張家口市高考三模數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021年河北省張家口市高考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1．已知M，N均為R的子集，若N∪（?RM）＝N，則（）A．M?N B．N?M C．M??RN D．?RN?M2．若復(fù)數(shù)z滿足＝，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某中學(xué)春季運(yùn)動(dòng)會(huì)上，12位參加跳高半決賽同學(xué)的成績各不相同，按成績從高到低取前6位進(jìn)入決賽．如果小明知道了自己的成績后，則他可根據(jù)其他11位同學(xué)成績的哪個(gè)數(shù)據(jù)判斷自己能否進(jìn)入決賽（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．方差4．“a＞0”是“點(diǎn)（0，1）在圓x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度 C．向左平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度6．我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周牌算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示若E為AF的中點(diǎn)，，則λ+μ＝（）A． B． C． D．7．（x+2y﹣3z）5的展開式中所有不含y的項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A．﹣32 B．﹣16 C．10 D．648．已知a，b∈（0，3），且4lna＝aln4，4lnb＝bln2，c＝log0.30.06，則（）A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a二、選擇題（共4小題，每小題3分，滿分12分）9．已知方程表示的曲線是雙曲線，其離心率為e，則（）A． B．點(diǎn)（2，0）是該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn) C． D．該雙曲線的漸近線方程可能為x±2y＝010．已知一個(gè)圓柱的上、下底面圓周均在球O的表面上，若圓柱的體積為4π，則球O的表面積不可能為（）A．6π B．8π C．12π D．16π11．已知正數(shù)a，b滿足（a﹣1）b＝1，則（）A．a(chǎn)+b≥3 B．＞4 C．2log2a+log2b≥2 D．a(chǎn)2+b2＞2a12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）是偶函數(shù) B．函數(shù)f（x）的最小正周期為2 C．函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）存在最小值 D．方程f（x）＝1在區(qū)間（﹣2，6）內(nèi)所有根的和為10三、填空題（共4小題，每小題3分，滿分12分）13．在等差數(shù)列{an}中，a11＝2a8+6，則a2+a6+a7＝．14．2021年3月18日至19日的中美高層戰(zhàn)略對(duì)話結(jié)束后，某校高二1班班主任王老師利用班會(huì)時(shí)間讓學(xué)生觀看了相關(guān)視頻，見識(shí)了強(qiáng)大的祖國對(duì)中美關(guān)系的霸氣表態(tài)，同學(xué)們非常激動(dòng)，愛國情感油然而生．為使班會(huì)效果更佳，班主任王老師計(jì)劃從由3名女生（分別記為甲、乙、丙）和4名男生（分別記為A，B，C，D）組成的學(xué)習(xí)小組中選出4名進(jìn)行觀后體會(huì)交流，則男生A和女生甲沒有被同時(shí)選中的概率為．15．若對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，均有直線l：y＝ax+b與曲線相切，則直線l必過定點(diǎn)．16．已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△OFP是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，且△OFP外接圓的面積為，則橢圓C的長軸長為．四、解答題（共6小題，滿分72分）17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為An，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Bn，且．（1）求{an﹣bn}的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Tn．18．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，AC＝，BD＝2，且sin∠DBC＝sin∠DCB．（1）求AD的長；（2）求△ABC的面積．19．某縣一高級(jí)中學(xué)是一所省級(jí)規(guī)范化學(xué)校，為適應(yīng)時(shí)代發(fā)展、百姓需要，該校在縣委縣政府的大力支持下，啟動(dòng)建設(shè)了一所高標(biāo)準(zhǔn)、現(xiàn)代化、智能化的新校，并由縣政府公開招聘事業(yè)編制教師．招聘時(shí)首先要對(duì)應(yīng)聘者的簡歷進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，面試時(shí)應(yīng)聘者需要回答三道題，第一題考查教育心理學(xué)知識(shí)，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分；第二題考查學(xué)科專業(yè)知識(shí)，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分；第三題考查課題說課，說課優(yōu)秀者得15分，非優(yōu)秀者得5分．（1）若共有2000人應(yīng)聘，他們的簡歷評(píng)分服從正態(tài)分布N（65，152），80分及以上為達(dá)標(biāo)，估計(jì)進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）面試環(huán)節(jié)一應(yīng)聘者前兩題答對(duì)的概率均為，第三題被評(píng)為優(yōu)秀的概率為，每道題正確與否、優(yōu)秀與否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的分布列及其數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PB＝AB，AD∥BC，且∠PBC＝2∠PAD＝90°．（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB與平面PBC所成銳二面角的余弦值．21．已知拋物線C：y2＝4px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)M（1，2）到點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大p．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l：x﹣m（y+2）﹣5＝0與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m使|MA|?|MB|＝64？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x﹣alnx（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a≤3時(shí)，求證：對(duì)任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有2f（x2）﹣2f（x1）+（x1﹣x2）[f'（x1）+f'（x2）]＞0恒成立．

參考答案一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1．已知M，N均為R的子集，若N∪（?RM）＝N，則（）A．M?N B．N?M C．M??RN D．?RN?M解：由題意知，?RM?N，其韋恩圖如圖所示，由圖知，只有D正確．故選：D．2．若復(fù)數(shù)z滿足＝，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：由已知得，所以＝1﹣2i，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣2）位于第四象限．故選：D．3．某中學(xué)春季運(yùn)動(dòng)會(huì)上，12位參加跳高半決賽同學(xué)的成績各不相同，按成績從高到低取前6位進(jìn)入決賽．如果小明知道了自己的成績后，則他可根據(jù)其他11位同學(xué)成績的哪個(gè)數(shù)據(jù)判斷自己能否進(jìn)入決賽（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．方差解：12位同學(xué)參賽，按成績從高到低取前6位進(jìn)入決賽，正好一半，因此可根據(jù)中位數(shù)判斷小明是否能進(jìn)入決賽．故選：A．4．“a＞0”是“點(diǎn)（0，1）在圓x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解：將x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2﹣a．當(dāng)點(diǎn)（0，1）在圓x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外時(shí)，有解得a＞1．所以“a＞0”是“點(diǎn)（0，1）”在圓x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的必要不充分條件．故選：B．5．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度 C．向左平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度解：∵，∴將函數(shù)的圖象向右平移單位長度，可得f（x）的圖象，故選：A．6．我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周牌算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示若E為AF的中點(diǎn)，，則λ+μ＝（）A． B． C． D．解：以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF所在直線為x軸，ED所在直線為y軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)|EF|＝1．由E為AF的中點(diǎn)，可得E（0，0），G（1，1），A（﹣1，0），B（1，﹣1），D（0，2），所以，因?yàn)?，所以?，1）＝λ（2，﹣1）+μ（1，2），即解得則．故選：D．7．（x+2y﹣3z）5的展開式中所有不含y的項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A．﹣32 B．﹣16 C．10 D．64解：在（x+2y﹣3z）5的展開式中，通項(xiàng)公式為．若展開式中的項(xiàng)不含y，則r＝0，此時(shí)符合條件的項(xiàng)為（x﹣3z）5展開式中的所有項(xiàng)．令x＝z＝1，得這些項(xiàng)的系數(shù)之和為（﹣2）5＝﹣32，故選：A．8．已知a，b∈（0，3），且4lna＝aln4，4lnb＝bln2，c＝log0.30.06，則（）A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：由4lna＝aln4＝2aln2，得．令，則，所以當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．又f（a）＝f（4），f（b）＝f（16），所以b＜a＝2．又c＝log0.30.06＝log0.3（0.2×0.3）＝log0.30.2+1，log0.30.2+1＞log0.30.3+1＝2，所以c＞a，所以b＜a＜c．故選：C．二、選擇題（共4小題，每小題3分，滿分12分）9．已知方程表示的曲線是雙曲線，其離心率為e，則（）A． B．點(diǎn)（2，0）是該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn) C． D．該雙曲線的漸近線方程可能為x±2y＝0解：因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是雙曲線，所以（m2﹣2）（m2+2）＜0，解得，故選項(xiàng)A正確；將化為，得焦點(diǎn)在y軸上，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?≤m2+2＜4，所以，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)殡p曲線的漸近線斜率的平方，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．10．已知一個(gè)圓柱的上、下底面圓周均在球O的表面上，若圓柱的體積為4π，則球O的表面積不可能為（）A．6π B．8π C．12π D．16π解：設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，高為h，球O的半徑為R，則所以，所以，所以當(dāng)h∈（0，2）時(shí)，（R2）′＜0；當(dāng)h∈（2，2R）時(shí)，（R2）′＞0，所以當(dāng)h＝2時(shí)，R2有最小值．此時(shí)球O的表面積有最小值，且最小值為，即球O的表面積S球O≥12π．故選：AB．11．已知正數(shù)a，b滿足（a﹣1）b＝1，則（）A．a(chǎn)+b≥3 B．＞4 C．2log2a+log2b≥2 D．a(chǎn)2+b2＞2a解：由（a﹣1）b＝1，得，又b＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)b＝，即b＝1時(shí)取等號(hào)，所以故A正確；因?yàn)椋援?dāng)b＝2時(shí)，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)b＝，即b＝1時(shí)取等號(hào)，所以2log2a+log2b≥2，故C正確；又（a﹣1）2+b2≥2（a﹣1）b＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a﹣1＝b時(shí)取等號(hào)，所以a2+b2≥1+2a＞2a，故D正確．故選：ACD．12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）是偶函數(shù) B．函數(shù)f（x）的最小正周期為2 C．函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）存在最小值 D．方程f（x）＝1在區(qū)間（﹣2，6）內(nèi)所有根的和為10解：，A.，所以f（x）是偶函數(shù)，選項(xiàng)A正確；B．因?yàn)閒（0）＝﹣1，f（2）＝1，f（0）≠f（2），所以2不是f（x）的最小正周期，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，，所以．因?yàn)椋詅（x）在區(qū)間上單增，在區(qū)間上單減，所以f（x）在區(qū)間（1，2）存在最大值，不存在最小值，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D．因?yàn)閒（x）＝f（x+4），所以f（x）的最小正周期為4，當(dāng)x∈（﹣2，0）時(shí)，，所以．因?yàn)?，所以f（x）在（﹣2，0）內(nèi)先增后減．同理，可得f（x）在（0，2）內(nèi)也是先增后減．因?yàn)閒（0）＝﹣1，f（﹣2）＝f（2）＝1，所以f（x）＝1在（﹣2，6）內(nèi)有5個(gè)根．又所以f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，所以方程f（x）＝1在區(qū)間（﹣2，6）內(nèi)所有根的和為10．故選：AD．三、填空題（共4小題，每小題3分，滿分12分）13．在等差數(shù)列{an}中，a11＝2a8+6，則a2+a6+a7＝﹣18．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a11＝2a8+6，得2a8﹣a11＝﹣6，即a8﹣3d＝a5＝﹣6，所以a2+a6+a7＝3a5＝﹣18．故答案為：﹣18．14．2021年3月18日至19日的中美高層戰(zhàn)略對(duì)話結(jié)束后，某校高二1班班主任王老師利用班會(huì)時(shí)間讓學(xué)生觀看了相關(guān)視頻，見識(shí)了強(qiáng)大的祖國對(duì)中美關(guān)系的霸氣表態(tài)，同學(xué)們非常激動(dòng)，愛國情感油然而生．為使班會(huì)效果更佳，班主任王老師計(jì)劃從由3名女生（分別記為甲、乙、丙）和4名男生（分別記為A，B，C，D）組成的學(xué)習(xí)小組中選出4名進(jìn)行觀后體會(huì)交流，則男生A和女生甲沒有被同時(shí)選中的概率為．解：從3名女生和4名男生組成的學(xué)習(xí)小組中選4名共有（種）選法，男生A和女生甲被同時(shí)選中有種）選法，故所求概率．故答案為：．15．若對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，均有直線l：y＝ax+b與曲線相切，則直線l必過定點(diǎn)．解：設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，因?yàn)?，所以，又a≠0，所以，所以切點(diǎn)為，將其代入y＝ax+b，有＝a?+b，解得，所以，所以直線l必過定點(diǎn)．故答案為：．16．已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△OFP是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，且△OFP外接圓的面積為，則橢圓C的長軸長為．解：因?yàn)椤鱋FP外接圓的面積為，所以其外接圓半徑為．又△OFP是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，設(shè)∠OFP＝α，則∠OPF＝π﹣2α，所以，所以，所以或．不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸下方，所以或．又根據(jù)點(diǎn)差法可得，所以或此時(shí)焦點(diǎn)在y軸上，舍去）．因?yàn)闉闄E圓的右焦點(diǎn)，所以，故橢圓C的長軸長為．故答案為：2．四、解答題（共6小題，滿分72分）17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為An，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Bn，且．（1）求{an﹣bn}的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Tn．解：（1）記數(shù)列{an﹣bn}的前n項(xiàng)和為Sn，所以，所以當(dāng)n≥2時(shí)，．兩式作差，得當(dāng)n≥2時(shí)，．因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1﹣b1＝2，也符合上式，所以{an﹣bn}的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知．因?yàn)?，所以，所以?shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和.所以數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和．18．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，AC＝，BD＝2，且sin∠DBC＝sin∠DCB．（1）求AD的長；（2）求△ABC的面積．解：（1）因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AB∥CD，所以cos∠CDA＝﹣cos∠DAB．在△DBC中，由sin∠DBC＝sin∠DCB及正弦定理可得BD＝CD＝2．設(shè)AD＝x．在△ABD和△ACD中，由及余弦定理，得，所以2（x2+1﹣4）＝﹣（x2+4﹣7）．解得，即．（2）在△ACD中，，得AD2+CD2＝AC2，所以AD⊥CD，所以．所以△ABC的面積為．19．某縣一高級(jí)中學(xué)是一所省級(jí)規(guī)范化學(xué)校，為適應(yīng)時(shí)代發(fā)展、百姓需要，該校在縣委縣政府的大力支持下，啟動(dòng)建設(shè)了一所高標(biāo)準(zhǔn)、現(xiàn)代化、智能化的新校，并由縣政府公開招聘事業(yè)編制教師．招聘時(shí)首先要對(duì)應(yīng)聘者的簡歷進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，面試時(shí)應(yīng)聘者需要回答三道題，第一題考查教育心理學(xué)知識(shí)，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分；第二題考查學(xué)科專業(yè)知識(shí)，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分；第三題考查課題說課，說課優(yōu)秀者得15分，非優(yōu)秀者得5分．（1）若共有2000人應(yīng)聘，他們的簡歷評(píng)分服從正態(tài)分布N（65，152），80分及以上為達(dá)標(biāo)，估計(jì)進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）面試環(huán)節(jié)一應(yīng)聘者前兩題答對(duì)的概率均為，第三題被評(píng)為優(yōu)秀的概率為，每道題正確與否、優(yōu)秀與否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的分布列及其數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．【解答】解（1）因?yàn)閄服從正態(tài)分布N（65，152），所以，因?yàn)?000×0.15865≈317，所以進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)約為317人．（2）記該應(yīng)聘者第i（i＝1，2）題答對(duì)為事件Ai，第3題優(yōu)秀為事件B，Y的可能取值為5，15，25，35，則，＝＝，＝＝，．所以Y的分布列為：Y5152535P所以Y的數(shù)學(xué)期望為．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PB＝AB，AD∥BC，且∠PBC＝2∠PAD＝90°．（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB與平面PBC所成銳二面角的余弦值．解：（1）證明：如圖，在平面PAD內(nèi)，過點(diǎn)P作PH⊥AD，垂足為H，連接BH．因?yàn)椤螾BC＝90°，所以PB⊥BC，因?yàn)锳D∥BC，所以PB⊥AD，因?yàn)镻B∩PH＝P，所以AD⊥平面PHB，所以AD⊥HB，因?yàn)镻A＝PB＝AB，所以．又∠PAD＝45°，所以，得PB2＝PH2+BH2，即PH⊥BH．因?yàn)锳D∩BH＝H，所以PH⊥平面ABCD．因?yàn)镻H?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．（2）由（1）知PH⊥平面ABCD，BH⊥AD，所以以H為原點(diǎn)，以HA所在直線為x軸，HB所在直線為y軸，HP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則PH＝AH＝BH＝1，所以H（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1），所以．設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則得，令x1＝1，則y1＝z1＝1，所以．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則得，令y2＝1，則z2＝1，x2＝0，所以．所以．故平面PAB與平面PBC所成銳二面角的余弦值為．21．已知拋物線C：y2＝4px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)M（1，2）到點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大p．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l：x﹣m（y+2）﹣5＝0與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m使|MA|?|MB|＝64？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大p，所以點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與到直線x＝﹣p的距離相等，由拋物線的定義可知，點(diǎn)M在拋物線C上，所以4＝4p，解得p＝1，故拋物線C的方程