4-7賈 能態(tài)密度和費(fèi)米面

晶體中電子狀態(tài)的基本認(rèn)識（2）晶體中電子狀態(tài)由能帶描述；（1）多個(gè)原子相互作用，孤立的能級擴(kuò)展為能帶，一般情況下，二者有一一對應(yīng)的關(guān)系；（4）能帶寬度決定于波函數(shù)的重疊程度；（3）禁帶寬度決定于周期勢場變化的劇烈程度；（5）晶體中電子波函數(shù)是布洛赫函數(shù)，它反映晶體電子共有化運(yùn)動(dòng)和圍繞原子核運(yùn)動(dòng)兩者兼有的特征；禁帶圖1近自由電子近似能帶擴(kuò)展區(qū)圖示2021/6/2712021/6/272△E圖2近自由電子近似能帶簡約區(qū)、能級分裂圖示2021/6/273§4-7能態(tài)密度和費(fèi)米面

一、能態(tài)密度函數(shù)固體中的電子能級原子中電子的本征態(tài)分立的能級分布情況描述具體標(biāo)明各能級能量準(zhǔn)連續(xù)分布特點(diǎn)：異常密集分布情況描述“能態(tài)密度函數(shù)N(E)”或“單位體積能態(tài)密度g(E)”2021/6/2741、能態(tài)密度函數(shù)定義：在E—E+ΔE能量范圍內(nèi)的能態(tài)數(shù)目用ΔZ表示，則能態(tài)密度函數(shù)定義為：單位體積能態(tài)密度g(E)：V晶體的體積2021/6/275圖3E(K)在K空間的分布情況2021/6/276一、能態(tài)密度函數(shù)Ⅰ.ΔZ的確定在空間中作和等能面，在兩等能面之間狀態(tài)數(shù)即為ΔZ。而空間中分布是均勻的，密度為，即：

(1)dk表示兩等能面之間的垂直距離;(2)ds表示面積元。2021/6/277Ⅱ.關(guān)于ΔE由的含義（表示沿法線方向能量的改變率）可知：Ⅲ.由此得能態(tài)密度N(E)一般表達(dá)式：2021/6/278qyqx振動(dòng)模式密度能態(tài)密度函數(shù)2021/6/279關(guān)于能態(tài)密度的計(jì)算公式：例一、自由電子能態(tài)密度Ｎ(E)。例二、若已知，求g(E)。例三、簡立方晶格的s帶對應(yīng)的能態(tài)密度N(E)。2021/6/2710例一、自由電子能態(tài)密度Ｎ(E)解：自由電子的能量本征值：自由電子等能面為球面，其半徑為：作業(yè)：求解一維、二維情況下自由電子能態(tài)密度Ｎ(E)2021/6/2711例一、自由電子能態(tài)密度Ｎ(E)分析Ｅ～Ｎ(Ｅ)關(guān)系N(E)E

自由電子情況近自由電子近似的能態(tài)密度2021/6/2712近自由電子近似的等能面第一布里淵區(qū)內(nèi)：認(rèn)為從原點(diǎn)向外，等能面應(yīng)該基本上保持為球面接近于布里淵區(qū)邊界：等能面將向外凸出當(dāng)EA<E<EC時(shí)：等能面將不再是完整的閉合面，而是分割在各個(gè)頂角附近的曲面。kxky2021/6/2713A·C··B據(jù)以上分析可估計(jì)能態(tài)密度N(E)的大小。在第一布里淵區(qū)內(nèi)：EN(E)ECE0EBEC>EB當(dāng)E超過第二布里淵區(qū)的最低能量EB時(shí)：N(E)由0迅速增大。EN(E)EAECEBEC<EB2021/6/2714近自由電子能態(tài)密度Ｎ(E)Ｅ～Ｎ(E)關(guān)系可表示如下：(1)E<EA時(shí)，N(E)自由電子結(jié)果相差不多；(2)E接近EA時(shí)，由于等能面向外凸，導(dǎo)致體積增大，使N(E)大于自由電子情況；(3)E>EA時(shí)，由于等能面開始?xì)埰疲娣e下降，尤其是到達(dá)EC時(shí)，等能面縮小為幾個(gè)頂角點(diǎn)，所以由EA到EC過程，N(E)將不斷下降到零。N(E)E

自由電子情況近自由電子情況2021/6/2715近自由電子能態(tài)密度Ｎ(E)N(E)E

自由電子情況近自由電子情況(4)當(dāng)E達(dá)到并超過第二布里淵區(qū)的最低能量EB時(shí)，能態(tài)密度N(E)將從EB開始，由0迅速增大。注：右圖為能帶無交疊的情況。2021/6/2716近自由電子能態(tài)密度Ｎ(E)N(E)E

自由電子情況近自由電子情況能帶有交疊情況2021/6/2717例二例二、若已知，求g(E)。解：等能面方程：2021/6/2718例二能量為E的等能面內(nèi)的狀態(tài)數(shù)記作Z：2021/6/2719例二引申情況：當(dāng)m1=m2=m3時(shí)，等能面為球面；當(dāng)m1=m2≠m3時(shí)，等能面為橢球面。2021/6/2720例三計(jì)算簡立方晶格的s帶對應(yīng)的能態(tài)密度N(E)解：簡立方晶格的s帶能帶函數(shù)計(jì)算公式：2021/6/2721例三所以能態(tài)密度可表示為：2021/6/2722緊束縛近似等能面能帶底附近等能面為球面；E增大，等能面偏離球面，E越增大，偏離越明顯（P218圖4-40）。2021/6/2723例三(1)能帶底E=E0-6J1；(2)當(dāng)E=E0-2J1時(shí)，出現(xiàn)微商不連續(xù)奇點(diǎn)，這時(shí)恰好等能面與布里淵區(qū)界面相交，等能面如P219圖4-42所示；(3)E=E0時(shí)，為能帶的中點(diǎn)，N(E)函數(shù)以E0為中心，上下對稱，等能面如P219圖4-43所示。能態(tài)密度函數(shù)圖（P219圖4-41）2021/6/2724例三能態(tài)密度的臨界點(diǎn)（范霍夫奇點(diǎn)）由公式

可知，在某個(gè)k取值處，

在該點(diǎn)，N(E)顯示出某種奇異性，稱為范霍夫奇點(diǎn)，也稱臨界點(diǎn)。En(k)是k空間的周期函數(shù)，因此每個(gè)周期性單元中必定存在有的點(diǎn)，例如：En(k)的極大值和極小值點(diǎn)；的鞍點(diǎn)等等，而且這些點(diǎn)是出現(xiàn)在布里淵區(qū)的高對稱點(diǎn)處。2021/6/2725例三以簡立方晶格為例，說明緊束縛近似下的s能帶的能態(tài)密度的臨界點(diǎn)恰為布區(qū)的高對稱點(diǎn)。Γ點(diǎn)[]是極小值點(diǎn)；R點(diǎn)[]是極大值點(diǎn)；X點(diǎn)[]是一個(gè)鞍點(diǎn)——布區(qū)側(cè)面中心。2021/6/2726二、費(fèi)米面能量是k的函數(shù)，費(fèi)米分布描述電子按能量的分布。在k空間中畫出等能面，電子按費(fèi)米函數(shù)分布在各等能面上，按泡利原理，由低到高，填充能量盡可能低的電子態(tài)。若固體中有N個(gè)電子，在k空間填充了半徑為kF的球，球內(nèi)包括的狀態(tài)數(shù)恰好等于N，即：一般稱這個(gè)球?yàn)橘M(fèi)米球，kF稱為費(fèi)米球半徑，球的表面稱費(fèi)米面。2021/6/2727費(fèi)米面定義指當(dāng)T＝0時(shí)，k空間中占有電子和不占有電子區(qū)域的分界面。這里費(fèi)米面的能量值稱為費(fèi)米能級EF；對應(yīng)的電子動(dòng)量稱為費(fèi)米動(dòng)量；kF稱為費(fèi)米球半徑；

稱為費(fèi)米速度；費(fèi)米面就是k空間中能量為EF的等能面。2021/6/2728費(fèi)米面費(fèi)米能級EF費(fèi)米能級數(shù)值由電子密度決定。當(dāng)T=0k時(shí)，從E=0到E=EF范圍內(nèi)對g(E)積分值應(yīng)等于電子密度n，即：費(fèi)米球半徑kFN個(gè)電子在k空間填充半徑為kF的費(fèi)米球，費(fèi)米球內(nèi)包括的狀態(tài)數(shù)恰好等于N，即2021/6/2729關(guān)于“費(fèi)米面”（1）絕對零度下，費(fèi)米面將填充能級和未填充能級分隔開；（2）費(fèi)米面形狀基本上不隨溫度變化；溫度升高時(shí)，只有少量電子從費(fèi)米面內(nèi)側(cè)附近激發(fā)到外側(cè)附近，費(fèi)米能級本身很少隨溫度變化，因此，費(fèi)米面成為金屬的一個(gè)