線性代數(shù)教案第八節(jié)課

線性代數(shù)教案章節(jié)題目§4.線性方程組的解課型理論教學(xué)目的掌握線性方程組有解的充分必要條件.掌握判斷非齊次線性方程組是否有解方法，掌握利用初等變換方程求解方程組.重點(diǎn)利用初等變換求非齊次方程組的解.難點(diǎn)關(guān)于n元線性方程組的相關(guān)定理.參考書目同上教具教學(xué)后記教學(xué)過(guò)程備注復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容。§4線性方程組的解：1.給出n元線性方程組無(wú)解、有唯一解、無(wú)窮多解的充要條件.2.進(jìn)行求解練習(xí)3.介紹關(guān)于矩陣方程有解的充分必要條件.對(duì)書后較難題進(jìn)行講解.作業(yè)：P8012。（1）1315§4線性方程組的解我們知道n未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組可以寫成Axb其中A(aij)x(x1x2xn)Tb(b1b2bm)T矩陣B(Ab)稱為線性方程組的增廣矩陣線性方程組如果有解就稱它是相容的如果無(wú)解就稱它不相容利用系數(shù)矩陣A和增廣矩陣B(Ab)的秩可以方便地討論線性方程組是否有解以及有解時(shí)是否唯一等問(wèn)題其結(jié)論是定理1n元線性方程組Axb(1)無(wú)解的充分必要條件是R(A)R(Ab)(2)有唯一解的充分必要條件是R(A)R(Ab)n(3)有無(wú)限多解的充分必要條件是R(A)R(Ab)n注Axb無(wú)解R(A)R(Ab)的幾種等價(jià)敘述①Axb有解R(A)R(Ab)②Axb無(wú)解R(A)R(Ab)R(A)R(Ab)Axb無(wú)解③R(A)R(Ab)Axb有解R(A)R(Ab)Axb無(wú)解只需證明R(A)R(Ab)Axb無(wú)解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有無(wú)限多解定理1還可敘述為線性方程組Axb有解的充分必要條件是R(A)R(Ab)在有解的情況下若如R(A)R(Ab)n則有唯一解如果R(A)R(Ab)n則有無(wú)限多解證明只需證明條件的充分性因?yàn)?1)、(2)、(3)中條件的必要性依次是(2)(3)、(1)(3)、(1)(2)中條件的充分性的逆否命題設(shè)R(A)r為敘述方便不妨設(shè)B(Ab)的行最簡(jiǎn)形為(1)若R(A)R(B)則中的dr11于是的第r1行對(duì)應(yīng)矛盾方程01故方程Axb無(wú)解(2)若R(A)R(Ab)n則中的dr10(或dr1不出現(xiàn))且bij都不出現(xiàn)于是對(duì)應(yīng)方程組故方程Axb有唯一解(3)若R(A)R(Ab)n則中的dr10(或dr1不出現(xiàn))對(duì)應(yīng)方程組令自由未知數(shù)xr1c1xncnr即得方程Axb的含nr個(gè)參數(shù)的解由于參數(shù)可任意取值故方程Axb有無(wú)限多個(gè)解方程Axb的含參數(shù)的解稱為方程Axb的通解注Axb無(wú)解R(A)R(Ab)的幾種等價(jià)敘述①Axb有解R(A)R(Ab)②Axb無(wú)解R(A)R(Ab)R(A)R(Ab)Axb無(wú)解③R(A)R(Ab)Axb有解R(A)R(Ab)Axb無(wú)解只需證明R(A)R(Ab)Axb無(wú)解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有無(wú)限多解R(A)R(Ab)Axb無(wú)解的證明若R(A)rR(Ab)則B=(Ab)的行最簡(jiǎn)形必具有如下形式于是B0的第r1行對(duì)應(yīng)矛盾方程01故方程Axb無(wú)解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解的證明若R(A)R(Ab)n則B=(Ab)的行最簡(jiǎn)形必具有如下形式B0對(duì)應(yīng)方程組為故方程Axb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有無(wú)限多解的證明若R(A)R(Ab)=rn則B=(Ab)的行最簡(jiǎn)形必具有如下形式B0對(duì)應(yīng)方程組為令自由未知數(shù)xr1c1xncnr即得方程Axb的含nr個(gè)參數(shù)的解由于參數(shù)可任意取值故方程Axb有無(wú)限多個(gè)解當(dāng)方程組有無(wú)限多個(gè)解時(shí)其解的形式為令自由未知數(shù)xr1c1xncnr即得方程Axb的含n這種含參數(shù)的解稱為方程Axb的通解求解線性方程組Axb的步驟(1)對(duì)于非齊次線性方程組把它的增廣矩陣B化成行階梯形從B的行階梯形可同時(shí)看出R(A)和R(B)若R(A)R(B)則方程組無(wú)解(2)若R(A)R(B)則進(jìn)一步把B化成行最簡(jiǎn)形而對(duì)于齊次線性方程組則把系數(shù)矩陣A化成行最簡(jiǎn)形(3)設(shè)R(A)R(B)r把行最簡(jiǎn)形中r個(gè)非零行的首非零元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)其余nr個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù)并令自由未知數(shù)分別等于c1c2cnr由B(或A)的行最簡(jiǎn)形即可寫出含nr個(gè)參數(shù)的通解例11求解齊次線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣即得與原方程組同解的方程組由此得(x3x4可任意取值)令x3c1x4c2其中c1c2例12求解齊次線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣即得與原方程組同解的方程組由此得或其中c1c2例13求解非齊次線性方程組.解對(duì)增廣矩陣B施行初等行變換,.可見(jiàn)R(A)=2,R(B)=3,故方程組無(wú)解.例14求解非齊次線性方程組.解因?yàn)樗约?c1c2為任意實(shí)數(shù))例15設(shè)有線性方程組問(wèn)取何值時(shí)此方程組(1)有唯一解(2)無(wú)解(3)有無(wú)限多個(gè)解？并在有無(wú)限多解時(shí)求其通解解法一對(duì)增廣矩陣B(Ab)作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣有(1)當(dāng)0且3時(shí)R(A)R(B)3方程組有唯一解(2)當(dāng)0時(shí)R(A)1R(B)2方程組有無(wú)解(3)當(dāng)3時(shí)R(A)R(B)2方程組有無(wú)限多個(gè)解這時(shí)由此便得通解(x3可任意取值)即(cR)解法二因系數(shù)矩陣A為方陣故方程有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式|A|0而(3)2因此當(dāng)0且3時(shí)方程組有唯一解當(dāng)0時(shí)知R(A)1R(B)2故方程組無(wú)解當(dāng)3時(shí)知R(A)R(B)2故方程組有無(wú)限多個(gè)解并通解為(cR)定理2線性方程組Axb有解的充分必要條件是R(A)R(Ab)定理3n元齊次線性方程組Ax0有非零解的充分必要條件是R(A)n定理4矩陣方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(AB)證明設(shè)A為mn矩陣B為nl矩陣則X為ml矩陣把X和B按列分塊記為X(x1x2xl)B(b1b2bl)則矩陣方程AXB等價(jià)于l個(gè)向量方程Axibi(i12l)先證充分性設(shè)R(A)R(AB)由于R(A)R(Abi)R(AB)故有R(A)R(Abi)從而根據(jù)定理2知l個(gè)向量方程Axibi(i12l再證必要性設(shè)矩陣方程AXB有解從而l個(gè)向量方程Axibi(i12l)都有解xi(1i2ini)T(i12l)記A(a1a2an1ia12ia2nianbi對(duì)矩陣(AB)(a1a2anb1b2bcn11ic1nicn(i12l)便把(AB)的第n1列、、第nl列都變?yōu)?即因此R(AB)R(A)證明設(shè)X=(x1,x2,×××,xl),B=(b1,b2,×××,bl),則AX=B可寫成AX=(b1,b2,×××,bl).于是方程AX=B有解的充要條件是方程Axi=bi(i=1,2,×先證充分性.設(shè)R(A)=R(A,B),由于R(A)￡R(A,bi)￡R(A,B),故有R(A)=R(A,bi),從而方程Axi=bi(i=1,2,×××,l)都有解再證必要性.設(shè)R(A)1R(A,B),即R(A)R(A,B)則至少可以找到一個(gè)bi(1il)使得R(A)R(A,bi)因此方程Axi=bi無(wú)解從而方程AX=B也無(wú)解定理5設(shè)ABC則R(C)min{R(A)R(B)}