2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：重要的幾何模型之12345模型（原卷版）

專題40重要的幾何模型之12345模型

初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無論是一次函數(shù)、平行四邊形、

特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”

模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟。現(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，T2345”模型

的獨(dú)特魅力。

【模型解讀】

模型1、12345模型及其衍生模型

［模型來源】2019年北京市中考

如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，貝（）°（點(diǎn)B,尸是網(wǎng)格交點(diǎn)）.

該類問題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來構(gòu)造一個等腰直角三角形。

如圖，即：ZPAB+zPBA=A5^2=45°.

上面的/尸/2和NPA4便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45。之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來看:

tanAPAB=-,tanAPBA=~,對于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型。

23

Za+ZP=90°；4ADB+"BA=/BAC；NADB+/DBA=/BAC；

切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用

來解決相關(guān)的選填題非常方便.下面所列舉的個別題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙

的，但至少可以成為一種通性通法，可以在短時間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時候時間非常寶貴的。

例1.（2022?四川樂山?中考真題）如圖，在放中，ZC=90°,5c=逐，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，連接

BD.若tanNN=；,tanAABD=1,則CD的長為（）

A.275B.3C.V5D.2

例2.（2023.成都市中考模擬）如圖，正方形襤⑦，4B=2,點(diǎn)E為4D上一動點(diǎn),將三角形沿BE折

疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接。尸并延長，與邊N8交于點(diǎn)G,若點(diǎn)G為45中點(diǎn)，則NE=.

例3.（2023.湖北黃岡.中考真題）如圖，矩形N8CD中，AB=3,BC=4,以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長為半徑畫

弧，分別交8C,BD于點(diǎn)、E,F,再分別以點(diǎn)旦尸為圓心，大于工成長為半徑畫弧交于點(diǎn)R作射線BP,

2

過點(diǎn)C作3P的垂線分別交于點(diǎn)例，N,則CN的長為（）

A.5B.VilC,273D.4

例4.（2023.四川廣元中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)點(diǎn)8（0,-3）,點(diǎn)C在x軸上,

且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接N8,BC,若tanN/3C=L則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

例5.（2022.四川瀘州中考真題）如圖，在邊長為3的正方形N8CO中，點(diǎn)E是邊上的點(diǎn)，^BE=2AE,

過點(diǎn)￡作。E的垂線交正方形外角NC8G的平分線于點(diǎn)尸，交邊于點(diǎn)連接。尸交邊于點(diǎn)N,則

兒W的長為（）

C.9D.1

7

例6.（2023.內(nèi)蒙古.中考真題）如圖，在中，AACB=90°,AC=3,BC=1,將“3C繞點(diǎn)A逆時針

方向旋轉(zhuǎn)9。。，得到"，C.連接叱交/C于點(diǎn)。，則款勺值為——

例7.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形MCD的邊長為2石，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BE與4c交于點(diǎn)

M,尸是/。上一點(diǎn)，連接8尸分別交/C,/E于點(diǎn)G,H,且AF1/E,連接貝！J/"=

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?深圳市高級中學(xué)聯(lián)考）如圖，正方形中，E是4。中點(diǎn)，連接NC,CE,作。尸1CE交Z3

于尸，交CE于P,交4c于H,延長。尸交直延長線于G,則絲的值為（）

GH

4253

2.（2018湖北中考真題）如圖，正方形/BCD中，AB=6,G是3c的中點(diǎn)，將△4BG沿NG對折至△/FG,

延長G尸交DC于點(diǎn)E,則?！觊L是（）

A.1B,1.5C.2D,2.5

3.（2021宜賓中考真題）如圖，在矩形紙片八BCD中，點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD±.,將矩形紙片沿CE,

CF折疊，點(diǎn)B落在H處,點(diǎn)。落在G處，點(diǎn)C,H,G恰好在同一直線上，若AB=6,AD=4,BE=2,

則OF的長是（）.

c372

A.2BL.-----D.3

-12

4.（2023.湖北九年級期中）如圖，已知正方形ABC。的邊長為4,E是A8邊延長線上一點(diǎn)，BE=2,F

是AB邊上一點(diǎn)，將ACEF沿CF翻折，使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)G落在4。邊上，連接EG交折痕CF于點(diǎn)乩則

FH的長是（）

A.1B.巫C.1D.此

333

5.（2023.浙江中考模拂如圖，A,B,C,。是邊長為1的小正方形組成的6x5網(wǎng)格中的格點(diǎn)，連接8。交

ZC于點(diǎn)E,連接EF.給出4個結(jié)論：①BF=EF；②AABE=4CEF；③tan44即=2；④C4CE=10.其

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

6.（2023.山東九年級期中）如圖，將已知矩形紙片ABC。的邊BC斜著向4）邊對折，使點(diǎn)B落在A。上,

記為點(diǎn)⑶，折痕為CE,再將C。邊斜向下對折，使點(diǎn)。落在8C上，記為點(diǎn)。，折痕為CF,若BD=2,

7.（2022.貴州中考真題）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片MCD,折痕是DW,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分

別延長ME、DE交AB于點(diǎn)尸、G,若點(diǎn)初是8c邊的中點(diǎn)，則尸G=cm.

8.（2023.成都市九年級期中）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn)，AEAF=45°,

連接AE與8尸交于點(diǎn)G,連接AF與DG交于點(diǎn)則黑的值為

9.（2022.北部灣中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4叵,對角線AC,BD相交于點(diǎn)。.點(diǎn)E是

對角線AC上一點(diǎn)，連接BE,過點(diǎn)E作分別交CD,8。于點(diǎn)尸，G,連接BF交AC于點(diǎn)H,將

△EFH沿EF翻折，點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)〃，恰好落在BD上，得到若點(diǎn)尸為CD的中點(diǎn)，則△EG”的

周長是.

10.（2023成都市九年級期中）如圖，在矩形N8CD中，AB=2,8C=4,點(diǎn)E、尸分另U在3C、CD上，若/￡=后

ZEAF=45°,則AF的長為.

11.（2019鹽城中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)尸2x-l的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)/、B,

將直線AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°,交x軸于點(diǎn)C,則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是.

12.（2017無錫中考真題）在如圖的正方形方格紙上，每個小的四邊形都是相同的正方形，4B、C、。都

在格點(diǎn)處，與CD相交于。，貝h?！癗20。的值等于.

-----1---------1L

I-II

__J____I--L

III

l__L_J__

13.（2023甘肅天水中考模擬）如圖，把矩形紙片0/3。放入平面直角坐標(biāo)系中，使04OC分別落在x軸、

y軸上，連接將紙片0/3。沿08折疊，使點(diǎn)/落在點(diǎn)"位置，0B=M,tan/BOcg則點(diǎn)，的

坐標(biāo)為.

14.（2023.廣東九年級期中）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABC。，折痕是DM,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,

分別延長ME,0E交AB于點(diǎn)尸，G,若點(diǎn)A4是BC邊的中點(diǎn)，則FG=cm.

15.（2017浙江麗水中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線尸-x+加分別交x軸、y軸于/、B兩

點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2,0）,點(diǎn)尸為線段。5的中點(diǎn)，連接尸4PC,若NCP+N4BO,則的值是.

16.（2023?龍華區(qū)九年級上期末）如圖，已知正方形/BCD的邊長為6,￡為5c的中點(diǎn)，將△A8E沿直線

折疊后，點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，N歹交對角線8。于點(diǎn)G,則歹G的長是

17.（2023?山東?中考模擬）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=6,點(diǎn)E,尸分別在邊BC,

CD上，AEAF=45°,BE=2,則。尸的長為,

18.（2023.廣東九年級期中）如圖，已知點(diǎn)/（2,0）,3（0,1）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。關(guān)于直線的對稱點(diǎn)C

19.（2122?深圳模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)/的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)5（0,2）,點(diǎn)/在反比例函數(shù)嚴(yán)、

X

的圖象上.作射線再將射線4s繞點(diǎn)N按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。，交y軸于C點(diǎn)，則△/8C面積為

20.(2023上紹興?期中)如圖，已知點(diǎn)/(3,36),點(diǎn)2(0,g),點(diǎn)/在二次函數(shù)y=省工2+內(nèi)工-

9G的圖象上，作射線再將射線繞點(diǎn)/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30。，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)C,則點(diǎn)C

的坐標(biāo)為.

21.(21?22下?江蘇?專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系M)，中，直線48的解析式為，=-x+〃z分別交x軸,

y軸于A,8兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C(2,0).(1)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時，機(jī)=；

(2)設(shè)點(diǎn)尸為線段08的中點(diǎn)，連接尸/,PC,若NCPA=NABO,則加的值是.

22.(2223下?泰安?一模)如圖，把一個矩形紙片Q48C放入平面直角坐標(biāo)系中，使O/,。。分別落在x軸,

＞軸上，連接將紙片O/3C沿。翻折，點(diǎn)/落在點(diǎn)4位置，若OB=&,tanN30C=；,直線?8與

y軸交于點(diǎn)F,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為.

V

A'\

3

23.（2223上?齊