山西省晉中市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試試題

第16頁/共18頁2024~2024學(xué)年第一學(xué)期開學(xué)考試高二數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，然后依據(jù)集合并集補(bǔ)集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿意，則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出z，然后由虛部定義可得.【詳解】由題得所以復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：A3.圖1、圖2分別是甲、乙兩戶居民家庭全年各項(xiàng)支出的統(tǒng)計(jì)圖．依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列說法肯定正確的是（）

A.甲戶的家庭全年各項(xiàng)支出比乙戶的家庭全年各項(xiàng)支出高B.乙戶的教化支出占全年總支出的百分比比甲戶的教化支出占全年總支出的百分比大C.甲戶的食品支出比乙戶的食品支出高D.甲戶的其他支出占全年總支出的百分比比乙戶的其他支出占全年總支出的百分比小【答案】B【解析】【分析】由條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖依次推斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由圖2無法確定乙戶的家庭全年總支出和各項(xiàng)支出，故無法比較甲乙的總支出及各項(xiàng)支出，故A選項(xiàng)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，乙戶的教化支出占全年總支出的百分比為，甲戶的教化支出占全年總支出的百分比為，B正確；對(duì)于D，甲戶的其他支出占全年總支出的百分比為，乙戶的其他支出占全年總支出的百分比為，D錯(cuò)誤.故選：B.4.打靶次，事務(wù)表示“擊中發(fā)”，其中、、、.那么表示（）A.全部擊中 B.至少擊中發(fā)C.至少擊中發(fā) D.以上均不正確【答案】B【解析】【分析】利用并事務(wù)的定義可得出結(jié)論.【詳解】所表示的含義是、、這三個(gè)事務(wù)中至少有一個(gè)發(fā)生，即可能擊中發(fā)、發(fā)或發(fā).故選：B.5.已知m，n是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若m，n是異面直線，且，，，則【答案】A【解析】【分析】由線面平行，線面垂直，面面垂直的性質(zhì)和判定分析推斷即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，所以A正確，對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，與可能平行，可能相交不垂直，也可能垂直，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，與可能垂直，可能平行，可能平面內(nèi)，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)m，n是異面直線，且，，時(shí)，與平面可能平行，可能相交，所以D錯(cuò)誤，故選：A6.若，且，則的值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知求出，再依據(jù)結(jié)合兩角差正弦公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所?故選：C.7.已知條件p：，條件q：（其中），若p是q的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別解出兩個(gè)不等式，再依據(jù)p是q的必要而不充分條件，可得對(duì)應(yīng)得集合是對(duì)應(yīng)得集合的真子集，列出不等式組，從而可得出答案.【詳解】解：由，得，所以，由，得，所以，因?yàn)镻是q的必要而不充分條件，所以所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：C.8.已知z為復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓，進(jìn)而利用點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離來求解.【詳解】法一：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓，表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離.因?yàn)辄c(diǎn)與原點(diǎn)O的距離，所以的最小值是，最大值是，故的取值范圍是.故選:C.法二：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿意，不妨設(shè)，,則.因?yàn)椋?，所以的取值范圍?故選:C.9.已知直三棱柱，O為正三角形ABC的外心，則異面直線與OB所成角的正弦值為（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】可畫出圖形，依據(jù)題意知為的垂心，從而得出，進(jìn)而得出平面，進(jìn)而得出，從而可得出異面直線與所成角的大小，即可求解．【詳解】解：如圖，是等邊三角形，且為的外心，是的垂心，，且平面，平面，，且，平面，且平面，，異面直線與所成角的大小為，異面直線與所成角的正弦值的大小為1.故選：B．10.函數(shù)（，）圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為，且點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，從而可求得，再將點(diǎn)代入求得，再依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，）圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為，所以，所以，所以，則，因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，所以，所以，故，又因，所以，所以，令，則，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為.故選：A.11.如圖，是等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，可得E為AD中點(diǎn)，依據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，即可得答案.【詳解】∵D在線段BC上，且，∴，又E為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，∴，則E為AD的中點(diǎn)，又，，所以，故選：D12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得出，，分別令、，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于、的等式組，解出、的值，即可得出函數(shù)在上的解析式，再利用函數(shù)的對(duì)稱性可求得結(jié)果.【詳解】由是奇函數(shù)，得，①由是偶函數(shù)，得、②.令，由①得，由②得：，又，所以，即，令，由①得：，又，所以，即，則，代入，得，所以時(shí)，.所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】利用，進(jìn)而可以求解.【詳解】由，故數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位數(shù)為.故答案：14.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】先由誘導(dǎo)公式結(jié)合易知求得，再由倍角公式及平方關(guān)系結(jié)合齊次分式求解即可.【詳解】由，則，又.故答案為：.15.已知、，且，則的取值范圍是___.【答案】【解析】【分析】由題意可得，將題中等式變形為，在等式兩邊同時(shí)乘以，利用基本不等式可得出關(guān)于的二次不等式，解此二次不等式可得出的取值范圍.【詳解】、，，，，，所以，即，，解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的取值范圍，利用基本不等式構(gòu)造二次不等式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.16.在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的半徑為_________.【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)三棱錐的外接球球心為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接、、，利用點(diǎn)、分別是、的外接圓圓心計(jì)算可得答案.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接、，依據(jù)，得，，且，又，∴是正三角形，，設(shè)三棱錐的外接球球心為，易知在內(nèi)部，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接、、，則點(diǎn)、分別是、的外接圓圓心，且，在中，，，∴，在中，，設(shè)球的半徑為，則，得.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：找到球心并利用球的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，的夾角為，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算；（2）把模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計(jì)算．【小問1詳解】因?yàn)橄蛄?，的夾角為，且，，所以．所以．【小問2詳解】．18.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求角的大??；（2）若外接圓的面積為，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再由余弦定理即可求解；（2）由外接圓面積可得半徑，由正弦定理可得c，代入三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理，得，整理得，由余弦定理，?因?yàn)?，所?【小問2詳解】設(shè)外接圓的半徑為，則，所以.由正弦定理，得，所以.因?yàn)?，，所以是等邊三角?所以的面積為.19.某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的平安防范系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在隨意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和．（1）求在隨意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率；（2）求系統(tǒng)B在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用對(duì)立事務(wù)和相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意即求次檢測(cè)中有次發(fā)生故障或次發(fā)生故障，利用相互獨(dú)立事務(wù)和互斥事務(wù)的概率公式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事務(wù)C，那么．【小問2詳解】解：設(shè)“系統(tǒng)在次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事務(wù)，則次檢測(cè)中有次發(fā)生故障或次發(fā)生故障，所求概率．20.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，作，交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，G分別為線段PD，DC的中點(diǎn)．（1）證明：平面BEF；（2）求點(diǎn)E到平面BFG的距離．【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先由垂直證明出三角形相像，進(jìn)而由對(duì)應(yīng)線段的比相等求出，E為AD中點(diǎn)，由線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而證明出線面垂直；（2）等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，故PA⊥AC，因?yàn)?，所以，又，故，又因?yàn)椤螦BC=∠BAD，故，故，即，解得：，即E為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)F，G分別為線段PD，DC的中點(diǎn)，所以EF∥PA，因?yàn)镻A⊥AC，故EF⊥AC，又，，所以AC⊥平面BEF；小問2詳解】由勾股定理得：，，，由于，所以，故，由（1）知：EF⊥平面ABCD且，故，由勾股定理得：，，在三角形BGF中，由余弦定理得：，故，所以，設(shè)點(diǎn)E到平面BFG的距離為h，則，解得：，故點(diǎn)E到平面BFG的距離為.21.某新能源汽車制造公司，為激勵(lì)消費(fèi)者購(gòu)買其生產(chǎn)的新能源汽車，約定從今年元月起先，凡購(gòu)買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將賜予適當(dāng)金額的購(gòu)車補(bǔ)貼．某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)已購(gòu)買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）估計(jì)已購(gòu)買該品牌汽車的消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)；（精確到0.01）（3）現(xiàn)在要從購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在間用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，求抽到2人中購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在間的概率．【答案】（1）；（2）平均數(shù)的估計(jì)值為3.5萬元，中位數(shù)的估計(jì)值為3.33萬元；（3）.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖全部頻率和為1可求得；（2）利用頻率分布直方圖中每組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)頻率相加可求得平均數(shù)，推斷中位數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間，求出頻率0.5對(duì)應(yīng)的值即為中位數(shù)；（3）先算出從購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在的6人中，在間的有4人，然后依據(jù)列舉法列出全部可能的基本領(lǐng)件15種，選出都在預(yù)期值間的狀況6種，利用古典概型公式計(jì)算即可?！拘?詳解】由題意知，，解得．【小問2詳解】平均數(shù)的估計(jì)值為萬元因?yàn)椋瑒t中位數(shù)在區(qū)間（3，4）內(nèi)．設(shè)中位數(shù)為，則，得，所以中位數(shù)的估計(jì)值為3.33萬元．【小問3詳解】從購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，5）間用分層抽樣的方法抽取6人，則購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，4）間的有4人，記為a，b，c，d，購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[4，5）間的有2人，記為A，B，則基本領(lǐng)件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15種狀況．其中購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6種狀況，所以抽到2人中購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間的概率．22.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求不等式的解集；（3）若關(guān)于x不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）（