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2024/12/141計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

形體的表示及其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第一節(jié)二維形體的表示第二節(jié)三維幾何模型第三節(jié)分形第四節(jié)粒子系統(tǒng)第六章形體的表示及其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

與空間任意形體有關(guān)的信息可以分為1.圖形信息:點(diǎn)、線、面的位置,相互關(guān)系及大小等2.非圖形信息:顏色、亮度、質(zhì)量、體積。圖形信息包括1.幾何信息:形體在空間的位置和大小2.拓?fù)湫畔ⅲ航M成形體各部分的數(shù)目及相互間的連接關(guān)系。形體的表示方法通常可分為兩類:1.邊界表示:用邊界將形體分為內(nèi)部和外部。例如曲線曲面2.空間分區(qū)表示:描述形體的內(nèi)部性質(zhì),將包含形體的空間區(qū)域劃分為一組小的非重疊的連續(xù)實(shí)體。(四叉樹和八叉樹)二維圖形的邊界表示 帶樹法帶樹是一棵二叉樹,樹的每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)矩形帶段,這樣每個(gè)結(jié)點(diǎn)可由八個(gè)字段組成,前六個(gè)字段描述矩形帶段,后二個(gè)是指向兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)的指針,即矩形帶段的起點(diǎn)是(xb,yb),終點(diǎn)是(xe,ye)。相對(duì)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的連線,矩形有兩邊與之平行,兩邊與之垂直,平行兩邊與之距離分別為wl和wr。第一節(jié)二維形體的表示設(shè)表示曲線有5個(gè)點(diǎn)(3,7)(9,12),(15,4),(18,5),(20,7),取分辨率w0=1,則上述算法構(gòu)造的帶樹設(shè)要表示的曲線是由經(jīng)過適當(dāng)選取已確定的一組離散點(diǎn)P0,P1,…,Pn序列給出,則生成表示曲線的分辨率為w0的帶樹的算法,可簡(jiǎn)略描述如下:BINARY*Create(float*P,inti,intj,floatW){/*BINARY帶樹節(jié)點(diǎn)類型,P[i]至P[j]描述折線表示的曲線,W為分辨率*/ Search(P,i,j,wl,wr);//確定P[i]至P[j]所有點(diǎn)所形成的矩形帶段的寬度

root=new(BINARY);//獲取帶樹節(jié)點(diǎn)

CBINARY(root,wl,wr,P,i,j);//構(gòu)造根節(jié)點(diǎn)

if(wl+wr<=W)returnroot;//返回帶樹根節(jié)點(diǎn)

else{ k=maxdis(P,i,j);//找出距Pi與Pj連線垂直距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)Pk t1=Create(P,i,k,W);//構(gòu)造P[i]至P[k]點(diǎn)間的帶樹

t2=Create(P,k,j,W);//構(gòu)造P[k]至P[j]點(diǎn)間的帶樹

Left(root,t1);//t1作為root左子樹

Right(root,t2);//t2作為root右子樹

return(root);// }}帶樹法解決曲線的問題:①以不同的分辨率顯示用帶樹表示的曲線 設(shè)給出允許的分辨率為w,表示曲線的帶樹的分辨率為w0,并設(shè)w0≤w,則顯示算法如下: (1)根結(jié)點(diǎn) 若當(dāng)前正考查結(jié)點(diǎn)的W=wl+wr≤w,

則顯示該結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矩形帶段;

否則,即W>w

則轉(zhuǎn)去分別考查該結(jié)點(diǎn)的左右兩個(gè)子結(jié)點(diǎn), (2)對(duì)子結(jié)點(diǎn)做同樣的處理。

左右子結(jié)點(diǎn)都被顯示的結(jié)點(diǎn)就認(rèn)為是被顯示了,按此看法,顯示帶樹表示的曲線就是顯示帶樹的結(jié)點(diǎn)。

voidDisplay(BINARY*root,floatW){//BINARY帶樹節(jié)點(diǎn)類型root帶樹根指針,

W為顯示分辨率 if(Width(root)<=W){//wl與wr之和函數(shù)

DisplayLine(root);//顯示帶樹為兩端點(diǎn)線段

return; }else{ Display(root->left,W);//顯示左子樹

Display(root->right,W);//顯示右子樹

return; }}

②利用帶樹求曲線相交

兩個(gè)矩形帶段S1和S2的位置關(guān)系有如下三種: (1)不相交。

(2)良性相交,即S1的與起點(diǎn)至終點(diǎn)連線平行的兩條邊都與S2相交,S2的與起點(diǎn)至終點(diǎn)連線平行的兩條邊也都與S1相交。

(3)可能性相交,這時(shí)不是良性相交,但也不是不相交。設(shè)表示要求交兩曲線的帶樹己構(gòu)造得足夠精確,即在樹葉一層,來自不同帶樹的矩形帶段或是不相交或是良性相交,而沒有可能性相交出現(xiàn)。兩樹T1和T2表示的兩條曲線是否相交的算法敘述如下:算法:1.若T1和T2對(duì)應(yīng)的矩形帶段互不相交,那么它們代表的曲線不相交;2.若T1和T2對(duì)應(yīng)的矩形帶段良性相交,那么它們代表的曲線相交;3.若T1和T2對(duì)應(yīng)的矩形帶段可能性相交,且T1的面積大于或等于T2的面積,那么分別執(zhí)行T2與T1的左右兩個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)的相交性檢查。4.若T1的面積小于T2的面積,則把它們位置對(duì)換一下再如上進(jìn)行兩個(gè)檢查。4.1.若左右兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)檢查的結(jié)果都是不相交,則認(rèn)為所表示曲線不相交;4.2.若左右兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)檢查中有一個(gè)是良性相交,則認(rèn)為所表示曲線相交;4.3.若不是上述兩情形,即出現(xiàn)可能性相交,則對(duì)可能性相交的兩個(gè)矩形帶段中面積較大者,取其對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)的兩個(gè)子結(jié)點(diǎn),如此進(jìn)行可直到樹葉那一層。左右子樹都不相交左右子樹有一個(gè)相交③

如何確定一點(diǎn)是否在一封閉曲線內(nèi) 從該點(diǎn)引射線與區(qū)域邊界相交的次數(shù)為奇數(shù),點(diǎn)在區(qū)域內(nèi),否則點(diǎn)在區(qū)域外。 判別兩曲線相交:一條射線(寬度為0的帶樹,與表示曲線的帶樹求交,交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為帶樹良性相交次數(shù)。

良性可能性(良性)可能性(不相交)帶樹法的優(yōu)點(diǎn):1. 用帶樹法表示曲線對(duì)提高計(jì)算效率是有幫助的。2.兩個(gè)帶樹對(duì)并、交等運(yùn)算是封閉的。3.與用像素陣列來表示圖形的方法相比,節(jié)省空間需求。二.平面圖形的四叉樹表示方法(表示實(shí)區(qū)域,不是邊界) 假定一個(gè)平面圖形是黑白的二值圖形,即組成圖形像素陣列的僅有黑色像素值1,白色像素值0,設(shè)表現(xiàn)圖形的像素陣列由2n×2n個(gè)像素組成。

表示該圖形的四叉樹結(jié)構(gòu)可以如下形成: 1.圖形包含于2n×2n的正方形中,這個(gè)正方形是四叉樹的根結(jié)點(diǎn)。

1.1若圖形整個(gè)地占據(jù)這個(gè)正方形,則圖形就用該正方形表示, 1.2否則將該正方形均分為四個(gè)小正方形,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為原正方形邊長(zhǎng)的一半.它們是根結(jié)點(diǎn)的四個(gè)子結(jié)點(diǎn),可編號(hào)為0,1,2,3。

2.每個(gè)小正方形

2.1若完全被圖形占據(jù),則標(biāo)記相應(yīng)

結(jié)點(diǎn)為1,稱為黑結(jié)點(diǎn)。

2.2若與圖形完全不相交,則標(biāo)記相

應(yīng)結(jié)點(diǎn)為0,稱為白結(jié)點(diǎn)。

2.3若不是上述兩情形,即與圖形部

分相交,稱為灰結(jié)點(diǎn),并將其一分

為四。

3.當(dāng)再分生成小正方形邊長(zhǎng)達(dá)到一個(gè)

像素單位時(shí),再分終止,此時(shí)一般

應(yīng)將仍是灰結(jié)點(diǎn)的改為黑結(jié)點(diǎn),如

此形成了平面圖形的四叉樹表示。TreeCreateQuadtree

(V,C,n)//V是柵格圖形,C是正方形,n表示正方形邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的層次{ if(intersect(V,C,n)==C){ new(P);P->V=1;return(P);//構(gòu)造黑結(jié)點(diǎn) }elseif(intersect(V,C,n)==NULL){ new(P);P->V=0;returnNULL;//構(gòu)造白結(jié)點(diǎn) }else//構(gòu)造灰結(jié)點(diǎn) if(n==1){//正方形邊長(zhǎng)為1 new(P);P->V=1;return(P); }else{//正方形邊大于1 new(P);P->V=0.5; C0=C.0;C1=C.1;C2=C.2;C3=C.3;//將正方形邊均分為四塊 P->F0=CreateQuadtree

(V,C0,n-1); P->F1=CreateQuadtree

(V,C1,n-1); P->F2=CreateQuadtree

(V,C2,n-1); P->F3=CreateQuadtree

(V,C3,n-1); return(P); }}V(0/1/0.5)F0F1F2F3四叉樹的存儲(chǔ)方式:即規(guī)則方式、線性方式和一對(duì)四方式

1.規(guī)則四叉樹 用五個(gè)字段的記錄來表示樹中的每個(gè)結(jié)點(diǎn) 一個(gè)用來描述結(jié)點(diǎn)的特性,即是灰、黑、白三類結(jié)點(diǎn)中的一種。其余四個(gè)用于存放指向四個(gè)子結(jié)點(diǎn)的指針。

缺點(diǎn):大量的存儲(chǔ)空間被指針占用,存儲(chǔ)空間利用率差

2.線性四叉樹 以某一預(yù)先確定的次序遍歷四叉樹形成一個(gè)線性表結(jié)構(gòu)。

R’A’abcdBCD’efgh。其中R表示根,字母右上角加’表示是灰結(jié)點(diǎn)。 優(yōu)點(diǎn):節(jié)省存儲(chǔ)空間空間 缺點(diǎn):靈活性差3.一對(duì)四式四叉樹 一對(duì)四式四叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)每個(gè)結(jié)點(diǎn)有五個(gè)字段,其中四個(gè)字段用來描述該結(jié)點(diǎn)的四個(gè)子結(jié)點(diǎn)的狀態(tài),另一個(gè)結(jié)點(diǎn)存放指向子結(jié)點(diǎn)記錄存放處的指針。四個(gè)子結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的記錄是依次連續(xù)存放的。

改進(jìn)的一對(duì)四式四叉樹(為節(jié)省存貯空間):a.增加計(jì)算量(緊湊的一對(duì)四式四叉樹) 存取相應(yīng)節(jié)點(diǎn)時(shí),先檢查其父節(jié)點(diǎn),看在它之前有幾個(gè)葉節(jié)點(diǎn)b.一個(gè)記錄增加一個(gè)字節(jié) 該字節(jié)一分為四,每個(gè)子結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)2位,表示它的子結(jié)點(diǎn)在指針指向區(qū)域中的偏移。01|00|00|00第二節(jié)三維幾何模型

一.幾何元素

形體的模型主要指的就是包含圖形信息所形成的模型。 形體本身的構(gòu)造有一定的層次性,低層部分組合構(gòu)成上一層部分,而上一層部分組合又可以構(gòu)成更高一層的部分,依此類推可形成多層結(jié)構(gòu)。其中,每一層中的部分,稱為幾何元素。(1)點(diǎn)

點(diǎn)是0維幾何元素,有端點(diǎn)、交點(diǎn)、切點(diǎn)、孤立點(diǎn)等形式。 曲線、曲面的應(yīng)用中會(huì)涉及到三種類型的點(diǎn): 型值點(diǎn)相應(yīng)曲線、曲面必然經(jīng)過的點(diǎn)。 控制點(diǎn)相應(yīng)曲線、曲面不一定經(jīng)過的點(diǎn),僅用于確定位置和形狀。 插值點(diǎn)在型值點(diǎn)之間插入的一系列點(diǎn),用于提高曲線曲面的輸出精度。

不同的空間中點(diǎn)的表示方式

(1)一維空間中用一元組{t}表示;

(2)二維空間中用二元組{x,y}或{x(t),y(t)}表示;

(3)三維空間中用三元組{x,y,z}或{x(t),y(t),z(t)}表示; 點(diǎn)是幾何造型中的最基本的元素,曲線、曲面和其它形體都可以用有序的點(diǎn)集描述。 用計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、管理、輸出形體的實(shí)質(zhì)就是對(duì)點(diǎn)集及其連接關(guān)系的處理。(2)邊 邊是一維幾何元素,是兩個(gè)鄰面(正則形體)或多個(gè)鄰面(非正則形體)的交界。邊分直線邊和曲線邊。直線邊由起點(diǎn)和終點(diǎn)兩端點(diǎn)確定;曲線邊由一系列型值點(diǎn)或控制點(diǎn)表示,也可以用顯式、隱式方程描述。正則形體:滿足歐拉公式V-E+F=2的形體

(例如立方體V=8,E=12,F=6)。非正則形體:不滿足歐拉公式的形體。存在懸面、懸邊的形體是非正則形體。V=10E=13F=6V=9E=12F=6V=10E=17F=10(3)環(huán) 環(huán)是有序有向邊(直線段或曲線段)組成的面的封閉邊界。環(huán)中的邊不能自相交,相鄰兩條邊共享一個(gè)端點(diǎn)。環(huán)有內(nèi)外之分,確定面的最大外邊界的環(huán)稱之為外環(huán),通常其邊按逆時(shí)針方向排序。而把確定面中內(nèi)孔或凸臺(tái)邊界的環(huán)稱之為內(nèi)環(huán),其邊相應(yīng)外環(huán)排序方向相反,通常按順時(shí)針方向排序。(4)面 面是二維幾何元素,是形體上一個(gè)有限、非零的區(qū)域,它由一個(gè)外環(huán)和若干個(gè)內(nèi)環(huán)所界定。面有方向性,一般用其外法向量作為該面的正向。若一個(gè)面的外法向量向外,此面為正;否則,為反向面。(5)體 體是三維幾何元素,由封閉表面圍成的空間,它是歐氏空間R3中非空、有界的封閉子集,其邊界是有限面的并集。在實(shí)際應(yīng)用中,要求形體是正則形體,即形體上任意一點(diǎn)的足夠小的鄰域在拓?fù)渖蠎?yīng)是一個(gè)等價(jià)的封閉圓。不滿足上述要求的形體稱為非正則形體。存在懸面、懸邊的形體是非正則形體。(6)體素 體素是可以用有限個(gè)尺寸參數(shù)定位和定型的體,常有下面三種定義形式。

一組單元實(shí)體長(zhǎng)方體、圓柱體、圓錐體、球體。 掃描體由參數(shù)定義的一條(一組)截面輪廓線沿一條(一組)空間參數(shù)曲線作掃描運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的形體。 用代數(shù)半空間定義的形體在此半空間中點(diǎn)集可定義{(x,y,z)|f(x,y,z)≤0}此處的f應(yīng)是不可約的多項(xiàng)式。 形體的層次結(jié)構(gòu) 點(diǎn)→邊→環(huán)→面→外殼→形體。

掃描體掃描法的基本思想非常簡(jiǎn)單:“運(yùn)動(dòng)的物體”加上“軌跡”。常用的掃描方式有:平移式、旋轉(zhuǎn)式和廣義式。平移掃描:沿垂直于二維集合進(jìn)行掃描;旋轉(zhuǎn)掃描:繞某一軸線旋轉(zhuǎn)某一角度;廣義掃描:二維幾何集合沿一條空間曲線的集合掃描;

平移掃描旋轉(zhuǎn)掃描廣義掃描

在幾何造型中最基本的幾何元素是點(diǎn)(V)、邊(E)、面(F),這三種元素一共有九種連接關(guān)系頂點(diǎn)、棱邊、表面之間的拓?fù)潢P(guān)系

要用實(shí)體的邊界信息表示一個(gè)實(shí)體,必須同時(shí)表示出實(shí)體邊界的拓?fù)浜蛶缀涡畔?。物體的拓?fù)湫畔⒅肝矬w上所有的頂點(diǎn)、棱邊、表面間是怎樣連接的。就多面體而言,其頂點(diǎn)、棱邊、表面之間的連接關(guān)系可以用九種不同的形式予以描述。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中保存的拓?fù)潢P(guān)系越多,對(duì)多面體的操作越方便,但是占用的存儲(chǔ)空間也就越大。因此要根據(jù)實(shí)際情況選擇拓?fù)潢P(guān)系,以提高系統(tǒng)的整體效率。二.線框、表面及實(shí)體表示(多面體的表示)常用的多面體表示法是三表表示法,即采用三個(gè)表:

頂點(diǎn)表:頂點(diǎn)坐標(biāo),用來存放多面體各頂點(diǎn)的坐標(biāo);

邊表:兩個(gè)頂點(diǎn)編號(hào)表達(dá)一條邊,指出哪兩個(gè)頂點(diǎn)之間有多面體的邊 面表:邊的編號(hào)表示面,指出哪些邊圍成了多面體的表面多面體的表示 線框模型:點(diǎn)表,邊表 表面模型:點(diǎn)表,邊表,面表 實(shí)體模型:點(diǎn)表,邊表,面表,其它圖形和非圖形信息 形體確定→三表確定 給出三表→不一定表示一個(gè)真實(shí)形體(正則形體:V-E+F=2)真實(shí)形體應(yīng)滿足的條件

1.頂點(diǎn)表中的每個(gè)頂點(diǎn)至少是三邊的端點(diǎn); 2.邊表中的每條邊是兩個(gè)多邊形面的公共邊;

3.每個(gè)多邊形面是封閉的等等。

頂點(diǎn)表面表邊表編號(hào)XYZ11002110301040005101611170118001編號(hào)起點(diǎn)終點(diǎn)112223334441556667778885915102611371248編號(hào)邊1邊2邊3邊4111059221161033127114498125567863214空間正二十面體V20,的三表表示。引入一個(gè)正數(shù)Φ>0,它滿足二次方程Φ2-Φ-1=0,因此Φ=1/2(1+)≈1.618034。XYZ編號(hào)xyz11Φ0112-Φ0113Φ0-114-Φ0-1211Φ0221-Φ023-1Φ024-1-Φ03101Φ3201-Φ330-1Φ340-1-Φ邊編號(hào)邊編號(hào)111,131621,33212,141722,32321,231822,34422,241923,31531,332023,32632,342124,33711,212224,34811,222331,11912,232431,121012,242532,131113,212632,141213,222733,111314,232833,121414,242934,131521,313034,14面編號(hào)

面編號(hào)

17,23,151125,6,2928,17,271230,6,26311,16,251311,1,7429,28,12148,1,1259,19,24159,2,13628,21,101614,2,10726,20,131719,3,15814,22,301816,3,20927,5,231917,4,211024,5,282022,4,18三.三維實(shí)體表示方法 從用戶角度來看,形體以特征表示和構(gòu)造的實(shí)體幾何表示比較適宜;從計(jì)算機(jī)對(duì)形體的存儲(chǔ)管理和操作運(yùn)算角度看,以邊界表示最為實(shí)用。1.構(gòu)造的實(shí)體幾何法 構(gòu)造的實(shí)體幾何(CSG:ConstructiveSolidGeometry)法是指任意復(fù)雜的形體都可以用簡(jiǎn)單形體(體素)的組合來表示。 形體的CSG表示可看成是一棵有序的二叉樹,稱為CSG樹。 終端結(jié)點(diǎn)或是體素,如長(zhǎng)方體、圓錐等;或是剛體運(yùn)動(dòng)的變換參數(shù),如平移參數(shù)Tx等; 非終端結(jié)點(diǎn)或是正則的集合運(yùn)算,一般有交、并、差運(yùn)算;或是剛體的幾何變換,如平移、旋轉(zhuǎn)等。

采用BNF范式可定義CSG樹如下:

<CSG>::=<體素葉子>| <CSG樹><正則集合運(yùn)算><CSG樹>| <CSG樹><剛體運(yùn)動(dòng)><剛體運(yùn)動(dòng)變量> CSG樹是無二義性的,但不是唯一的,其定義域取決于所用體素以及所允許的幾何變換和正則集合運(yùn)算算子。

CSG樹一個(gè)復(fù)雜物體可由一些比較簡(jiǎn)單、規(guī)則的物體經(jīng)過布爾運(yùn)算而得到。因而,這個(gè)復(fù)雜的物體可描述為一棵樹。這棵樹的終端結(jié)點(diǎn)為基本體素(如立方體、圓柱、圓錐),而中間結(jié)點(diǎn)為正則集合運(yùn)算結(jié)點(diǎn)。這棵樹叫做CSG樹。

U-CSG樹CSG表示的優(yōu)點(diǎn):數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單,數(shù)據(jù)量比較小,內(nèi)部數(shù)據(jù)的管理比較容易;每個(gè)CSG表示都和一個(gè)實(shí)際的有效形體所對(duì)應(yīng);CSG表示可方便地轉(zhuǎn)換成Brep表示,從而可支持廣泛的應(yīng)用;比較容易修改CSG表示形體的形狀。CSG表示的缺點(diǎn):產(chǎn)生和修改形體的操作種類有限,基于集合運(yùn)算對(duì)形體的局部操作不易實(shí)現(xiàn);由于形體的邊界幾何元素(點(diǎn)、邊、面)是隱含地表示在CSG中,故顯示與繪制CSG表示的形體需要較長(zhǎng)的時(shí)間。2特征表示 特征表示是從應(yīng)用層來定義形體,因而可以較好地表達(dá)設(shè)計(jì)者的意圖,為制造和檢驗(yàn)產(chǎn)品和形體提供技術(shù)依據(jù)和管理信息。從功能上看可分為形狀、精度、材料和技術(shù)特征。

特征造型器幾何造型器特征模型幾何模型用戶應(yīng)用系統(tǒng)基于特征的造型系統(tǒng)WLHHRHR(a)方塊(b)圓柱(c)圓錐特征形狀表示2特征表示 形狀特征:體素、孔、槽、鍵等 精度特征:形位公差、表面粗糙度等; 材料特征:材料硬度、熱處理方法等; 技術(shù)特征:形體的性能參數(shù)和特征等。 形狀特征單元是一個(gè)有形的幾何實(shí)體,是一組可加工表面的集合。如采用長(zhǎng)、寬、高三尺寸表示的長(zhǎng)方體;采用底面半徑及高度表示的圓柱體均是可選用的形狀特征單元。形狀特征單元的BNF范式可定義如下:<形狀特征單元>::=<體素>| <形狀特征單元><集合運(yùn)算><形狀特征單元>| <體素><集合運(yùn)算><體素>| <體素><集合運(yùn)算><形狀特征單元>| <形狀特征單元><集合運(yùn)算><形狀特征過渡單元>;<體素>::=長(zhǎng)方體|圓柱體|球體|圓錐體|棱錐體|棱柱體|棱臺(tái)體|圓環(huán)體|楔形體|圓角體|…;<集合運(yùn)算>::=并|交|差|縮放;<形狀特征過渡單元>::=外圓角|內(nèi)圓角|倒角。特征表示

特征造型器幾何造型器特征模型幾何模型用戶應(yīng)用系統(tǒng)基于特征的造型系統(tǒng)WLHHRHR(a)方塊(b)圓柱(c)圓錐特征形狀表示3邊界表示 邊界表示詳細(xì)記錄了構(gòu)成形體的所有幾何元素的幾何信息及其相互連接關(guān)系—拓?fù)潢P(guān)系,便于直接存取構(gòu)成形體的各個(gè)面、面的邊界以及各個(gè)頂點(diǎn)的定義參數(shù),有利于以面、邊、點(diǎn)為基礎(chǔ)的各種幾何運(yùn)算和操作。 形體的邊界表示就是用面、環(huán)、邊、點(diǎn)來定義形體的位置和形狀。例如,一個(gè)長(zhǎng)方體由六個(gè)面圍成,對(duì)應(yīng)有六個(gè)環(huán),每個(gè)環(huán)由四條邊界定義,每條邊又由兩個(gè)端點(diǎn)定義。而圓柱體則由上頂面、下底面和圓柱面所圍成,對(duì)應(yīng)有上頂面圓環(huán)、下底面圓環(huán)。

邊界表示法(B-rep)三維物體可以通過描述它的邊界來表示。Brep表示的優(yōu)點(diǎn)是:表示形體的點(diǎn)、邊、面等幾何元素是顯式表示的,使得繪制Brep表示形體的速度較快,而且比較容易確定幾何元素間的連接關(guān)系;對(duì)形體的Brep表示可有多種操作和運(yùn)算。Brep表示的缺點(diǎn)是:數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,需要大量的存儲(chǔ)空間,維護(hù)內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的程序比較復(fù)雜;修改形體的操作比較難以實(shí)現(xiàn);Brep表示并不一定對(duì)應(yīng)一個(gè)有效形體,即需要有專門的程序來保證Brep表示形體的有效性、正則性等。四.八叉樹 假設(shè)要表示的形體V可以放在一個(gè)充分大的正立方體C內(nèi),C的邊長(zhǎng)為2n,形體VC,它的八又樹表示可以遞歸定義為:

八叉樹每個(gè)結(jié)點(diǎn)與C的一個(gè)子立方體對(duì)應(yīng),樹根就和C本身對(duì)應(yīng)。如果V=C,那么V八叉樹僅有樹根。如果V≠C,則將C均分為八個(gè)子立方體,每個(gè)子立方體對(duì)應(yīng)根結(jié)點(diǎn)的一個(gè)子結(jié)點(diǎn)。只要某個(gè)子立方體不是完全空白或完全被V所占據(jù),它就要被八等分,從而它對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)也有了八個(gè)子結(jié)點(diǎn)。這樣的遞歸判斷及可能分割一直進(jìn)行,直到結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的立方體或完全空白,或完全被占據(jù),或其大小已是預(yù)先規(guī)定的體素大小.TreeCreateOctree

(V,C,n)//V是形體,C是立方形,n表示正方形邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的層次{ if(intersect(V,C,n)==C){ new(P);P->V=1;return(P);//構(gòu)造黑結(jié)點(diǎn) }elseif(intersect(V,C,n)==NULL){ P->V=0;returnNULL;//構(gòu)造白結(jié)點(diǎn) }else//構(gòu)造灰結(jié)點(diǎn) if(n==1){//正方形邊長(zhǎng)為1 new(P);P->V=1;return(P); }else{//正方形邊大于1 new(P);P->V=0.5; C0=C.0;C1=C.1;C2=C.2;C3=C.3;//將立方體均分為八塊 C4=C.4;C5=C.5;C6=C.6;C7=C.7; P->F0=CreateOctree

(V,C0,n-1); P->F1=CreateOctree

(V,C1,n-1); P->F2=CreateOctree

(V,C2,n-1); P->F3=CreateOctree

(V,C3,n-1); P->F4=CreateOctree

(V,C4,n-1); P->F5=CreateOctree

(V,C5,n-1); P->F6=CreateOctree

(V,C6,n-1); P->F7=CreateOctree

(V,C7,n-1); return(P); }}

這時(shí)對(duì)它與V之交作一定的“舍入”,使體素或認(rèn)為是空白,或認(rèn)為是被V占據(jù)的。這里所謂的體素,就是指被分割后得到的小立方體。

對(duì)應(yīng)立方體被形體V完全占據(jù)的結(jié)點(diǎn)為黑結(jié)點(diǎn),

完全不占據(jù)的為白結(jié)點(diǎn),

部分被占據(jù)的為灰結(jié)點(diǎn)。

存貯結(jié)構(gòu),有常規(guī)的、線性的、一對(duì)八式的八叉樹等等。 優(yōu)點(diǎn):

1.占用存儲(chǔ)空間少

2.便于形體的交并差的集合運(yùn)算

3.可以顯式不同精度的實(shí)體,消隱便于實(shí)現(xiàn)八叉樹表示的三維形體的幾何變換1.比例變換2.旋轉(zhuǎn)變換相對(duì)通過原點(diǎn)的一條任意方向的直線做任意角度的旋轉(zhuǎn)變換。多次變換誤差會(huì)積累,解決方法

第一項(xiàng)措施是保持一個(gè)原始的八叉樹做為參考的源樹。設(shè)指定了一次變換R1,接著又要做變換R2,可以計(jì)算出復(fù)合變換R=R1·R2,然后對(duì)原始的八叉樹做一次變換。這樣來避免誤差的積累。

多次變換誤差會(huì)積累,解決方法

第二項(xiàng)措施是為了盡量減少“舍入”誤差,可以規(guī)定一個(gè)當(dāng)前正要重建的八叉樹,如果它的最底層葉結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體素是部分地為顯示對(duì)象所占據(jù),那么當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)體素的中心位于某個(gè)黑變換后立方體內(nèi)時(shí),這個(gè)體素才被規(guī)定為黑,否則就規(guī)定為白。這樣規(guī)定使得一般不會(huì)產(chǎn)生原來不存在的孔洞,避免在變換后形體中間出現(xiàn)斷裂。

設(shè)己采取了上述兩項(xiàng)措施,已知形體變換前的八叉樹表示T1,己計(jì)算出 要做的復(fù)合變換R,要確定變換后形體的八叉樹表示T2,可以寫出如下的算法框架:

1.遍歷形體原來的八叉樹T1,對(duì)遇到的每個(gè)黑結(jié)點(diǎn),做下述步2。

2.對(duì)遇到黑結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的正立方體做相應(yīng)變換,得它新的一般來說是斜置的新位置。若這位置已超出定義八叉樹的充分大正立方體C之外,報(bào)告出錯(cuò);否則執(zhí)行下述的步3。

3.從要計(jì)算求出的目標(biāo)樹T2的根開始,檢查2中確定的處于新位置立方體與T2中結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直立的正立方體是否相交,分以下三種情況進(jìn)行處理: (1)不相交,說明正考查直立正立方體未被占據(jù),可保持為白結(jié)點(diǎn),不做處理。

(2)直立的正立方體整個(gè)被占據(jù),即它在變換后"斜置"立方體內(nèi),置對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)為黑結(jié)點(diǎn)。

(3)在上述兩條均不成立時(shí),生成當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的八個(gè)子結(jié)點(diǎn),對(duì)八個(gè)子結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的八個(gè)直立子立方體,依次再遞歸執(zhí)行步3。如果最終這八個(gè)結(jié)點(diǎn)被標(biāo)上同樣特性,例如為黑結(jié)點(diǎn),則應(yīng)再刪掉這八個(gè)子結(jié)點(diǎn)而把它們的共同父結(jié)點(diǎn)置為黑。 算法中,主要工作是檢查某個(gè)直立的正立方體與一個(gè)斜置的正立方體是否相交。對(duì)所有黑結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)正立方體處理相同,使得操作可以并行進(jìn)行。設(shè)已采取了上述兩項(xiàng)措施,已知形體變換前的八叉樹表示T1,已計(jì)算出要做的復(fù)合變換R,要確定變換后形體的八叉樹表示T2。CCT1T2T1CC(a)(b)算法框架:for(遍歷原形體八叉樹上的每個(gè)黑結(jié)點(diǎn),記為T1){

變換黑結(jié)點(diǎn)T1對(duì)應(yīng)的立方體,得到新位置; if(新位置超出定義八叉樹的立方體C之外){報(bào)告出錯(cuò);continue;} T2=C的根結(jié)點(diǎn); { while(T2被T1部分占據(jù)&&T2>預(yù)定義的最小體素) {生成結(jié)點(diǎn)T2的八個(gè)子結(jié)點(diǎn);T2=第一個(gè)子結(jié)點(diǎn);} if(T2和T1不相交)T2屬性=白結(jié)點(diǎn); elseif(T2被T1完全占據(jù))T2屬性=黑結(jié)點(diǎn); //T2被T1部分占據(jù)&&T2=預(yù)定義的最小體素

elseif(T1占據(jù)結(jié)點(diǎn)T2對(duì)應(yīng)的立方體的中心)T2屬性=黑結(jié)點(diǎn); elseT2屬性=白結(jié)點(diǎn); while(T2無后續(xù)兄弟結(jié)點(diǎn)&&T2!=C的根結(jié)點(diǎn)){ T2=T2的父結(jié)點(diǎn); if(T2的八個(gè)子結(jié)點(diǎn)被標(biāo)上同樣屬性) {T2=子結(jié)點(diǎn)屬性;刪除T2的八個(gè)子結(jié)點(diǎn);} } if(T2有后續(xù)兄弟結(jié)點(diǎn))T2=下一個(gè)后續(xù)兄弟結(jié)點(diǎn); }while(T2!=C的根結(jié)點(diǎn))T2線性八叉樹 在對(duì)立方體做八等分時(shí),按一致的方式,對(duì)分出的子立方體進(jìn)行編號(hào)。若劃分共進(jìn)行n層,則每個(gè)結(jié)點(diǎn)可以用n位的八進(jìn)制數(shù)的數(shù)串來表示,數(shù)串從左至右,第一位對(duì)應(yīng)第一次劃分,第二位對(duì)應(yīng)第二次劃分,依此類推。據(jù)此整個(gè)八叉樹就可以根據(jù)對(duì)其做深度優(yōu)先遍歷而依次列出的黑結(jié)點(diǎn)的編號(hào)序列來表示。

上圖所示三維形體,其線性八叉樹表示是: {0x,10,12,13,14,2x,4x,6x,7x}0x101213142x4x6x7x求并運(yùn)算C1∪C2

兩棵線性八叉樹:C1={122,123,301,302,303,305,307}C2={12x,300,302,304,306}

將C2的各結(jié)點(diǎn)依次插入到C1的適當(dāng)位置,使插入后編號(hào)漸增這一性質(zhì)保持不變。當(dāng)C2(C1)中結(jié)點(diǎn)可以包含C1(C2)中若干結(jié)點(diǎn)時(shí),則取而代之。另外,如果插入后可以進(jìn)行結(jié)點(diǎn)"壓縮",也應(yīng)該立即進(jìn)行:C1∪C2={12x,300,301,302,303,304,305,306,307}={12x,30x}

八叉樹表示形體的顯示 當(dāng)觀察位置是x1>0,y1<0,z1>0時(shí),最可能被遮擋看不見的是編號(hào)2的子立方體,全部依次排出可以是26034715

z1

y1

x1

優(yōu)先級(jí)<0<0<073561240<0<0>037125604<0>0<051743062<0>0>015307426>0<0<062470351>0<0>026034715>0>0<040652173>0>0>004216537zl>0,y1<0,x1>0優(yōu)先級(jí)26034715。下圖表示形體的線性八叉樹{0x,10,12,13,14,2x,4x,6x,7x}按結(jié)點(diǎn)應(yīng)顯示次序排出的序列就是:{2x,6x,0x,4x,7x,12,10,13,14}0x101213142x4x6x7x第三節(jié)分形

一.分形的概念 三分康托(Cantor)集 設(shè)E0是閉區(qū)間[0,1],即E0是滿足0≤x≤1的實(shí)數(shù)x組成的點(diǎn)集;E1是E0去掉中間1/3之后的點(diǎn)集,即E1是兩個(gè)閉區(qū)間[0,1/3]和[1/3,2/3];E2是分別去掉E1中兩個(gè)區(qū)間的中間1/3之后的點(diǎn)集,即E2已經(jīng)是四個(gè)閉區(qū)間。此過程要繼續(xù)進(jìn)行,Ek是2k個(gè)長(zhǎng)度為1/3k的閉區(qū)間組成的點(diǎn)集。三分康托集F是屬于所有的Ek的點(diǎn)組成的集,即。

F可以看成是集序列Ek當(dāng)k趨于無窮時(shí)的極限。只能畫出k取定時(shí)的某個(gè)Ek。當(dāng)k充分大時(shí),Ek是對(duì)F的很好的近似的表現(xiàn)。

三分康托集是區(qū)間[0,1]中的可以展成以3為底的幕級(jí)數(shù)的下面形式的數(shù)組成的: a13-1+a23-2+a33-3…

其中ai的取值限制為0或2,不取1。為看清這一事實(shí),注意從E0得到E1時(shí),去掉的是ai=1的數(shù),從E1得E2時(shí),去掉的是a2=1的數(shù),并以此類推。

三分康托集具有的一些值得注意的特征,這些特征對(duì)許多其它的分形也是大體上適合的。(1)F是自相似的。E1的兩個(gè)區(qū)間[0,1/3],[1/3,2/3]的每一個(gè),其內(nèi)部F的部分與F整體相似,相似比為1/3。(2)F具有“精細(xì)結(jié)構(gòu)”,即它包含有任意小比例的細(xì)節(jié)。(3)F的實(shí)際定義是簡(jiǎn)單的和明確的。(4)傳統(tǒng)的幾何學(xué)很難描述F的性質(zhì),因?yàn)镕不是滿足某些簡(jiǎn)單條件的點(diǎn)的軌跡,也不是任何簡(jiǎn)單的方程的解的集合。(5)F的局部幾何性質(zhì)也很難描述,在它的每點(diǎn)附近都有大量被各種不同間隔分開的其它點(diǎn)。(6)按傳統(tǒng)幾何學(xué)中的長(zhǎng)度概念,F的長(zhǎng)度為零。就是說,盡管從不可數(shù)集合這點(diǎn)上說F是一個(gè)相當(dāng)大的集,但它卻沒有長(zhǎng)度,或者說長(zhǎng)度不能對(duì)F的形狀或大小提供有意義的描述。vonKoch曲線稱集合F是分形,即認(rèn)為它具有下面典型的性質(zhì):(1)F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu),即有任意小比例的細(xì)節(jié)。(2)F是如此的不規(guī)則以至它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來描述。(3)F具有某種自相似的形式,可能是近似的或是統(tǒng)計(jì)的。(4)一般地,F的"分形維數(shù)"大于它的拓?fù)渚S數(shù)。(5)在大多數(shù)令人感興趣的情形下,F以非常簡(jiǎn)單的方法定義,可能由迭代產(chǎn)生。

Hausdorff維數(shù) 考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形,取一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,若每邊擴(kuò)大2倍,則正方形面積放大4倍,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為22=4,這是2維圖形。對(duì)3維圖形,如考慮邊長(zhǎng)為1的立方體,令每邊長(zhǎng)放大2倍,則立方體體積擴(kuò)大8倍,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為23=8。 類似地,對(duì)一個(gè)Df維的幾何對(duì)象,若每邊長(zhǎng)擴(kuò)大L倍,則這個(gè)幾何對(duì)象相應(yīng)地放大K倍,歸納前述結(jié)果,Df,L,K三者間的關(guān)系式應(yīng)為:

LDf=K

解出Df,有:

Df=lnK/lnL

這里Df不必是整數(shù)。這就是Hausdorff引人的維數(shù)概念,可以稱為Hausdorff維數(shù)(相似性維數(shù))。

假定有一個(gè)單位正方形,把它每邊三等分得九個(gè)小的正方形,九個(gè)小正方形面積總和是原單位正方形面積,即9×(1/3)2=1。現(xiàn)在我們把Df維的幾何對(duì)象等分為N個(gè)小的幾何圖形,則每個(gè)小圖形每維縮小為原來的r倍,而N個(gè)小圖形的總和應(yīng)有N·rDf=1。這時(shí)解出DF,有:

容易看出式(1)和(2)本質(zhì)上是相同的,即這樣引入的也是Hausdorff維數(shù) vonKoch曲線,每次分為4個(gè)小圖形,每個(gè)小圖形縮小1/3倍,故其Hausdorff維數(shù)為DF

:二、分形一般算法規(guī)則分形的生成算法。對(duì)算法的輸入是事先給定的一個(gè)整數(shù)k、源形E0及生成規(guī)則,算法操作步驟如下:voidFractal(RuleR,intk,SourceE0,intm){ /*R分形規(guī)則k分形迭代層數(shù)m分形組成數(shù)E0源形*/ //i記層數(shù)j記生成部分圖形的數(shù)目隊(duì)列Q保存圖形A0記源形 i=0;j=1;Q=φ;A0=E0;

do{ do{ //由A0和R計(jì)算它的m個(gè)分解部分; calculate(A0,R,A1,A2,…,Am); draw(Al,A2,…,Am);//圖形繪制

//生成各部分圖形依次加到隊(duì)尾

insert(A1,A2,…,Am,Q);

A0=delete(Q);//從隊(duì)頭取出一個(gè)部分圖形

j=j+1; }while(j<=m^i); j=1;i++;//進(jìn)入下一層

}while(i<=k);//結(jié)束判斷}

例如:vonKoch曲線 其源形E0可以是一條線段,記其端點(diǎn)坐標(biāo)為P0,P1。 在算法步1,應(yīng)令A(yù)0=E0=(Po,Pl),

在算法步2,需要依據(jù)Po,Pl,計(jì)算圖中P2,P3,P4三點(diǎn)的坐標(biāo)。這樣m=4,分別得到四個(gè)部分圖形是A1=(P0,P2),A2=(P2,P3),A3=(P3,P4),A4=(P4,P1)。 在算法步3,可畫出四條線段P0P2,P2P3,P3P4,P4P1,擦去前次畫線時(shí)可能畫出的P2P4部分。三、VonKoch算法 利用自相似變換來繪制分形 設(shè)D是歐氏空間Rn的閉子集,映射S:D→D稱為是D上的壓縮,如果對(duì)所有D上的點(diǎn)x,y,存在一個(gè)數(shù)c,0<c<1,能使|S(x)-S(y)|≤c|x-y|。如果其中等號(hào)成立,即若|S(x)-S(y)|=c|x-y|,則S把一個(gè)集變成了它的幾何相似集,此時(shí)映射S稱為是相似的。 設(shè)S1,…,Sn是壓縮,稱D的子集F對(duì)變換S1,…,Sn是不變的,如果

三分康托集的情形,這時(shí)令S1,S2是R→R的變換,分別由 P0和P1的坐標(biāo)是(0,0)和(1,0),則可以計(jì)算求出P2,P3,P4的坐標(biāo)是

自相似變換S1和S2是平面變換,可一般地設(shè)變換矩陣為:

第一個(gè)變換S1把點(diǎn)P0,P1,P3,依次變到Po,P3,P2,這就得到:于是有

第二個(gè)變換S2把點(diǎn)P0,P1,P3,依次變到P3,P1,P4,這就得到:于是有因此繪制VonKoch曲線voidvon_Koch_display(void){ x1=0;y1=0;s=1;u=1;//(x1,y1)為初始點(diǎn)

do{ x2=1/2.0*x1+sqrt(3)/6*y1;y2=sqrt(3)/6*x1-1/2.0*y1; x3=1/2.0*x1+sqrt(3)/6*y1+1/2.0;//變換

y3=-sqrt(3)/6*x1-1/2.0*y1+sqrt(3)/6; Setpixel(x2,y2,RGB(0,0,0));//畫點(diǎn)

Setpixel((x3,y3),RGB(0,0,0)); Ps.x=x2;Ps.y=y2;Ps+1.x=x3; Ps+1.y=y3;s=s+2;//〔存貯〕 x1=Pu.x;y1=Pu.y;u++;//〔準(zhǔn)備下次〕 }while(u<=k);//〔結(jié)束判斷〕}

上面的變換能產(chǎn)生很緊松樹樹枝的圖象。四.Julia和Mandelbrot集 設(shè)有復(fù)數(shù)域上如下形式的二次函數(shù):f(z)=z2+c

其中c是復(fù)數(shù)值常數(shù),做迭代操作: zn+1=zn2+c,n=0,1,2,…

研究的問題是: 1.給定z0,當(dāng)參數(shù)c在什么范圍內(nèi)取值能保證|zn|有界

2.當(dāng)c給定,如何選取z0,使|zn|有界?

上述迭代,當(dāng)c=0時(shí),可以有以下三種情況: 1.序列中的數(shù)按模來說越來越小,且趨于零。這時(shí)說零是z→z2的吸引子。所有與坐標(biāo)原點(diǎn)相距小于1的點(diǎn)都產(chǎn)生趨向零的序列。

2.序列中的數(shù)按模來說越來越大,且趨向無窮,這時(shí)"無窮"也稱為過程的吸引子。與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離超過1的所有點(diǎn)都產(chǎn)生趨向無窮的序列; 3.距坐標(biāo)原點(diǎn)為1的點(diǎn),序列總是產(chǎn)生在上面兩個(gè)吸引區(qū)域之間的邊界上,此時(shí)邊界恰為復(fù)平面上的單位圓周。 對(duì)于上述迭代,當(dāng)c≠0時(shí),吸引子不再是零,吸引區(qū)域的邊界不再是光滑的,而是具有自似形的分形結(jié)構(gòu),這種邊界稱為Julia集。

在復(fù)平面上,使z→z2+c的迭代過程成為有界的復(fù)參數(shù)c的集合叫做Mandelbrot。設(shè)復(fù)平面上的迭代過程是: zk+1=zk2+c

分離實(shí)部和虛部,記zk=xk+yki,c=p+qi,有

設(shè)計(jì)算機(jī)顯示屏幕的圖形分辨率是a×b點(diǎn),可顯示顏色是k+1種,以數(shù)字0到k表示,0表示黑色。取定p和q的值,考慮平面上每一點(diǎn)(x,y),探討吸引區(qū)域的結(jié)構(gòu)及其邊界即Julia集。Julia集a=600,b=400,M=100,K=100,p=-0.605,q=-0.43,-1.5≤x≤1.5,-1.5≤y≤1.5,voidJulia(inta,intb,intK,intM,doublep,doubleq){ doublex

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