2025年高考數學二輪復習 專項訓練19 空間向量與空間角（原卷版）

2025二輪復習專項訓練19空間向量與空間角[考情分析]高考必考內容，常以空間幾何體為載體考查空間角，是高考命題的重點，常與空間線、面關系的證明相結合，熱點為平面與平面的夾角的求解，均以解答題的形式進行考查，難度主要體現在建立空間直角坐標系和準確計算上．題目難度為中檔題．【練前疑難講解】一、異面直線所成的角(1)設直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，設l，m的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1)＋c\o\al(2,1))\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)＋c\o\al(2,2))).(2)異面直線所成的角的范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).二、直線與平面所成的角(1)設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為μ＝(a2，b2，c2)，設直線l與平面α的夾角為θ，則sinθ＝|cos〈a，μ〉|＝eq\f(|a·μ|,|a||μ|).(2)線面角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).三、平面與平面的夾角(1)設平面α，β的法向量分別為μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)，且平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈μ，v〉|＝eq\f(|μ·v|,|μ||v|).(2)平面與平面的夾角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).一、單選題1．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南·模擬預測）為體現市民參與城市建設、共建共享公園城市的熱情，同時搭建城市共建共享平臺，彰顯城市的發(fā)展溫度，某市在中心公園開放長椅贈送點位，接受市民贈送的休閑長椅.其中觀景草坪上一架長椅因其造型簡單別致，頗受人們喜歡（如圖1）.已知和是圓的兩條互相垂直的直徑，將平面沿翻折至平面，使得平面平面（如圖2）此時直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·廣東深圳·二模）如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點，現分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點E、F重合，記為點P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（

）A．三棱錐的體積為 B．直線PA與直線BC所成角的余弦值為C．直線PA與平面PBC所成角的正弦值為 D．三棱錐外接球的半徑為4．（22-23高二上·山東德州·期中）如圖，已知正方體的棱長為，點分別為棱的中點，，則（

）A．無論取何值，三棱錐的體積始終為B．若，則C．點到平面的距離為D．若異面直線與所成的角的余弦值為．則三、填空題5．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知四棱柱底面ABCD為平行四邊形，且，則異面直線與BD的夾角余弦值為.6．（2024·全國·模擬預測）在棱長為2的正方體中，動點，分別在棱，上，且滿足，當的體積最小時，與平面所成角的正弦值是．四、解答題7．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，點，分別為和的中點．(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．8．（2021·全國·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【基礎保分訓練】一、解答題1．（23-24高三上·山東棗莊·期末）如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，分別為的中點.(1)證明：平面；(2)若底面為矩形，，異面直線與所成角的余弦值為，求到平面的距離.2．（2024·天津·二模）如圖，平面，，，，，為的中點．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)設是棱上的點，若與所成角的余弦值為，求的長．3．（2024·安徽合肥·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是側棱的中點，側面為正三角形，側面底面．(1)求三棱錐的體積；(2)求與平面所成角的正弦值．4．（2024·天津河東·一模）在正方體中（如圖所示），邊長為2，連接

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)底面正方形的內切圓上是否存在點使得與平面所成角的正弦值為，若存在求長度，若不存在說明理由．5．（2024·天津·二模）如圖，在直三棱柱中，為的中點，點分別在棱和棱上，且．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．6．（2024·江蘇·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點在棱上，且.

(1)證明：平面；(2)當二面角為時，求.7．（2024·天津河西·一模）已知三棱錐中，平面，，，為上一點且滿足，，分別為，的中點．

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的大??；(3)求點到平面的距離．8．（2024·重慶·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，過棱的中點E作于點，連接．

(1)證明：；(2)若，求平面與平面所成角的正弦值．【能力提升訓練】一、解答題1．（22-23高三上·湖北·階段練習）如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.(1)證明：平面；(2)若，設為棱的中點，求當幾何體的體積取最大值時與所成角的正切值.2．（2024·天津薊州·模擬預測）如圖，在四棱錐中，已知棱兩兩垂直，長度分別為1，2，2，若，且向量與夾角的余弦值為.(1)求實數值；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值.3．（2024·山東青島·一模）如圖，在三棱柱中，與的距離為，，．(1)證明：平面平面ABC；(2)若點N在棱上，求直線AN與平面所成角的正弦值的最大值．4．（2024·山東濟南·二模）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F為線段BC的中點，E為線段PF上一點.(1)證明：；(2)當EF為何值時，直線BE與平面PAD夾角的正弦值為.5．（2021·全國·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．6．（2024·遼寧葫蘆島·一模）如圖，為圓錐頂點，是圓錐底面圓的圓心，，是長度為的底面圓的兩條直徑，，且，為母線上一點．(1)求證：當為中點時，平面；(2)若，二面角的余弦值為，試確定P點的位置．7．（23-24高三上·江蘇淮安·期中）如圖，是半球的直