得：A=(-co,0]o[9,+CO)

.-.(^A)nB={0}u[9,+^),

故選：c.

2.若正實數(shù)a,b滿足a+b=2a〃—4,則ab的最小值為()

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式得到2a匕-4?2J茄，把J拓看做一個整體，解不等式即可.

【詳解】?:a+b22面,

2ab-4=a+沙？2\[ab，

Aab-y/ab-2>0,即（而+1）（疝一2）20,

**?y[ab>24ab<-1（舍），

ab>4,當且僅當。=匕=2時取等號,

二（a'）min=4.

故選：C.

1

33

3.已知a—,b=lg4,c=log32,貝i]（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】

b

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，則a>l,b<l,c<l,再利用作商得一<1,可得

c

a>c>b.

【詳解】a>1,0=lgl<lg4<lgl0=l,0=log31<log32<log33=1,0<b<l,

0<c<l,

又.：=潑=覆=21g3=lg9<lgl0=l,，…，”….

lg3

故選：B.

n2

4.已知a為銳角，且cos[a+]J=—§,則cos2a=（）

4

7R4石?4A/5-4A/51-1

t）.-----C.------或------D.一或——

99999

【答案】B

【解析】

7T24、穴

【分析】由COSCLH----根據(jù)兩角和的余弦公式和同角三角函數(shù)的平方關系得cos2a=±及，再

439

根據(jù)角的范圍確定cos2a具體的值.

【詳解】由cos[tz+：|，則當(cosa—sina)=—|，

?■-■(1—sin2tz)=7?，,?sin2a=-,r.cos2cL—土A/1—sin~2tz=土———，

2999

八兀兀713TI

又0<6Z<—j一<。-1---<----

2444

71兀3兀

Xvcos<z+-Ue-—,0J.——<OCH---<----

I4)3I2244

.兀兀.兀cC4,5

..—<a<一,..—<2。<兀，/.cos2。=------,

4229

故選：B.

X+cosX

5.已知/(x)=^-----------的部分圖象如圖，則g(x)可能的解析式為()

g(x)

A.g(x)=2*+2rB.g(x)=2V-2-x

C.g(x)=x2D.g(x)=ln|%|

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)的定義域判斷.

【詳解】由圖可知/(X)的定義域為｛X|XN±1且X/0｝,

選項A,g(x)=2*+2T,則/(%)的定義域是R,錯；

選項B,g(x)=2:2r=0ox=0,因此/(x)的定義域是｛X|XH0｝,B錯；

選項C,g(x)=V=o0x=O,因此/(x)的定義域是｛X|XH。｝,C錯；

選項D,若g(x)=hiW，則/(x)的定義域為｛x|x/±l且xwO｝,只有D滿足題意.

故選：D.

6./（x）=gx3—以2—8取+1在（―3,0）上有極大值，無極小值，則。的取值范圍是（）

【答案】A

【解析】

r（-3）＞o

【分析】根據(jù)題意結(jié)合導函數(shù)和一元二次函數(shù)性質(zhì)得＜解該不等式組即可得解.

r（o）＜o

【詳解】由題意可得廣（%）=爐-2ox-8。在（-3,0）上有下穿變號零點，無上穿變號零點,

/,(-3)=9+6a-8a>0

二。<”2

,

'/(0)=-8a<02

故選：A.

7.已知數(shù)列｛q｝是公比為4的等比數(shù)列，前〃項和為s“，且56=2邑/0,則下列說法正確的是（）

A.〃2=-1丁B.｛%｝為遞增數(shù)列

C.｛4｝為遞減數(shù)列D.=

【答案】A

【解析】

【分析】由題意公比4H±1,利用品=252求出公比為4,可判斷ABC選項；利用等比數(shù)列前〃項和公式

求善判斷D.

S=

詳解】62S20,:.q^+\,則“1(1-4)=2q(l—q),

1-q1-q

由1—*=(]—/)(]+q2+q4),q豐+1且qw0,

得r+“2+1=2,即/+/_]=0,解得.2=-1丁,故A對;

q=土,，｛為｝不為單調(diào)數(shù)列，故B,c錯;

=l+q2=l'故D錯,

又

1—q

故選：A.

8.已知函數(shù)丁=/(%+1)與丁=且。)的定義域均為R,且它們的圖象關于%=1對稱，若奇函數(shù)由光)滿

足g(x)=g(2-x),下列關于函數(shù)/(%)的性質(zhì)說法不正確的有()

A./(?關于1=2對稱B./(%)關于點(4,0)對稱

C./(%)的周期T=4D./(2027)=0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合對稱性、奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)/(幻圖象的對稱中心及對稱軸，再逐項判斷

即得.

【詳解】對于A,令(x,y)是函數(shù)y=g(x)的圖象上任意一點，則(2-x,y)在y=/(x+l)的圖象上，

即“s、，!^g(x)=/(3-x),由g(x)為奇函數(shù)，得g(—x)+g(x)=。，

[y=f(3-x)

則有f(3-x)+f(3+x)=Q,函數(shù)/(x)的圖象關于點(3,0)對稱，

又g(x)=g(2—x),則/(3—x)=/(l+x),函數(shù)/(%)的圖象關于x=2對稱，A正確；

對于C,f(3+x)=-f(l+x),BP/(x+2)=-/(%),

則〃尤+4)=-f(x+2)=/(x),/(%)的周期T=4,C正確；

對于D,/(3)=0,則/(2027)=/(506x4+3)=0,D正確；

對于B,由/(4一x)=/(%),得/(8-x)=/(x),函數(shù)/(%)的圖象關于x=4對稱,

若了(%)圖象關于點(4,0)對稱，則48—%)+/(%)=0,即/(x)=0,

而沒有條件確保/(x)=。恒成立，B錯誤.

故選：B

【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)y=/(x)的定義域為。，VXGD,

①存在常數(shù)a,b使得/(x)+/(2a-x)=2Z?o/(a+無)+/(a-x)=2Z?,則函數(shù)y=/(x)圖象關于點

(a,〃)對稱.

②存在常數(shù)a使得/(%)=f(2a-x)of(a+x)=f(a-x),則函數(shù)y=f(x)圖象關于直線x=a對稱.

二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有

多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.某類汽車在今年1至5月的銷量y(單位：千輛)如下表所示(其中2月份銷量未知)：

月份X12345

月銷量y2.4m455.5

若變量y與尤之間存在線性相關關系，用最小二乘法估計建立的經(jīng)驗回歸方程為$=0.85%+1.45,則下

列說法正確的是()

A.771=3.1

B.殘差絕對值最大為0.2

C.樣本相關系數(shù)r<0

D.當解釋變量了每增加1,響應變量V增加0.85

【答案】AB

【解析】

【分析】對于A,根據(jù)回歸直線必過樣本中心點(工亍)可解得加；對于B,根據(jù)殘差的定義計算，即可判

斷；對于C,根據(jù)表格和相關系數(shù)廠的意義，即可判斷；對于D,根據(jù)相關關系的定義，即可判斷.

【詳解】由題意知：y=0.85x+1.45,又于=匕2±|±3±*=3,

代入方程得y=0.85x3+1.45=4,所以上士上手=2=4,解得m=3］，故A正確；

1月份的殘差為2.4—(0.85x1+1.45)=0.1,2月份的殘差為3.1—(0.85x2+1.45)=-0.05,3月份的殘

差為4—(0.85x3+1.45)=0,4月份的殘差為5—(0.85x4+1.45)=0.15,5月份的殘差為

5.5-(0.85x5+1.45)=-0.2,所以殘差絕對值最大為0.2,故B正確；

由表格可知變量y與％呈正線性相關，則廠>0,故c不正確；

當解釋變量X每增加1,響應變量，不一定增加0.85,故D不正確，

故選：AB.

10.函數(shù)/(X)滿足X/x,y&R,有/(孫Qj/OO+4Cv)，下列說法正確的有()

A."0)=0

B./(l)=0

c./(%)為奇函數(shù)

D.記g(x)=/42,則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減

X

【答案】ABC

【解析】

【分析】通過賦值可判斷ABC,通過特例可判斷D.

【詳解】令x=y=。=>/(。)=。，A正確；

令X=y=l=/(l)=2/(l)n/(l)=0,B正確；

令x=y=—1=>/(1)=-2/(-1)=>/(-1)=0,

令y=Tnf(-x)=-/(%)+#(-1)nf(-x)=-f(x)nf(x)為奇函數(shù)C正確；

當x>0,y>0,由/(孫)=9(九)+對1(丁)可得：［3)+

xyxy

即g(肛)=g(x)+g(y)，g(%)可用對數(shù)函數(shù)換底，

令/(x)=xlnx,x>0,貝!|g(x)=以初=lnx,滿足g(孫)=g(x)+g(y)

X

而當x>0時，/=lnx+l,

當xe(0,￡|,/'(x)<0,/(x)在上單調(diào)遞減，

當xe1：,+ooj,f'(x)>0,/(x)在［f+s］上單調(diào)遞增，D錯誤

故選：ABC.

11.對于數(shù)列｛4｝,定義：△4=%,+「％,"eN*，則下列說法正確的是()

A.若a”=〃，貝i|A?4=o

B若%=/,則Aa.+i>、a.

C.若a.=I/,數(shù)列也｝的前〃項和為ba“,則bn=6n

D,若△%=(“+2)?2",q=2,貝12Aa“=a"+△%,

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)所給的=為+1-4,zV%"定義，分別對每個選項進行計算和分析可判斷ABC,

對D選項，先遞推出△%=4+]-4=(〃+2)?2",再利用錯位相減法進行求和，即可得出4=".2",代

入化簡即可判斷.

【詳解】對于A,因為Aa“=a"+i="+1—〃=1,

所以zV?！?△/+]-△4=1-1=0,故A正確；

對于B,因為Aan=(“+1)2-〃2=2〃+1,

=("+2)2—(7?+1)~=2"+3,所以Aaa+iAAa,,,故B正確；

對于C,因為=(”+1)3-/=3〃2+3〃+1,

f7,n=l

所以々=Aq=7,又/讓2時，b”=A%—=6n,bn=\,故C錯誤；

6n,n>2

對于D,因為△4=(〃+2>2",

1

所以。2—%=3?21，％—%=4?2~，…，Qn——(n+1),2",

n>2,所以4—%=3々+4"++5+l>2"T,

所以2(%—。])=3-22++n-2n-1+(n+l)-2n,

22.(1-2"-21

則一(4—aJ=3-2i+22++2“T_(〃+1).2"=6+—---------(〃+1〉2"

1—2

=6+2〃_4_(〃+1)2,

所以一+。1=一+2,則。〃=n-2n,幾22.又〃=1時也成立，

所以為=小2〃，〃wN*，

又因A\=Aan+l-△4=(〃+3)?2用-(〃+2).2:=(l+4).2”,

所以?！?片%=".2.+(“+4>2〃=(2"+4>2〃=2-5+2>2"=2Aa〃，故D正確.

故選：ABD

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知函數(shù)/(x)=3sin(2x+°)憫＜￡的圖象關于點G，0)對稱，貝|在二,g上的最小值為

V2/6122

3

【答案】—##—1.5

2

【解析】

jrjr

【分析】根據(jù)題意可得2x—+0=依，keZ,進而得到0=—-,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

63

【詳解】由題意，函數(shù)/(%)=3$皿2%+9)(司＜、］的圖象關于點(弓,0)對稱，

兀71

所以2x—+0=左兀，keZ,即夕=——+kn,keZ,

63

又憫＜］,所以夕=一1，即/(x)=3sin12x-3，

7t7T_7T兀2兀

當XC—時，2x--e-y,—,

L122j3L63J

71717r3

所以當2x—』=—z，即x="時，fM=--.

3o122mn

3

故答案為：—.

2

13.已知數(shù)列｛a〃｝滿足a“+i=3an+4,且q=0,貝！|.

【答案】2x3"T—2

【解析】

【分析】利用構(gòu)造法，構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式.

【詳解】設％+1+r=3(%+r)，解得：r=2,

所以%+i+2=3(4+2),

又。］=0,則q+2=2,

故｛4+2｝是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以4+2=2X3"T,即a“=2x3i—2,

故答案為：2x3"T—2.

14./（%）=四之，則/（無）在處的切線方程為_____.

sinx14144

【答案】4x+V2y-7t=0

【解析】

【分析】利用導數(shù)的運算法則計算;"（X）,得到切線斜率，寫出切線的點斜式方程，化成一般式方程.

【詳解】???/(x)=￡2^

smx

71

cos—-2sinlxsinx-cosxcos2x

2=0,掰x)

.兀(sinx)2

sin—

4

”⑴在引創(chuàng)處的切線方程為：y—0=——

整理得4%+也丁-7T=0.

故答案為：4x+s/2y-TI-Q.

四、解答題（共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.為了了解某校學生每天課后自主學習數(shù)學的時間（x分鐘/每天）和他們的數(shù)學成績（V分）的關系,

學校數(shù)學組老師進行了一些調(diào)研，得到以下數(shù)據(jù).

學習時間X2030405060

數(shù)學成績y59728297110

（1）已知y與％之間的關系可用線性回歸模型進行擬合，并求出y關于％的回歸直線方程，并由此預測

每天課后自主學習數(shù)學時間為85分鐘時的數(shù)學成績（結(jié)果精確到整數(shù)）；（參考數(shù)據(jù)：乞毛%=18070,

i=l

JX,2=9000)

i=l

（2）由于新高考改革，對于同學們自主學習提出了更高的要求，所以某校提倡學生周日下午學生返校自

習，實施一段時間后，抽樣調(diào)查了200位學生.按照是否參與周日自習以及成績是否有進步，統(tǒng)計得到

2x2列聯(lián)表.依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值￡=0.001的獨立性檢驗，分析“周日自習與成績進步”是否有關（結(jié)

果精確到o.oi).

沒有進步有進步合計

參與周日自習30130160

未參與周日自習202040

合計50150200

元)(%-9)

附：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為g=上―------------

f(為―可2

Z=1

n(ad-be)，

a=y-bx,72=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)夕=L27x+33.2,141分；

(2)有關.

【解析】

【分析】(1)由題意可得元=40,y=84,再根據(jù)￡、4的公式計算即可得回歸直線方程，最后將x=85

代入求解即可；

(2)求出/的值，再判斷/>10.828是否成立，即可得答案.

【小問1詳解】

由表計算可得亍=40,y=84,

.斗七其—“孫18070-5x40x84

所以6=0---------------=---------------------------=1.27,

62-29000-5x40x40

~nx'

i=l

所以3=9—^=84—1.27x40=33.2,

故9=1.27x+33.2,

當x=85時，y~141,

由此預測每天課后自主學習數(shù)學時間為85分鐘時的數(shù)學成績?yōu)?41分.

【小問2詳解】

200x(130x20-30x20)2

?16.67>10,828

50x150x160x40

所以小概率值2=0.001的獨立性檢驗，周日自習與成績進步有關.

16.已知/(：0=111國+。國.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若/(%)的零點個數(shù)大于2,求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)—<a<0

e

【解析】

【分析】(1)由解析式得到函數(shù)為偶函數(shù)，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以只需討論函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)情況,

分類討論參數(shù)。，由導函數(shù)的正負得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間.

(2)由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以只需討論函數(shù)在(0,+8)上的零點個數(shù)，當。時，函數(shù)只有兩個零點，

所以討論。<0,由函數(shù)大致圖像即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

定義域為｛斗U0｝，又%)=/(%)，???/(x)為偶函數(shù)，

當％>0時：/(x)=lnx+ax,：.f(x)=—+a=-----,

xx

(i)當時，令/''(x)>0,：x>0,/(九)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又,：于3為偶函數(shù)，/(幻在(-8,0)上單調(diào)遞減，

...a?0時：/(%)在(0,+S)上單調(diào)遞增，在(-叫。)上單調(diào)遞減.

(ii)當a<0時，令/'(%)=0,則工=-工，xe

0,--

aa

令/'(x)>0,則

/（X）在（°，一：］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又：由/（X）為偶函數(shù)，

/（X）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當a<0時，/（%）在（0,一，和（一”一］上單調(diào)遞增，在（―工,+”］和上單調(diào)遞減.

aj\a）［a）\aJ

【小問2詳解】

由（1）知/（%）偶函數(shù),

...當x>0時，/（%）的零點個數(shù)大于1個,

由（1）知：時：/（幻在（0,+8）上單調(diào)遞增，在（―叱。）上單調(diào)遞減,

故只有兩個零點,

...必有a<0,此時：/（幻在［（）,一：）上單調(diào)遞增，［-：,+s）上單調(diào)遞減

又―0時，f（x）<0,Xf+co時，/（x）<0,

f（——>0,—<a<0.

17.在銳角VABC中，角A,B,C所對的邊分別為mb,c,b2=c2-ab-

（1）求證：C=2B；

（2）b=2,求。的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；

（2）2<a<4.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦推理求解即得.

（2）利用正弦定理、和角的正弦公式及二倍角公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求出范圍.

【小問1詳解】

在銳角VABC中，由余弦定理方2=/+02-2accos5及8之=-仍，得2ccosB=a+Z?,

由正弦定理得2sinCeosB=sinA+sinB=sin(B+C)+sinB=sinBcosC+cosBsinC+sinB,

jr7171Ji

則sin(C-5)=sinB,由0<C<—,0<5<—,得——<C—B<—,

2222

所以。—5=5,即C=25

【小問2詳解】

a2

在銳角VABC中，由正弦定理得——=——貝!J---------------

sinAsinBsin(7i-B-2B)sinB

2sin(B+23)=2(sin8c0s28+c°sBsin2B)22

于是。==2cos2B+4cosB=8cosB—2,

sinBsinB

71

0<2B<-

2哈Y，則cosBe（冬冬13

由<cos-9Be,

TT

0〈兀一35〈一

2

所以。的取值范圍是2<a<4.

18.有Isn4）個正數(shù)，排成〃行〃列的數(shù)表：其中%.表示位于第，行，第/列的數(shù)，數(shù)表中每一行的數(shù)

成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有列公比相等，已知％4=1，/3=3,%5=5.

an%2%3《4???即「

。21。22〃23“24,,a2n

〃31〃32。33“34,…a3n

〃41〃42〃43“44,??

aa

冊2n3Q為4?,nn7

（1）求ain；

（2）若W為偶數(shù)，求。22+。44+“66+-+4仆

【答案】（1）。譏=小2'7

13n—2

(2)-+---------2"

918

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得為“=〃，進而由等比數(shù)列可得4=2,從而由a加是首項為

Y!

“公比為"2的等比數(shù)列可得結(jié)果.

（2）由（1）知4“=〃-2"-3,進而由錯位相減法即可求解.

【小問1詳解】

因每一行成等差數(shù)列，又為3=3，%5=5

所以％4==4,則第3行公差為1,

由每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有列公比相等，可設每列公比為“〉0,

又％4=1，。34=4,則%4=44d=4,即/=4,解得<7=2,

2〃

又由”3及=。1〃9=〃，可得〃

于是a是首項為公比為q=2的等比數(shù)列,即a=--2W=n.2匕.

in44in

故a『n.2：

【小問2詳解】

-3

由(1)知：am=n-2",設Sa=a22+a44+a66++ann,

=2X2^+4X21+6X23++n-2n-3,

S=1X2°+2X22+3X24++巳2"-2①，

n2

4S?=1x2?+2x2’+3x2‘++2+_|.2"②，

由①一②得：

n

242,!

-3S?=1X2°+1X2+1X2++IX2^--.2=_1_-_4_2____n

2-1-42

p1311-213n-2

??S.=§+*?2,..a22+a44+a66++ann=-+-2.

19.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ln(x-1)-k(x-2).

(1)當左=1時，求證：/(x)>0；

j.1j_j_

l++++

(2)求證：e34"<n(neN*)；

(3)記集合A=xlnx—區(qū)―女工2-14號+1?。］,若集合A的子集至少有4個，求左的取值范圍.

UJ

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析(3)0<^<4

e

【解析】

【分析】(1)將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為ln(x-1)-士220,利用換元法、構(gòu)造函數(shù)法以及導數(shù)等知識證得

X—1

不等式成立.

(2)將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明工+」++-<lnn,利用(1)的結(jié)論不等式成立.

23n

(3)將集合A中對應的不等式進行轉(zhuǎn)化，利用換元法，結(jié)合(1)的結(jié)論，得到Inx-女性2=0的解不

止一個，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)以及對左進行分類討論來求得左的取值范圍.

【小問1詳解】

了(%)的定義域是(1,+8),

X—2

當左=］時，/(x)=(X-1)ln(x-1)-(x-2)(x>1)=(x-1)In(x-l)--------,

_x-1

二.要證/(x)?0,只需證：g(x)=l