人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案：2 5 1 第二課時(shí) 直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE1第二課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.2.會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題.通過直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng).新知探究有一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬12m.當(dāng)水面下降1m后，水面寬多少米？問題如何才能正確地解決上述問題？〖提示〗解決上述問題可以用坐標(biāo)法解決，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.用坐標(biāo)法解決幾何問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論.這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：拓展深化〖微判斷〗1.圓心到圓的切線的距離等于半徑.(√)2.圓的弦的垂直平分線過圓心.(√)3.同一圓的兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)為圓心.(√)〖微訓(xùn)練〗1.若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點(diǎn)P(a，b)的位置是()A.在圓上 B.在圓外C.在圓內(nèi) D.都有可能〖解析〗由題意知點(diǎn)(0，0)到直線的距離應(yīng)小于1，即eq\f(|0－0－1|,\r(a2＋b2))<1，整理為eq\r(a2＋b2)>1，即點(diǎn)P(a，b)到圓心的距離大于半徑，所以點(diǎn)P在圓外.〖答案〗B2.如圖，圓弧形橋拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，則拱橋的直徑為()A.15米 B.13米C.9米 D.6.5米〖解析〗如圖，設(shè)圓心為O，半徑為r，則由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝eq\f(13,2)，所以拱橋的直徑為13米.〖答案〗B〖微思考〗利用坐標(biāo)法求解幾何問題要注意什么？〖提示〗(1)利用“坐標(biāo)法”解決問題首要任務(wù)是先建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素.(2)建立不同的平面直角坐標(biāo)系，對(duì)解決問題有著直接的影響.因此，建立直角坐標(biāo)系，應(yīng)使所給圖形盡量對(duì)稱，所需的幾何元素的坐標(biāo)或方程盡量簡單.題型一直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用〖例1〗某圓拱橋的水面跨度為20m，拱高為4m.現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？解建立如圖所示的坐標(biāo)系，使圓心C在y軸上.依題意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0).設(shè)這座圓拱橋的拱圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－10－a）2＋b2＝r2，,（10－a）2＋b2＝r2，,a2＋（b－4）2＝r2.))解此方程組，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以該船可以從橋下通過.規(guī)律方法應(yīng)用直線與圓的方程解決實(shí)際問題的步驟：(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知；(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素；(3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)求出未知；(4)還原：將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問題中去.〖訓(xùn)練1〗如圖是一座圓拱橋的截面圖，當(dāng)水面在某位置時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m后，水面寬為________米.〖解析〗如圖，以圓拱橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過圓拱頂點(diǎn)的豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心為C，圓的方程為x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端點(diǎn)為A，B，則A(6，－2)，將A(6，－2)代入圓的方程，得r＝10，∴圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.當(dāng)水面下降1米后，可設(shè)點(diǎn)A′(x0，－3)(x0>0)，將A′(x0，－3)代入圓的方程，得x0＝eq\r(51)，∴當(dāng)水面下降1米后，水面寬為2x0＝2eq\r(51)米.〖答案〗2eq\r(51)題型二坐標(biāo)法證明幾何問題〖例2〗如圖所示，在圓O上任取C點(diǎn)為圓心，作圓C與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF與CD相交于H，求證：EF平分CD.證明以AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)|AB|＝2r，D(a，0)，則|CD|＝eq\r(r2－a2)，∴C(a，eq\r(r2－a2))，∴圓O：x2＋y2＝r2，圓C：(x－a)2＋(y－eq\r(r2－a2))2＝r2－a2.兩方程作差得直線EF的方程為2ax＋2eq\r(r2－a2)y＝r2＋a2.令x＝a，得y＝eq\f(1,2)eq\r(r2－a2)，∴Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)\r(r2－a2)))，即H為CD中點(diǎn)，∴EF平分CD.規(guī)律方法坐標(biāo)法建立直角坐標(biāo)系應(yīng)堅(jiān)持的原則：(1)若有兩條相互垂直的直線，一般以它們分別為x軸和y軸.(2)充分利用圖形的對(duì)稱性.(3)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，或關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱.(4)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)易于求得.〖訓(xùn)練2〗如圖，直角△ABC的斜邊長為定值2m，以斜邊的中點(diǎn)O為圓心作半徑為n的圓，直線BC交圓于P，Q兩點(diǎn)，求證：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值.證明如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0).設(shè)A(x，y)，由已知，點(diǎn)A在圓x2＋y2＝m2上，故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).題型三與圓有關(guān)的最值問題〖例3〗已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3，求eq\f(y,x)的最大值和最小值.解原方程表示以點(diǎn)(2，0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓，設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值和最小值，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).故eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).規(guī)律方法與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)的最值問題的常見類型及解法(1)形如t＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題，即轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最值；(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問題.〖訓(xùn)練3〗例3中的條件不變，求y－x的最大值和最小值.解設(shè)y－x＝b，即y＝x＋b.當(dāng)y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值和最小值，此時(shí)eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，即b＝－2±eq\r(6).故y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng).2.利用坐標(biāo)法解決平面幾何問題，是將幾何中“形”的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中“數(shù)”的問題，應(yīng)用的是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法：轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.事實(shí)上，數(shù)學(xué)中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸.所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想是指把待解決的問題(或未解決的問題)轉(zhuǎn)化化歸為已有知識(shí)范圍內(nèi)可解決的問題的一種數(shù)學(xué)意識(shí).3.利用直線與圓的方程解決最值問題的關(guān)鍵是由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義，然后利用直線與圓的方程及〖解析〗幾何的有關(guān)知識(shí)并結(jié)合圖形分析、解決問題.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.一輛卡車寬1.6m，要經(jīng)過一個(gè)半圓形隧道(半徑為3.6m)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過()A.1.4m B.3.5mC.3.6m D.2.0m〖解析〗如圖，圓半徑|OA|＝3.6，卡車寬1.6，所以|AB|＝0.8，所以弦心距|OB|＝eq\r(3.62－0.82)≈3.5(m)，即為所求.〖答案〗B2.(多填題)據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)：在A城正東方300km的海面B處有一臺(tái)風(fēng)中心，正以每小時(shí)40km的速度向西北方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心250km以內(nèi)的地區(qū)將受其影響.從現(xiàn)在起經(jīng)過約________h，臺(tái)風(fēng)將影響A城，持續(xù)時(shí)間約為________h(結(jié)果精確到0.1h).〖解析〗以B為原點(diǎn)，正東方向所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)軌跡方程是y＝－x，受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域邊界的曲線方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502，A(－300，0).依題意有(－300－a)2＋a2≤2502，解得－150－25eq\r(14)≤a≤－150＋25eq\r(14)，∴t1＝eq\f(\r(2)|a1|,40)＝eq\f(\r(2)|－150＋25\r(14)|,40)≈2.0，Δt＝eq\f(\r(2)|a2－a1|,40)＝eq\f(\r(2)×50\r(14),40)≈6.6，∴從現(xiàn)在起經(jīng)過約2.0h，臺(tái)風(fēng)將影響A城，持續(xù)時(shí)間約為6.6h.〖答案〗2.06.63.設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直線方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為________.〖解析〗圓心(2，－3)到直線x－y＋2＝0距離為eq\f(|2＋3＋2|,\r(2))＝eq\f(7\r(2),2)，則從村莊外圍到小路的最短距離為eq\f(7\r(2),2)－2.〖答案〗eq\f(7\r(2),2)－24