湖南省長(zhǎng)沙市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考四試卷含解析

Page18湖南省長(zhǎng)沙市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考(四)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.，若，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先確定全集中的元素，由得到集合.【詳解】，由，∴.故選：A2.函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，，，，所以函?shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C3.已知函數(shù)，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先對(duì)求導(dǎo)，再代入即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，故，即，所?故選：B.4.在雙曲線中，虛軸長(zhǎng)為6，且雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)雙曲線虛軸長(zhǎng)度為6，即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；易得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，由雙曲線虛軸長(zhǎng)為6可知，所以；所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.5.已知向量，且，則（）A.68 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意利用兩個(gè)向量的模相等，求得的值，再用兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】已知向量，,，即，又，，故，.故選：D.6.為了解某種產(chǎn)品與原材料之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該產(chǎn)品5個(gè)不同時(shí)段的產(chǎn)品與原材料的價(jià)格，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：原材料價(jià)格（萬元/噸）產(chǎn)品價(jià)格（萬元/件但是統(tǒng)計(jì)員不當(dāng)心丟失了一個(gè)數(shù)據(jù)（用代替），在數(shù)據(jù)丟失之前得到回來直線方程為，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得樣本中心，再將樣本中心代入回來直線方程即可求得的值.【詳解】依題意，得，，因?yàn)楸剡^，所以，解得，所以.故選：A.7.的綻開式中，的系數(shù)為（）A.60 B. C.120 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)的通項(xiàng)為，設(shè)的通項(xiàng)為,即得解.【詳解】解：設(shè)的通項(xiàng)為，設(shè)的通項(xiàng)為，令所以的系數(shù)為.故選：A8.三棱錐中，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先取中點(diǎn)，連接，.通過勾股定理求解，的長(zhǎng)度，并利用余弦定理求解的值.然后分別過三角形與的外心作平面的垂線，垂線交于球心，最終求解的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用勾股定理求解外接球半徑.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，.且為中點(diǎn)，，，同理可得.又，，，即，過的外心作平面的垂線為，垂足為，同理過的外心作平面的垂線為，并設(shè)，易知為球心.連接，，.為的外心，，又在中，，得，即外接球半徑，故外接球表面積.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.的虛部為1C. D.【答案】AC【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后求出的共軛復(fù)數(shù)即可驗(yàn)證選項(xiàng)AB，求出復(fù)數(shù)的模驗(yàn)證選項(xiàng)C，化簡(jiǎn)選項(xiàng)D即可【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；的虛部為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由，故選項(xiàng)C正確，由，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.10.對(duì)拋物線，下列描述不正確的是（）A.開口向上，焦點(diǎn)為 B.開口向上，焦點(diǎn)為C.準(zhǔn)線方程為 D.準(zhǔn)線方程為【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)拋物線定義即可推斷其開口方向，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.【詳解】依據(jù)拋物線定義可知，拋物線對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，所以，拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即；所以準(zhǔn)線方程為；因此選項(xiàng)AD正確.故選：BC.11.已知直線，則（）A.若，則B.若，則C.若與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則D.當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第一象限【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于AB，依據(jù)線線位置關(guān)系推斷即可；對(duì)于C，由題得即可解決；對(duì)于D，數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】由題知，直線對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，解得，故B正確；對(duì)于C，在直線中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，解得，故C正確；對(duì)于D，由題知當(dāng)時(shí)，圖象為故D正確；故選：BCD12.某校3200名中學(xué)生實(shí)行了一次法律常識(shí)考試，其成果大致聽從正態(tài)分布，設(shè)表示其分?jǐn)?shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）（附：若隨機(jī)變量聽從正態(tài)布，則）A.B.C.分?jǐn)?shù)在的學(xué)生數(shù)大約為2185D.分?jǐn)?shù)大于94的學(xué)生數(shù)大約為4【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的學(xué)問確定A選項(xiàng)正確性，由正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義及對(duì)稱性確定BCD選項(xiàng)的正確性.【詳解】，∴，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，，C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.將半徑為4的半圓卷成一個(gè)圓錐，則圓錐底面半徑為________，圓錐的體積為________．【答案】①.2，②.【解析】【分析】依據(jù)側(cè)面綻開圖列方程計(jì)算圓錐的底面半徑，依據(jù)勾股定理計(jì)算圓錐的高，代入體積公式計(jì)算即可.【詳解】明顯圓錐母線長(zhǎng)為設(shè)圓錐的底面半徑為，則即,所以圓錐的高圓錐的體積故答案為：2，.14.寫出一個(gè)最小正周期為12的奇函數(shù)__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題意聯(lián)系三角函數(shù)，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)樗蠛瘮?shù)的最小正周期為12，又因?yàn)樗蠛瘮?shù)為奇函數(shù)，所以.故答案為：（答案不唯一）15.已知函數(shù)，若，則__________．【答案】或或【解析】【分析】分兩種狀況，化簡(jiǎn)，可得答案.【詳解】若或，得或；若.綜上，或或.故答案為：或或16.某校電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學(xué)生的屆別+班級(jí)+學(xué)號(hào)+特殊碼構(gòu)成．這個(gè)特殊碼與如圖數(shù)表有關(guān)，數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)的和寫在這兩個(gè)數(shù)正中間下方得到．以此類推，特殊碼是學(xué)生屆別數(shù)對(duì)應(yīng)表中相應(yīng)行的自左向右第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，如：1997屆3班21號(hào)學(xué)生的登陸碼為1997321*．（*為表中第1997行第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字）．若某學(xué)生的登錄碼為202*2138（），則可以推斷該學(xué)生是__________屆2班13號(hào)學(xué)生．【答案】或##或【解析】【分析】依據(jù)圖數(shù)表歸納出第行第個(gè)數(shù)為，依據(jù)通項(xiàng)公式進(jìn)而得到的個(gè)位數(shù)呈周期性改變，且周期為4，然后依據(jù)題意將代入分別檢驗(yàn)即可求解.【詳解】依據(jù)圖數(shù)表發(fā)覺：第行的前兩個(gè)數(shù)之差為，設(shè)第的第一個(gè)數(shù)為，則，等式兩邊同時(shí)除以可得：，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，所以，因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)為：的規(guī)律，所以的個(gè)位數(shù)呈周期性改變，且周期為4，因?yàn)?，所以，若，則，因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為；若，則，因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為；若，則，因?yàn)椋缘膫€(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為；若，則，因?yàn)椋缘膫€(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為；因?yàn)?02*2138（）的個(gè)位數(shù)為8，所以或，故答案為：或.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步聚．17.已知等差數(shù)列滿意，前4項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿意，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題干條件分別求出公差d和首項(xiàng)，再代入公式即可；（2）由（1）求得的數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算和，進(jìn)而得到數(shù)列的首項(xiàng)和公比，最終代入等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由題可知，，所以.又，所以.故的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）知，，于是等比數(shù)列的公比為，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，的前項(xiàng)和為.18.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是．已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理角化邊得，再依據(jù)余弦定理可求出結(jié)果；（2）由正弦定理求出，再求出，再依據(jù)兩角和的正弦公式求出，最終依據(jù)三角形的面積公式可求出結(jié)果.小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?【小問2詳解】由得，所以，所以，所以的面積為.19.2024年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorldCupQatar2024）是其次十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)實(shí)行?也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年其次次在亞洲實(shí)行的界杯足球賽，體育生更是酷愛觀看世界杯，某體育學(xué)院統(tǒng)計(jì)了該校足球系10個(gè)班級(jí)的學(xué)生喜愛觀看世界杯的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表所示：班級(jí)12345喜愛觀看世界杯的人數(shù)3935383836班級(jí)678910喜愛觀看世界杯的人數(shù)3940374038（1）該校安排從這10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取3個(gè)班級(jí)的學(xué)生，就世界杯各國(guó)水平發(fā)揮進(jìn)行交談，求這3個(gè)班級(jí)喜愛觀看世界杯的人數(shù)不全相同的概率；（2）從10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)選取一個(gè)班級(jí)，記這個(gè)班級(jí)喜愛觀看世界杯的人數(shù)為X，用上表中的頻率估計(jì)概率，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】(1)“不全相同”是指可以部分相同，三個(gè)班完全相同只有一種狀況，就是抽取的三個(gè)班恰好是3,4,10班；(2)依據(jù)表格計(jì)算出人數(shù)為35,36,37,38,39,40人的頻率，再依據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算.【小問1詳解】從10個(gè)班任取3個(gè)班有種選法，人數(shù)完全相同只有1種選法，就是恰好抽取3,4,10班，3個(gè)班級(jí)喜愛看世界杯的人數(shù)不全相同的概率；【小問2詳解】依據(jù)表格知：任取1個(gè)班人數(shù)為35,36,37,38,39,40的概率為0.1，0.1，0.1，0.3，0.2，0.2，分布列如下表：人數(shù)353637383940概率0.10.1010.30.20.2數(shù)學(xué)期望(人)；綜上，（1）3個(gè)班級(jí)喜愛看世界杯的人數(shù)不全相同的概率；（2）數(shù)學(xué)期望為38.20.如圖，在四棱錐中，底面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，且底面，底面，所?所以以方向分別為軸建系如圖，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，所以，所以，所以平面平面.【小問2詳解】因?yàn)榈酌?底面,所以，且，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成角為，所以，所以面與平面所成角的余弦值為.21.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．（1）求雙曲線方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知可求出，，即可求出雙曲線的方程；（2）設(shè)，，.設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立得到，依據(jù)韋達(dá)定理求出，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，整理得到，因?yàn)樵撌綖槌?shù)，所以有，求出，代入即可求出常數(shù).【小問1詳解】由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線焦點(diǎn)，.則到漸近線，即的距離為，所以，又漸近線的斜率為2，即，所以，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】由已知可得，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則.聯(lián)立直線的方程與雙曲線的方程可得，，設(shè)，，.當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，不滿意題意，所以，.，解得，且.由韋達(dá)定理可得，，且，.又，，則，因?yàn)?，，所以，要使為常?shù)，則應(yīng)與無關(guān)，即應(yīng)有，解得，此時(shí)是個(gè)常數(shù)，這樣的點(diǎn)存在.所以，在軸上存在定點(diǎn)的坐標(biāo)為，使得為常數(shù).22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的最值；（2）若，當(dāng)時(shí)，推斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）最小值為，最大值為（2）時(shí)，函數(shù)在R上只有1個(gè)零點(diǎn).，理由見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到極值和最值狀況；（2）先求定義域，再求導(dǎo)，，令，分，與三種狀況，進(jìn)行探討，得到的單調(diào)性及極值，最值狀況，得到答案.【小問1詳解】，，，令得：，令得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得微小值，也是最小值，，又，，其中，故；【小問2詳解】，定義域?yàn)镽，，令，當(dāng)時(shí)，則，，故在R上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，恒成立，綜上：在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理可知：在R上只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，其中，，令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，所以存在唯一，使得，即，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，在R上只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在唯一，使得，即，?dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因