2023-2024學年北京陳經綸中學初三（上）期中數(shù)學試題及答案

試題PAGE1試題2023北京陳經綸中學初三（上）期中數(shù)學時間：90分鐘滿分：100分一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1.函數(shù)y=(x+1)2－2的最小值是（）A.1 B.－1 C.2 D.－22.我國傳統(tǒng)文化中的“福祿壽喜”圖（如圖）由四個圖案構成這四個圖案中是中心對稱圖形的是（）A.B.C. D.3.方程的根的情況是（）A.沒有實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.有一個實數(shù)根4.將拋物線的圖象向下平移3個單位長度，則平移后拋物線的解析式為（）A. B. C. D.5.用配方法解一元二次方程，此方程可化為（）A. B. C. D.6.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，，將矩形繞點逆時針旋轉，則旋轉后點的對應點坐標為（）A. B. C. D.7.如圖，在Rt中，，，將繞點順時針旋轉角至，使得點恰好落在邊上，則等于（

）A. B. C. D.8.某農業(yè)基地現(xiàn)有雜交水稻種植面積36公頃，計劃兩年后將雜交水稻種植面積增加到48公頃，設該農業(yè)基地雜交水稻種植面積的年平均增長率為x，則可列方程為（）A. B.C. D.9.某超市一種干果現(xiàn)在的售價是每袋30元，每星期可賣出100袋．經市場調研發(fā)現(xiàn)，如果在一定范圍內調整價格，每漲價1元，每星期就少賣出5袋．已知這種干果的進價為每袋20元，設每袋漲價x（元），每星期的銷售量為y（袋），每星期銷售這種干果的利潤為z（元）．則y與x，z與x滿足的函數(shù)關系分別是（）A.一次函數(shù)關系，一次函數(shù)關系 B.一次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系C.二次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系 D.二次函數(shù)關系，一次函數(shù)關系10.拋物線的頂點為，且經過點，其部分圖象如圖所示.對于此拋物線有如下四個結論：①；②；③；④若此拋物線經過點，則一定是方程的一個根．其中所有正確結論的序號是（）A.①② B.①③ C.③④ D.①④二、填空題：本大題共8個小題，每小題2分，共16分．11.在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標為________．12.已知是關于x的一元二次方程的一個根，則b的值是________．13.請寫出一個開口向下，頂點在x軸上的二次函數(shù)解析式__________________．14.如圖，是正方形內的一點，將繞點逆時針方向旋轉后與重合，若，則___________．15.如圖，直線與拋物線交于A，B兩點，其中點，點，不等式的解集為___________．16.已知關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是______．17.飛機著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是，那么飛機著陸后滑行__________秒才能停下來．18.如圖，已知，，，，點D在所在直線上運動，以為邊作等邊三角形，則__________．在點D運動過程中，的最小值__________．三．解答題：共54分，第19-24題，每題5分，第25-28題，每題6分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．19.解方程：20.如圖，在正方形中，點E在邊上，將點E繞點D逆時針旋轉得到點F，若點F恰好落在邊的延長線上，連接．（1）判斷的形狀，并證明；（2）若，則的面積為___________．21.已知關于x的一元二次方程．（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若是該方程的根，求代數(shù)式的值．22.已知：在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．（1）畫出關于原點成中心對稱的，并寫出點的坐標；（2）畫出將繞點按順時針旋轉所得的．23.已知：二次函數(shù)中的x和y滿足下表：x…012345…y…300m8…（1）m的值為__________；（2）求出這個二次函數(shù)的解析式；（3）當時，則y的取值范圍為__________．24.如圖，有一塊長為21m、寬為10m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，且人行通道的寬度不能超過3米．(1)如果兩塊綠地的面積之和為90m2，求人行通道的寬度；(2)能否改變人行通道的寬度，使得每塊綠地的寬與長之比等于3：5，請說明理由．25.下面給出六個函數(shù)解析式：，，，，，．小明根據學習二次函數(shù)的經驗，分析了上面這些函數(shù)解析式的特點，研究了它們的圖象和性質。下面是小明的分析和研究過程，請補充完整：（1）觀察上面這些函數(shù)解析式，它們都具有共同的特點，可以表示為形如_______，其中x為自變量；（2）如圖，在平面直角坐標系中，畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點法將這個函數(shù)的圖象補充完整；（3）對于上面這些函數(shù)，下列四個結論：①函數(shù)圖象關于y軸對稱②有些函數(shù)既有最大值，同時也有最小值③存在某個函數(shù)，當（m為正數(shù)）時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減?、芎瘮?shù)圖象與x軸公共點的個數(shù)只可能是0個或2個或4個所有正確結論的序號是________；（4）結合函數(shù)圖象，解決問題：若關于x的方程有一個實數(shù)根為3，則該方程其它的實數(shù)根為_______．26.在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．（1）求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；（2）①當x＝a時，求y的值；②若y1＝y(tǒng)2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．（3）若對于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范圍．27.如圖，在中，，將邊繞點逆時針旋轉得到線段．（1）判斷與的數(shù)量關系并證明；（2）將邊繞點C順時針旋轉得到線段，連接與邊交于點M（不與點重合）．①用等式表示線段，之間的數(shù)量關系，并證明；②若，，直接寫出的長．（用含的式子表示）28.對于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)，當其自變量的值為時，其函數(shù)值等于，則稱為這個函數(shù)的不變值．在函數(shù)存在不變值時，該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差稱為這個函數(shù)的不變長度．特別地，當函數(shù)只有一個不變值時，其不變長度為零．例如，下圖中的函數(shù)有0，1兩個不變值，其不變長度等于1．（1）函數(shù)①，②，③中存在不變值的是__________(填序號)；（2）函數(shù)．①若其不變長度為0，則的值為__________；②若，求其不變長度的取值范圍；（3）記函數(shù)的圖象為，將沿翻折后得到的函數(shù)圖象記為．函數(shù)的圖象由和兩部分組成，若其不變長度滿足，則的取值范圍為__________．

參考答案一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1.【答案】D【分析】拋物線y=(x+1)2－2開口向上，有最小值，頂點坐標為(－1，－2)，頂點的縱坐標－2即為函數(shù)的最小值．【詳解】解：根據二次函數(shù)的性質，當x=－1時，二次函數(shù)y=(x+1)2－2的最小值是－2．故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，關鍵是把解析式配方成頂點式．2.【答案】B【分析】根據中心對稱圖形的概念逐一判斷即可.【詳解】解：A選項：不是中心對稱圖形，故不符合題意；B選項：是中心對稱圖形,符合題意；C選項：不是中心對稱圖形，故不符合題意；D選項：不是中心對稱圖形，故不符合題意.故選：B．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形的概念，解題的關鍵在于熟練掌握中心對稱圖形的概念．一個圖形繞著某固定點旋轉180度后能夠與原來的圖形重合，則稱這個圖形是中心對稱圖形．3.【答案】C【分析】先計算從而可得答案.【詳解】解：，∴∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選C【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握“當則方程有兩個不相等是實數(shù)根”是解本題的關鍵.4.【答案】A【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解即可．【詳解】解：將拋物線的圖象向下平移3個單位長度，則平移后拋物線的解析式為．故選：A．【點睛】本題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．5.【答案】B【分析】首先把常數(shù)項移到右邊，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方公式即可．【詳解】解：移項，得：，配方，得：，，故選：B．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解題的關鍵是掌握配方法解一元二次方程的步驟：(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；(2)把二次項的系數(shù)化為1；(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．6.【答案】A【分析】利用矩形的性質以及旋轉變換的性質解決問題即可．【詳解】解：如圖：，四邊形是矩形，點，，，由旋轉變換的性質可得：，在第二象限，，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質、旋轉的性質，熟練掌握矩形的性質、旋轉的性質，是解題的關鍵．7.【答案】D【分析】由旋轉的性質可得CA=CA'，∠ACA'=α，由等腰三角形的性質可得∠A=∠CA'A=60°，由三角形內角和定理可求α的值.【詳解】解：，，，將繞點順時針旋轉角至△，，，，，，故選：D.【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，掌握旋轉的性質是本題的關鍵.8.【答案】C【分析】根據劃兩年后將雜交水稻種植面積增至48公頃，即可得出關于x的一元二次方程；【詳解】依題意，得：．

故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9.【答案】B【分析】根據題意列出y與x，z與x的函數(shù)關系式，再根據一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】由題意得，∴y是x的一次函數(shù)。，∴z是x的二次函數(shù)．故選：B【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的定義并且正確的列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．10.【答案】B【分析】利由拋物線的開口方向和位置可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個交點坐標為（-1，0），代入解析式則可對②進行判斷；由拋物線的頂點坐標以及對稱軸可對③進行判斷；拋物線的對稱性得出點的對稱點是，則可對④進行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∴，故①正確；∵拋物線的頂點為，且經過點，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-1，0），∴，故②錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線x=2，∴，即：b=-4a，∵，∴c=b-a=-5a，∵頂點，∴，即：，∴m=-9a，即：，故③正確；∵若此拋物線經過點，拋物線的對稱軸為直線x=2，∴此拋物線經過點，∴，∴一定是方程的一個根，故④錯誤．故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置．二、填空題：本大題共8個小題，每小題2分，共16分．11.【答案】【分析】關于原點對稱的點的橫縱坐標都互為相反數(shù)，據此解答．【詳解】解：點關于原點對稱的點的坐標為，故答案為：．【點睛】此題考查關于原點對稱的點，解題的關鍵是記住關于原點對稱橫縱坐標都互為相反數(shù)．12.【答案】【分析】把代入方程中得：，然后進行計算即可解答．【詳解】解：把代入方程中得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解的意義是解題的關鍵．13.【答案】y=-2（x+1）2．答案不唯一【分析】先設出二次函數(shù)解析式方程，，再根據圖像開口向下可知a<0，可以得出結論.【詳解】設該二次函數(shù)的解析式為∵拋物線的開口向下∴a<0又∵在x軸上∴k=0∴y=-2（x+1）2,答案不唯一，滿足上述條件即可.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)中，當a<0，時開口向下，且頂點在x軸上時要滿足的條件，熟練掌握函數(shù)性質是本題解題的關鍵.14.【答案】【分析】由旋轉的性質可得：再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：正方形，旋轉角：故答案為：【點睛】本題考查的是正方形的性質，旋轉的性質，勾股定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．15.【答案】2<x<5##5>x>2【分析】觀察圖像，找到拋物線的圖像在直線的下方的部分圖像，由此可知不等式的解集．【詳解】解：如下圖所示，當2<x<5時，拋物線的圖像在直線的下方，當2<x<5時，，不等式的解集為：2<x<5．故答案為：2<x<5．【點睛】此題考查了二次函數(shù)與不等式，根據兩個函數(shù)圖像的上、下位置關系找出不等式的解集是解此題的關鍵．16.【答案】且【分析】利用一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到且，然后求出兩不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據題意得且，解得且，即a的取值范圍是為且．故答案為：且．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．17.【答案】20【分析】飛機從滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即求函數(shù)取得最大值時的t的值．【詳解】解：∵，，∴拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，∵，當，函數(shù)有最大值，即飛機著陸后滑行20秒能停下來．故答案為：20．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際問題，運用二次函數(shù)求最值是解決本題的關鍵．18.【答案】①.4②.【分析】以為邊作等邊，并作，垂足為點H，連接，由直角三角形可求，，，由“”可證，得，最小即是最小，此時，故的最小值是．【詳解】解：以為邊作等邊，并作，垂足為點H，連接，如圖：，，，，∴，∴，，即，∴，，∵都是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴最小即是最小，∴當時，最小，此時，∴四邊形是矩形，∴，∴的最小值是．故答案為：4，．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，矩形的性質與判定，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握等邊三角形的性質．三．解答題：共54分，第19-24題，每題5分，第25-28題，每題6分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．19.【答案】【分析】原方程乘以2，后利用配方法整理成為完全平方公式進行計算即可.【詳解】解：原方程乘以2，得∴∴∴∴故答案為【點睛】本題考查了解一元二次方程，通過變形方程配方成完全平方公式求解是解答本題的關鍵.20.【答案】（1）是等腰直角三角形，證明見解析（2）8【分析】（1）證明，進而可得，，根據旋轉的性質可得，即可證明是等腰直角三角形；（2）根據等腰直角三角形的性質和勾股定理求得，進而即可求得的面積．【小問1詳解】是等腰直角三角形．證明：在正方形中，，．∵F落在邊的延長線上，∴．∵將點E繞點D逆時針旋轉得到點F，∴．∴，∴．∵，∴，即．∴是等腰直角三角形．【小問2詳解】∵是等腰直角三角形，∴，，，∴，∴的面積為．故答案為：【點睛】本題考查了旋轉的性質，三角形全等的性質與判定，正方形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質與判定，證明是解題的關鍵．21.【答案】（1）詳見解析（2）6【分析】（1）先計算根的判別式的值得到，然后根據根的判別式的意義得到結論；（2）先根據一元二次方程根的定義得到，再把展開得到，然后利用整體代入的方法計算．【小問1詳解】證明：∵，∴不論m為何值，該方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】解：把代入方程得，即，∴．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程根的定義，熟練掌握一元二次方程根的判別式和整體代入是解題的關鍵．22.【答案】（1）如圖所示，即為所求，見解析，點的坐標為；（2）如圖所示，即為所求．見解析.【分析】分別作出三頂點關于原點的對稱點，再順次連接即可得；

分別作出點、繞點按順時針旋轉所得的對應點，再順次連接即可得．【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求，其中點的坐標為．（2）如圖所示，即為所求．【點睛】此題主要考查了圖形的旋轉變換，正確得出對應點位置是解題關鍵．23.【答案】（1）23.3（2）（3）【分析】（1）先求得對稱軸，然后根據拋物線的對稱性即可求得；（2）設拋物線解析式為，利用待定系數(shù)法求解即可；（3）利用圖表和拋物線的性質即可得出答案．【小問1詳解】解：∵拋物線經過點和，∴拋物線的對稱軸為直線，∴當和所對應的函數(shù)值相等，∴；故答案為：3；【小問2詳解】解：∵拋物線經過點和，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點為，設拋物線解析式為，把代入得，解得，∴拋物線解析式為；【小問3詳解】解：當時，，當時，y有最小值，當時，，∴當時，則y的取值范圍為．故答案為：．【點睛】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法與步驟是解決問題的關鍵．24.【答案】（1）2米；（2）不能改變人行橫道的寬度使得每塊綠地的寬與長之比等于3：5．【分析】（1）設人行通道的寬度為x米，將兩塊矩形綠地的長和寬用含有x的式子表示出來，根據“兩塊矩形綠地的面積共為90平方米”列出關于x的一元二次方程，解之即可；（2）根據每塊綠地的寬與長之比等于3：5列出方程求得人行橫道的寬度后與3米比較即可得到答案．【詳解】（1）設人行通道的寬度為x米，則兩塊矩形綠地的長為（21﹣3x）（米），寬為（10﹣2x）（米），根據題意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90，解得：x1＝10（舍去），x2＝2，答：人行通道的寬度為2米；（2）設人行通道的寬為y米時，每塊綠地的寬與長之比等于3：5，根據題意得：（10﹣2y）：＝3：5，解得：y＝，∵＞3，∴不能改變人行橫道的寬度使得每塊綠地的寬與長之比等于3：5．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是能夠設出未知數(shù)并表示出矩形的長和寬，找出等量關系．25.【答案】（1）（a≠0）；（2）圖象見詳解；（3）①③；（4）【分析】（1）觀察六個二次函數(shù)解析式的特點，可知：它們都具有共同的特點：一次項的x含有絕對值，即可；（2）根據求絕對值法則，當x<0時，，再用描點法，畫出圖象，即可.（3）結合六個二次函數(shù)的額圖形和性質，逐一判斷，即可；（4）先求出k的值，再令，，在同一坐標系中，畫出圖象，根據兩個函數(shù)圖象的交點坐標，即可得到答案.【詳解】（1）觀察六個二次函數(shù)解析式的特點，可知：它們都具有共同的特點：一次項的x含有絕對值，即：（a≠0），故答案是：（a≠0）；（2）當x<0時，，根據描點法，如圖所示：（3）∵，，關于y軸對稱，，圖象關于y軸對稱，，圖象關于y軸對稱，，圖象關于y軸對稱，，圖象關于y軸對稱．∴①正確；∵，有最小值，沒有最大值，，有最小值，沒有最大值，，有最大值，沒有最小值，，有最小值，沒有最大值，，有最大值，沒有最小值，，有最大值，沒有最小值，∴②錯誤；∵，圖象關于y軸對稱，當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，∴③正確；∵的圖象與x軸有1個公共點，的圖象與x軸沒有公共點，的圖象與x軸有1個公共點，的圖象與x軸有2個公共點，的圖象與x軸有2個公共點，的圖象與x軸沒有公共點，∴④錯誤，故答案是：①③；（4）∵關于x的方程有一個實數(shù)根為3，∴，解得：k=1，令，，函數(shù)圖象如圖所示：∴關于x的方程的其他兩個實數(shù)根為：，故答案是：【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質，根據題意，畫出二次函數(shù)圖象，是解題的關鍵.26.【答案】（1）對稱軸為直線x＝a﹣1（2）①y=0；②x1＝a﹣2（3）a≥﹣1【分析】（1）根據拋物線的對稱軸x＝﹣求解即可；（2）①將x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y1＝y(tǒng)2＝0，則﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根據x1＜x2，求出x1的值．（3）由題意得出x1＜﹣2，則只需討論x1＜a﹣1的情況，分兩種情況：①當a≥﹣1時，又有兩種情況：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分別結合二次函數(shù)的性質及x1+x2＜﹣4計算即可；②當a＜﹣1時，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此時x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合題意．【小問1詳解】解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝a﹣1；【小問2詳解】解：①當x＝a時，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a＝0；②當y1＝y(tǒng)2＝0時，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，∵x1＜x2，∴x1＝a﹣2；【小問3詳解】解：①當a≥﹣1時，∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，∴x1＜﹣2，只需討論x1＜a﹣1的情況．若x1＜x2＜a﹣1，∵x＜a﹣1時，y隨著x的增大而增大，∴y1＜y2，符合題意；若x1＜a﹣1＜x2，∵a﹣1≥﹣2，∴2（a﹣1）≥﹣4，∵x1+x2＜﹣4，∴x1+x2＜2（a﹣1）．∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．∵x＝2（a﹣1）﹣x2時，y1＝y(tǒng)2，x＜a