2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講　隨機(jī)變量及其分布解析版

第2講隨機(jī)變量及其分布（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 10【考點(diǎn)一】分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 10【考點(diǎn)二】隨機(jī)變量的分布列 14【考點(diǎn)三】正態(tài)分布 23【專(zhuān)題精練】 26考情分析：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差和概率的計(jì)算問(wèn)題常常結(jié)合在一起進(jìn)行考查，重點(diǎn)考查超幾何分布、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布，以解答題為主，中等難度．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛(ài)好滑冰，的同學(xué)愛(ài)好滑雪，的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.42．（2022·全國(guó)·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大二、多選題3．（2023·全國(guó)·高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三、填空題4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則．四、解答題5．（2024·全國(guó)·高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？6．（2023·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．7．（2022·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．8．（2022·全國(guó)·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.參考答案：題號(hào)123答案ADABD1．A【分析】先算出同時(shí)愛(ài)好兩項(xiàng)的概率,利用條件概率的知識(shí)求解.【詳解】同時(shí)愛(ài)好兩項(xiàng)的概率為，記“該同學(xué)愛(ài)好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛(ài)好滑冰”為事件，則，所以.故選:.2．D【分析】該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán).分別求得該棋手在第二盤(pán)與甲比賽且連勝兩盤(pán)的概率；該棋手在第二盤(pán)與乙比賽且連勝兩盤(pán)的概率；該棋手在第二盤(pán)與丙比賽且連勝兩盤(pán)的概率.并對(duì)三者進(jìn)行比較即可解決【詳解】該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán)，記該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠椋瑒t此時(shí)連勝兩盤(pán)的概率為則；記該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為，則記該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為則則即，，則該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選：D3．ABD【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對(duì)于A(yíng)，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.4．/．【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)椋?，因此．故答案為：?．(1)(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；【分析】（1）根據(jù)對(duì)立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自計(jì)算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計(jì)算出各自期望，再次作差比較大小即可.【詳解】（1）甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績(jī)不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為，，，，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因?yàn)椋瑒t，，則，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是計(jì)算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關(guān)系，最后得到結(jié)論.6．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問(wèn)的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．7．(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．【詳解】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.8．(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．【詳解】（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】分布列的性質(zhì)及應(yīng)用核心梳理：離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.(5)若Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知某隨機(jī)變量的分布列如圖表，則隨機(jī)變量X的方差（

）40A．120 B．160 C．200 D．2602．（2024·廣東·一模）已知隨機(jī)變量的分布列如下：12則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題3．（23-24高二上·江西·期末）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：01230.40.30.2若離散型隨機(jī)變量滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．4．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X、Y，且的分布列如下：X12345Pmn若，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2024·四川南充·一模）某一隨機(jī)變量X的分布列如下表，且，則.X0123P0.1m0.2n6．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如圖：01若的數(shù)學(xué)期望為，事件：或，事件：或，則；.參考答案：題號(hào)1234答案CAABDAC1．C【分析】根據(jù)概率和為，求得，再根據(jù)分布列求，再求即可.【詳解】由題可知：，解得，則；故.故選：C.2．A【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)、期望和方差公式，結(jié)合充分條件必要條件的定義即可求解.【詳解】由題意可知，若，則，得，故充分性滿(mǎn)足；若，則，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則或，故必要性不滿(mǎn)足.故選：A.3．ABD【分析】利用分布列的性質(zhì)求得，從而利用期望與方差公式與性質(zhì)即可得解.【詳解】由分布列的性質(zhì)知，則，故，故A正確；，故C錯(cuò)誤；則，故B正確；所以，故D正確．故選：ABD．4．AC【分析】由分布列的性質(zhì)和期望公式求出可判斷ABC；由方差公式可判斷D.【詳解】由可得：①，又因?yàn)椋獾茫?，故C正確.所以，則②，所以由①②可得：，故A正確，B錯(cuò)誤；,，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．8【分析】根據(jù)題意可得，即可求得的值，進(jìn)而結(jié)合期望公式可求得，進(jìn)而得到.【詳解】由題意，得，解得，所以，所以.故答案為：8.6．【分析】先由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)各取值概率和為1求出，再利用期望公式求解，然后由條件概率公式可得.【詳解】由解得，故，解得，所以.故答案為：；.規(guī)律方法：分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1的性質(zhì)可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率．【考點(diǎn)二】隨機(jī)變量的分布列核心梳理：1．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·eq\f(M,N).一、單選題1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，其中，若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·福建莆田·三模）已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．，C．， D．，二、多選題3．（2024·云南貴州·二模）袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個(gè)球，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為，則（

）A． B．C．的期望 D．的方差4．（2024·安徽黃山·二模）下列論述正確的有（

）A．若隨機(jī)變量滿(mǎn)足，則B．若隨機(jī)事件，滿(mǎn)足：，，，則事件與相互獨(dú)立C．基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立D．若關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則樣本點(diǎn)的殘差為三、填空題5．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，抽獎(jiǎng)箱里有編號(hào)為到的個(gè)相同小球.每次抽獎(jiǎng)從箱中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記錄編號(hào)后放回.連續(xù)抽獎(jiǎng)次，設(shè)抽到編號(hào)為的小球的次數(shù)為，已知服從二項(xiàng)分布.若展開(kāi)式中的系數(shù)是的概率的倍，則的值為（結(jié)果用含的式子表示）6．（2023·廣東佛山·二模）某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線(xiàn)上生產(chǎn)的瓷磚某項(xiàng)指標(biāo)，且，現(xiàn)從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數(shù)，則．四、解答題7．（2024·四川成都·三模）某植物園種植一種觀(guān)賞花卉，這種觀(guān)賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀(guān)賞花卉的高度進(jìn)行測(cè)量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.(1)求的值;(2)若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)以頻率估計(jì)概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多1株高度低于的概率.8．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）某班為了慶祝我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計(jì)了一個(gè)小游戲：在一個(gè)不透明箱中裝有4個(gè)黑球，3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機(jī)摸出3個(gè)球，觀(guān)察顏色后放回.若摸出的球中有個(gè)紅球，則分得個(gè)月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個(gè)節(jié)目.(1)求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；(2)求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.9．（2024·山東青島·一模）為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書(shū)香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書(shū)好、讀好書(shū)、好讀書(shū)”的號(hào)召，并開(kāi)展閱讀活動(dòng)．開(kāi)學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高一年級(jí)共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時(shí)間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個(gè)小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個(gè)小矩形的高度比為3：2：1．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)高一年級(jí)1000名學(xué)生假期日均閱讀時(shí)間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)開(kāi)學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作為代表分兩周進(jìn)行國(guó)旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時(shí)間處于[80，100）的人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．10．（2024·湖南·二模）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機(jī)選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金.假設(shè)甲猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金如下表：歌曲猜對(duì)的概率0.80.50.5獲得的獎(jiǎng)勵(lì)基金金額/元100020003000(1)求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名的概率；(2)甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請(qǐng)你計(jì)算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)基金的期望；為了得到更多的獎(jiǎng)勵(lì)基金，請(qǐng)你給出合理的選擇建議，并說(shuō)明理由.參考答案：題號(hào)1234答案DCABCDBCD1．D【分析】由二項(xiàng)分布的概率公式可得，可求，進(jìn)而可求.【詳解】由二項(xiàng)分布的知識(shí)得，得，又，所以，所以．故選：D．2．C【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)得到答案.【詳解】已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，記數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則，，由題意可得，.故選：C3．ABCD【分析】求出一次摸到黑球的概率，根據(jù)題意可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布列及期望公式、方差公式求解即可.【詳解】從袋子中有放回的取球4次，則每次取球互不影響，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一個(gè)球，取到白球記0分，黑球記1分，故4次取球的總分?jǐn)?shù)相當(dāng)于抽到黑球的總個(gè)數(shù)，又每次摸到黑球的概率為，因?yàn)槭怯蟹呕氐厝?次球，所以，故A正確；，故B正確；根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式得，故C正確；根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式得，故D正確.故選：ABCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～，，且有，.4．BCD【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的方差性質(zhì)可判定A；根據(jù)和事件與獨(dú)立事件的概率公式可判定B；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想可判定C；根據(jù)殘差的定義可判定D.【詳解】對(duì)于A(yíng)，由題意可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意可知，所以，所以事件A與B相互獨(dú)立，即B正確；對(duì)于C，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想可知其正確；對(duì)于D，將樣本點(diǎn)代入得預(yù)測(cè)值為，所以，故D正確.故選：BCD.5．【分析】分別使用二項(xiàng)分布的性質(zhì)和二項(xiàng)式定理得到和展開(kāi)式中的系數(shù)是，然后利用條件即可得到結(jié)果.【詳解】由于，故.再根據(jù)二項(xiàng)式定理，展開(kāi)式中的系數(shù)是.所以根據(jù)條件有，得，即、.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)不同類(lèi)型知識(shí)的混合運(yùn)用.6．1【分析】由正態(tài)分布性質(zhì)可求，結(jié)合二項(xiàng)分布定義確定的二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的均值公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，由已知，所?故答案為：1.7．(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，；(3)【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，即可求解；（2）首先確定高度在和的株數(shù)，再按照超幾何分布，即可求解；（3）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)概率公式，以及條件概率公式，即可求解.【詳解】（1）依題意可得，解得；（2）由（1）可得高度在和的頻率分別為和，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，所以可取0，1，2.所以，，所以的分布列為：所以（3）從所有花卉中隨機(jī)抽取株，記至少有株高度在為事件，至多株高度低于為事件，則，，所以.8．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）由題意分析可知有兩種可能：“2個(gè)紅球1個(gè)黃球”和“1個(gè)黑球，1個(gè)紅球，1個(gè)黃球”，進(jìn)而結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解；（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【詳解】（1）記“一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目”為事件A，可知有兩種可能：“2個(gè)紅球1個(gè)黃球”和“1個(gè)黑球，1個(gè)紅球，1個(gè)黃球”，所以.（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：，，可得的分布列為0123所以.9．(1)67（分鐘）(2)分布列見(jiàn)解析；期望為1【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和求解；（2）依題意求出隨機(jī)變量的分布列，并利用數(shù)學(xué)期望公式求解.【詳解】（1）由題知：各組頻率分別為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：（分鐘）（2）由題意，在[60，80），[80，100），[100，120]三組分別抽取3，2，1人的可能取值為：0，1，2則

所以的分布列為：01210．(1)0.4(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的順序猜歌名，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)互斥事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式即可求解.（2）先根據(jù)題意寫(xiě)出甲決定按“”的順序猜歌名獲得獎(jiǎng)金數(shù)的所有可能取值，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求得每一個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法得出；再同理得出甲決定按“”順序猜歌名的數(shù)學(xué)期望；最后可通過(guò)計(jì)算、比較方差得出答案或者分析獲得0元的概率得出答案.【詳解】（1）由題意可知甲按“”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名分兩種情況：猜對(duì)；猜對(duì)，這兩種情況不會(huì)同時(shí)發(fā)生.設(shè)“甲按‘A，B，C’的順序猜歌名至少猜對(duì)兩首歌名”為事件E，由甲猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立可得.（2）甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎(jiǎng)金數(shù)記為，則的所有可能取值為，所以；甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎(jiǎng)金數(shù)記為，則的所有可能取值為，所以.參考答案一：由于，由于，所以應(yīng)該按照“”的順序猜歌名.參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時(shí)，獲得0元的概率為0.5，大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時(shí)獲得0元的概率0.2，所以應(yīng)該按照“A，B，C”的順序猜歌名.其他合理答案均給分規(guī)律方法：求隨機(jī)變量X的均值與方差的方法及步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X可能的全部取值；(2)求X取每個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列；(3)由均值和方差的計(jì)算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若隨機(jī)變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解．【考點(diǎn)三】正態(tài)分布核心梳理：解決正態(tài)分布問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對(duì)稱(chēng)軸x＝μ.(2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ.(3)分布區(qū)間：利用3σ原則求概率時(shí)，要注意利用μ，σ分布區(qū)間的特征把所求的范圍轉(zhuǎn)化為3σ的特殊區(qū)間．一、單選題1．（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）一般來(lái)說(shuō)，輸出信號(hào)功率用高斯函數(shù)來(lái)描述，定義為，其中為輸出信號(hào)功率最大值（單位：），為頻率（單位：），為輸出信號(hào)功率的數(shù)學(xué)期望，為輸出信號(hào)的方差，帶寬是光通信中一個(gè)常用的指標(biāo)，是指當(dāng)輸出信號(hào)功率下降至最大值一半時(shí)，信號(hào)的頻率范圍，即對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的寬度。現(xiàn)已知輸出信號(hào)功率為（如圖所示），則其帶寬為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）已知0.9973.某體育器材廠(chǎng)生產(chǎn)一批籃球，單個(gè)籃球的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，從這一批籃球中隨機(jī)抽檢300個(gè)，則被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的個(gè)數(shù)約為（

）A．286 B．293 C．252 D．246二、多選題3．（2024·江蘇宿遷·一模）設(shè)隨機(jī)變量，其中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．變量的方差為1，均值為0 B．C．函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù) D．4．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）隨機(jī)變量X，Y分別服從正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，即，，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)一個(gè)物理量做次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果．已知最后結(jié)果的誤差，為使誤差在的概率不小于0.9545，至少要測(cè)量次（若，則）．6．（2024·廣東·一模）隨機(jī)變量，若且，則隨機(jī)變量的第80百分位數(shù)是.參考答案：題號(hào)1234答案DBACDABC1．D【分析】根據(jù)給定信息，列出方程并求解即可作答.【詳解】依題意，由，，得，即，則有，解得，，所以帶寬為.故選：D2．B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求出的概率，即可得解.【詳解】由題意得，，，所以被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的個(gè)數(shù)約為293.故選：B.3．ACD【分析】由正態(tài)分布的表示可判斷A；由正態(tài)曲線(xiàn)及可判斷B，根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可判斷D.【詳解】隨機(jī)變量，則A正確；，則B錯(cuò)誤；隨機(jī)變量，結(jié)合正態(tài)曲線(xiàn)易得函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確；正態(tài)分布的曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，則D正確，故選：ACD．4．ABC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱(chēng)性得到A正確；BC選項(xiàng)，根據(jù)正態(tài)分布和二項(xiàng)分布求期望和方差公式求出答案；D選項(xiàng)，利用二項(xiàng)分布求概率公式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)正態(tài)分布的定義得，故A正確；B選項(xiàng)，，，故，故B正確；C選項(xiàng)，，，故，故C正確；D選項(xiàng)，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．5．32【解析】因?yàn)?，得到，，要使誤差在的概率不小于0.9545，則，得到不等式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知：要使誤差在的概率不小于0.9545，則且，，所以.故答案為：32.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)正態(tài)分布的考查，關(guān)鍵點(diǎn)在于能從讀出所需信息.6．88【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求出，再求出時(shí)的即可.【詳解】隨機(jī)變量，又，則，因此，則，所以隨機(jī)變量的第80百分位數(shù)是88.故答案為：88規(guī)律方法：利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)，及曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1，注意下面三個(gè)結(jié)論的靈活運(yùn)用：(1)對(duì)任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)．(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．專(zhuān)題精練專(zhuān)題精練一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若隨機(jī)變量的可能取值為，且（），則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）2024年“與輝同行”直播間開(kāi)播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號(hào)分別為，用表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若，則（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）有一枚質(zhì)地均勻點(diǎn)數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時(shí)得到每種點(diǎn)數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進(jìn)行三次獨(dú)立投擲，記X為得到最大點(diǎn)數(shù)與最小點(diǎn)數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．5．（2024·廣東廣州·二模）設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（

）A．B．C．D．與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)6．（2024·河南信陽(yáng)·一模）對(duì)A，B兩地國(guó)企員工上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可知兩地國(guó)企員工的上班遲到時(shí)間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時(shí)間為X（單位：min），，對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)為，B地員工的上班遲到時(shí)間為Y（單位：min），，對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)為，則下列圖象正確的是（

）A． B．C． D．7．（2024·安徽合肥·三模）為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試成績(jī)服從，據(jù)此估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為（

）參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．8．（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為500克，現(xiàn)采用自動(dòng)流水線(xiàn)包裝食鹽，抽取一袋食鹽檢測(cè)，它的實(shí)際質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量存在一定的誤差，誤差值為實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量．隨機(jī)抽取100袋食鹽，檢測(cè)發(fā)現(xiàn)誤差X（單位：克）近似服從正態(tài)分布，，則X介于~2的食鹽袋數(shù)大約為（

）A．4 B．48 C．50 D．96二、多選題9．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X，Y，其中，已知隨機(jī)變量X的分布列如下表X12345pmn若，則（

）A． B． C． D．10．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）從含有2件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽出3件，則（

）A．抽出的產(chǎn)品中恰好有1件是次品的抽法有種B．抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為C．抽出的產(chǎn)品中至少有件是次品的概率為D．抽出的產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為11．（2023·浙江溫州·三模）近年來(lái)，網(wǎng)絡(luò)消費(fèi)新業(yè)態(tài)?新應(yīng)用不斷涌現(xiàn)，消費(fèi)場(chǎng)景也隨之加速拓展，某報(bào)社開(kāi)展了網(wǎng)絡(luò)交易消費(fèi)者滿(mǎn)意度調(diào)查，某縣人口約為萬(wàn)人，從該縣隨機(jī)選取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)滿(mǎn)意度得分分成以下組：、、、，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示.由頻率分布直方圖可認(rèn)為滿(mǎn)意度得分（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，且，，，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.則（

）A．由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)約為B．由直方圖可估計(jì)樣本的中位數(shù)約為C．由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬(wàn)人D．由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬(wàn)人三、填空題12．（2024·天津和平·一模）為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動(dòng)全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)，某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對(duì)其中2道才能通過(guò)初試.已知某參賽黨員甲只能答對(duì)其中的6道，那么黨員甲抽到能答對(duì)題目數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為；黨員甲能通過(guò)初試的概率為.13．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形狀完全相同的4個(gè)黑球和6個(gè)紅球，每次從中隨機(jī)取一個(gè)球，取后不放回．在第一次取到黑球的條件下，第二次取到黑球的概率是；若連續(xù)取2次球，設(shè)隨機(jī)變量表示取到的黑球個(gè)數(shù)，則．14．（2024·江蘇南通·三模）已知隨機(jī)變量．若，則，若，則的方差為．四、解答題15．（2024·河北滄州·一模）某商場(chǎng)舉辦摸球贏(yíng)購(gòu)物券活動(dòng)．現(xiàn)有完全相同的甲?乙兩個(gè)小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個(gè)小球，其中甲盒中有8個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙盒中有3個(gè)黑球和7個(gè)白球．參加活動(dòng)者首次摸球，可從這兩個(gè)盒子中隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，再?gòu)倪x中的盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸出黑球，則結(jié)束摸球，得300元購(gòu)物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來(lái)盒子中，再進(jìn)行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來(lái)盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球；方案二，從另外一個(gè)盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球．若第二次摸出黑球，則結(jié)束摸球，得200元購(gòu)物券；若摸出的是白球，也結(jié)束摸球，得100元購(gòu)物券．用X表示一位參加活動(dòng)者所得購(gòu)物券的金額．(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明選擇哪個(gè)方案第二次摸到黑球的概率更大；②依據(jù)以上分析，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.16．（2024·吉林白山·一模）俗話(huà)說(shuō)：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會(huì)讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺(jué)．張老師準(zhǔn)備參加某大型活動(dòng)，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱(chēng)為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，則記；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱(chēng)為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲”，則記；若，則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．(1)求出隨機(jī)變量的分布列，并求出期望及方差；(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率．參考答案：題號(hào)12345678910答案ACBDCBADACACD題號(hào)11答案ABD1．A【分析】先根據(jù)概率之和等于1得到方程，求出，計(jì)算出期望，進(jìn)而計(jì)算出方差.【詳解】由題意得，解得，故，.故選：A2．C【分析】首先將男生人數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，且，，，,則.故選：C3．B【分析】由題意，服從二項(xiàng)分布，，代入公式可得結(jié)果．【詳解】每下落一層向左或向右落下等可能，概率均為，每一層均要乘以，共做10次選擇，故服從二項(xiàng)分布，，又，令最大，則，即,解得，又因?yàn)椋?所以，，且．故選：B．4．D【分析】由題意得的所有可能取值為，用古典概型算出相應(yīng)的概率，進(jìn)而即可求解.【詳解】的所有可能取值為，記三次得到的數(shù)組成數(shù)組，滿(mǎn)足的數(shù)組有：，共4個(gè)，所以，滿(mǎn)足的數(shù)組有：，，共18個(gè)，所以，滿(mǎn)足的數(shù)組有：，，，，共24個(gè)，所以，滿(mǎn)足的數(shù)組有：，，，，，，共18個(gè)，所以，所以X的數(shù)學(xué)期望.故選：D.5．C【分析】根據(jù)期望的公式推出，再根據(jù)方差的計(jì)算公式可得的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可判斷的大小，即得答案.【詳解】由題意得，，故，記則同理因?yàn)椋瑒t，，，故，即得，與的大小關(guān)系與的取值無(wú)關(guān)，故選：C6．B【分析】由兩個(gè)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸位置和集中分散程度判斷結(jié)果.【詳解】由，故曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在曲線(xiàn)的左側(cè)，排除