微積分(上)復(fù)習(xí)資料-概念

微積分(上)復(fù)習(xí)資料—-概念復(fù)習(xí)步驟—-1。概念2.公式3.解題格式4.題型知識網(wǎng)絡(luò)-—1。函數(shù)2。極限3。導(dǎo)數(shù)4。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用5。微分6。微分中值定理7。洛必達(dá)法則8.不定積分1。函數(shù)1。1鄰域設(shè)有實數(shù)a及b,b〉0。｛xIIx—al｝〈b,為點a的b鄰域，記為U(a,b)。若去掉點a,｛xI0<Ix-aI〈b｝為a的去心鄰域.a—b a a+b1.2顯函數(shù)和隱函數(shù)明確因變量和自變量，可用y=f(x)表示的函數(shù)稱為顯函數(shù)。反之不明確因變量和自變量,不可用y=f(x)表示，即只是表示x于y關(guān)系的函數(shù)隱函數(shù)。Tip： , -1,x〈1符號函數(shù)y=sgnx=0,x=1I1,x〉0取整函數(shù)y=[x]1.3有界性設(shè)f(x)在實數(shù)集D上有定義。若存在正數(shù)M,是對D中的任意x都有If(x)IWM,則稱f(x)在D上有界，f(x)是D上的有界函數(shù)，M稱為f(x)在D上的一個界.若不存在滿足上述條件的M,則無界.2。極限2。/微列極限設(shè)數(shù)列｛%｝,常數(shù)九若當(dāng)n-8,%一常數(shù)，則稱該數(shù)列收斂于a或收斂數(shù)列,Uman=am稱為極限。記作us 或處if%（nf8）若數(shù)列｛冊｝沒有極限，則稱｛旬1不收斂,或稱為發(fā)散數(shù)列N2枚被劇列你質(zhì)性質(zhì)1（唯一性）：收斂數(shù)列只有一個極限性質(zhì)2（有界性）：有界是收斂數(shù)列的必要條件性質(zhì)3（保號性）：若數(shù)列極限為正（或負(fù)），則該數(shù)列從某一項開始的所有項也為正（或負(fù)）。性質(zhì)4：若數(shù)列收斂于a,則它的子數(shù)列也收斂于a。數(shù)列的任意一段數(shù)列稱為子數(shù)列前劇極限設(shè)f（X）為區(qū)間D上的函數(shù)，A為任意值.若當(dāng)x-M,f（X）一A,則稱或。是f（x）limf（x）=A的極限，記作「刈或f（x）fA（Xf-X。）定理1limf（x）=A limf（x）=limf（x）=A的充要條件是】】T+g l——-g定理2limf（x）=A Hmf（x）=limf（x）=Aq 的充要條件是xxo a—x0總結(jié)：極限存在的充要條件是左右極限存在且相等2?！扒鷦O限悔質(zhì)limt（x）性質(zhì)1（唯一性）:若』 存在，則極限是唯一的limt（x）性質(zhì)2（局部有界性）：若L題 存在，則f（X）在M的某去心鄰域有界limf（x）=A＞0（或＜0）性質(zhì)3（局部保號性）：若工― ，則存在正數(shù)b,當(dāng)0〈lx—Ml〈b時，有。）＞0（或＜o(jì)）limf（x）=A＞0（或＜0）推論1若xf。 ，則存在正數(shù)b,當(dāng)O〈lx—硼。時,有8）＞2（或AhnifCx)=A>0(或WO)推論2若在xo的某去心鄰域內(nèi)fXM(或W0),且N5極限落在源則一-兩個壹耍極限定理1(夾逼準(zhǔn)則)設(shè)數(shù)列仲葉，｛6｝,｛同滿足]iman=limbn=a(1)『gasK. , limCj]—(2)存在正整數(shù)No,當(dāng)口>No時,曲玉瓦則數(shù)列｛5｝收斂,且…設(shè)函數(shù)f(x),g(x),h(x)ihnf(x)=Hmg(x)=A(1)Xflimh(x)=A(2)在犬。的某個鄰域內(nèi)，有f(x)Eh(x)￡g(x),則定理2(單調(diào)有界準(zhǔn)則)單調(diào)有界數(shù)列必有極限。2。6無窮小S無窮人無窮小定義：limf(K)=0若人刈 ，則稱《X)為當(dāng)XTK0時的無窮小。無窮小性質(zhì)：(1)若⑻為無窮小,則f?,虱x),ctf⑻+的(X)為無窮小.(2)若f(x)為無窮小，虱X)為有界函數(shù)，則F(x),虱X)仍為無窮小。limf(x)二A1f(x)-A(3)衿叼 是一個當(dāng)xtxu時的無窮小。無窮大定義：limf(x)=8若人刈 ，則稱為當(dāng)XTX0時的無窮大。1定理1：在自變量X的同一變化過程中,若及X)為無窮大,則麗為無窮小;反之若KM為無窮小，且「(刈至0,則為無窮大.N7無窮小的比較設(shè)f及g是在自變量X的同一變化過程中的無窮小，且小。。(1)若=0,則f是比g高階的無窮小，或g是比f低階的無窮大，記作f二o(g);f_(2)若1而看=1*°,則f與g是同階無窮小,記作f=0(g)of特別地，若】如￡=1,則f與g是等階無窮小，記作f?吼定理2：設(shè)廠打，gF,且"m3存在，則Hm*=lim/2。了曲照迷候你定義1limf(x)=fGo)設(shè)《X)在X0的某個鄰域內(nèi)有定義，若乂tm ,則稱《X)在X0連續(xù),并稱X0為f(K)的連續(xù)點.定義2limAy=0設(shè)KM在我的某個鄰域內(nèi)有定義若網(wǎng)-。 ，則稱y=?0在/連續(xù).定義3若定義1中的XTX0具體化為KT'O一或XTM0+,支持則稱f(X)在刈左連續(xù)或右連續(xù)。定理1?<)在對連續(xù)的充要條件是其左右極限存在且相等2.9間斷點定義4設(shè)f(K)在卻的某個去心鄰域內(nèi)有定義，若《對在知不連續(xù)，則稱沏為f(K)的不連續(xù)點或間斷點.據(jù)此，必有下列情況之一：(l)f(x)在區(qū)0無定義;limt(x)⑵及對在如有定義但尸刈 不存在；limf(x)limt(x)hf(x)(3)f(X)在如有定義，且XT切 存在，但「陽 ?？扇ラg斷點：上述(1)(3)跳躍間斷點：「；在耳的左右極限存在但不相等可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱第一類間斷點，其特點是左右極限都存在其余間斷點則稱為第二類間斷點，其特點是左右極限至少有一個不存在如：無窮間斷點：皿的1震蕩間斷點：V=s也工在xrO時函數(shù)值在—1與1之間無限次的變動.2。勿迷候前劇的這點定理2(四則運算)若f(Q虱X)在刈連續(xù)，則其四則運算的結(jié)果也在“連續(xù).定理3(復(fù)合函數(shù)的運算)如果口=00在即連續(xù)，y=g(u)在u0連續(xù)，且因二尺沏)，則了=g［f(創(chuàng)在沏連續(xù)。定理4(反函數(shù)的連續(xù)性)若V=可町在［&b］單調(diào)連續(xù)則x=f一1(刃在連續(xù).推論1若Kx)在［冉b］連續(xù),則f(x)在［冉b］有界。定理6(介值定理)若葭刈在瓜b］連續(xù)，且f(a)土f(b),則f(a)<口<f(b)或f(EL)AMAf(b)推論2(根的存在定理)若f(x)在3b］連續(xù)，且f(a)f(b)<0,則至少存在一個5E6力)，使f(8)=0.推論3在閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)必取得介于其最大值和最小值之間的任何值。3。導(dǎo)劇M。7導(dǎo)劇概念設(shè)y=t。)在沏的某個鄰域內(nèi)有定義，Ay +心x)-氏為)lim藐=lirn 嬴 若極限網(wǎng)―' 汽L0 ,則稱f(K)在刈可導(dǎo)，并該極限稱為K幻在刈的導(dǎo)數(shù).若XTX0具體化為XTXo一或KTX0+,支持則稱f(對在區(qū)0左極限或右極限，統(tǒng)稱單側(cè)極限.不」在"可導(dǎo)的充要條件是其左右極限存在且相等。若f(x)在區(qū)間I上的點都可導(dǎo)，則稱f(x)是在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)，對于《X)在區(qū)間I上的每一個對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)記作"X)4或有時也寫成了1K=沏或W1定理若f(x)在工0可導(dǎo)則它一定在對連續(xù)及M導(dǎo)劇在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用邊際概念：設(shè)y=f(x)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)F(x)叫做邊際函數(shù)。成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做邊際成本；收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做邊際收入；利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做邊際利潤。函數(shù)的彈性：在經(jīng)濟(jì)學(xué)，y=f(x)的增量Ay稱為函數(shù)在X的絕對改變量，導(dǎo)數(shù)代刈稱為函數(shù)在X的絕對變化率。相對改變量丁與京之比的極限yX煙 ，表示在x函數(shù)y的相對變化率,X稱為F=f(X)在x的彈性，記作"=畫式"I在經(jīng)濟(jì)學(xué)，將需求量對價格的相對變化率稱為需求的價格彈性34德晶劇痛參劇方程的導(dǎo)劇隱函數(shù)：兩邊分別求導(dǎo)，有時可利用對數(shù)求導(dǎo)簡化問題。{ dy_爐㈤dy/dt參數(shù)方程：設(shè)'--則其導(dǎo)數(shù)為底 "'1-1 "。y=m(t)4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定理1：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間I連續(xù)，在開區(qū)間I可導(dǎo).若在開區(qū)間I內(nèi),1，那么二XI在閉區(qū)間I單調(diào)遞增；反之在開區(qū)間I內(nèi)n："■.[,那么]；XI在閉區(qū)間I單調(diào)遞減。定理2。3:設(shè)曲線\-H、)在閉區(qū)間I連續(xù)，在開區(qū)間I可導(dǎo)。若在開區(qū)間I內(nèi)（單調(diào)遞增），那么Kx）在閉區(qū)間I是凹的；反之在開區(qū)間I內(nèi)fOO”<0（單調(diào)遞減），那么Kx）在閉區(qū)間I是凸的。定義：拐點是曲線凹凸部分的分界點.推論：由于拐點是曲線凹凸部分的分界線點，所以在拐點的兩側(cè)fOO”異號，在拐點處f（x）”二0或不存在.函數(shù)的極值駐點（穩(wěn)定點）定義：使［Go）=0的點沏。定理1:設(shè)f（x）在刈處可導(dǎo)，且取得極值，則f（x），=0.定理2（第一充分條件）：設(shè)葭刈在益處連續(xù)，且在xo的某個去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。若當(dāng)xE（x0-&卻）時，>0,而當(dāng)E（刈兩+6）時，f（x/<0,則及外在處處取得最大值;反之取得最小值。定理3（第二充分條件）：設(shè)《X）在即處有二階導(dǎo)數(shù)，且六刈）二0,F'（xo）H0,則當(dāng)FGo）之。時，葭x）在xo處取得最大值；反之取得最小值。tip：應(yīng)注意以上都是充分條件,要確定極值還需判斷該點的定義.ActdcrK=HillTT=37曲率（經(jīng)管系不要求掌握）：用來描述曲線彎曲程度， 依加配+Moa+Aot設(shè)￥=?0在乂的曲率為四1＜手。)，在M的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點D,使11口陽=正=口。以D為圓心，p為半徑作圓，該圓叫曲率圓，D叫曲率中心，p叫曲率半徑。由此可見，p越大，曲率越小.5微臺定義L設(shè)函數(shù)KM在孫的某個鄰域有定義，對p式町+AXEUg)),若對應(yīng)V=f(刈+⑥)—K沏)能表示成Ay=A故+。(故)，其中A是與心無關(guān)的常數(shù),則稱Kx)在刈可微,并稱AAk為f(x)在孫的微分，記為SIxk域df(K)Ix=犯即dy|『二AAX由定義可見，函數(shù)的微分與增量僅相差一個關(guān)于旅的高階無窮小量，由于dy是*。的線性函數(shù),所以當(dāng)AH0時,也說微分dy是切的線性部分。定理：f(x)在知可微的充要條件是f(x)在刈可導(dǎo)，并且有如下關(guān)系：dyIX=xo=『(幻Ax若y=f(x)在區(qū)間I上都可微,則稱f(x)為I上的可微函數(shù),y=fOO在I上的任一點的微分記作dy=f(X)Ax.它不僅依賴于Ax,而且也依賴于X。特別當(dāng)y=x時，有dy=dK=An,這表示自變量的微分就等于自變量的增量.于是有dy=f(x)dx,dy式到=盛(微商).幾何意義：

AxX。+AxF=f(x)的圖像是一條曲線，當(dāng)自變量x由K。變到刈+A克時對應(yīng)點M變到NJQ-Ax,NQ=Ay,跡昨曲線切緘T,它的傾斜角為，則QP二MQTan(x=&S,dy=QPO由此可見，對于可微函數(shù)尸f⑼當(dāng)Ay是F=f(x)上的點的縱坐標(biāo)的增量時，dy就是曲線切線上點的縱坐標(biāo)的對應(yīng)增量。當(dāng)周很小事加-叫比加|小得多。因此在M的鄰近，可以用切線線段來近似代替曲線線段。6微合中值定理6。/羅爾尼理若F=KX)滿足(1)在閉區(qū)間12修上連續(xù)；(2)在開區(qū)間但切內(nèi)可導(dǎo)；⑶f⑶=f(b)使得=0則在出h)內(nèi)至少有一點＜5＜外,由上面三個條件得在國b)必有一點5使F+⑹=f一⑹=0使得=0tip：羅爾定理的三個條件是充要非必要的。若同時滿足三個條件，結(jié)論一定成立;反之,若有一個不滿足,則不能保證結(jié)論一定成立(及函數(shù)圖像就可能不存在水平切線)。ab bx6,2拉格朗日中他定理若y=KM滿足(i)在閉區(qū)間⑶網(wǎng)上連續(xù);⑵在開區(qū)間回切內(nèi)可導(dǎo);則在&b)內(nèi)至少有一點56<6vb),使得f(b)-f(a)=f'(0(b-a),也可寫成■ f(h)?f(a) . f(b)—f{3)f⑼= ，則左端f⑹表示開區(qū)間⑶h)內(nèi)行處局部變化率，右端S-a)表示閉區(qū)間以可上整體變化的平均變化率.于是該公式反映了兩者的關(guān)系，所以拉格朗日中值定理是連結(jié)局部與整體的紐帶。由上述定義得出羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況,所以我們可以設(shè)想對y=f(X)在|a,b］作一次變形，使其符合羅爾定理。由于AB的斜率是，故f(b)-fCa)z、考慮將9=?0上的點沿豎直方向逐個下移一個x的線性量山-q。一司,這時f(b)-f(a)端點A不變,端點B移動到于是Y=f(X)變形為甲(幻=寅冷-〔一)然a)。推論1：若Kx)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么Kx)在區(qū)間I上市一個常數(shù)。推論2：若f(x)和Kx)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且底幻三g1。),在在I上有fOO=g(x)+C為某一常數(shù)。6。M村曲中假定理設(shè)參數(shù)方程X=g(x)Y=f(x),若f(Q和虱X)滿足:(1)在閉區(qū)間】；可上連續(xù);⑵在開區(qū)間⑶h）內(nèi)可導(dǎo)；⑶式工）在儂⑼內(nèi)每一處都不為零，則在as內(nèi)至少有一點m使得炯-忖二⑨ F9）式時-￡⑶一g⑹.虱昉-息口）表示弦AB的斜率，式5）表示點8的斜率.7洛奧達(dá)法則07。76式W，定式定理1設(shè)f。）和虱x）滿足limf（x）=limg（x）=0（l）Xf口 A。 ；（2）在卻的某個去心鄰域內(nèi),f'00和g'⑶都存在,且＞（外注0；f（x）⑶A與旦河存在（或為無窮大），向麗 11m聲二bm八則一殉的）存在（或為無窮大），且「不旦㈤xfJ⑻O07。2；；式定式定理2設(shè)寅工）和武x）滿足limf（x）=limg（x）=?（l）Xf口 K-q ;（2）在尤。的某個去心鄰域內(nèi)，*K）和H⑶都存在,且EG）手0；（3）h頻V⑴存在（或為無窮大）,卜f? 煙「i,W山函 l]m兩二bm八則一珈酸）存在（或為無窮大），且一沏驅(qū)）kfJ⑻ZM其它類型W，定式具體做法：（1）對乘積形式未定式58,和差形式未定式8±8,可通過恒等變。8 0形成6式和石式；（2）對嘉指形式未定式0°,178°,則通過取對數(shù)方式，化成6式oo和圓式