5.7三角函數(shù)的應(yīng)用【三大必考點+六大秒殺招+六大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類（解析版）

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用【三大必考點+六大秒殺招+六大題型+分層訓(xùn)練】知識精講知識精講知識點01函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中參數(shù)的物理意義若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示簡諧振動，則知識點02三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．知識點03建立函數(shù)模型的一般步驟解題大招解題大招大招01在物理學(xué)中，物體做簡諧運動時可用正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)表示物體振動的位移y隨時間x的變化規(guī)律，A為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，T＝eq\f(2π,ω)為周期，表示物體往復(fù)振動一次所需的時間，f＝eq\f(1,T)為頻率，表示物體在單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)．大招02處理物理學(xué)問題的策略:(1)常涉及的物理學(xué)問題有單擺、光波、電流、機械波等,其共同的特點是具有周期性.(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應(yīng)的三角函數(shù)知識結(jié)合解題.大招03解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟大招04利用圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的解析式的基本步驟:求，；(2)求ω:根據(jù)圖象得出最小正周期T,可得出(3)求初相φ:將對稱中心點、最高點或最低點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可求出φ的值大招05三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是反映周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域具有重要作用，命題的背景常以波浪、潮汐、摩天輪等具有周期性現(xiàn)象的模型為載體，考查學(xué)生收集數(shù)據(jù)、擬合數(shù)據(jù)及應(yīng)用已學(xué)知識處理實際問題的能力．大招06處理曲線擬合與預(yù)測問題時，通常需要以下幾個步驟:(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出散點圖.(2)通過觀察散點圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式.(4)利用函數(shù)解析式，根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù).題型分類題型分類題型01三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用【例1】阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖（1）．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y（單位：m）和時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為y=sinωt+φω>0,φ<π，如圖（2）．若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)位置y0（?1<y0<1）的時間分別為t1，tA．13?s B．23?s 【解題思路】先確定函數(shù)的一個周期，再解不等式求另一個周期，最后計算總時間即可.【解答過程】由題意得12(t故函數(shù)y=sinωt+φω>0,φ<π的周期為令sinπ2t+φ故總時間為4k+5綜上在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為43故選：D.【變式1-1】某質(zhì)點的位移ycm與運動時間xs的關(guān)系式為y=sinωx+φω>0,φ∈?π,π，其圖象如圖所示，圖象與y軸交點坐標(biāo)為0,?32A．ω=4B．φ=?C．質(zhì)點在1,3D．質(zhì)點在0,7π【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)周期求ω=3判斷A，根據(jù)特殊點求解φ判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C，根據(jù)正弦函數(shù)值域判斷D.【解答過程】由已知函數(shù)圖象得，函數(shù)的周期T=5π6令y=fx，所以fx=sin3x+φ因為φ∈?π,π，所以又fπ6=12由已知得fx圖象相鄰的兩條對稱軸分別為直線x=π6且fx在5π18所以fx在1,由圖象得該質(zhì)點在0,7π18故選：C.【變式1-2】若單擺中小球相對靜止位置的位移x(cm)隨時間(1)單擺運動的周期是多少？(2)從O點算起，到曲線上的哪一點表示完成了一次往復(fù)運動？如從A點算起呢？(3)當(dāng)t=11s【解題思路】（1）根據(jù)周期的定義，由圖象觀察可以得出；（2）完成一次往復(fù)運動，即在函數(shù)圖象上呈現(xiàn)一個周期的圖象，結(jié)合圖象確定正確答案；（3）根據(jù)周期函數(shù)的運算，可以計算出11秒相當(dāng)于運動幾個周期，還剩多少時間，可以算出位移．【解答過程】（1）從題圖可以看出，單擺運動的周期是0.4s（2）若從O點算起，到曲線上的D點表示完成了一次往復(fù)運動；若從A點算起，到曲線上的E點表示完成了一次往復(fù)運動；（3）11=0.4×27+0.2，所以小球經(jīng)過11s相對于靜止位置的位移是0題型02三角函數(shù)在圓周運動問題中的應(yīng)用【例2】明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h為1.5m，筒車的半徑r為2.5m，筒轉(zhuǎn)動的角速度ω為π12rad/s，如圖所示，盛水桶M（視為質(zhì)點）的初始位置P0距水面的距離為3m，則3s后盛水桶M到水面的距離近似為（

）（2A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m【解題思路】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)造三角函數(shù)模型，求得三角函數(shù)解析式，進(jìn)而求解問題即可.【解答過程】根據(jù)題意，建立如下所示平面直角坐標(biāo)系：根據(jù)題意，盛水桶M到水面的距離?與時間t滿足：?=Asin因為筒轉(zhuǎn)動的角速度為π12rad/s，故又A+B=1.5+2.5=4；?A+B=1.5?2.5=?1，解得A=2.5,B=1.5，則?=2.5sin又當(dāng)t=0時，?=3，則2.5sinφ+1.5=3，sin故當(dāng)t=3時，?=2.5sin故選：B.【變式2-1】摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械游樂設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪等距離設(shè)置有60個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要30min.已知在轉(zhuǎn)動一周的過程中，座艙距離地面的高度Hm關(guān)于時間t（min）的函數(shù)關(guān)系式為H=65?50cosA．253m B．50m C．25【解題思路】設(shè)甲位置對應(yīng)的時間為t1min，轉(zhuǎn)到乙位置時對應(yīng)的時間為t2min，則t【解答過程】設(shè)甲位置對應(yīng)的時間為t1min，轉(zhuǎn)到乙位置時對應(yīng)的時間為t則t2所以甲?乙兩人座艙高度差為65?50=50cosπ=501?3=256?所以甲?乙兩人座艙高度差的最大值為256?2故選：D.【變式2-2】筒車發(fā)明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一種古老的提水設(shè)備，距今已有1000多年的歷史，它以水流作動力，取水灌田.如圖，為了打造傳統(tǒng)農(nóng)耕文化，某景區(qū)的景觀筒車直徑12米，有24個盛水筒均勻分布，分別寓意一年12個月和24節(jié)氣，筒車轉(zhuǎn)一周需48秒，其最高點到水面的距離為10米，每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，盛水筒A（視為質(zhì)點）的初始位置P0(1)盛水筒A經(jīng)過t秒后到水面的距離為?米，求筒車轉(zhuǎn)動一周的過程中，?關(guān)于t的函數(shù)解析式；(2)為了把水引到高處，在筒車中心O正上方距離水面8米處正中間設(shè)置一個寬4米的水平盛水槽，筒車受水流沖擊轉(zhuǎn)到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A轉(zhuǎn)一圈的過程中，有多長時間能把水倒入盛水槽.（參考數(shù)據(jù)：sin2【解題思路】（1）首先以點O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)表示?；（2）由題意轉(zhuǎn)化為?=6sin【解答過程】（1）以簡車中心O為原點，與水面平行的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題知，?=6sin又筒車半徑為6，點P0的縱坐標(biāo)為3，則∠由題知，∠AOP0t=2故?=6sinπ24（2）如圖，作弦CD平行且等于盛水槽MN，則在△OCD中，OC=6，OD=6，CD=4，則OH=42則CD距離水面的高度42盛水筒轉(zhuǎn)到盛水槽MN的正上方（即CD之間），能把水倒入盛水槽，即當(dāng)?=6sin則sinπ24t+π6因為525?285=題型03三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用【例3】時鐘花原產(chǎn)于南美洲熱帶，我國云南部分地區(qū)有引進(jìn)栽培．時鐘花的花開花謝非常有規(guī)律，其開花時間與氣溫密切相關(guān)，開花時所需氣溫約為20℃，氣溫上升到約30℃開始閉合，在花期內(nèi)，時鐘花每天開閉一次．某景區(qū)種有時鐘花，該景區(qū)6時～16時的氣溫y（℃）隨時間x（時）的變化趨勢近似滿足函數(shù)y=10sinπ8A．7.3時～11.3時 B．8.7時～11.3時C．7.3時～12.7時 D．8.7時～12.7時【解題思路】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【解答過程】當(dāng)x∈6,16時，π由y=10sinπ8所以π8由y=10sinπ8所以π8故在6時～16時中，觀花的最佳時段約為8.7時～11.3時.故選：B.【變式3-1】海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：m）的部分記錄表.時間0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0據(jù)分析，這個港口的水深值與時間的關(guān)系可近似的用三角函數(shù)來描述.試估計13：00的水深值為（

）A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67【解題思路】觀察表中數(shù)據(jù)求出周期和最大最小值，然后可得A,ω,b，將表中最大值點坐標(biāo)代入解析式可得φ，然后可得所求.【解答過程】記時間為x，水深值為y，設(shè)時間與水深值的函數(shù)關(guān)系式為y=fx由表中數(shù)據(jù)可知，T=12，f所以ω=2π12所以fx又x=3時，y=7.5，所以52所以π2+φ=π所以fxf13即13:00的水深值大約為6.25.故選：C.【變式3-2】建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉，關(guān)乎民族未來的長遠(yuǎn)大計.某市通宵營業(yè)的大型商場，為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，在氣溫低于0°C時，才開放中央空調(diào)，否則關(guān)閉中央空調(diào).如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：0°C）隨時間t（0≤t≤24，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近似滿足ft(1)求y=ft(2)請根據(jù)（1）的結(jié)論，求該商場的中央空調(diào)在一天內(nèi)開啟的時長.【解題思路】（1）利用五點作圖法，結(jié)合圖象即可得解；（2）解正弦不等式即可得解.【解答過程】（1）由題意，得A+b=12?A+b=?4，解得A=8又T2=15?3=12，所以T=2πω因為ft=8sin則12=8sinπ12所以5π4+φ=又?π<φ<π所以ft（2）根據(jù)題設(shè)，令8sinπ12由y=sinx的性質(zhì)得7π解得23+24k<t<31+24k，k∈Z又因為0≤t≤24，當(dāng)k=?1時，0≤t<7；當(dāng)k=0時，23<t≤24；所以0≤t<7或23<t≤24，所以該商場的中央空調(diào)應(yīng)在一天內(nèi)開啟時長為8小時.題型04幾何中的三角函數(shù)模型【例4】如圖，已知OAB是半徑為2千米的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的動點，過點C作CH⊥OA，垂足為H，某地區(qū)欲建一個風(fēng)景區(qū)，該風(fēng)景區(qū)由△AOC和矩形ODEH組成，且OH=2OD，若風(fēng)景區(qū)的修建費為100萬元/平方千米，則該風(fēng)景區(qū)的修建最多需要（

）A．260萬元 B．265萬元C．255萬元 D．250萬元【解題思路】設(shè)∠AOC=α，α∈0,π2【解答過程】設(shè)∠AOC=α，α∈0,π2，則OH=2所以矩形ODEH的面積S1又S△AOC所以風(fēng)景區(qū)面積S=2cos當(dāng)sinα=12時，S有最大值52故選：D．【變式4-1】為迎接大運會的到來，學(xué)校決定在半徑為202m，圓心角為π4的扇形空地OPQ的內(nèi)部修建一平行四邊形觀賽場地ABCDA．200m2 C．4003?1m【解題思路】如圖，連接OC，設(shè)∠COA=θ，可用θ的三角函數(shù)值表示CE，EF，即可得到四邊形ABCD的面積，再根據(jù)三角函數(shù)的值域的求法即可求解．【解答過程】如圖所示：．連接OC，設(shè)∠COA=θ，作DF⊥OP，CE⊥OP，垂足分別為F,E．根據(jù)平面幾何知識可知，AB=CD=EF，DF=OF，CE=DF．∴CE=202sinθ故四邊形ABCD的面積S也為四邊形DFEC的面積，即有S=20=4002sin(2θ+所以當(dāng)sin(2θ+π4)=1即θ=π故選：D．【變式4-2】一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=253米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建3條如圖所示的觀光走廊OE，EF，OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=90°．

(1)設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；(2)經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費用均為4000元，試問如何設(shè)計才能使建設(shè)總費用最低并求出最低總費用．【解題思路】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出邊長，即可寫出ΔOEF（2）根據(jù)題意可知即求函數(shù)l的最小值，利用換元法t=sinα+cos【解答過程】（1）在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，在Rt△AOF中，∠AFO=α，即OF=25sin所以EF=O所以△OEF的周長l=OE+OF+EF=25即l=25(當(dāng)點F在點D時，角α最小，此時α=π當(dāng)點E在點C時，角α最大，此時α=π故此函數(shù)的定義域是π（2）由題意可知，只需求出△OEF的周長l的最小值即可設(shè)sin?α+cos?α=t則原函數(shù)可化簡為l=25(t+1)因為α∈π6,π3，所以則3+1則3從而2則當(dāng)t=2時，即α=π4即當(dāng)BE=AF=25米時，鋪路總費用最低，最低總費用為200000(2題型05用擬合法建立三角函數(shù)模型【例5】某市某日氣溫y(°C)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)t（時）03691215182124y(°C15.714.015.720.024.226.024.220.015.7根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)y=Asin(wt+φ)+b(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試求函數(shù)y=Asin(wt+φ)+b(2)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，某種特殊商品在室外銷售可獲得3倍于室內(nèi)銷售的利潤，但對室外溫度的要求是氣溫不能低于23°【解題思路】（1）由A+b=26?A+b=14，求得b=20,A=6，又由T2=12，求得w=π12，再由t=3（2）令y≥23，得到sin(π12【解答過程】（1）解：由fx的圖象，可得A+b=26?A+b=14，解得又由T2=15?3=12，解得T=24，所以因為t=3時，可得y=14，即6sin3π即π4+φ=3又因為φ<π，解得φ=?3（2）解：令y≥23，即6sin(π解得π6+2kπ又因為t∈(0,24)，所以當(dāng)k=0時，可得11≤t≤19，所以一個小時營業(yè)的商家想獲得最大利潤，應(yīng)在t∈11,19【變式5-1】某港口水深y（米)是時間t（0≤t≤24，單位：小時）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：t（小時）03691215182124y（米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asin

(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出y=Asinωt+b(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）【解題思路】（1）根據(jù)圖象的最高點和最低點可以求出A,b，由兩個最高點的之間的距離可以求出ω，從而可求函數(shù)的表達(dá)式；（2）在當(dāng)0≤t≤24的前提下，解不等式y(tǒng)≥11.5即可.【解答過程】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，A+b=13?A+b=7∴A=3，b=10，T=15?3=12，∴ω=2∴函數(shù)的表達(dá)式為y=3sin（2）由題意，水深y≥4.5+7，即3sin∴sin∴π6t∈2k∴t∈[1,5]或t∈[13,17]；所以，該船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全進(jìn)港，若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過16小時.【變式5-2】“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建模活動，通過實地考察某港口水深y（米）與時間0≤t≤24（單位：小時）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識，給該船舶公司提供安全進(jìn)此港時間段的建議．【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)據(jù),畫出散點圖、連線，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）畫出散點圖，連線如下圖所示：設(shè)y=Asinωt+b，根據(jù)最大值13，最小值7，可列方程為：再由T=2πω=12y=3sin（2）3sin∵0≤t≤24，∴0≤π∴π6≤解得1≤t≤5，或13≤t≤17，所以請在1：00至5：00和13：00至17：00進(jìn)港是安全的．題型06三角函數(shù)新定義【例6】對于集合A=θ1,θ2,?,θn和常數(shù)θ0，定義：μ=1nA．23 B．1 C．53【解題思路】利用“正切方差”的定義，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【解答過程】由題意，得μ=1μ=1故選:C.【變式6-1】對于函數(shù)f(x)，在使f(x)≥M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值稱為函數(shù)f(x)的“下確界”.若函數(shù)f(x)=3cos2x?π3+1，x∈?πA．?π6,π2 B．?π【解題思路】由下確界定義，f(x)=3cos2x?π3+1【解答過程】由題意f(x)=3cos2x?π3+1又f(?π由3cos(2x?π2kπ?2π3≤2x?k=0時，?π所以?π故選：A．【變式6-2】對于定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)t（t∈R），使得f(x+t)+tf(x)=0對任意的實數(shù)x都成立，則稱f(x)是階數(shù)為t(1)試判斷函數(shù)f(x)=sinπx+cosπ(2)若f(x)=sinωx是回旋函數(shù)，求實數(shù)(3)若回旋函數(shù)f(x)=sinωx?1（ω>0）在[0，1]上恰有2024個零點，求【解題思路】（1）代入題目給的定義求解即可，（2）求解sin[ω(x+t)]+tsinωx=0分ω=0,（3）求解f(x)=sin2m【解答過程】（1）因為f(x)=sinπ所以f(x?1)=sin所以f(x?1)?f(x)=?2sinπ所以函數(shù)f(x)=sinπx+cosπ（2）設(shè)f(x)=sinωx是階數(shù)為t的回旋函數(shù)，則若ω=0，上式對任意實數(shù)x均成立；若ω≠0，sin[ω(x+t)]=?t因為y=sinx的值域為[?1,1]，所以當(dāng)t=1時，對任意實數(shù)x有sin[ω(x+1)]=?則ωx+ω=ωx+π+2kπ所以ω=(2k+1)π，k∈當(dāng)t=?1時，對任意實數(shù)x有sin[ω(x?1)]=則ωx?ω=ωx+2kπ，k∈Z，所以ω=?2kπ綜上所述，ω=mπ，m∈（3）因為f(x+t)+tf(x)=sin[ω(x+t)]?1+tsin由（2）可知t=?1，ω=2mπ，m∈所以f(x)=sin令f(x)=0，解得x=14m+因為函數(shù)f(x)在[0，1]上恰有2024個零點，所以14m+2023又因為m∈N?，所以m=2024，所以分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)】1．古代農(nóng)耕常用水車作為灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類改造自然的成果之一.如圖是一個半徑為的水車，以水車的中心為原點，過水車的中心且平行于水平面的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，當(dāng)秒時，（

）

A． B． C． D．4【答案】A【分析】由點坐標(biāo)求得半徑，再由周期是60秒，經(jīng)過45秒，就是旋轉(zhuǎn)了個周期，由計算出圖中（小于平角的那個），然后由勾股定理計算．【詳解】由已知，，經(jīng)過45秒后，即旋轉(zhuǎn)了個周期，因此，如圖，所以，故選：A．

2．我們學(xué)過用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度數(shù)為，則角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用扇形面積公式，根據(jù)面度數(shù)定義，求角.【詳解】由面度數(shù)的定義可知，即，.故選：B3．如圖，某港口某天從6h到18h的水深y（單位：m）與時間x（單位：h）之間的關(guān)系可用函數(shù)近似刻畫，據(jù)此可估計當(dāng)天12h的水深為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可確定周期，即可求解，根據(jù)最低點得，即可代入求解，從而根據(jù)解析式代入即可得解.【詳解】由題圖可得，則，當(dāng)時，y取得最小值，為，得，∵函數(shù)的圖象過點，∴，即，又，∴，∴.當(dāng)時，.故選：A.4．如圖，點P為射線與以原點O為圓心的單位圓的交點，一動點在圓O上以點P為起始點，沿逆時針方向運動，每2秒轉(zhuǎn)一圈．則該動點橫坐標(biāo)關(guān)于運動時間t的函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】動點的運動速度為，射線對應(yīng)的角度為，故動點行程的射線對應(yīng)的角度為，得到答案.【詳解】動點的運動速度為，射線對應(yīng)的角度為，故動點行程的射線對應(yīng)的角度為，故，故選：C5．記某時鐘的中心點為，分針針尖對應(yīng)的端點為．已知分針長，且分針從12點位置開始繞中心點順時針勻速轉(zhuǎn)動．若以中心點為原點，3點和12點方向分別為軸和軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則點到軸的距離（單位：）與時間t（單位：min）的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】畫出圖像，由題意分析得，利用已知條件求解出化簡即可.【詳解】如圖所示：由題意得分針每分鐘轉(zhuǎn)rad，則分鐘后轉(zhuǎn)了rad，則點到軸的距離與時間t的關(guān)系可設(shè)為：，當(dāng)時，點在鐘表的12點處，此時，所以，所以可以取，此時，故選：D.6．2024年7月，第17屆歐洲杯足球賽落下帷幕，西班牙國家隊以7戰(zhàn)全勝的成績獲得冠軍，隊中出生于2007年，不滿17歲就參加歐洲杯的天才少年拉明·亞馬爾獲得1個進(jìn)球，4個助攻的優(yōu)秀數(shù)據(jù)，打破了歐洲杯歷史上的“最年輕的參賽球員”“最年輕的進(jìn)球球員”等多項記錄．據(jù)記者報道，由于他還是個高中生，在歐洲杯期間每天的訓(xùn)練和比賽后，還要完成自己的家庭作業(yè)．如圖，已知足球比賽的球門寬度AB大約為7米，D在場地的底線上，與點B距離5米，CD與底線垂直，CD長為15米，若在訓(xùn)練中，球員亞馬爾從點C開始帶球沿直線向點D奔跑并選擇一點P處射門，要想獲得最大的射門角度（∠APB），則他需要帶球的距離CP大約是（參考數(shù)據(jù)：）（

）

A．3.6米 B．3.9米 C．7.2米 D．7.8米【答案】C【分析】設(shè)，得出，，由正切函數(shù)單調(diào)性，兩角差的正切公式及基本不等式即可求解．【詳解】設(shè)，，，同理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時．故選：C．7．如圖所示，一個以為始邊，為終邊的單擺的角與時間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式，則當(dāng)時，角的大小及單擺頻率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)單擺所擺動角所滿足的關(guān)系式和頻率的定義可得選項.【詳解】當(dāng)時，，由函數(shù)解析式易知單擺周期為，故單擺頻率為．故選：B.8．阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖（1）．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y（單位：m）和時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為，如圖（2）．若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)位置（）的時間分別為，，（），且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（

）A． B． C．1s D．【答案】D【分析】先確定函數(shù)的一個周期，再解不等式求另一個周期，最后計算總時間即可.【詳解】由題意得，，故函數(shù)的周期為，，可得，令，解得，故總時間為，綜上在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為.故選：D.9．智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為2π，初相為，則通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（

）．A．； B．； C．； D．．【答案】D【分析】根據(jù)振幅可求出，根據(jù)周期可求出，根據(jù)初相可求出，化簡后可得答案.【詳解】由噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為2π，初相為，可得，，，所以噪聲的聲波曲線的解析式為，所以通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為．故選：D．10．如圖所示，角（）的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊與單位圓的交點為，分別過點作軸的垂線，過點作軸的垂線交角的終邊于，，根據(jù)三角函數(shù)的定義，．現(xiàn)在定義余切函數(shù)，滿足，則下列表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形相似，即可求解.【詳解】由圖象可知，，則，即，所以.故選：D11．（多選）如圖，一個半徑為10米的水輪按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈．記水輪上的點P到水面的距離為d米（P在水面下則d為負(fù)數(shù)），則d（米）與時間t（秒）之間滿足關(guān)系式：，且當(dāng)P點從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先根據(jù)的最大值和最小值求出，再根據(jù)每分鐘轉(zhuǎn)4圈求出周期，從而可求得.【詳解】由圖可知的最大值為15，最小值為，所以，解得，所以AB正確，D錯誤，因為每分鐘轉(zhuǎn)4圈，所以轉(zhuǎn)一圈需要15秒，即周期為15，所以，得，所以C正確.故選：ABC12．（多選）如圖所示，一個質(zhì)點在半徑為2的圓O上以點P為起始點，沿逆時針方向運動，每3s轉(zhuǎn)一圈.則該質(zhì)點到x軸的距離關(guān)于時間t的函數(shù)記為.下列說法正確的是（

）A． B．C．的最小正周期為 D．的最小正周期為3【答案】AC【分析】根據(jù)角速度的概念、任意角的三角函數(shù)定義以及三角函數(shù)的周期公式計算.【詳解】由題可知，質(zhì)點的角速度為，因為點P為起始點，沿逆時針方向運動，設(shè)經(jīng)過時間之后所成角為，則，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義有：，所以該質(zhì)點到x軸的距離為，故A正確，B錯誤；因為，所以的最小正周期為，故C正確，D錯誤.故選：AC.13．（多選）如圖是半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時秒，經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，），則下列說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時，點到軸距離最大為C．當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減D．當(dāng)時，點的坐標(biāo)為【答案】ABD【分析】求出的解析式，判斷的單調(diào)性和最值，從而可判斷各選項是否正確.【詳解】水車的半徑，函數(shù)的最小正周期，所以，由，解得，且，所以，故A正確；，當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，取得最小值，故此時點到軸的距離為6，故B正確；當(dāng)時，，所以在上先增后減，故C錯誤；當(dāng)時，，此時點坐標(biāo)為，故D正確.故選：ABD.14．風(fēng)力發(fā)電的原理是利用風(fēng)力帶動風(fēng)機葉片旋轉(zhuǎn)，當(dāng)風(fēng)吹向葉片時驅(qū)動風(fēng)輪轉(zhuǎn)動，風(fēng)能轉(zhuǎn)化成動能，進(jìn)而來推動發(fā)電機發(fā)電．如圖，風(fēng)機由一座塔和三個葉片組成，每兩個葉片之間的夾角均為，現(xiàn)有一座風(fēng)機，葉片旋轉(zhuǎn)軸離地面100米，葉片長40米．葉片按照逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，并且每5秒旋轉(zhuǎn)一圈．風(fēng)機葉片端點P從離地面最低位置開始，轉(zhuǎn)動t秒后離地面的距離為h米，在轉(zhuǎn)動一周的過程中，h關(guān)于t的函數(shù)解析式為（，，）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)風(fēng)機葉片端點P從離地面最低位置開始，在轉(zhuǎn)動一周的過程中，求點P離地面的高度不低于80米的時長．【答案】(1)(2)秒【分析】（1）根據(jù)題意，建立關(guān)于的方程組，解出即可；（2），解出三角不等式即可.【詳解】（1）由題意，得風(fēng)機的角速度每秒，當(dāng)時．解得．（2）令，則，即，，解得，．當(dāng)風(fēng)機葉片端點P從離地面最低位置開始，在轉(zhuǎn)動一周的過程中，點P離地面的高度不低于80米的時長為秒．15．如圖，在扇形中，半徑，圓心角.是扇形圓弧上的動點，矩形內(nèi)接于扇形，記.(1)將矩形的面積表示成關(guān)于的函數(shù)的形式；(2)求的最大值，及此時的角.【答案】(1)（）(2)時，取得最大值【分析】（1）借助三角函數(shù)定義及幾何性質(zhì)即可求解；（2）借助三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在中，，，，，，，（）；（2），，，因為，，當(dāng)，即時，取得最大值.

【能力提升】1．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械游樂設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里可從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，均勻設(shè)置有48個座艙（按順時針依次編號為1至48號），開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要30min.甲、乙兩戶家庭去坐摩天輪，甲家庭先坐上了1號座艙，乙家庭坐上了號座艙，若從乙家庭坐進(jìn)座艙開始計時，10min內(nèi)（含10min）出現(xiàn)了兩戶家庭的座艙離地面高度一樣的情況，則的最小值是（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)乙家庭轉(zhuǎn)動出現(xiàn)了兩戶家庭的座艙離地面高度一樣，借助對稱性求出，再結(jié)合兩個相鄰座艙對應(yīng)弧所對圓心角即可得解.【詳解】設(shè)乙家庭轉(zhuǎn)動出現(xiàn)了兩戶家庭的座艙離地面高度一樣，，只需考查旋轉(zhuǎn)的第一周內(nèi)即可，而摩天輪的座艙每分鐘轉(zhuǎn)動，則乙家庭的座艙轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，摩天輪的兩個相鄰座艙中點間的圓弧所對圓心角為，甲家庭的座艙轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，依題意，甲乙兩戶家庭的座艙關(guān)于摩天輪垂直于地面的軸對稱，則，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值是17.故選：B2．音樂噴泉曲線形似藤蔓上掛結(jié)的葫蘆，也可稱為“葫蘆曲線”.它的性質(zhì)是每經(jīng)過相同的時間間隔，它的振幅就變化一次.如圖所示，某一條葫蘆曲線的方程為，其中x表示不超過x的最大整數(shù).若該條曲線還滿足，經(jīng)過點.則該條葫蘆曲線與直線交點的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)曲線方程上的點可得，將代入計算可得縱坐標(biāo).【詳解】將點代入葫蘆曲線的方程可得，即，由可得，因此曲線方程為，當(dāng)時，可得，所以交點的縱坐標(biāo)為.故選：C3．如圖，一個大風(fēng)車的半徑為旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點離地面2m，風(fēng)車翼片的一個端點從開始按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則點離地面距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式后，由題意可得函數(shù)周期、最大最小值等，即可計算出函數(shù)中相應(yīng)系數(shù)，即可得解.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)，則．旋轉(zhuǎn)一周，．最大值與最小值分別為14，2，，解得．．故選：D．4．如圖，長方形的邊，，是的中點．點沿著邊，與運動，記．將動點到兩點距離之和表示為的函數(shù)，則的圖像大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】借助排除法，計算、可排除C、D，計算時的情況可得時圖像不是線段，可排除A.【詳解】由題意可得，，故，由此可排除C、D；當(dāng)時點在邊上，，，所以，可知時圖像不是線段,可排除A，故選B．故選：B.5．如圖，直線與單位圓相切于點，射線從出發(fā)繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，在此過程中，記，射線經(jīng)過的單位圓內(nèi)陰影部分的面積為，則對函數(shù)說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．，使得C．對，都有D．對，都有【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)可得且，結(jié)合圖分析各項的正誤.【詳解】如下圖(OD與OP重合)，則陰影部分面積，且，所以，A錯；由圖知在旋轉(zhuǎn)過程中陰影面積不斷變大，不存在使得，B錯；當(dāng)，則，C錯；，D對.故選：D6．如圖，摩天輪的半徑為m，其中心點距離地面的高度為m，摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點的起始位置在最高點處，則摩天輪轉(zhuǎn)動過程中下列說法正確的是（

）

A．轉(zhuǎn)動后點距離地面B．若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動一圈所需的時間變?yōu)樵瓉淼腃．第和第點距離地面的高度相同D．摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，點距離地面的高度不低于m的時間長為【答案】D【分析】設(shè)轉(zhuǎn)動過程中，點離地面距離的函數(shù)為，由題意求得解析式，然后逐項求解判斷.【詳解】設(shè)轉(zhuǎn)動過程中，點離地面距離的函數(shù)為：，由題意得：，，則，所以，選項A，轉(zhuǎn)到后，點距離地面的高度為：，故A不正確；選項B，若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動一圈所需的時間變?yōu)樵瓉淼?倍，故B不正確；選項C，因為，，所以，即第和第點距離地面的高度不相同，故C不正確；選項D，令，則，由，解得，所以，即摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，點距離地面的高度不低于m的時間為，故D正確；故選：D.7．如圖，為測量旗桿的高，在水平線上選取相距的兩點，用兩個垂直于水平面且高度均為的測量標(biāo)桿觀測旗桿的頂點，記處測量標(biāo)桿的上端點分別為，直線與水平線分別交于點，且測得的長分別為，則旗桿的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由銳角三角函數(shù)的定義可得，，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.【詳解】由題可得，，所以，又，得到，又，所以，解得m，故選：A.8．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械游樂設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪等距離設(shè)置有60個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要.已知在轉(zhuǎn)動一周的過程中，座艙距離地面的高度關(guān)于時間（min）的函數(shù)關(guān)系式為，若甲?乙兩人的座艙之間有4個座艙，則甲?乙兩人座艙高度差的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)甲位置對應(yīng)的時間為，轉(zhuǎn)到乙位置時對應(yīng)的時間為，則，利用函數(shù)關(guān)系式為作差可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)甲位置對應(yīng)的時間為，轉(zhuǎn)到乙位置時對應(yīng)的時間為，則，所以甲?乙兩人座艙高度差為，所以甲?乙兩人座艙高度差的最大值為.故選：D.9．阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y(m)和時間t(s)的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)四次到達(dá)同一位置的時間分別為，且，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的距離大于0.5m的總時間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先確定函數(shù)的一個周期，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即得.【詳解】設(shè)的周期為，，根據(jù)，可知，所以，，所以，令，則，所以，可得，所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的距離大于0.5m的總時間為.故選：B10．阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為，如圖．若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時間分別為，且，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移小于的總時間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，根據(jù)得到，再令求解.【詳解】解：由，得，所以，，則，令，得，解得，所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移小于的總時間為：，故選：D11．（多選）某校南門前有條長80米，寬8米的公路（如圖矩形），公路的一側(cè)劃有16個長5米寬2.5米的停車位（如矩形），由于停車位不足，放學(xué)時段造成道路擁堵，學(xué)校提出一個改造方案，在不改變停車位的大小和汽車通道寬度的條件下，通過壓縮道路邊綠化帶及改變停車位方向來增加停車位，記綠化帶被壓縮的寬度（米），停車位相對道路傾斜的角度，其中，則（

）A． B．C．該路段改造后的停車位比改造前增加8個 D．該路段改造后的停車位比改造前增加9個【答案】AD【分析】根據(jù)構(gòu)造對偶式求出，再根據(jù)的范圍可得答案.【詳解】∵，∴，構(gòu)造對偶式可得，，平方相加得，由，可得或，又，所以，，該路段改造后的停車位比改造前增加9個.故選：AD.12．（多選）如圖，正方形的長為為邊中點，射線繞點按逆時針方向從射線旋轉(zhuǎn)至射線，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記為，射線掃過的正方形內(nèi)部的區(qū)域（陰影部分）的面積為，則下列說法正確的是（

）A．B．在上為減函數(shù)C．D．若為上的動點，且，則為定值【答案】ACD【分析】對于A選項，求出當(dāng)時，函數(shù)的解析式，可判斷選項的正誤；對于B選項，利用的單調(diào)性可判斷選項的正誤；對于C選項，利用對稱性可判斷C選項的正誤；對于D選項，結(jié)合旋轉(zhuǎn)變換和全等知識可判斷D選項正誤．【詳解】對于選項，