新教材高中數學第五章三角函數習題課正弦函數余弦函數的性質的綜合問題導學案

習題課正弦函數、余弦函數的性質的綜合問題【學習目標】(1)掌握正弦函數、余弦函數的基本性質．(2)能夠解決簡單的函數性質的綜合問題．題型1形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函數的最值(值域)問題例1求函數y＝cos2x＋sinx，x∈R的最大值．一題多變將本例中的條件“x∈R”改為“x∈[π4學霸筆記：求y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函數最值(值域)的方法形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝sinx，轉化為二次函數y＝at2＋bt＋c求最值，t的范圍需要根據定義域來確定．若f(x)＝asin2x＋bcosx＋c，還需利用同角三角函數的基本關系，轉化成同名三角函數求值．跟蹤訓練1求函數f(x)＝sin2x＋cosx在區(qū)間[π4題型2正弦函數、余弦函數的對稱性【問題探究】(1)正弦函數y＝sinx是奇函數，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心，除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標是什么？(2)正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱方程是什么？(3)類比正弦函數的對稱軸和對稱中心，你能寫出余弦函數的對稱軸和對稱中心嗎？例2求函數y＝3sin(2x＋π3學霸筆記：正弦曲線、余弦曲線的對稱軸一定分別過正弦曲線、余弦曲線的最高點或最低點，即此時的正弦值、余弦值取得最大值或最小值；正弦曲線、余弦曲線的對稱中心一定是正弦曲線、余弦曲線與x軸的交點，即此時的正弦值、余弦值為0.跟蹤訓練2函數y＝cos(2x＋π3A．關于點(π3B．關于點(π6C．關于直線x＝π6D．關于直線x＝π3題型3正弦函數、余弦函數性質的綜合應用例3下述四條性質：①最小正周期是π，②圖象關于直線x＝π3對稱，③圖象關于點(π12，0)對稱，④在[－A．y＝sin(x2+π6)B．y＝sin(2C．y＝cos(2x＋π3)D．y＝sin(2x＋π學霸筆記：研究三角函數性質的幾個方面是通過數形結合、整體代換的數學思想研究三角函數的定義域、圖象、周期性、奇偶性、對稱性、單調性、最值或值域等．跟蹤訓練3(多選)設函數f(x)＝cos(2x＋π3A．f(x)的一個周期為－πB．y＝f(x)的圖象關于直線x＝4πC．f(x)的一個零點為x＝πD．f(x)在(π2隨堂練習1.函數y＝sin2x的圖象的一條對稱軸的方程是()A．x＝－π2B．x＝－C．x＝π8D．x＝2．函數y＝cos2x的圖象()A．關于直線x＝－π2B．關于直線x＝－π4C．關于直線x＝π8D．關于直線x＝5π3．已知函數f(x)＝4sin(ωx＋π6)的圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為π6，則函數f(A．(0，π4)B．(－π2，－C．(π3，π2)D．(－4．函數f(x)＝－2sin2x＋cosx－3的值域為____________．課堂小結1.會求形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函數的最值(值域)．2．會求正弦函數、余弦函數的對稱軸和對稱中心．3．靈活掌握正弦函數、余弦函數性質的綜合應用．習題課正弦函數、余弦函數的性質的綜合問題例1解析：由已知得y＝1－sin2x＋sinx，令sinx＝m(－1≤m≤1)，則y＝1－m2＋m＝－(m－12)2＋5當m＝12時，函數有最大值為5一題多變解析：f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx，x∈[π4令sinx＝t，t∈[22∴g(t)＝－t2＋t＋1，t∈[22對稱軸t＝12，故函數g(t)在t∈[2又g(22)＝－12+所以函數f(x)＝cos2x＋sinx，x∈[π4，π跟蹤訓練1解析：f(x)＝1－cos2x＋cosx＝－cos2x＋cosx＋1，設t＝cosx，∵x∈[π4，2π3所以g(t)＝－t2＋t＋1，t∈[－12二次函數拋物線的對稱軸為t＝－12×-由于g-12＝－14g(22)＝－12+22所以函數的最小值是14問題探究提示：(1)有(kπ，0)k∈Z.(2)是軸對稱圖形，方程為x＝π2＋kπ，(k∈Z(3)對稱軸方程是x＝kπ(k∈Z)，對稱中心的坐標為(π2＋kπ，0)(k∈Z例2解析：由2x＋π3＝kπ＋π2，得x＝kπ2+所以對稱軸為x＝kπ2+π12由2x＋π3＝kπ，得x＝kπ2-π所以對稱中心為(kπ2-π6跟蹤訓練2解析：由余弦函數的對稱中心為(kπ＋π2，0)，令2x＋π3＝kπ＋π2，得x＝kπ2+π12，k∈Z，易知A、B錯誤；由余弦函數的對稱軸為x＝kπ，令2x＋π3＝kπ，得x＝kπ2答案：D例3解析：條件①：y＝sin(x2+π條件②：當x＝π3代入B，函數取得最大值，滿足關于x＝π3對稱；代入C，函數取得最小值，滿足關于x＝π3條件③：x＝π12條件④：在[－π6，π3]上，代入B，2x－π6∈[－π2，π2答案：B跟蹤訓練3解析：T＝2π2＝π，故f(因為f4π3＝cos(8π3+π3)＝cos3π＝－1，故y＝ffπ12＝cos(π6+π3)＝0，故f(x當x∈(π2，π)時，2x＋π3∈(答案：ABC[隨堂練習]1．解析：由2x＝π2＋kπ，得x＝kπ2-π4，k∈Z，當k＝0時，x＝－答案：B2．解析：y＝cos2x的對稱軸滿足2x＝kπ，k∈Z，即x＝kπ2，k∈Z，當答案：A3．解析：因為函數f(x)＝4sin(ωx＋π6)的圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離是π6，所以14×2所以f(x)＝4sin(3x＋π6令π2＋2kπ≤3x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π9+2k所以函數f(x)的單調遞減區(qū)間是[π9+2kπ3當k＝－1時，(－π2，－π4)?[－5π所以函數f(x)在區(qū)間(－π2，－π答案：B4．解析：f(x)＝－2sin2x＋cosx－