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文檔簡(jiǎn)介
第75講切點(diǎn)與切點(diǎn)弦
知識(shí)梳理
1、點(diǎn),%)在圓/+y2=/上,過點(diǎn)M作圓的切線方程為+%>=/.
2、點(diǎn),%)在圓/+:/=/外,過點(diǎn)加作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則
切點(diǎn)弦AB的直線方程為%彳+%>=嚴(yán).
3、點(diǎn)M(x0,%)在圓蘆+/二產(chǎn)內(nèi),過點(diǎn)心作圓的弦至(不過圓心),分別過A,B
作圓的切線,則兩條切線的交點(diǎn)尸的軌跡方程為直線尤°x+%y=產(chǎn).
4、點(diǎn)M(x0,%)在圓(尤-a)?+(,-6)2=/上,過點(diǎn)"作圓的切線方程為
2
(x0-a)(x-a)+(j0-Z?)(y-Z?)=r.
5、點(diǎn)M(x0,%)在圓(x-a)2+(y-32=戶外,過點(diǎn)"作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為
A,B,則切點(diǎn)弦AB的直線方程為(x0-")(尤-a)+(%-b)(y-b)=廠.
6、點(diǎn)M(x0,%)在圓(x-a)2+(y-b)2=/內(nèi),過點(diǎn)M作圓的弦至(不過圓心),分
別過A,3作圓的切線,則兩條切線的交點(diǎn)P的軌跡方程為
2
(x0-a)(x-a)+(y0-/?)(y-Z?)=r.
22
7、點(diǎn)加伍,%)在橢圓\+A=l(a>6>0)上,過點(diǎn)M作橢圓的切線方程為
ab
/b2~,
22
8、點(diǎn),%)在橢圓二+2=1(。>6>0)外,過點(diǎn)M作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別
ab
為A,B,則切點(diǎn)弦AB的直線方程為岑+浮=1.
ab
22
9、點(diǎn)M(x0,%)在橢圓二+1=1(。>6>0)內(nèi),過點(diǎn)M作橢圓的弦(不過橢圓中
ab
心),分別過A,3作橢圓的切線,則兩條切線的交點(diǎn)尸的軌跡方程為直線警+誓=1.
ab
22
10、點(diǎn)Af(x0,%)在雙曲線[-2=l(a>0,6>0)上,過點(diǎn)M作雙曲線的切線方程
ab
22
11、點(diǎn)M(/o,%)在雙曲線各一斗=1(々>0,10)外,過點(diǎn)M作雙曲線的兩條切線,
ab
切點(diǎn)分別為A,B,則切點(diǎn)弦AB的直線方程為岑-岑=1.
ab
22
12、點(diǎn)M(%,%)在雙曲線J-I=l(a>0,6>0)內(nèi),過點(diǎn)M作雙曲線的弦AB(不
ab
過雙曲線中心),分別過A,8作雙曲線的切線,則兩條切線的交點(diǎn)尸的軌跡方程為直線
//-.
13、點(diǎn)“優(yōu),%)在拋物線產(chǎn)二2px(p>0)上,過點(diǎn)M作拋物線的切線方程為
14、點(diǎn)M(%,%)在拋物線丁=2pxS>0)外,過點(diǎn)M作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分
別為A,B,則切點(diǎn)弦AB的直線方程為%〉=0(尤+尤()).
15、點(diǎn),%)在拋物線/=2p元(p>0)內(nèi),過點(diǎn)M作拋物線的弦AB,分別過
A,3作拋物線的切線,則兩條切線的交點(diǎn)P的軌跡方程為直線為y=p(x+x0).
必考題型全歸納
題型一:切線問題
例1.(2024?浙江杭州.高三浙江省杭州第二中學(xué)??茧A段練習(xí))已知拋物線
E-.y2=2px(p>0),焦點(diǎn)為產(chǎn).過拋物線外一點(diǎn)P(不在x軸上)作拋物線C的切線
PA,PB,其中AB為切點(diǎn),兩切線分別交y軸于點(diǎn)C,。.
⑴求笈.濤的值;
⑵證明:
①附|是|網(wǎng)與|冏的等比中項(xiàng);
②FP平分ZAFB.
例2.(2024.江西?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知拋物線C:f=8y,尸為C的焦點(diǎn),過點(diǎn)尸的
直線/與C交于H,1兩點(diǎn),且在/兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)T.
⑴當(dāng)/的斜率為-1時(shí),求|印卜
(2)證明:FT1HI.
例3.(2024?湖北.高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知拋物線C:y2=2px(0>O)的焦點(diǎn)為尸,過歹
作斜率為依左>0)的直線/與C交于A3兩點(diǎn),當(dāng)%=后時(shí),|AB|=6.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)線段AB的中垂線與x軸交于點(diǎn)P,拋物線C在A,8兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q,設(shè)
d.
P,Q兩點(diǎn)到直線/的距離分別為4,&,求才的值.
變式L(2024.全國(guó).高三專題練習(xí))設(shè)拋物線石:/=2川(?>0)的焦點(diǎn)為尸,過尸且斜率
為1的直線/與E交于A,B兩點(diǎn),>|AB|=8.
(1)求拋物線E的方程;
⑵設(shè)尸(1,m)為E上一點(diǎn),E在P處的切線與x軸交于。過。的直線與E交于M,N兩
點(diǎn),直線PM和PN的斜率分別為%P”和原N.求證:MM+%V為定值.
變式2.(2024.廣東廣州.高三華南師大附中??奸_學(xué)考試)已知橢圓
22
£:宗+方=l(a>b>0)的兩焦點(diǎn)分別為月卜6,。),耳(退,。),A是橢圓E上一點(diǎn),當(dāng)
4A月=:時(shí),*伍的面積為卓
⑴求橢圓E的方程;
⑵直線4:勺x-y+2匕=0(勺>0)與橢圓E交于“,N兩點(diǎn),線段肱V的中點(diǎn)為P,過P作
垂直x軸的直線在第二象限交橢圓E于點(diǎn)S,過S作橢圓E的切線36的斜率為以,求
k「h的取值范圍.
22
變式3.(2024?江西南昌?南昌市八一中學(xué)校考三模)已知橢圓E:0+4=l(a>6>0)經(jīng)過
ab
點(diǎn)(。,3),且離心率為g,尸為橢圓E的左焦點(diǎn),點(diǎn)P為直線/:x=3上的一點(diǎn),過點(diǎn)P
作橢圓E的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,連接AB,AF,BF.
(1)證明:直線A3經(jīng)過定點(diǎn)“(2,0);
⑵若記";加、△8R0的面積分別為S1和邑,當(dāng)lE-Szl取最大值時(shí),求直線AB的方
程.
22
參考結(jié)論:。(5,%)為橢圓5+方=1上一點(diǎn),則過點(diǎn)。的橢圓的切線方程為
%。?11
/b2~'
題型二:切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題
例4.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知直線〃是拋物線C:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線,直線
12:3^-4y-6=0,且/2與拋物線C沒有公共點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)尸在拋物線C上,點(diǎn)尸到直線〃和/2
的距離之和的最小值等于2.
(1)求拋物線c的方程;
(2)點(diǎn)M在直線〃上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)分別為P,Pi,在平面內(nèi)
是否存在定點(diǎn)N,使得恒成立?若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)
說明理由.
22
例5.(2024?福建寧德?校考一模)雙曲線C:「-A=l的離心率為血,右焦點(diǎn)P到漸近線
ab
h
y=-x的距離為應(yīng).
a
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
b
(2)過直線x=l上任意一點(diǎn)P作雙曲線C的兩條切線,交漸近線y='x于A,8兩點(diǎn),證
a
明:以為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)F.
例6.(2024?四川綿陽?高三四川省綿陽南山中學(xué)??奸_學(xué)考試)已知拋物線
C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)尸&1)是該拋物線上一定點(diǎn),過點(diǎn)尸作圓。:(》-2)2+/=產(chǎn)(其中的兩
條切線分別交拋物線C于點(diǎn)48,連接A3.探究:直線是否過一定點(diǎn),若過,求出該
定點(diǎn)坐標(biāo);若不經(jīng)過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
變式4.(2024.陜西?校聯(lián)考三模)己知直線/與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,2兩點(diǎn),
且tMJLOB,OD±AB,。為垂足,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,D.
⑴求C的方程;
⑵若點(diǎn)E是直線y=x-4上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線EP,EQ,其中P,Q
為切點(diǎn),試證明直線PQ恒過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
變式5.(2024?貴州?校聯(lián)考二模)拋物線G:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓
22
C2:x+16y=1的短軸長(zhǎng).
⑴求拋物線G的方程;
⑵設(shè)。(1J)是拋物線G上位于第一象限的一點(diǎn),過。作E:(x-2y+y2=/(其中
0<r<l)的兩條切線,分別交拋物線于點(diǎn)M,N,證明:直線MN經(jīng)過定點(diǎn).
22
變式6.(2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:A+A=l(a>b>0)的焦距為2,圓
ab
/+丁=4與橢圓C恰有兩個(gè)公共點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
22
(2)已知結(jié)論:若點(diǎn)(七,為)為橢圓與+多=1上一點(diǎn),則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為
ab
岑+*=1.若橢圓c的短軸長(zhǎng)小于4,過點(diǎn)7(81)作橢圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為
A5,求證:直線A3過定點(diǎn).
變式7.(2024?重慶九龍坡.高三重慶市育才中學(xué)??奸_學(xué)考試)如圖所示,已知尸(0,1)在
22
橢圓「:土+與=1(0<匕<2)上,圓C:(無一1>+;/=/&>0),圓c在橢圓r內(nèi)部.
4b-
(1)求r的取值范圍;
⑵過尸(0,1)作圓C的兩條切線分別交橢圓「于A,B點(diǎn)(42不同于尸),直線A3是否過定
點(diǎn)?若過定點(diǎn),求該定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
題型三:利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決定值問題
例7.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知中心在原點(diǎn)的橢圓口和拋物線一有相同的焦點(diǎn)
(1,0),橢圓口的離心率為拋物線門的頂點(diǎn)為原點(diǎn).
(1)求橢圓口和拋物線L的方程;
⑵設(shè)點(diǎn)尸為拋物線口準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)尸作拋物線門的兩條切線24,PB,其中
A,B為切點(diǎn).設(shè)直線R4,PB的斜率分別為尤,k2,求證:為定值.
例8.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知尸是拋物線C:公=2點(diǎn)(。>0)的焦點(diǎn),以尸為圓
心,2P為半徑的圓F與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=4石.
(1)求拋物線C和圓尸的方程;
(2)若點(diǎn)尸為圓/優(yōu)弧A8上任意一點(diǎn),過點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)分別
為M,N,請(qǐng)問|地卜|詆|是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
例9.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知拋物線C:/=2/(°>0)的焦點(diǎn)為尸,過點(diǎn)尸引
圓/:口+行+仆一以=;的一條切線,切點(diǎn)為N,|印|=半.
(1)求拋物線C的方程;
⑵過圓M上一點(diǎn)A引拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)分別為尸,Q,是否存在點(diǎn)A使得
△AP。的面積為主8?若存在,求點(diǎn)A的個(gè)數(shù);否則,請(qǐng)說明理由.
2
變式8.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知拋物線。:丁=2°吠°>0)的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離
為2,圓〃與y軸相切,且圓心又與拋物線C的焦點(diǎn)重合.
(1)求拋物線C和圓M的方程;
⑵設(shè)尸為圓M外一點(diǎn),過點(diǎn)尸作圓M的兩條切線,分別交拋物線C于兩個(gè)
不同的點(diǎn)4(%,%),川々,為)和點(diǎn)。(玉,%),^%,^)?且%%%%=16,證明:點(diǎn)尸在一條定
曲線上.
變式9.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為凡尸為拋物線上
一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P到F的最小距離為1.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵過點(diǎn)A(T-2)向C作兩條切線AM,AN,切點(diǎn)分別為M,N,直線AF與直線MN交于
點(diǎn)。,求證:點(diǎn)0到直線的距離等于到直線FN的距離.
變式10.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)P(-2,〃2)在拋物線C:Y=2Q(P>0)上,且到
拋物線C的焦點(diǎn)廠的距離為2.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)4(-1,-2)向拋物線C作兩條切線切點(diǎn)分別為MN,若直線AF與直線
d,
初V交于點(diǎn)Q,且點(diǎn)。到直線97、直線M的距離分別為4,4.求證:于為定值.
變式11.(2024?上海長(zhǎng)寧?高三上海市延安中學(xué)??奸_學(xué)考試)在以A(-2,0)為圓心,6為
半徑的圓A內(nèi)有一點(diǎn)3(2,0),點(diǎn)尸為圓A上的任意一點(diǎn),線段3尸的垂直平分線/和半徑
AP交于點(diǎn)
(1)判斷點(diǎn)M的軌跡是什么曲線,并求其方程;
(2)記點(diǎn)M的軌跡為曲線「,過點(diǎn)8的直線與曲線「交于C、。兩點(diǎn),求云?麗的最大
值;
⑶在圓一+,2=14上的任取一點(diǎn)Q,作曲線r的兩條切線,切點(diǎn)分別為E、F,試判斷QE
與。尸是否垂直,并給出證明過程.
變式12.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知拋物線。:丁=22穴°>0),尸為焦點(diǎn),若圓
E:(X-l)2+戶16與拋物線C交于兩點(diǎn),S.\AB\=4y/3
(1)求拋物線C的方程;
⑵若點(diǎn)尸為圓E上任意一點(diǎn),且過點(diǎn)尸可以作拋物線C的兩條切線切點(diǎn)分別為
求證:斗|他代亙?yōu)槎ㄖ?
變式13.(2024?浙江金華?浙江金華第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知拋物線G:/=y,圓
G:Y+(y-4尸=1,尸是Cj上異于原點(diǎn)的一點(diǎn).
⑴設(shè)。是C?上的一點(diǎn),求|PQ|的最小值;
⑵過點(diǎn)尸作G的兩條切線分別交G于A,B兩點(diǎn)(異于尸).若|冏=|印,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).
22
變式14.(2。24?湖南長(zhǎng)沙?湖南師大附中??寄M預(yù)測(cè))如圖‘橢圓C點(diǎn)+?=1("2),
圓0:》2+>2="+4,橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為招,工.
(1)過橢圓上一點(diǎn)尸和原點(diǎn)O作直線/交圓。于N兩點(diǎn),若忸耳卜|根|=6,求
的值;
(2)過圓。上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線,求證:兩條切線相互垂直.
22
變式15.(2024.河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在橢圓C:二+多=1(a>A>0)中,其所有
ab
2222
外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓「:X+y=a+b1.,稱此圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.橢圓C過
尸(亭”白
⑴求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)作橢圓的一條切線,與蒙日?qǐng)A交于另一點(diǎn)N,若G,
k()N存在,證明:kOM-kON為定值.
題型四:利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決最值問題
例10.(2024.福建泉州.高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知尸為拋物線C:f=2py(0>O)的焦
點(diǎn),"(-4,m)是C上一點(diǎn),M■位于F的上方且I"周=5.
⑴求P;
⑵若點(diǎn)尸在直線x+y+3=0上,PA,尸2是C的兩條切線,A,2是切點(diǎn),求恒刊所|的最
小值.
例11.(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知拋物線C:y2=2pxO>0)的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離為
(1)求拋物線C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo);
⑵如圖,過拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)尸作圓/:(工-2)2+尸=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A3,求
四邊形24MB面積的最小值.
22
例12.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知橢圓C:\+方=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為
月,尸2,左頂點(diǎn)為D,離心率為經(jīng)過耳的直線交橢圓于A8兩點(diǎn),A&AB的周長(zhǎng)為
8.
⑴求橢圓C的方程;
(2)過直線x=4上一點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,
①證明:直線MN過定點(diǎn);
②求“DMN的最大值.
22
備注:若點(diǎn)(1,%)在橢圓c:A+斗=1上,則橢圓C在點(diǎn)(1,%)處的切線方程為
ab
6b2一
變式16.(2024?貴州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線。:£=2刀(°>0)上的點(diǎn)(2,%)到
其焦點(diǎn)尸的距離為2.
(1)求拋物線C的方程;
⑵已知點(diǎn)。在直線八、=-3上,過點(diǎn)。作拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A3,直線
A3與直線/交于點(diǎn)過拋物線C的焦點(diǎn)尸作直線A3的垂線交直線/于點(diǎn)N,當(dāng)最
小時(shí),的值.
22
變式17.(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓C:三+當(dāng)=1(0>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別
ab
為耳,F2,戶(如兒)為C上一動(dòng)點(diǎn),|尸耳|的最大值為4+26,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)之比為
2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵若1<%<2,過P作圓。:/+3;2=1的兩條切線心心設(shè)34與x軸分別交于〃,N
兩點(diǎn),求APMN面積的最小值.
變式18.(2024.貴州黔東南?凱里一中??既#┮阎本€丫=辰+1與拋物線C:/二打交
于A,8兩點(diǎn),分別過48兩點(diǎn)作C的切線,兩條切線的交點(diǎn)為D.
(1)證明點(diǎn)。在一條定直線上;
⑵過點(diǎn)。作y軸的平行線交C于點(diǎn)E,線段的中點(diǎn)為尸,
①證明:E為DP的中點(diǎn);
②求VADE面積的最小值.
變式19.(2024?新疆喀什?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn),且
/與圓+(y+3)、1上點(diǎn)的距離的最小值為3.
⑴求P;
⑵若點(diǎn)尸在圓M上,PA,網(wǎng)是拋物線C的兩條切線,A8是切點(diǎn),求三角形R4B面積
的最大值.
變式20.(2024.黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中??寄M預(yù)測(cè))已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)
在>軸上,其上一點(diǎn)”(孤1)到焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線方程;
(2)圓E:Y+(y+l)2=l,過拋物線上一點(diǎn)尸伍,九)(/22)作圓E的兩條切線與x軸交于
M,N兩點(diǎn),求的最小值.
變式21.(2024?廣東茂名?高三校考階段練習(xí))已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(尤,y),P到定點(diǎn)廠(遙,0)
的距離與P到定直線/:x=地的距離之比為更,
32
⑴記動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C,求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
⑵己知點(diǎn)M是圓龍2+y2=10上任意一點(diǎn),過點(diǎn)"作做曲線C的兩條切線,切點(diǎn)分別是
A,B,求面積的最大值,并確定此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
注:橢圓:/+/■=1(。>6>0)上任意一點(diǎn)戶(外,幾)處的切線方程是:學(xué)+孝=1.
22
變式22.(2024?湖北黃岡?流水縣第一中學(xué)校考三模)已知橢圓亍+}=lgb>0)經(jīng)過點(diǎn)
過原點(diǎn)的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)G在橢圓上(異于“,N),且
-k?N=~~-
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵若點(diǎn)尸為直線x=4上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)尸作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為E,F,求
tan/EPF的最大值.
變式23.(2024?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考二模)已知拋物線C:%2=24(°>0)的準(zhǔn)線為/,圓
O:x2+y2=r2.
⑴當(dāng)廠=君時(shí),圓。與拋物線C和準(zhǔn)線/分別交于點(diǎn)A,8和點(diǎn)M,N,S.\AB\^\MN\,求
拋物線C的方程;
⑵當(dāng)廠=1時(shí),點(diǎn)■?(%,%乂%>r)是⑴中所求拋物線C上的動(dòng)點(diǎn).過尸作圓。的兩條切
線分別與拋物線C的準(zhǔn)線/交于。,E兩點(diǎn),求足〃面積的最小值.
題型五:利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決范圍問題
丫2?1
例13.(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓
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