上海市2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年上海市八年級（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷一.選擇題（本題共6題，每題3分，滿分18分）【每題只有一個正確選項(xiàng)，在答題紙相應(yīng)位置填涂】1．（3分）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．2．（3分）直線不經(jīng)過點(diǎn)（）A．（﹣2，3） B．（0，0） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）3．（3分）用下列幾組邊長構(gòu)成的三角形中哪一組不是直角三角形（）A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2，4．（3分）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，△ABC的周長為19，△ABE的周長為13，則AC的長為（）A．16 B．3 C．12 D．65．（3分）某種時裝，平均每天銷售20件，每件盈利40元，若每件降價1元，則每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若設(shè)每件可降價x元，根據(jù)題意列出的方程是（）A．（40﹣x）（20﹣5x）＝1600 B．（40﹣x）（20+5x）＝1600 C．（40+x）（20+5x）＝1600 D．（40﹣5x）（20+5x）＝16006．（3分）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a、b、c，記P＝，則其面積這個公式也被稱為海倫一秦九韶公式．若P＝5，c＝4，則此三角形面積的值可以是（）A． B．6 C．2 D．5二.填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（3分）化簡：＝.8．（3分）計(jì)算：2＝．9．（3分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x2﹣3x+1＝．10．（3分）函數(shù)y＝2x2+3x﹣1的定義域是．11．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，則∠A＝度．12．（3分）寫出命題“全等三角形的面積相等”的逆命題，并判斷逆命題是真命題還是假命題：逆命題是：，這個命題是命題．（填“真”或“假”）13．（3分）某工廠計(jì)劃用三年時間把原產(chǎn)量從100臺增加到500臺，已知每年產(chǎn)量增長的百分率相同．設(shè)每年產(chǎn)量增長的百分率為x，可列出的方程為．14．（3分）已知A（﹣2，﹣1）和B（m，3）是一個正比例函數(shù)圖象上的兩個點(diǎn)，那么m的值是．15．（3分）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠CBA，且交AC于點(diǎn)D，AC＝1，那么AD的長是．16．（3分）如果一個三角形一邊上的高等于這邊的一半，我們稱這樣的三角形為“和諧三角形”．已知斜邊為5的Rt△ABC是“和諧三角形”，那么這個三角形的面積是．17．（3分）如圖，點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，且橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)P作兩條坐標(biāo)軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A、B，且A在第二象限，那么PA：PB值為．18．（3分）△ABC中，∠ABC是銳角，∠ABC與∠BAC的平分線交于點(diǎn)D，過A作AE⊥AD交BD的延長線于點(diǎn)E．當(dāng)△ABC是直角三角形，且△ADE與△ABC中有一個銳角相等時，∠ABC的度數(shù)是．三.解答題（本大題共8題，滿分66分）19．（6分）計(jì)算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+．20．（6分）解方程：（x+2）2＝﹣2x．21．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k+1＝0，若該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．22．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上的一點(diǎn)，AD＝AB．求證：∠BAD＝2∠C．23．（6分）如圖，已知線段a，點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)．（1）用直尺和圓規(guī)在第一象限內(nèi)作出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且與點(diǎn)A的距離等于a．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），求過P點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式，并寫出該函數(shù)的增減性．24．（10分）為了響應(yīng)“低碳環(huán)保，綠色出行”的公益活動，小燕和媽媽決定周日騎自行車去圖書館借書．她們同時從家出發(fā)，小燕先以150米/分的速度騎行一段時間，休息了5分鐘，再以m米/分鐘的速度到達(dá)圖書館，而媽媽始終以120米/分鐘的速度騎行，兩人行駛的路程y（米）與時間x（分鐘）的關(guān)系如圖，請結(jié)合圖象，解答下列問題：（1）圖書館到小燕家的距離是米；（2）a＝，b＝，m＝；（3）媽媽行駛的路程y（米）關(guān)于時間x（分鐘）的函數(shù)解析式是；定義域是．25．（12分）如果點(diǎn)M、N分別在角的兩邊上，且到該角平分線上的點(diǎn)P的距離相等，就稱點(diǎn)M、N是關(guān)于點(diǎn)P的“制衡點(diǎn)”，而△PMN叫點(diǎn)P的“制衡三角形”，已知，如圖，∠BAC＝60°，G為∠BAC平分線上一點(diǎn)，EG∥AC，EG交AB于點(diǎn)E，GH⊥AC，垂足為H，．（1）求EG的長；（2）如果點(diǎn)E、D是關(guān)于點(diǎn)G的“制衡點(diǎn)”，請?jiān)趫D中畫出符合條件的點(diǎn)D，并求出點(diǎn)G的“制衡三角形”的周長．26．（14分）小明在研究平面幾何知識時，意識到等腰三角形和直角三角形經(jīng)常同時出現(xiàn)，比如：等腰三角形三線合一：再比如：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．等等．在此基礎(chǔ)上，小明同學(xué)還做了一些研究，并邀請你參加．已知△ABC中，AB＝AC，將△ABC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E，聯(lián)結(jié)CD．（1）求證∠BCD＝90°；（2）點(diǎn)F在邊DC上（且F不與點(diǎn)C、D重合），聯(lián)結(jié)AF，過A作AG⊥AF，交射線CB于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)FG，小明發(fā)現(xiàn)線段FG、DF、BG能夠組成一個直角三角形，你認(rèn)為小明的發(fā)現(xiàn)正確嗎？如果正確，請證明，如果不正確，請說明理由；（3）在（2）的條件下，已知AB＝5，BC＝6，設(shè)CF＝x，BG＝y(tǒng)，直接寫出y與x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

2024-2025學(xué)年上海市八年級（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷一.選擇題（本題共6題，每題3分，滿分18分）【每題只有一個正確選項(xiàng)，在答題紙相應(yīng)位置填涂】1．（3分）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A.＝，故A不符合題意；B.是最簡二次根式，故B符合題意；C.＝|a|，故C不符合題意；D.＝2，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）直線不經(jīng)過點(diǎn)（）A．（﹣2，3） B．（0，0） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）【分析】直接把各點(diǎn)代入直線進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：A、當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣×（﹣2）＝≠3，故直線不經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，3）；B、當(dāng)x＝0時，y＝﹣×0＝0，故直線經(jīng)過點(diǎn)（0，0）；C、當(dāng)x＝3時，y＝﹣×3＝﹣2，故直線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣2）；D、當(dāng)x＝﹣3時，y＝﹣×（﹣3）＝2，故直線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，2）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．3．（3分）用下列幾組邊長構(gòu)成的三角形中哪一組不是直角三角形（）A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2，【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，這個就不是直角三角形．【解答】解：A、∵82+152＝172，∴此三角形為直角三角形，故選項(xiàng)錯誤；B、∵（）2+（）2＝（）2，∴此三角形是直角三角形，故選項(xiàng)錯誤；C、∵（）2+22≠（）2，∴此三角形不是直角三角形，故選項(xiàng)正確；D、∵12+22＝（）2，∴此三角形為直角三角形，故選項(xiàng)錯誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．4．（3分）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，△ABC的周長為19，△ABE的周長為13，則AC的長為（）A．16 B．3 C．12 D．6【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝CE，則利用△ABE的周長為13和等線段代換得到AB+BC＝13，然后根據(jù)△ABC的周長為19可求得AC的長．【解答】解：∵AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，∴AE＝CE，∵△ABE的周長為13，∴AB+BE+AE＝13，∴AB+BE+CE＝13，即AB+BC＝13，∵△ABC的周長為19，∴AB+BC+AC＝19，∴AC＝19﹣13＝6．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．5．（3分）某種時裝，平均每天銷售20件，每件盈利40元，若每件降價1元，則每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若設(shè)每件可降價x元，根據(jù)題意列出的方程是（）A．（40﹣x）（20﹣5x）＝1600 B．（40﹣x）（20+5x）＝1600 C．（40+x）（20+5x）＝1600 D．（40﹣5x）（20+5x）＝1600【分析】如果設(shè)每件降價x，那么降價后每件盈利（40﹣x）元，每天銷售的數(shù)量為（20+5x）件，根據(jù)每天要盈利1600元，即可列出方程．【解答】解：根據(jù)題意，得：（40﹣x）（20+5x）＝1600．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，得到現(xiàn)在的銷售量是解決本題的難點(diǎn)；根據(jù)每天盈利得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．6．（3分）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a、b、c，記P＝，則其面積這個公式也被稱為海倫一秦九韶公式．若P＝5，c＝4，則此三角形面積的值可以是（）A． B．6 C．2 D．5【分析】由題可知a+b＝6，S＝，把c＝4，b＝6﹣a代入S的表達(dá)式中，再利用三角形三邊關(guān)系確定a的取值范圍，則可以確定S的取值范圍，從選項(xiàng)中選出符合條件的答案即可．【解答】解：∵P＝，P＝5，c＝4，∴a+b＝6，∴b＝a﹣6，∴S＝＝＝＝＝，又∵三角形三邊關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，∴1＜a＜5，∴0≤（a﹣3）2＜4，當(dāng)a＝3時，S為最大值，S＝，∴0＜S≤，題目中符合S的取值范圍的值只有，故選：C．【點(diǎn)評】解題的關(guān)鍵是用僅有未知數(shù)a的方程式表達(dá)S，再結(jié)合二次根式的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系進(jìn)行分析，即可得出s的最大值和最小值．二.填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（3分）化簡：＝.【分析】先把被開方數(shù)的分子和分母同時乘以a，然后逆用二次根式的除法法則和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【解答】解：原式＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的化簡，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的除法法則和二次根式的性質(zhì)．8．（3分）計(jì)算：2＝．【分析】先把二次根式化簡成最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握化簡二次根式為最簡二次根式．9．（3分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x2﹣3x+1＝．【分析】根據(jù)x2﹣3x+1＝0的解為：x＝，根據(jù)求根公式的分解方法和特點(diǎn)得出答案．【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0的解為：x＝，∴x2﹣3x+1＝（x﹣）（x﹣）．故答案為：（x﹣）（x﹣）．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，利用求根公式法得出方程的根再分解因式是解決問題的關(guān)鍵．10．（3分）函數(shù)y＝2x2+3x﹣1的定義域是全體實(shí)數(shù)．【分析】利用代數(shù)式有意義的條件求解．【解答】解：函數(shù)y＝2x2+3x﹣1的定義域是全體實(shí)數(shù)．故答案為：全體實(shí)數(shù)．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，x的取值范圍為全體實(shí)數(shù)．11．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，則∠A＝33度．【分析】已知∠A比∠B小24°，先設(shè)∠A為x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，然后再求解即可．【解答】解：設(shè)∠A為x．則90°+x+x+24°＝180°，解得x＝33°．即∠A＝33°．故答案為：33．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理．解答的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)∠A為x，列方程求解即可．12．（3分）寫出命題“全等三角形的面積相等”的逆命題，并判斷逆命題是真命題還是假命題：逆命題是：面積相等的兩個三角形全等，這個命題是假命題．（填“真”或“假”）【分析】先根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可．【解答】解：命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是面積相等的兩個三角形全等，是假命題，故答案為：面積相等的兩個三角形全等，假．【點(diǎn)評】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．13．（3分）某工廠計(jì)劃用三年時間把原產(chǎn)量從100臺增加到500臺，已知每年產(chǎn)量增長的百分率相同．設(shè)每年產(chǎn)量增長的百分率為x，可列出的方程為100（1+x）3＝500．【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果平均每年增長的百分率為x，根據(jù)“某工廠計(jì)劃用三年時間把原產(chǎn)量從100臺增加到500臺”，根據(jù)題意可得出方程．【解答】解：設(shè)平均每年增長的百分率為x，根據(jù)題意可得出：100（1+x）3＝500．故答案為：100（1+x）3＝500．【點(diǎn)評】本題考查了高次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．14．（3分）已知A（﹣2，﹣1）和B（m，3）是一個正比例函數(shù)圖象上的兩個點(diǎn)，那么m的值是6．【分析】設(shè)解析式為y＝kx，代入點(diǎn)（﹣2，﹣1）求出k值得到解析式，再代入點(diǎn)B坐標(biāo)求出m值即可．【解答】解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，∵A（﹣2，﹣1）在直線y＝kx的圖象上，∴﹣1＝﹣2k，∴k＝，∴正比例函數(shù)解析式為：y＝，∵B（m，3）是直線y＝上的點(diǎn)，∴，∴m＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求直線解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解答本題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠CBA，且交AC于點(diǎn)D，AC＝1，那么AD的長是．【分析】由直角三角形的性質(zhì)和角平分線定義得∠CBD＝∠ABD＝30°＝∠A，則BD＝2CD，AD＝BD＝2CD，得AC＝3CD，再求出CD＝，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠ABD＝30°＝∠A，∴BD＝2CD，AD＝BD＝2CD，∴AC＝3CD，∵AC＝1，∴CD＝，∴AD＝1﹣＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)、角平分線定義以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如果一個三角形一邊上的高等于這邊的一半，我們稱這樣的三角形為“和諧三角形”．已知斜邊為5的Rt△ABC是“和諧三角形”，那么這個三角形的面積是或5．【分析】分兩種情況討論：當(dāng)斜邊上的高等于斜邊的一半時，根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算即可；當(dāng)一條直角邊等于另一條直角邊的一半時，設(shè)長直角邊為x，則短直角邊為，由勾股定理求出x的值，即可求出面積．【解答】解：當(dāng)斜邊上的高等于斜邊的一半時，這個三角形的面積是；當(dāng)一條直角邊等于另一條直角邊的一半時，設(shè)長直角邊為x，則短直角邊為，由勾股定理得，解得x2＝20，所以這個三角形的面積是，綜上，這個三角形的面積是或5，故答案為：或5．【點(diǎn)評】本題考查了“和諧三角形”，勾股定理，三角形的面積，正確理解“和諧三角形”進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，且橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)P作兩條坐標(biāo)軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A、B，且A在第二象限，那么PA：PB值為．【分析】根據(jù)條件得到P（1，3），繼而得到A（，3），B（1，k），列出線段PA、PB關(guān)于k的代數(shù)式，代入求出比值即可．【解答】解：∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，且橫坐標(biāo)為1，∴P（1，3），∵過點(diǎn)P作兩條坐標(biāo)軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A、B，且A在第二象限，∴A（，3），B（1，k），∴PA＝1﹣＝，PB＝3﹣k，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出線段PA、PB關(guān)于k的代數(shù)式是解答本題的關(guān)鍵．18．（3分）△ABC中，∠ABC是銳角，∠ABC與∠BAC的平分線交于點(diǎn)D，過A作AE⊥AD交BD的延長線于點(diǎn)E．當(dāng)△ABC是直角三角形，且△ADE與△ABC中有一個銳角相等時，∠ABC的度數(shù)是45°或30°．【分析】根據(jù)題意，畫出∠ACB＝90°和∠BAC＝90°兩種三角形，利用角平分線的定義表示出相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系．設(shè)∠ABC＝2x，每個圖形分兩種情況討論，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)表示出∠ADE，列方程求出x的值，2x的值即為∠ABC的度數(shù)．【解答】解：如圖1所示，當(dāng)∠ACB＝90°時：設(shè)∠ABC＝2x，則∠BAC＝90°﹣2x．∵AD和BD分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝45°﹣x，∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝x，①當(dāng)∠ABC＝∠ADE時：∵∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝x+45°﹣x＝45°，∴∠ABC＝45°；②當(dāng)∠BAC＝∠ADE時：∵∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝x+45°﹣x＝45°，∠BAC＝90°﹣2x，∴90°﹣2x＝45°，∴x＝22.5°，∴∠ABC＝2×22.5°＝45°．如圖2所示，當(dāng)∠BAC＝90°時：設(shè)∠ABC＝2x，則∠ACB＝90°﹣2x．∵AD和BD分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝45°，∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝x．①當(dāng)∠ACB＝∠ADE時：∵∠ADE＝∠BAD+∠ABD＝45°+x，∠ACB＝90°﹣2x，∴90°﹣2x＝45°+x，∴x＝15°，∴∠ABC＝2×15°＝30°；②當(dāng)∠ABC＝∠ADE時：∵∠ADE＝∠BAD+∠ABD＝45°+x，∠ABC＝2x，∴2x＝45°+x，∴x＝45°，∴∠ABC＝2×45°＝90°（不符合題意，舍去）．綜上，∠ABC＝45°或30°，故答案為：45°或30°．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，畫出圖形并熟練運(yùn)用角平分線的定義是本題的關(guān)鍵．三.解答題（本大題共8題，滿分66分）19．（6分）計(jì)算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝1﹣3+﹣1+﹣＝﹣2．【點(diǎn)評】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．20．（6分）解方程：（x+2）2＝﹣2x．【分析】先把方程化為一般式，再計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：方程化為一般式為x2+6x+4＝0，∵a＝1，b＝6，c＝4，∴Δ＝62﹣4×1×4＝20＞0，∴x＝＝﹣3±，∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．21．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k+1＝0，若該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．【分析】根據(jù)一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k+1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根列出k的不等式，即可解得k的取值范圍．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k+1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴k﹣2≠0且Δ＞0，即（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k+1）＞0，∴k≠2且k＞﹣2，答：k的取值范圍是k＞﹣2且k≠2．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程概念及根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根需滿足的條件是Δ＞0．22．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上的一點(diǎn)，AD＝AB．求證：∠BAD＝2∠C．【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，根據(jù)垂直定義可得∠AHB＝90°，然后再利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠BAH+∠B＝90°，∠B+∠C＝90°，從而利用同角的余角相等可得∠BAH＝∠C，最后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠BAD＝2∠BAH，從而可得∠BAD＝2∠C，即可解答．【解答】證明：過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠B＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠BAH＝∠C，∵AD＝AB，AH⊥BD，∴∠BAD＝2∠BAH，∴∠BAD＝2∠C．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．23．（6分）如圖，已知線段a，點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)．（1）用直尺和圓規(guī)在第一象限內(nèi)作出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且與點(diǎn)A的距離等于a．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），求過P點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式，并寫出該函數(shù)的增減性．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可用直尺和圓規(guī)在第一象限內(nèi)作出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且與點(diǎn)A的距離等于a；（2）在（1）的條件下，根據(jù)a＝2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），利用勾股定理即可求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)P即為所求；（2）由（1）可得OP是角平分線，設(shè)點(diǎn)P（x，y），過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，AD⊥PE于點(diǎn)D，∵PA＝a＝2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），∴PD＝x﹣1，AD＝x﹣3，根據(jù)勾股定理，得PA2＝PD2+AD2，∴（2）2＝（x﹣1）2+（x﹣3）2，解得x＝5，x＝﹣1（舍去）．∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，5），∴過點(diǎn)P的解析式為y＝，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減?。军c(diǎn)評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．24．（10分）為了響應(yīng)“低碳環(huán)保，綠色出行”的公益活動，小燕和媽媽決定周日騎自行車去圖書館借書．她們同時從家出發(fā)，小燕先以150米/分的速度騎行一段時間，休息了5分鐘，再以m米/分鐘的速度到達(dá)圖書館，而媽媽始終以120米/分鐘的速度騎行，兩人行駛的路程y（米）與時間x（分鐘）的關(guān)系如圖，請結(jié)合圖象，解答下列問題：（1）圖書館到小燕家的距離是3000米；（2）a＝10，b＝15，m＝200；（3）媽媽行駛的路程y（米）關(guān)于時間x（分鐘）的函數(shù)解析式是y＝120x；定義域是0≤x≤25．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以直接寫出圖書館到小燕家的距離；（2）根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以得到a、b、m的值；（3）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以得到媽媽行駛的路程y（米）關(guān)于時間x（分鐘）的函數(shù)解析式以及定義域．【解答】解：（1）由圖象可得，圖書館到小燕家的距離是3000米，故答案為：3000；（2）a＝1500÷150＝10，b＝a+5＝10+5＝15，m＝（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200，故答案為：10，15，200；（3）媽媽行駛的路程y（米）關(guān)于時間x（分鐘）的函數(shù)解析式是y＝kx，當(dāng)y＝3000時，x＝3000÷120＝25，則3000＝25k，得k＝120，即媽媽行駛的路程y（米）關(guān)于時間x（分鐘）的函數(shù)解析式是y＝120x，定義域是0≤x≤25，故答案為：y＝120x，0≤x≤25．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．25．（12分）如果點(diǎn)M、N分別在角的兩邊上，且到該角平分線上的點(diǎn)P的距離相等，就稱點(diǎn)M、N是關(guān)于點(diǎn)P的“制衡點(diǎn)”，而△PMN叫點(diǎn)P的“制衡三角形”，已知，如圖，∠BAC＝60°，G為∠BAC平分線上一點(diǎn)，EG∥AC，EG交AB于點(diǎn)E，GH⊥AC，垂足為H，．（1）求EG的長；（2）如果點(diǎn)E、D是關(guān)于點(diǎn)G的“制衡點(diǎn)”，請?jiān)趫D中畫出符合條件的點(diǎn)D，并求出點(diǎn)G的“制衡三角形”的周長．【分析】（1）在AH上取一點(diǎn)D，使得AD＝AE．利用全等三角形的性質(zhì)證明EG＝DG即可；（2）分兩種情形：D在線段AH或D′在AH的延長線上兩種情形分別求解．【解答】解：（1）在AH上取一點(diǎn)D，使得AD＝AE．∵AE＝AD，∠EAG＝∠DAG，AG＝AG，∴△EAG≌△DAG（SAS），∴EG＝DG，∠AGE＝∠AGD，∵AG平分∠BAC，∴∠EAG＝∠DAG＝30°，∵EG∥AC，∴∠AGE＝∠DAG＝30°，∴∠AGD＝∠AGE＝30°，∴∠HDG＝∠DAG+∠AGD＝60°，∴∠DGH＝90°﹣60°＝30°．∴DG＝2DH，∵DG2＝DH2+HG2，∴4DH2＝DH2+（）2，∴DH＝1，DG＝EG＝2；（2）如圖，點(diǎn)D，D′即為所求．連接DE．由題意，點(diǎn)E、D是關(guān)于點(diǎn)G的“制衡點(diǎn)”，∵GE＝GD，∠EGD＝60°，∴△DE