新疆烏魯木齊市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析1

新疆烏魯木齊市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題考試時(shí)間：120分鐘總分：150分一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即得解.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A2.已知是橢圓的兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，若，則（）A.9 B.7 C.10 D.6【答案】B【解析】【分析】依據(jù)橢圓定義結(jié)合已知條件即得．【詳解】由，得，，因?yàn)?，且，所?故選：B.3.若橢圓過(guò)點(diǎn)，則橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】把已知兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出后即得．【詳解】由已知，解得，所以橢圓方程為．故選：A.4.已知命題：離心率越小，橢圓的形態(tài)越扁，命題：離心率越大，雙曲線的“張口”越小，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】探討的改變狀況，可以得出結(jié)論.【詳解】依據(jù)橢圓的圖象可知，越接近于1，則橢圓越圓.離心率越小，則由知，越大，則橢圓越圓，因此命題為假命題；對(duì)于雙曲線，以焦點(diǎn)在x軸上的為例，依據(jù)雙曲線的圖象知，漸近線斜率越小，即越小，雙曲線的“張口”越小.離心率越大，則由知，越大，雙曲線的“張口”越大，因此命題為假命題.依據(jù)，或且非邏輯聯(lián)接詞判定命題的依據(jù)知，只有B正確.故選：B.5.設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿意，則點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.橢圓或射線 C.橢圓或線段 D.不存在【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式及橢圓的定義即可推斷.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓．故選：A.6.德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)覺(jué)天體運(yùn)行軌道是橢圓，已知地球運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，太陽(yáng)在它的一個(gè)焦點(diǎn)上，若軌道近日點(diǎn)到太陽(yáng)中心的距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)中心的距離之比為，那么地球運(yùn)行軌道所在橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意可得，進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，由題意可得，所以，即，因此地球運(yùn)行軌道所在橢圓的離心率是．故選：D.7.在棱長(zhǎng)為3的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿意，則點(diǎn)軌跡的面積為（）A. B. C. D.9【答案】B【解析】【分析】依據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求得軌跡的面積.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，則，，所以，所以，又平面，平面，所以，而，平面，平面，所以平面，由，可知，所以的軌跡是矩形，由題可得，，所以軌跡的面積是.故選：B.8.如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用體積法求點(diǎn)面距．【詳解】由已知，，所以等腰的底邊上的高為，，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，所以．故選：C.二?多選題（本大題共4小題，共分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列命題正確的是（）A.若定點(diǎn)滿意，動(dòng)點(diǎn)滿意，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.B.若定點(diǎn)滿意，動(dòng)點(diǎn)滿意，則的軌跡是橢圓.C.當(dāng)時(shí)，曲線表示橢圓.D.雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義可推斷A，依據(jù)橢圓的定義可推斷B，由題可知時(shí)曲線為圓可推斷C，依據(jù)雙曲線及橢圓的方程可求其焦點(diǎn)進(jìn)而推斷D.【詳解】對(duì)于A，定點(diǎn)滿意，動(dòng)點(diǎn)滿意，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為端點(diǎn)的一條射線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，定點(diǎn)滿意，動(dòng)點(diǎn)滿意，則的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線，即表示圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由雙曲線可知其焦點(diǎn)為，由橢圓可知其焦點(diǎn)為，故D正確.故選：BD.10.給出下列命題，其中是真命題的是（）A.若可以作為空間的一個(gè)基底，與共線，，則也可以作為空間的一個(gè)基底B.已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.己知A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面D.己知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底【答案】ABCD【解析】【分析】干脆利用向量的基底的定義，向量的共線，共面對(duì)量的充要條件判定、、、的結(jié)果．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：，，可以作為空間的一個(gè)基底，，，不共面，與共線，，，，不共面，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：向量，，與任何向量都共面，，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，，，共面，，，，共面，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：，，是空間的一個(gè)基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空間的一個(gè)基底，故正確．故選：．11.下列敘述正確的是（）A.點(diǎn)圓外.B.圓在處的切線方程為.C.圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于.D.曲線與曲線公共弦長(zhǎng)等于.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)點(diǎn)P與圓心的距離可推斷A，依據(jù)切點(diǎn)可得切線方程推斷B，依據(jù)圓心到直線的距離進(jìn)而可推斷C，由題可得公共弦方程，然后利用弦長(zhǎng)公式可推斷D.【詳解】A，點(diǎn)P與圓心的距離為，所以點(diǎn)P在圓外，故正確；B，圓心與點(diǎn)連線的斜率為，所以在處的切線方程為，即，故錯(cuò)誤；C，圓心到直線的距離為，故圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，故正確；D，由，可得公共弦所在直線為，即，又的圓心為半徑為，所以公共弦長(zhǎng)為，故正確.故選：ACD.12.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，若橢圓與坐標(biāo)軸分別交于，四點(diǎn)，且從這六點(diǎn)中，可以找到三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由可能的等邊三角形分類探討，得的關(guān)系，從而求得離心率．【詳解】不妨設(shè)A,B為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C,D為短軸端點(diǎn)，已知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，相應(yīng)三角形只取其中一個(gè)，首先可能是等邊三角形，因?yàn)?，，不成立，為等邊三角形，則，；為等邊三角形，則，，，；為等邊三角形，則，，，，．故選：ABD．二?填空題（本大題共4小題，共4×5=20）13.已知橢圓被直線截得的弦長(zhǎng)為6，則直線①②③④⑤中被橢圓截得的弦長(zhǎng)也是6的直線有__________.（填上直線的代號(hào)）【答案】①③⑤【解析】【分析】依據(jù)橢圓的對(duì)稱性結(jié)合直線的關(guān)系即得.【詳解】因?yàn)闄E圓被直線截得的弦長(zhǎng)為6，依據(jù)題意可畫出橢圓與直線的大致圖象，依據(jù)橢圓的對(duì)稱性結(jié)合圖象可得，，，被橢圓截得的弦長(zhǎng)也是6，，被橢圓截得的弦長(zhǎng)不是6，即①③⑤適合題意.故答案為：①③⑤.14.空間向量，假如，則__________.【答案】6【解析】【分析】利用向量垂直公式可得，然后利用模長(zhǎng)公式即得.【詳解】向量，，且，，，解得，，．故答案為：6.15.已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓與圓的公切線的條數(shù)為_(kāi)_________.【答案】4【解析】【分析】由已知對(duì)稱性求得值，求出圓心距，確定兩圓的位置關(guān)系后可得公切線的條數(shù)．【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，圓關(guān)于直線對(duì)稱，，，，半徑為，，兩圓相離，公切線有4條．故答案為：4.16.雙曲線的左?右焦點(diǎn)為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，若滿意，，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得，然后利用雙曲線的定義結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以，又，所以，?故答案為：.三?解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知直線.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn).（1）設(shè)直線所過(guò)定點(diǎn)為，求過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線方程.（2）記，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得，可得，然后依據(jù)直線的位置關(guān)系及點(diǎn)斜式方程即得；（2）由直線方程可得，，然后利用基本不等式即得.【小問(wèn)1詳解】由直線，可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，又的斜率為，所以所求直線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線方程為，即；小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，所以直線斜率小于0，即，可得，令，可得，即，令，可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.18.在三棱錐體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè).（1）記，試用向量表示向量；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)空間向量的運(yùn)算的幾何表示結(jié)合條件即得；（2）依據(jù)空間向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即得.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，所以，即，又，所以，所以，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所?/p>

.19.已知圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，圓心為；直線（1）若，記為圓上的點(diǎn)到直線的距離，求的最大值；（2）設(shè)直線與圓的相交弦為，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得圓的半徑，進(jìn)而可得圓心到直線的距離，然后依據(jù)圓的性質(zhì)即得；（2）先求出直線的定點(diǎn)，再結(jié)合圓的性質(zhì)可得弦長(zhǎng)的最值，進(jìn)而即得.【小問(wèn)1詳解】由題可知圓的半徑為當(dāng)時(shí)，直線，所以圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，即的最大值為；【小問(wèn)2詳解】由直線，可得，令，可得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，依據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，因?yàn)?，所以，所?20.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，和上各有一動(dòng)點(diǎn)且，（1）證明.（2）當(dāng)體積最大時(shí)，求平面與平面的夾角正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用坐標(biāo)法，設(shè)，求進(jìn)而即得；（2）利用棱錐的體積公式表示出體積，然后利用基本不等式可得體積最大，然后利用面面角的向量求法即得.【小問(wèn)1詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，所以，所以，所以，即；【小問(wèn)2詳解】由題可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，又，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄靠扇?，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以，，即平面與平面的夾角正切值為.21.已知橢圓與橢圓有相同的離心率，短半軸長(zhǎng)為1.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且為鈍角（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件可得、，然后可得答案；（2）設(shè)，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理得到，然后由為鈍角可得、，據(jù)此可解出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，因?yàn)闄E圓的短半軸長(zhǎng)為1，所以，所以可得，所以的方程為，小問(wèn)2詳解】直線的方程為，由可得，由可得，設(shè)，則，因?yàn)闉殁g角，所以，且三點(diǎn)不共線，所以，所以，解得，綜上可得：的取值范圍為.22.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為，（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，求證：直線過(guò)某一個(gè)定點(diǎn).【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線；；（2）證明見(jiàn)解析.