備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題突破練17

專題突破練(分值:73分)學(xué)生用書P185一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若一個正方體的頂點都在球面上,則該正方體表面積與球表面積的比值是()A.2π3 B.2答案B解析設(shè)正方體的棱長為a,則正方體的體對角線d=a2+a2+a2=3a,故正方體的表面積為6a2,球的表面積為4π(d22.(2024·山東淄博一模)一圓錐的側(cè)面積為16π,其側(cè)面展開圖為一個半圓,則該圓錐的底面半徑長為()A.2 B.4 C.22 D.42答案C解析設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為r,即側(cè)面展開圖的半徑為l,側(cè)面展開圖的弧長為πl(wèi).又圓錐的底面周長為2πr,所以2πr=πl(wèi),即圓錐的母線長l=2r.所以圓錐的側(cè)面積為πrl=2πr2=16π,解得r=223.設(shè)體積相等的正方體、正四面體和球的表面積分別為S1,S2,S3,則()A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3C.S3<S1<S2 D.S3<S2<S1答案C解析令正方體、正四面體和球的體積為1,設(shè)正方體的棱長為a,則a3=1,解得a=1,表面積S1=6a2=6.設(shè)正四面體的棱長為b,則正四面體底面正三角形的外接圓半徑為23×32b=33b,正四面體的高h=b2-(33b)

2=63b,體積為13×34b2×63b=212b3=1,解得b=2×33,表面積S2=4×34b2=23×332=2×376>6.4.(2024·山東泰安三模)已知圓臺O1O2的母線長為4,下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍,軸截面周長為16,則該圓臺的表面積為()A.24π B.25π C.26π D.27π答案C解析如圖,作出圓臺的軸截面ABDC,設(shè)上底面圓O1的半徑為r,則下底面圓O2的半徑是3r,故軸截面周長為16=4+4+2r+6r,解得r=1,所以上、下底面圓的面積分別為π,9π,圓臺側(cè)面積S側(cè)=π(1+3)×4=16π,所以圓臺的表面積為π+9π+16π=26π.5.(2023·全國甲,文10)在三棱錐P-ABC中,△ABC是邊長為2的等邊三角形,PA=PB=2,PC=6,則該棱錐的體積為()A.1 B.3C.2 D.3答案A解析(方法一)如圖,作AO⊥平面PBC,設(shè)AO=h,連接OP,OB,OC,由AP=AB=AC=2,可得OP=OB=OC,即O為△PBC的外心.在△PBC中,cos∠PBC=PB2+BC2-PC22PB·BC=4+4-62×2×2=14,則sin∠PBC=1-cos2∠PBC=154.設(shè)△PBC的外接圓半徑為R,6sin∠PBC=2R,解得R=2105.在Rt△AOP中,∵(方法二)如圖,過點P作PO⊥平面ABC于點O,連接CO并延長交AB于點D,連接PD.∵PA=PB=AB,∴D為AB的中點.∴CD=3,PD=3.由PO⊥CD,設(shè)OD=x,0≤x<3.由PD2-OD2=PC2-OC2,得(3)2-x2=6-(3-x)2,解得x=0或x=3(舍去),∴PD⊥平面ABC.則VP-ABC=13·S△ABC·PD=13×故選A.6.(2024·天津南開模擬)假定某玉琮中間內(nèi)空,形狀對稱,如圖所示,圓筒內(nèi)徑長2cm,外徑長3cm,筒高4cm,中部為棱長是3cm的正方體的一部分,圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面,則該玉琮的體積為()A.27-9π4cm3 B.27-7π4cm3C.27+π4cm3 D.27+3π4cm3答案B解析圓筒體積為底面半徑為32,高度為4的圓柱體的體積減去底面半徑為1,高度為4的圓柱體的體積,故其體積V1=π×322×4-π×12×4=5πcm3.中間部分的體積為棱長為3的正方體的體積減去底面半徑為32,高為3的圓柱體的體積,故其體積V2=27-π×322×3=27-27π4cm3.故玉琮的體積V=27-27π4+5π=27-7π4cm7.(2024·天津,9)一個五面體ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且兩兩之間的距離為1,并已知AD=1,BE=2,CF=3,則該五面體的體積為()A.B.C.D.答案C解析如圖,用一個和五面體ABC-DEF完全相同的五面體HIJ-LMN與五面體ABC-DEF拼在一起,其中頂點L,M,N分別與頂點D,E,F重合.由題意可知,拼成的組合體是一個三棱柱.該三棱柱的直截面(與側(cè)棱垂直的截面)是邊長為1的等邊三角形,其面積為34×12=34,三棱柱的側(cè)棱長為1+3=2+2=3+1=4,所以VABC-DEF=12VABC-HIJ=12×8.(2024·廣東汕頭模擬)已知球O與圓臺O1O2的上、下底面和側(cè)面均相切,且球O與圓臺O1O2的體積之比為12,則球O與圓臺O1O2的表面積之比為(A.16 B.14答案D解析由題意,作出圓臺的軸截面ABCD,設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,球的半徑OO1=r,則AE=r1,BE=r2,AB=r1+r2,BH=r2-r1.過點A作AH⊥BC于點H.由AH2+BH2=AB2,得(2r)2+(r2-r1)2=(r1+r2)2,化簡得r2=r1r2.由球的體積公式V球=43πr3,圓臺的體積公式V圓臺=13(2r)·(πr12+πr22+πr12·πr22)=23πr(r12+r22+r1r2).已知球O與圓臺O1O2的體積之比為12,則2r2r12+r22+r1r二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2024·山西朔州一模)已知圓錐SO的側(cè)面積為4π,底面圓的周長為2π,則()A.圓錐的母線長為4B.圓錐的母線與底面所成角的正弦值為1C.圓錐的體積為15D.沿著圓錐母線的中點截圓錐所得圓臺的體積為7答案ACD解析設(shè)圓錐的母線長為l,底面圓的半徑為r,則πrl=4π,2πr=2π,故r=1,l=4,故A正確;圓錐的高h=16-1=15,故圓錐的母線與底面所成角的正弦值為154,故B錯誤;圓錐的體積為13×π10.已知△ABC的三邊長分別是AC=3,BC=4,AB=5,則()A.以BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為15πB.以BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為36πC.以AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為108D.以AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為48答案AD解析以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時,所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為3,母線長為5,高為4的圓錐,其側(cè)面積為π×3×5=15π,體積為13×π×32×4=12π,故A正確,B錯誤;以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時,所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為125,母線長分別為3和4的兩個圓錐組合體,表面積為π×125×(3+4)=845π,體積為13×π×(125)2×5=4811.如圖所示的幾何體是由棱長為40cm的正方體截去八個一樣的四面體得到的,則()A.該幾何體的頂點數(shù)為12B.該幾何體的棱數(shù)為24C.該幾何體的表面積為(4800+8003)cm2D.該幾何體外接球的表面積的數(shù)值是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積數(shù)值的等差中項答案ABD解析因為該幾何體的頂點是正方體各棱的中點,正方體有12條棱,所以該幾何體的頂點數(shù)為12,故A正確;由題意知,該幾何體有6個面為正方形,故該幾何體的棱數(shù)為6×4=24,故B正確;該幾何體的棱長為202+202=202cm,該幾何體有6個面為正方形,8個面為等邊三角形,所以該幾何體的表面積為6×(202)2+8×34×(202)2=(4800+16003)cm2,故C錯誤;原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm,內(nèi)切球表面積為S1=4π×202=1600πcm2.原正方體外接球的半徑為402+402+4022=203cm,外接球表面積為S2=4π×(203)2=4800πcm2.由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心,故外接球半徑為202+202=202cm,所以該幾何體外接球的表面積為S=4π×(202)2=3200πcm2.因為2S=6400三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2024·浙江金麗衢十二校聯(lián)考)已知圓柱的軸截面面積為4,則該圓柱側(cè)面展開圖的周長最小值為.

答案8π解析設(shè)圓柱的母線長和底面圓半徑分別為l,r,由已知得2lr=4.由題意可得圓柱側(cè)面展開圖的周長為L側(cè)=4πr+2l≥24πr×2l=8π,當(dāng)且僅當(dāng)4πr=2l,即r=1π,l=13.(2023·全國乙,文16)已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上,△ABC是邊長為3的等邊三角形,SA⊥平面ABC,則SA=.

答案2解析由正弦定理得△ABC外接圓的半徑r=12×3sin60°=3.設(shè)O,O'分別為三棱錐S-ABC外接球的球心、△ABC外接圓的圓心,球O的半徑R=2,所以O(shè)O'=R2-r2=1.14.設(shè)四棱錐M-ABCD的底面為正方形,且MA=MD,MA⊥AB,如果△AMD的面積為1,則能夠放入這個棱錐的最大的球的半徑為.

答案2-1解析如圖,因為AB⊥AD,AB⊥MA,AD∩MA=A,AD,MA?平面MAD,所以AB⊥平面MAD,故平面MAD⊥平面ABCD.設(shè)E是AD的中點,F是BC的中點,則ME⊥AD,所以ME⊥平面ABCD.因為EF?平面ABCD,所以ME⊥EF.若球O是與平面MAD,平面ABCD,平面MBC都相切的球.設(shè)O在平面MEF上,則O為△MEF的內(nèi)心.設(shè)球O的半徑為r,則r=2設(shè)AD=EF=a,因為S△AMD=1,所以ME=2a,MF=ar=2a+2當(dāng)且僅當(dāng)a=2a,即a=2時,等號成立,即當(dāng)AD=ME=2時,與平面MAD,平面ABCD,平面MBC都相切的球的半徑