全國(guó)統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-平面向量滿分限時(shí)練

平面向量平面向量主要考查平面向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算、線性運(yùn)算等，難度一般偏簡(jiǎn)單，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、圓錐曲線結(jié)合考查，難度中等．一、選擇題．1．已知平面向量a，b滿足|aA． B．C．D．【答案】D【解析】∵a⊥(a．，，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積，向量的夾角，以及向量垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．2．在等腰梯形ABCD中，AB=2CD，若AD=a，AB=A． B．C． D．【答案】A【解析】解法一：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，AB=2CD，所以，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以，故選A．解法二：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，AB=2CD，所以，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以，故選A．【點(diǎn)評(píng)】在幾何圖形中進(jìn)行向量運(yùn)算：（1）構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；（2）樹(shù)立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算．3．若平面向量a與b的夾角為，a=1，b=2，則2A．32 B．23C．18【答案】B【解析】2a+b2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了向量的運(yùn)算以及向量的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題．4．已知向量，b=(3，?2)，c=(1，m)A．1 B．2C．3D．2【答案】B【解析】由題設(shè)可得a?因?yàn)?a?b)⊥所以c=1，1【點(diǎn)評(píng)】本題考了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的垂直的條件，模長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5．若向量，BC=3，1A． B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋珺C=3所以，BA=1，BC=2則，，所以，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)為向量夾角的計(jì)算，以及三角形面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設(shè)點(diǎn)D，E滿足BD=DC，，AD與交于點(diǎn)P，則（）A． B．C．1D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以EC=2AE，所以E為AC的一個(gè)靠近又因?yàn)锽D=DC，所以D為過(guò)E作EF⊥AD交AD于F點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)榍褺D=CD，所以，所以，所以，所以，故選D．【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E，D，即可直接根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式完成求解．7．若向量a，b滿足a=2，a+2b?aA．1 B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)a，b的夾角為θ，則，則，即b在a方向上的投影為，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量投影的計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．已知向量a，b為平面內(nèi)的單位向量，且，向量c與a+b共線，則|A．1 B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄縞與a+b共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù)t，使得所以a+所以(a又向量a，b為平面內(nèi)的單位向量，所以|a|=1，又，所以，所以，所以|a+c|的最小值為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共線定理的應(yīng)用及平面向量數(shù)量積，關(guān)鍵是根據(jù)共線，利用共線定理將c用向量a，b表示，再通過(guò)平方轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題．9．如圖，延長(zhǎng)正方形ABCD的邊CD至點(diǎn)E，使得DE=CD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周后回到點(diǎn)A，若，則下列判斷正確的是（）A．滿足的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn)B．滿足的點(diǎn)P有且只有一個(gè)C．滿足的點(diǎn)P有且只有一個(gè)D．的點(diǎn)P有且只有一個(gè)【答案】C【解析】如圖建系，取AB=1，∵AE=∴，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，當(dāng)P∈AB時(shí)，有0≤λ?μ≤1且μ=0，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤1，當(dāng)P∈BC時(shí)，有λ?μ=1且0≤μ≤1，則λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，當(dāng)P∈CD時(shí)，有0≤λ?μ≤1且μ=1，則μ≤λ≤μ+1，∴1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，當(dāng)P∈AD時(shí)，有λ?μ=0且0≤μ≤1，則λ=μ，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，綜上，0≤λ+μ≤3．選項(xiàng)A，取λ=μ=1，滿足λ+μ=2，此時(shí)AP=AB+AE=故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)P取B點(diǎn)或AD的中點(diǎn)時(shí)，均滿足λ+μ=1，此時(shí)點(diǎn)P不唯一，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)P取C點(diǎn)時(shí)，λ?μ=1且μ=1，解得λ=2，λ+μ為3，故C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)P取BC的中點(diǎn)或DE的中點(diǎn)時(shí)，均滿足，此時(shí)點(diǎn)P不唯一，故D錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)評(píng)】求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中所給條件，利用建系的方法，討論P(yáng)的位置，根據(jù)，確定λ+μ的范圍，即可求解．（向量用坐標(biāo)表示后，向量的計(jì)算和證明都?xì)w結(jié)為數(shù)的運(yùn)算，這使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化）10．在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，，線段CM與BN交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P在△BOC內(nèi)部活動(dòng)（不含邊界），且AP=λAB+μAN，其中λ，μ∈A． B．C． D．【答案】D【解析】如下圖所示，連接BP并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G，設(shè)NG=mAN，PG=nBG，則AG=，又∵AP=λAB+μAN∴λ+μ=m+1?mn=m，0<1?n<1，則，即，即，因此，λ+μ的取值范圍是，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用平面向量的基本定理求與參數(shù)有關(guān)的代數(shù)式的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于引入?yún)?shù)表示λ、μ，并結(jié)合不等式的基本性質(zhì)求出λ+μ的取值范圍．二、填空題．11．已如|AB|=1，|BC【答案】【解析】因?yàn)閨AB|=1，|BC所以，因?yàn)?lt;AB，BC>∈[0，π]，所以AB與因?yàn)锳D?DC=0，所以AD⊥DC以B為原點(diǎn)，BC為x軸正方向建系，如圖所示：所以，，，設(shè)以AC為直徑的圓的圓心為P，所以，且，所以D的軌跡的方程為，BD的最大值為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，分析可得D點(diǎn)的軌跡為圓，進(jìn)而求得圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求解，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題．12．如圖梯形ABCD，且AB=5，AD=2DC=4，E在線段BC上，AC?BD=0，則【答案】【解析】因?yàn)?，所以向量AD與AB的夾角和向量AD與DC的夾角相等，設(shè)向量AD與AB的夾角為θ，因?yàn)锳C?BD=0即AD2整理得16+8cosθ?20cosθ如圖，過(guò)點(diǎn)D作AB垂線，垂足為O易知A?2，0，B3，則BC=?1，23E=3?λ，23λAE?因?yàn)?≤λ≤1，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法，可通過(guò)建立直角坐標(biāo)系的方式進(jìn)行求解，考查向量的運(yùn)算法則，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是難題．13．已知向量的模長(zhǎng)為1，平面向量m，n滿足：|m?2【答案】?1【解析】由題意知：不妨設(shè)e=1，則根據(jù)條件可得x?22+y根據(jù)柯西不等式得m?因?yàn)閍?1x+bya?1x+by+x≤4x+x當(dāng)且僅當(dāng)bx=a?1令t=4x，則，又x?22+y所以t∈0，4，當(dāng)t=4時(shí)，，即，而t∈0，4，所以當(dāng)t=2時(shí)，，即m故m?n的取值范圍是【點(diǎn)評(píng)】設(shè)e=1，0，a?1214．已知，，是平面向量，且，是互相垂直的單位向量，若對(duì)任意λ∈R均有的最小值為，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】3【解析】，即，所以，即，設(shè)為x軸的方向向量，為y軸方向向量，所以，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，所以x2?2y+1=0，得，因?yàn)闉閽佄锞€x2=2y向上平移個(gè)單位，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，準(zhǔn)線為y=0，所以點(diǎn)到(0，1)(1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，取最小值．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于向量模長(zhǎng)的問(wèn)題，一般沒(méi)有坐標(biāo)時(shí)，利用平方公式展開(kāi)計(jì)算；有坐標(biāo)時(shí)，代入坐標(biāo)公式求解，涉及模長(zhǎng)的最值問(wèn)題，一般需要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，或者點(diǎn)到線的距離等問(wèn)題，利用幾何方法求解．三、解答題．15．已知向量，，函數(shù)fx=m（1）若，求函數(shù)fx的最值；（2）若，且fθ=1，，求的值．【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，最小，最小值為0，此時(shí)fx最大，最大值為；所以當(dāng)，即時(shí)，最大，最大值為1，此時(shí)fx最小，最小值為．即fx的最大值為，最