2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

第10講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

知識(shí)梳理

1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果a，=N(a>0且awl),那么數(shù)x叫做以。為底N的對(duì)數(shù),

記作x=log,N,讀作以。為底N的對(duì)數(shù)，其中。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常見(jiàn)對(duì)數(shù)：

①一般對(duì)數(shù)：以a(a>0且。歸)為底，記為log：,讀作以。為底N的對(duì)數(shù)；

②常用對(duì)數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對(duì)數(shù)：以e為底，記為InN；

(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：

①log：=0；log：=l；其中。>0且”1；

②a陶=N(其中a>0且"1，N>0)；

③對(duì)數(shù)換底公式：log06=警2；

logj

④log”(MN)=log“M+log“N；

M

⑤log。—=log。M-loga2V；

?logb"^—logab(m,neR)；

m

⑦4嗨8=6和logaa"=b；

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=log“x(a>0且awl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象

a>\0<(2<1

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rAJT-1>1I

]

圖象l\；(1X?

<4Z!(1j0|ia4哨/

定義域：（0,+00）

值域：R

過(guò)定點(diǎn)（1，0）,即X=1時(shí)，>=0

性質(zhì)

在（0,+00）上增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

當(dāng)0<%<1時(shí)，歹<0,當(dāng)xNl時(shí)，當(dāng)o<x<i時(shí)，y>0,當(dāng)xzi時(shí)，y?0

玲0

【解題方法總結(jié)】

1、對(duì)數(shù)函數(shù)常用技巧

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)。>1時(shí)，隨Q的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近X軸；當(dāng)0<0<1時(shí),

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨Q的增大而遠(yuǎn)離X軸.（見(jiàn)下圖）

't|

AMA

—**■*；**■'

必考題型全歸納

題型一：對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式

ta31

【例1】（2024?四川成都?成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）e-8P+log7i+1^=.

【答案】-1

1py141

ln3z

【解析】e-81+log^+|^^=3-3^+lo^+1^3+l）'=3-3-1=-.

故答案為：-1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024?遼寧沈陽(yáng)?沈陽(yáng)二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知Iga+6=-2,/=10,則

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【答案】-/0.1

10

【解析】由題設(shè)6=logql0=則lga+J=—2且Q〉o,

所以lg2a+21ga+l=（lga+l）2=0,即坨。=-1,故”

故答案為：-

10

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024?上海徐匯?位育中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）方程坨（-2幻=坨（3-/）的解集

為.

【答案】{x|x=-l}

【解析】因?yàn)閘g（-2x）=lg（3-/）,

—2x=3—x2

則，-2x>0,解得x=-l,

3-x2>0

所以方程lg（-2x）=lg（3-x2）的解集為{x|x=-l}.

故答案為：{x|x=-l}

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024?山東淄博統(tǒng)考點(diǎn)模）設(shè)P>0,?>0，滿(mǎn)足log4P=log64=bg9（2p+q）,

則"=

q

【答案】y/0.5

【解析】令log4P=log64=bg9（2p+4）=MJU!Jp=4k,q=6k,2p+q=9k,

所以2夕+q=2-4"+6*=少，整理得21|^|+]]=1，

i。4"2"1

解得1r三（負(fù)值舍去），所以卜

故答案為：y.

a

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4]（2024?天津南開(kāi)?統(tǒng)考二模）計(jì)算log332.log49-log21+log26的值為.

【答案】8

33

【解析】原式=log32540g2232-log2-+log26=51og32-log23-log2-+log26

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36

=5-log—+log6=5+log7=5+log8=8

242232

4

故答案為：8.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若log142=a,14，=5,用a,6表示

log3528=______________

［答案］

【解析】因?yàn)?4"=5,所以b=log145,

lo28=log-28=k>g［414+log|42=1+a

35

log1435log1414+log145-log142l+b-a'

故答案為：丁口.

l+b-a

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】(2024?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí))若12。=3"="，且!-2=2,則

ab

【答案】2

【解析】vl2a=3*=m9且----=2,

ab

...加>0且加w1,

/.a=log12m,b=log3m,

?」=log,”12,，=log,"3,

ab

-?---1=logm12-logm3=log,,,4=2,

ab

m=2.

故答案為：2.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7]（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）

121g3-lg2

(log3)2+(log2)2

66(Ig3+lg2)2=-------------------

【答案】1

【解析】原式=(log63)2+(log62)2+：)3：g：

1g6?1g6

=(log63『+(10g62)2+2log63-log62

2

=(log63+log62)

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2

=(log66)=1.

故答案為：1.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8X2024嗤國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))解關(guān)于x的不等式log2*-4")<x解集為.

【答案】(0,'

【解析】不等式log2(2-4')<xobg2(2-4')<1。芻Zo0<2-4<2Y,

解2-4*>0,即2級(jí)<2，有2x<l,解得x<g,

解2-平<2"，即22*+2*-2>0,化為(2工+2)(2*-1)>0,有2*>1，解得x>0,

因止匕0<x<—,

2

所以不等式1嗎(2-4')<x解集為(0,1).

故答案為：(0,5)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】(2024?上海楊浦?高三上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)己知函數(shù)/(x)

是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=log2x,則/(x)2-2的解集是.

【答案】-4,0]3；，+"

【解析】當(dāng)X<0時(shí)，T>0,所以/(f)=log2(-x),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(尤)=-/(-》)=-1。82(-尤)，

所以當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=-log2(-x),

-log2(-x),x<0

所以/(x)=，0,x=0,

log2>0

[x>0[x<0[x=0

要解不等式/(xR-2,只需、o或?或八

[log2x>-2[-log2(-x)>-2[0>-2

解得x：或-44x<0或x=0,

4

綜上，不等式的解集為-4,0]。t,叱].

故答案為：

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【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10](2024?上海浦東新?高三華師大二附中?？茧A段練習(xí))方程2*+log4X=17

的解為.

【答案】x=4

【解析】設(shè)函數(shù)/(x)=2*+log4X,xe(0,+oo),由于函數(shù)了=2x,y=log4x在xe(0,+oo)上

均為增函數(shù)，

4

X/(4)=2+log44=16+l=17,故方程2*+108/=17的解為x=4.

故答案為：x=4.

【解題方法總結(jié)】

對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問(wèn)題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對(duì)數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問(wèn)題

是要將其化為同底，利用對(duì)數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)的問(wèn)題，但這里必須注

意對(duì)數(shù)的真數(shù)為正.

題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像

【例2】(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)＞=log.(x+6)(a,6為常數(shù)，其中。＞0且

的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

C.a-0.5,b=0.5D.。=2,b=0.5

【答案】D

【解析】由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，

所以。＞1,排除A,C；

又因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)(050),

所以6+0.5=1,解得6=0.5.

故選：D

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練111(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/■(無(wú))=bg〃(x-l)+2的圖象恒過(guò)定點(diǎn)()

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A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

【答案】A

【解析】當(dāng)x=2時(shí)/⑵=log“l(fā)+2=2,即函數(shù)圖象恒過(guò)(2,2).

故選：A

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12](2024?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=log2x-(x-l)2,則不等式

〃x)<0的解集為()

A.(-8,l)U(2,+8)B.(0,l)u(2,+co)

C.(1,2)D.。,+⑹

【答案】B

【解析】由題意，不等式〃x)<0,即log/-(x-l)2<0,

2

等價(jià)于log2x<(x-l)在(0,+司上的解，

令g(無(wú))=唾/,/?(x)=(x-l)2,則不等式為g(x)<”(x),

在同一坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，

可得不等式/(X)<0的解集為(0,1)u(2,+8),

故選：B

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13](2024?北京?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)將函數(shù)V=log2X的圖象向上平移1個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=的圖象，則/(》)=()

A.log2(x+1)B.l+log2x

C.log2(x-l)D.-l+log2x

【答案】B

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【解析】將函數(shù)>=10g2X的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)V=l+log2X.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14](2024?北京海淀?清華附中?？寄M預(yù)測(cè))不等式2log3x-(x-l)(x-2)>0

的解集為.

【答案】｛x|l<x<3｝

【解析】由210g3苫一(無(wú)一1)(尤一2)>0nlog3尤?(尤-1)(尤-2),

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)/(x)=log3x,g(x)=g(x-l)(x-2)的圖象如下圖所示:

所以由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)xe(l,3)時(shí)，有/(x)>g(x),

故答案為：｛x|l<x<3)

x

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】(多選題)(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))當(dāng)時(shí)，4<logax,貝匹

的值可以為()

A.—B.@C.—D.V2

223

【答案】ABC

【解析】分別記函數(shù)/(x)=4"g(x)=log“x

由圖1知，當(dāng)。>1時(shí)，不滿(mǎn)足題意；

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當(dāng)0<”1時(shí)，如圖2,要使0<xV；時(shí)，不等式4,Wlog。x恒成立，只需滿(mǎn)足〃}Wg（g）,

【解題方法總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題最重要的思路和方法.圖像問(wèn)題

是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問(wèn)題提供了思維方向.

題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））

【例3】（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（x>=log3（l-?）,若“功在（-8,1］上為減

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函數(shù)，則。的取值范圍為()

A.(0,+co)B.(0,1)C.(1,2)D.(-oo,l)

【答案】B

【解析】設(shè)函數(shù)y=i-辦，

因?yàn)?(X)在(-℃,1］上為減函數(shù)，

所以y=l-ax在(-00,1］上為減函數(shù)，則-a<0解得a>0,

又因?yàn)榱?1-辦>0在(-8,1］恒成立，

所以Vmin解得a<1，

所以a的取值范圍為0<”1,

故選:B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16］(2024?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模)正數(shù)。,6滿(mǎn)足2"-4〃=log26-log?。，則a

與筋大小關(guān)系為.

【答案】a〈2bl2b>a

【解析】因?yàn)?"-Jlog—log?。，

bh

所以2"+log2a=4"+log2b=i+log2b+log22-1-i+log22b-.,

X

設(shè)f(x)=2+log2x,則/(a)=f(2b)-l,

所以/(a)<”26),

又因?yàn)閥=2"與y=log2》在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)=2,+log,x在(0,+⑹上單調(diào)遞增，

所以a<2b.

故答案為：a<26.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17］(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=log,x(a>0,"l)在［1,4］上

的最大值是2,則。等于

【答案】2

【解析】當(dāng)。>1時(shí),函數(shù)〃x)=log.x在［1,4］上單調(diào)遞增，

則/(4)=log.4=2,解得a=2,

當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)〃x)=log“x在［1,4］上單調(diào)遞減，

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則/(l)=bgj=2,無(wú)解，

綜上，a等于2.

故答案為：2.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)/(x)=log“x(°>0且"1)在1,4

上的最大值為2,最小值為相，函數(shù)g(x)=(3+2〃2R*在電+8)上是增函數(shù)，則。-加的值

是.

【答案】3

【解析】當(dāng)。>1時(shí)，函數(shù)〃x)=log.X是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，而函數(shù)〃x)=log"X在1,4

上的最大值為2,因此有"4)=log.4=2,解得。=2,所以加=log2；=-1,此時(shí)g(x)=?

在［0,+e)上是增函數(shù)，符合題意，因此"機(jī)=2-(-1)=3；

當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)/(x)=log”x是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，而函數(shù)〃x)=log“x在1,4上的

最大值為2,因此有了出=log*=2,a/,所以片年岑4=7,此時(shí)g")=_5?

在［。,+8)上是減函數(shù)，不符合題意.

綜上所述，a=2,m=-\,a—m=3.

故答案為：3.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19］(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)/(x)=log,，-。尤+1)有最小值，貝

的取值范圍是.

【答案】(1,2)

【解析】當(dāng)o<a<l時(shí)，外層函數(shù)y=log?！闇p函數(shù)，對(duì)于內(nèi)層函數(shù)“=/-OX+1,

△=1-4<0,則u>0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，

由于二次函數(shù)〃=x2—ax+1有最小值，此時(shí)函數(shù)/(x)=1嗝(―-ax+1)沒(méi)有最小值；

當(dāng)。>1時(shí)，外層函數(shù)y=log"〃為增函數(shù)，對(duì)于內(nèi)層函數(shù)w=/-辦+1,

函數(shù)-ax+1有最小值，若使得函數(shù)〃力=1080(/-辦+1)有最小值，

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綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是。,2）.

故答案為：（1,2）.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練201（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函

數(shù)：/（x）=.

①/（匹馬）=/（%）+/（%）;②當(dāng)xe（0,+s）時(shí)，/（x）單調(diào)遞減；③/（X）為偶函數(shù).

【答案】logJM（不唯一）

2

【解析】性質(zhì)①顯然是和對(duì)數(shù)有關(guān)，性質(zhì)②只需令對(duì)數(shù)的底0＜。＜1即可，性質(zhì)③只需將自

變量X加絕對(duì)值即變成偶函數(shù).

故答案為：bg/H（不唯一）

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)kbg4/一》一2）

4

的單調(diào)遞區(qū)間為（）

A.I叫JB.C.[g+s]D.（2,+oo）

【答案】B

10

【解析】函數(shù)尸§1-2）的定義域?yàn)?）u（2,+TO）,

4

令七/一工一2,又在定義域內(nèi)為減函數(shù)，

4

故只需求函數(shù)/=/-x-2在定義域（-甩-1）。（2，+8）上的單調(diào)遞減區(qū)間，

又因?yàn)楹瘮?shù)1=/一》一2在（-。,-1）上單調(diào)遞減，

.?.〉=皿1（/-》-2）的單調(diào)遞區(qū)間為（_8,_1）.

4

故選：B

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22]（2024?陜西寶雞?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)/（x）=lgx+lg（2-x）,則（）

A./（x）在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,2）單調(diào)遞增B./（x）在（0,2）單調(diào)遞減

C./（x）的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)D./（x）有最小值，但無(wú)最大值

【答案】C

【解析】由題意可得函數(shù)/（x）=lgx+lg（2-x）的定義域?yàn)椋?,2）,

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貝I/(x)=lgx+1g(2-x)=Igf-x?+2x),

因?yàn)?gt;=——+2]在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減，

且y=lgx在(0,+◎上單調(diào)遞增，

故/(無(wú))在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，A,B錯(cuò)誤；

由于/(2-x)=lg(2-x)+lgx=/(x),故于卜)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng),C正確；

因?yàn)閥=——+2%在％=1時(shí)取得最大值，且y=1gx在(0,+s)上單調(diào)遞增，

故/(無(wú))有最大值，但無(wú)最小值，D錯(cuò)誤，

故選：C

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)/(x)=：+，在R上單調(diào)，

2a+logflx,x>l

則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.[2,+s)C.(0,g)u(2,+s)D.(O,l)u[2,+s)

【答案】D

[a>1

【解析】若/⑴在R上單調(diào)遞增，貝人…J解得?！闧2,+8),

[2+a<2a+log”1

<1

若/(X)在R上單調(diào)遞減，則G-1J解得?！?0，1).

[2+a>2a+\oga1

綜上得ae(0,1)U[2,+功.

故選：D

【解題方法總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題最重要的思路和方法.性質(zhì)問(wèn)題

是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問(wèn)題提供了思維方向.

題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題

qq丫2

【例4】(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=-----,g(x)=log2x+a,若存在

占43,4],任意馬e[4,8],使得/(xj±g(x2),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

【解析】若"X)在［3,4］上的最大值〃x)1mx,g(x)在［4,8］上的最大值8*)皿

由題設(shè)，只需fGOmax'g(x)1mx即可.

在［3,4］上，/(x)=—+x＞2j—-X=6當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立,

XYX

25

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)：/(X)在［3,4］上遞增，故〃尤)1mx=彳.

在［4,8］上，g(x)單調(diào)遞增，則g(x)a=3+a,

所以予23+。，可得aV下.

44

故答案為：［肛,.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若Vxe12,不等式2x?-xlog1x+依＜°

_2J2

恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(-%-5)

【解析】因?yàn)橐纮1,2,不等式2》—108產(chǎn)+辦＜0恒成立,

2

所以a<logj-2x對(duì)vxe1,2恒成立.

2

記〃x)=logjX-2x,xe5,2,只需a</(x)min.

2

上單調(diào)遞減，卜=-2》在》€(wěn)1,2上單調(diào)遞減,

因?yàn)榱?10g廠(chǎng)在X2

2er

所以/(力=1%*-2工在xe1,2上單調(diào)遞減,

2

所以/(無(wú)L=八2)=一5,所以。＜一5.

故答案為：(-8,-5)

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25］(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)f(x)-x-2x+3,g(x)=log2x+m,

對(duì)任意的A，x2e［l,4］有/(X］)＞g(z)恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】(-*0)

【解析】函數(shù)/(x)=/-2x+3=(x-l)2+2在［1,用上單調(diào)遞增，g(x)=log2X+機(jī)在［1,4］

上單調(diào)遞增，

”(X)1nto=/⑴=2，g⑺皿*=g(4)=2+根,

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

對(duì)任意的司，x2e\lf4]有/（』）>g（%）恒成立，

>g（x）max,即2>2+加，解得掰<0,

實(shí)數(shù)加的取值范圍是（-巴0）.

故答案為：（-鞏0）.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x2-2x+3,g（無(wú)）=log2X+〃z,

若對(duì)內(nèi)?2,4],電?16,32],使得/（xjg（x2）,則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

【答案】（-吟-1]

【解析】因?yàn)閷?duì)％e[2,4],切€[16,32],使得/（須）Wg（xj,

所以“xA/gGL，

因?yàn)?（x）=f-2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為尤=1,所以“X）在[2,4]上單調(diào)遞增，所以

/（「/⑵=3，

又因?yàn)?卜）=1。8/+用在[16,32]上單調(diào)遞增，所以=g（16）=4+機(jī),

所以324+機(jī)，所以加V-1,即機(jī)e（-oo,-l],

故答案為：

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練271（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)

/（X）=（log0x）-+21og.x+3（a>0,a豐1）.

（1）若/（3）=2,求°的值；

⑵若對(duì)任意的xe[8,12],/（x）>6恒成立，求。的取值范圍.

【解析】（1）因?yàn)?（3）=2,所以（log,3『+21og.3+3=2,

所以（log*+l）、。，所以log“3=-1,解得a=；.

（2）由〃x）>6,得（108"幻2+2108戶(hù)-3>0,即（log。尤+3）（log.x-1）>0,

即log“x<-3或log“x>1.

當(dāng)0<。<1時(shí)，log°12Wlog“x41og08,則log。8<-3或log”12>1,

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

因?yàn)閘og.12<loga1=0,則log“12>1不成立，

由10gti8<-3可得<8,得g<a<l；

loga8<logax<loga12,則log012<-3或log08>1,

因?yàn)閘og,12>log.1=0,則logJ2<-3不成立,所以log08>l,解得l<a<8.

綜上，0的取值范圍是

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28](2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知點(diǎn)x)=3-21og4,g(x)=log2x.

(1)當(dāng)xe[l,4]時(shí),求函數(shù)y="(x)+l]-g(x)的值域；

(2)對(duì)任意xe[2",2"+[,其中常數(shù)〃eN,不等式/(x?).〃￡)>奴(x)恒成立，求實(shí)數(shù)左

的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)?(x)=3-21og2X,g(x)=log2x,J=[/(x)+l]-g(x)

2

令y=〃(x)=(4-2log2x)-log2x=-2(log2x-1)+2,

VXG[1,4],Alog2xe[0,2],所以當(dāng)咋2X=1,即x=2時(shí)取最大值“%熊*=2,當(dāng)log2X=0

或2,即X=1或x=4時(shí)取最小值〃(％)min=0，

???函數(shù)“X)的值域?yàn)閇0,2].

(2)由/12)./(五)〉左遭(力得(3-41082%)(3-1082')>左/082%,

令/=log2X,X￡[2〃，2*1],/.t=log2XG[w,A?+l],

:.(3-4。(3-。>左K對(duì)一切的，+司恒成立，

①當(dāng)〃=0時(shí)，若"0時(shí)，左ER；

當(dāng)fe(O,l]時(shí)，:<(3-4?(3一、恒成立,即左<射+：一15,

a

函數(shù)4f+：-15在fe(O,l]單調(diào)遞減，于是1=1時(shí)取最小值-2,此時(shí)x=2,

于是左€(-嗎一2)；

②當(dāng)”=1時(shí)，此時(shí)時(shí)，左<0—")(3-)恒成立,即發(fā)〈書(shū)+2-15,

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

QQoQ

V4t+-＞n,當(dāng)且僅當(dāng)今=：,即公;時(shí)取等號(hào)，即由+：-15的最小值為-3,左e(-8,-3)；

③當(dāng)〃“時(shí)，此時(shí)fe[%〃+1]時(shí)，(＜(3一47(3恒成立,即左＜務(wù)+:—15,

函數(shù)4/+；-15在+1]單調(diào)遞增，于是/=〃時(shí)取最小值4〃-15+2,

此時(shí)x=2",于是左?[-00,4"-15+3.

綜上可得：當(dāng)〃=0時(shí)左-2),當(dāng)〃=1時(shí)左e(-oo,-3),當(dāng)〃22時(shí)，后e]-oo,4"-15+g)

【解題方法總結(jié)】

(1)利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像求解；

(2)分離自變量與參變量，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

(3)涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用

導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題

【例5】(多選題)(2024?湖北?黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知。＞1,b〉l,\=2",

a-1

工=log",則以下結(jié)論正確的是()

b-\

A.a+T=b+log2bB,=1

C.a—b＜—2D.Q+〉4

【答案】ABD

Y1

【解析】對(duì)于A(yíng),由題意知，a,b是函數(shù)/z(x)=-7=l+一；分別與函數(shù)/(x)=2",

x-1x-1

g(x)=log2X圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

由＞=」的圖象關(guān)于〉=》對(duì)稱(chēng)，

X

則其向上，向右都平移一個(gè)單位后的解析式為力(X)=1+一二，

x-1

所以以X)的圖象也關(guān)于＞=X對(duì)稱(chēng)，

又/(x),g(x)兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)了=尤對(duì)稱(chēng)，

故兩交點(diǎn)(a,2"),(i,10g2b)關(guān)于直線(xiàn)V=X對(duì)稱(chēng)，

所以a=log2、，6=2",故A正確;

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

d1111

對(duì)于B,結(jié)合選項(xiàng)A得---二=2。=b,貝即一+：=1,BPT7+-^=1成U,

a-\ab2log2b

故B正確；

對(duì)于C,結(jié)合選項(xiàng)A得。一b=log2b—儀2<Z?<4）,令胃為二卜且2^—6,則——1<0,

pin2

所以奴5）=1（^26—6在（2,4）上單調(diào)遞減，則a：b）>k）g24—4=-2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,結(jié)合選項(xiàng)B得。+6=（。+份（工+：］=2+2+￡>4（8b,即不等式取不到等號(hào)），

\ab）ab

故D正確.

故選：ABD.

m

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29］（2024?海南海口?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)加，〃滿(mǎn)足：nkin=e-nlnm,

則”的最小值為.

m

2

【答案】-e

4

e"

【解析】由〃In〃=屋一〃In加可得：——=Inm+Inz?,

n

所以〃一m〃=in冽,+m-ln^=m+lnm=eto/w+lnm,

設(shè)/(x)=e"+x,/z(x)=ex+1>0,

所以在R上單調(diào)遞增，所以/（加-ln〃）=/（l皿）,

e

則加一In〃=In加，所以In〃=In——，

m

e*(x-2)

所以〃=J,所以巴=1令g(x)q,g()=eF].2x

mmm

令短（無(wú)）>0,解得：x>2；令g'（x）<0,解得：0Vx<2；

所以g（無(wú)）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+⑹上單調(diào)遞增,

2

所以g（x）mM=g（2）=1e.

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

故上的最小值為貴.

m4

2

故答案為：e

4

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（多選題）（2024?廣東惠州?統(tǒng)考一模）若6"=2,6。=3,則（）

A.—>1B.cib<一

a4

11

C.a7+b9<—D.b—a>一

25

【答案】ABD

【解析】因?yàn)?"=3,6"=2,所以b=log63,a=log62,則a+6=l,

b103

選項(xiàng)A,—==1°§23>log22=1,故A正確；

alog62

選項(xiàng)B,因?yàn)閍+b=log63+log62=log66=l,且。>0/>0,0#6,所以,故

B正確；

選項(xiàng)C,+/?2=（a+b）2-2ab=1-2ab>l-2x—=—,故C錯(cuò)誤；

42

3243

選項(xiàng)D,因?yàn)?（b-a）=51og6]=log6q>log66=l,故D正確，

故選：ABD.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30（2024河南高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為，巧分別是方程x+e，=3

和x+lnx=