2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項訓(xùn)練21 計數(shù)原理與概率（原卷版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練21計數(shù)原理與概率[考情分析]1.高考中主要考查兩個計數(shù)原理、排列與組合的應(yīng)用，對二項式定理的考查以求二項展開式的特定項、特定項的系數(shù)及二項式系數(shù)為主，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏下.2.高考中對此概率內(nèi)容多以實際材料為背景，主要考查隨機事件的概率及古典概型、條件概率的計算，也考查概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用，選擇題、填空題或解答題中均有出現(xiàn)，難度中等偏下．【練前疑難講解】一、排列與組合問題1．兩個計數(shù)原理(1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理．(2)對于復(fù)雜的兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化．2．解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．二、二項式定理1．二項式定理的常用結(jié)論(1)(a－b)n＝Ceq\o\al(0,n)an－Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n)bn.(2)(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋…＋Ceq\o\al(k,n)xk＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn.2．求解二項式有關(guān)問題時，一定要注意“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系．三、概率1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事件A中所含的樣本點,試驗的樣本點總數(shù)).2．條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3．相互獨立事件同時發(fā)生的概率：若A，B相互獨立，則P(AB)＝P(A)P(B)．4．若事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．5．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)·P(B|Ai)．一、單選題1．（22-23高三下·湖北·階段練習(xí)）甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·河北·期末）第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個場館開展志愿服務(wù)工作．若要求每個場館都要有志愿者，則當甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數(shù)項為（

）A．24 B．25 C．48 D．494．（2024·北京·三模）已知的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項為（

）A． B．240 C．60 D．二、多選題5．（2024·廣東廣州·一模）甲箱中有個紅球和個白球，乙箱中有個紅球和個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機取出兩球，用事件表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則（

）A． B．C． D．6．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，已知出現(xiàn)正面向上的概率為p，記表示事件“在n次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與是互斥事件 B．C． D．三、填空題7．（21-22高三上·山東·開學(xué)考試）設(shè)，則除以9所得的余數(shù)為．8．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）從0，1，2，3，4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有（

）個．A．24 B．30 C．36 D．603．（2024·山東日照·一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（

）A．9種 B．36種 C．38種 D．45種4．（2024·遼寧大連·一模）將六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，其中分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有（

）A．12種 B．18種 C．36種 D．54種5．（2024·廣東·模擬預(yù)測）若，則（）A．6 B．16 C．26 D．366．（2024·貴州黔南·二模）我國農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（

）A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年7．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）在黨的二十大報告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲?乙?丙?丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為（

）A． B． C． D．8．（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則（

）A． B． C． D．9．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有3臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．已知第臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個零件，記事件“零件為第i臺車床加工”，事件“零件為次品”，則（

）A．0.2 B．0.05 C． D．10．（2024·遼寧·二模）某公司的員工中，有是行政人員，有是技術(shù)人員，有是研發(fā)人員，其中的行政人員具有博士學(xué)歷，的技術(shù)人員具有博士學(xué)歷，的研發(fā)人員具有博士學(xué)歷，從具有博士學(xué)歷的員工中任選一人，則選出的員工是技術(shù)人員的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若m，n為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．12．（23-24高二上·遼寧遼陽·期末）某班星期一上午要安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法B．若語文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法C．若語文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法D．若語文課、數(shù)學(xué)課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法13．（2024·江西·二模）在的展開式中（

）A．二項式系數(shù)之和為 B．第項的系數(shù)最大C．所有項系數(shù)之和為 D．不含常數(shù)項14．（2024·山東青島·三模）某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)如下表所示年份201520162017201820192020202120222023產(chǎn)量（萬臺)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0銷量（萬臺)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6記“產(chǎn)銷率”年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為，則（

）A．B．2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)C．從2015-2023年中隨機取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于的概率為D．從2015-2023年中隨機取2年，在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于的條件下，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率都大于的概率為三、填空題15．（2024·浙江·二模）某中學(xué)的A?B兩個班級有相同的語文?數(shù)學(xué)?英語教師，現(xiàn)對此2個班級某天上午的5節(jié)課進行排課，2節(jié)語文課，2節(jié)數(shù)學(xué)課，1節(jié)英語課，要求每個班級的2節(jié)語文課連在一起，2節(jié)數(shù)學(xué)課連在一起，則共有種不同的排課方式.（用數(shù)字作答）16．（2024·浙江·三模）甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人且甲、乙不站同一個臺階，同一臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是種.(用數(shù)字作答)17．（23-24高三上·湖南張家界·階段練習(xí)）為了做好社區(qū)新疫情防控工作，需要將5名志愿者分配到甲?乙?丙?丁4個小區(qū)開展工作，若每個小區(qū)至少分配一名志愿者，則有種分配方法（用數(shù)字作答）；18．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知的展開式中的常數(shù)項為240，則．【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有（

）A．2025種 B．4050種 C．8100種 D．16200種2．（22-23高三上·全國·階段練習(xí)）將編號為1，2，3，4，5的小球放入編號為1，2，3，4，5的小盒中，每個小盒放一個小球．則恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·期末）7個人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（

）種站排方式．A．672 B．864 C．936 D．10564．（2023·廣東茂名·二模）從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024·浙江嘉興·二模）6位學(xué)生在游樂場游玩三個項目，每個人都只游玩一個項目，每個項目都有人游玩，若項目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（

）A．180種 B．210種 C．240種 D．360種6．（2024·遼寧大連·一模）（

）A． B． C． D．7．（2024·重慶·三模）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)，，為整數(shù)，若和被除得余數(shù)相同，則稱和對模同余.記為.若，，則的值可以是（

）A．14 B．15 C．16 D．178．（2024·遼寧撫順·一模）若的展開式中含項的系數(shù)為10，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．69．（22-23高二下·江蘇南通·期中）已知隨機事件，滿足，，，則（

）A． B． C． D．10．（2024·湖南常德·三模）設(shè)有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品，甲箱中產(chǎn)品的合格率為90%，乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱產(chǎn)品中任取一件，經(jīng)檢驗不合格，放回原箱后在該箱中再隨機取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題11．（23-24高二下·寧夏石嘴山·期中）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）A．.B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：.C．第20行中，第11個數(shù)最大.D．第15行中，第7個數(shù)與第8個數(shù)之比為7∶9.12．（2024·廣東佛山·一模）有一組樣本數(shù)據(jù)，添加一個數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，則新的樣本數(shù)據(jù)（

）A．第25百分位數(shù)不變的概率是B．極差不變的概率是C．平均值變大的概率是D．方差變大的概率是13．（2024·云南·模擬預(yù)測）現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍的三個箱子，其中紅色箱子內(nèi)裝有2個紅色球，1個黃色球和1個藍色球；黃色箱子內(nèi)裝有2個紅色球，1個藍色球；藍色箱子內(nèi)裝有3個紅色球，2個黃色球．若第一次先從紅色箱子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同色的箱子中，第二次再從剛才放入與球同色的這個箱子中任取一個球，則下列說法正確的是（

）A．若第一次抽到黃色球，那么第二次抽到藍色球的概率為B．第二次抽到藍色球的概率為C．如果第二次抽到的是藍色球，則它最有可能來自紅色箱子D．如果還需將5個不同的小球放入這三個箱子內(nèi)，每個箱子至少放1個，則不同的放法共有150種14．（2024·全國·模擬預(yù)測）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，設(shè)a，b，m（m>0）為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b（modm）.如9和21除以6所得的余數(shù)都是3，則記為9≡21（mod6）.若，a≡b（mod10），則b的值可以是（

）.A．2019 B．2023 C．2029 D．203315．（2024·山東煙臺·一模）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點數(shù)分別為，設(shè)事件“為整數(shù)”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則（

）A． B．C．事件與事件相互獨立 D．三、填空題16．（2024·全國·模擬預(yù)測）中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體.現(xiàn)裝修工人準備用四種不同